Übungsblatt zu Äquivalenzumformungen

Übungsblatt zu Äquivalenzumformungen
Blatt 1 von 3
Vorübung: Vereinfachen/Zusammenfassen von Termen
Beispiel 1.
3x + 1 + x 2 + x + 3 + 2x + x 2
=
2x 2 + 6x + 4
Zahlen ohne x, x, x2, x3, usw. sind bezüglich + und − verschiedene Dinge.
Aufgabe 1. Fasse zusammen wie in Beispiel 1. Du darfst zeichnen.
a)
2x + 2 + x 2 + 5 + 4x + 1 + 2x 2
b) 3x 2 + 2 + 4x + 2x 2 + 3 + x
Beispiel 2. „Minus“ heißt „wegnehmen“ oder „wegstreichen“:
a)
b) Negative Zahlen sind möglich:
12x + 5 − 3x − 4 − x − 3 = 8 x − 2
7 x − 3 x = 4x
Aufgabe 2. Fasse zusammen.
a)
3x + 5 − 2x + 9 + x − 6
b) 11x − 5 + x + 6 − 12x
c)
3 + 8 x − 6 − 9x + 4
d) −6x + 12 − 8 x + 2
Beispiel 3. Eine Klammer ist ein Korb, auf dem drauf steht, was drin ist.
a)
1( 2x + 3 )
=
2x + 3
b)
2 ( 2x + 3 )
=
4x + 6
Rechenregel: Nimm alles in der Klammer mit dem Faktor davor mal.
Aufgabe 3. Vereinfache. Du darfst zeichnen.
a)
3 ( 4x + 1)
b) 2x + 4 ( x + 3 )
c)
2 ( 2x − 5 )
d) x + 3 − 1( 2x + 2 )
Lösungen (es bleibt etwas übrig!): 5x 2 + 5x + 5 , −1x + 1 , 12x + 3 , 2x + 8 , 6x + 12 ,
3x 2 + 6x + 8 , 2x 2 + 2x − 4 , 4x − 10 , 0x + 1 , −14x + 14 , −1x + 1 , −8 x − 3
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Blatt 2 von 3
Lösen einer Gleichung…
Bei einer Gleichung muss links und rechts vom =-Zeichen (nach Einsetzen und Ausrechnen) das
Gleiche stehen, so wie eine Waage im Gleichgewicht ist, wenn die linke und rechte Waagschale
gleich schwer beladen sind.
…durch Raten und Probieren
Beispiel 1.
Im Waage-Modell:
„Wie schwer ist ein
Als Gleichung:
?“
„Welche Zahl muss für x eingesetzt
werden, damit die Gleichung richtig ist?“
2x + 3 = 7 .
Jeder normale Mensch räumt die Waage ab
und wiegt ein :
Wir probieren und setzen einfach Zahlen
für x ein:
x=0:
2⋅0+ 3 =7
falsch
x = 1:
2 ⋅ 1+ 3 = 7
falsch
x = 2:
2 ⋅ 2 + 3 = 7 richtig
also x = 2 .
Aufgabe 1. Löse die Aufgaben durch Probieren. X ist eine ganze Zahl von 1 bis 10.
a) 6 − x = 2
d) 9x − 81 = 27 : x − 3
b) 2x = 12
e)
2x + 5 = 40 − 3 ⋅ 2x
f)
3 ( x − 3 ) = 2x − 2
c)
3x + 2 = x + 6
Aufgabe 2. Löse die Aufgaben durch Probieren. Jede Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen
im Bereich von 1 bis 10.
a)
x 2 − 6x = 7 x − 42
b) x 2 + x ( x − 26 ) = −80
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Blatt 3 von 3
…methodisch
Das Waage-Modell dient jetzt nur noch der Veranschaulichung, was mathematisch geschieht.
Beispiel 1. Wir räumen die Waage Schritt für Schritt ab, wobei sie im Gleichgewicht bleibt:
2x + 3
=
7
−3
Regel: Bei einer Gleichung darf auf beiden
Seiten immer das Gleiche addiert oder
subtrahiert werden.
hier: „ − 3 “
2x
=
4
:2
Regel: Beide Seiten einer Gleichung dürfen
immer mit der selben Zahl multipliziert oder
durch die selbe Zahl (nicht Null) dividiert
werden.
hier: „ : 2 “
x
=
2
Aufgabe 1. Schreibe die Gleichung zu der Waage auf und löse sie wie im Beispiel. Du darfst die
Waagen für die Zwischenschritte zeichnen. Die Lösungen sind kleine ganze Zahlen.
b)
a)
Aufgabe 2. Löse die Gleichungen. Überprüfe Dein Ergebnis durch Einsetzen.
a)
2x + 5 = 15
b) 4x = 3x + 4
c)
d) 4 ( x + 1) = 12
e)
x + 2 = 2 ( x − 1)
3x + 2 = x + 8
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