Teil A: ohne Hilfsmittel 1. Berechnen Sie den Differenzialquotienten

´Günther
BSZ für Bau- und Oberflächentechnik des Landkreises Zwickau
Außenstelle Limbach-Oberfrohna
Vorbereitung auf die 2. Klausur GK 12.I
Teil A: ohne Hilfsmittel
1.
Berechnen Sie den Differenzialquotienten von f
x0  0
Stelle
mit f  x    2x  2 an der
2
und überprüfen Sie Ihre Rechnung anschließend unter
Anwendung der Ableitungsregeln.
2.
Zeigen Sie mit elementaren Ableitungsregeln, dass für f mit f ( x )   ax  b  und
2
a,b  R gilt: f ( x )  2a   ax  b  .
3.
Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion:
3.1
f  x   4  x4 
3.2
f( x) 
3.3
4
1
x3


x 4 3  x3 3
3 3 2
 x 1
4
f( x) 
3  x3  a  x 4  b  x5
;  a,b  R 
6  x5
4.
Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normale an den
1
Graphen der Funktion f mit f  x    x 3  1 im Punkt P  x 3  .
4
5.
Begründen Sie rechnerisch, dass sich die Graphen der Funktionen f und g mit
2
1
5
f  x   2 und g  x    x 3  x 2 an der Stelle x  2 berühren.
x
4
8
Teil B: mit Hilfsmitteln
6.
5
Gegeben sind die Funktionen f ( x )  x 3  2x 2  4x  8 und g( x )   x 2  a .
2
6.1 Bestimmen Sie rechnerisch alle reellen Zahlen a für die sich die Graphen beider
Funktionen berühren.
6.2 Für a  0 haben die beiden Funktionsgraphen genau einen Punkt gemeinsam.
Bestimmen Sie diesen Punkt P und den zugehörigen Schnittwinkel  .
6.3 Ermitteln Sie für a  0 die Gleichung der Tangente an den Graphen von g,
welche parallel zur Tangente an den Graphen von f an der Stelle x  0 verläuft.
6.4 Die Tangente und die Normale an den Graph von f in dessen Schnittpunkt mit
der Ordinatenachse begrenzen mit der Abszissenachse eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie deren Flächeninhalt.
7.
Die Mittellinie eines Straßenstücks lässt sich in einem geeigneten
Koordinatensystem im Intervall 0  x  50 näherungsweise durch die Funktion f
1 2
mit
beschreiben
(x
und
y
in
Metern).
f( x)  
x x
40
Ein
Motorradfahrer fährt entlang der Mittellinie vom Punkt P  0 f  0   zum
Punkt Q  50 f  50   . Auf Grund regennasser Fahrbahn rutscht er im Punkt
R 10 f 10   tangential von der Straße und landet im Punkt S im Zaun einer
Grundstücksbegrenzung, der entlang der Gerade y  0, 25x  15
verläuft.
7.1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S.
7.2 Welchen Abstand hat der Zaun vom Straßenrand, wenn die Straße überall eine
Breite von 6 Metern besitzt.
8.
Während einer Hochwasserwelle wurde in einer Stadt der Wasserstand
h (in cm) des hochwasserführenden Flusses in Abhängigkeit der Zeit
t (in Tagen) gemessen. Die folgende Tabelle gibt die jeweiligen Pegelstände um
12:00 Uhr an. Dabei hatte der Fluss zum Zeitpunkt t  0 normalen
Wasserstand.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
h
30
37,4
54,7
75,9
96,1
111,6
120
120
111,6
8.1 Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate in cm pro Tag innerhalb
der ersten drei Tage.
8.2 Ermitteln Sie die momentane Abnahme des Pegelstandes am 8. Tag um
18:00 Uhr und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang
8.3 Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt (Tag und Uhrzeit) zu dem das
Hochwasser nicht mehr gestiegen ist und geben Sie den Pegelstand zu diesem
Zeitpunkt an.
8.4 Bestimmen Sie den Tag, an dem der Fluss wieder normalen Wasserstand
hatte.