Gleichungssysteme - Mathematics TU Graz

Gleichungssysteme
Michael Moßhammer
23. September 2008
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Allgemeines
Ein Gleichungssystem ist eine Gruppe von mehreren Gleichungen mit Variablen. Eine Lösung
des Gleichungssystems ist eine Belegung der Variablen, mit der alle Gleichungen erfüllt sind. Im
Normalfall benötigt man gleich viele Gleichungen wie Variablen, um das Gleichungssystem (mit
einer bzw. endlich vielen Lösungen) zu lösen. Sind mehr Variablen als Gleichungen vorhanden,
erhält man meistens unendlich viele Lösungen. Bei mehr Gleichungen als Variablen ist das System
sehr oft unlösbar (d.h. es gibt keine Lösung, die alle Gleichungen erfüllt).
Nach dem Berechnen einer Lösung, muß man bei Gleichungssystemen immer eine Probe machen,
da die Gefahr besteht, das die Lösung nur für manche der Gleichungen gilt. Außerdem kann man
so Rechenfehler erkennen und womöglich ausbessern.
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Lineare Gleichungssysteme
Eine ”lineare Gleichung ”ist eine Gleichung, bei der sämtliche Variablen nur linear vorkommen:
a1 · x1 + a2 · x2 + . . . + an · xn = b,
wobei die ai und b Parameter (gegebene Zahlen) und die xi die Variablen sind. In solchen
Gleichungen dürfen die Variablen nicht in höheren Potenzen oder mit anderen Variablen multipliziert
vorkommen.
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Gruppe von mehreren linearen Gleichungen. Ein solches
System kann auf mehrere Arten gelöst werden, z.B.: Eliminationsverfahren oder Substitutionsverfahren.
Diese sollten in der 5. oder 6. Klasse gelernt werden.
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Symetrische Gleichungssysteme
Eine Gleichung heißt symetrisch, wenn man durch Vertauschen von je zwei Variablen die Gleichung
nicht ändert. Z.B.: x + y + z = xy + yz + zx. Eine Gleichung bei der man nur bestimmte Variable
vertauschen kann, heißt symmetrisch in diesen Variablen (z.B.: xy + xz = 0 ist symmetrisch in x
und y, aber nicht Symmetrisch). In einem symetrischen Gleichungssystem sind alle Gleichungen
symetrisch.
Wenn man in einem symetrischen Gleichungssystem eine Lösung gefunden hat, kann man auch
in dieser Lösung die Zahlen vertauschen, um neue Lösungen zu erhalten.
Um ein symetrisches Gleichungssystem zu lösen, werden die Gleichungen in sogenannte Elementarsymetrische
Funktionen zerlegt. Diese sind für zwei Variable s1 = x + y und s2 = xy, für drei Variable
s1 = x + y + z, s2 = xy + yz + zx und s3 = xyz und so weiter.
Beispiele:
x3 + y 3 = (x + y)3 − 3x2 y − 3xy 2 =
= s31 − 3xy(x + y) =
= s31 − 3s1 s2
1
x2 + y 2 + z 2 = (x + y + z)2 − 2xy − 2xz − 2yz =
= s21 − 2s2
1
1
1 1
xyz + wyz + wxz + wxy
+ + + =
=
w x y z
wxyz
s3
=
s4
Durch diese Zerlegungen erhält man ein neues Gleichungssystem in den Elementarsymetrischen
Funktionen. Dieses ist im Normalfall viel leichter als das System in den Ursprünglichen Variablen.
Um aus den elementarsymetrischen Funktionen wieder die Ursprünglichen Variablen zu erhalten,
muß man die Lösungen der Gleichung tn − tn−1 s1 + tn−2 s2 − + . . . + (−1)n−1 tsn−1 + (−1)n sn
bestimmen. Die Lösungen des Gleichungssystems sind dann alle Permutationen dieser Lösungen.
Beispiel:
Man löse das Gleichungssystem
x + y + z = 11
2
2
2
x + y + z = 49
1 1
1
+ + =1
x y z
(1)
(2)
(3)
Die 1. Gleichung ist schon eine elementarsymetrische Funktion: s1 = 11.
Die 2. Gleichung wird zu:
x2 + y 2 + z 2 = (x + y + z)2 − 2xy − 2yz − 2zx =
= s21 − 2s2 ⇒
121 − 2s2 = 49 ⇔
s2 = 36
Damit erhält man aus der 2. Gleichung s2 = 36.
Die 3. Gleichung wird zu:
1 1
xy + yz + zx
1
+ + =
=
x y z
xyz
s2
=
s3
36
=1⇔
s3
s3 = 36
Damit erhält man aus der 3. Gleichung s3 = 36.
Die Lösungen des Gleichungssystems sind nun die Permutationen der Lösungen der Gleichung
t3 − 11t2 + 36t − 36 = 0. Durch probieren findet man die Lösung t1 = 2. Nach Abdividieren dieser
Lösung und lösen der Quadratischen Gleichung erhält man als andere Lösungen t2 = 3 und t3 = 6.
Die Lösungen der Gleichungssystems sind somit L = {(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2)}.
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