Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Doz.Dr. Norbert Koksch
TU DRESDEN
Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis
Übungsaufgaben LAAG I
für Lehramtsstudenten GS, MS, BS
Logik:
Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage im Sinne der Logik handelt:
a) „Wenn die Erde eine Scheibe ist, geht die Sonne im Osten auf.“
b) „a2 + b2 = c2 “
c) „Die Elbe ist länger als der Rhein.“
d) „Martin ist krank.“
Übungsaufgabe 2. Stellen Sie die Wahrheitswertetafeln für die Konjunktion und Implikation
auf.
Übungsaufgabe 3. Wieviele verschiedene Wahrheitswertetafeln gibt es für die Verknüpfung
von zwei Aussagen? Wieviele Arten logischer Verknüpfungen von zwei Aussagen gibt es
daher?
Übungsaufgabe 4. Schreibe A ⇒ B und ¬(A ⇒ B) nur mit Hilfe von ¬, ∨, und ∧.
Übungsaufgabe 5. Seien A, B, C mathematische Aussagen, für die A ⇒ B und B ⇒ C gelten.
Welche der folgenden Implikationen sind richtig:
A ⇒C,
B ⇒ A,
C ⇒ B,
C ⇒ A,
¬A ⇒ ¬B ,
¬B ⇒ ¬A ,
¬C ⇒ ¬A ,
¬A ⇒ ¬C .
Mengen:
Übungsaufgabe 6. Zeigen Sie folgende Rechenregeln für Mengen:
a) X ∩Y = Y ∩ X, X ∪Y = Y ∪Y .
b) X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩Y ) ∩ Z, X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪Y ) ∪ Z.
c) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩Y ) ∪ (X ∩ Z), X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪Y ) ∩ (X ∪ Z).
d) X \ (M1 ∩ M2 ) = (X \ M1 ) ∪ (X \ M2 ), X \ (M1 ∪ M2 ) = (X \ M1 ) ∩ (X \ M2 ).
1
Übungsaufgabe 7. Seien X, Y Mengen mit folgender Eigenschaft:
∀x ∈ X : x 6∈ Y .
Folgt daraus Y 6= X?
Übungsaufgabe 8. Prüfen Sie, ob folgende Aussage gilt:
X \Y = 0/ ⇔ X = Y .
Relationen:
Übungsaufgabe 9. Bestimmen Sie das Produkt A × B sowie die Potenzmengen 2A , 2B für
A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}.
Übungsaufgabe 10. Skizzieren Sie das Produkt A × B im kartesischen Koordinatensystem für
A = [−1, 1] ∪ {2}, B = [3, 5] ∪ {2, 6}.
Übungsaufgabe 11. Finden Sie Beispiele für Relationen auf X = {1, 2, 3}, welche
a) reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv
b) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv
c) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch
d) weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv sind.
Äquivalenzrelationen:
Übungsaufgabe 12. Prüfen Sie, welche der folgenden Vorschriften Äquivalenzrelationen auf
N definieren:
x ∼ y :⇔ x, y gerade.
x ∼ y :⇔ x − y gerade.
x ∼ y :⇔ x + y gerade.
x ∼ y :⇔ x − y ungerade.
x ∼ y :⇔ x + y ungerade.
Übungsaufgabe 13. Zeigen Sie, daß folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind:
a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.
b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.
Übungsaufgabe 14. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Prüfen Sie folgende Aussagen:
a) Für alle x1 , x2 , x3 ∈ X gilt: Wenn weder x1 ∼ x2 noch x2 ∼ x3 gilt, so gilt auch nicht x1 ∼ x3 .
b) Für alle x1 , x2 , x3 ∈ X gilt: Wenn weder x1 ∼ x2 noch x2 ∼ x3 gilt, so gilt jedenfalls x1 ∼ x3 .
2
Abbildungen:
Übungsaufgabe 15. Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Abbildung, welche surjektiv, welche injektiv? Machen Sie sich jeweils klar, welche Mengen Sie als Definitions- und
Bildbereich wählen:
a) Mensch → Freundin.
b) Mensch → Vater.
c) Mensch → Telefonnummer.
d) Mensch → Lieblingsessen.
Übungsaufgabe 16. Welche der folgenden Abbildungen f : R → R sind surjektiv bzw. injektiv?
a) f (x) = x3
b) ax2 + bx + c mit a 6= 0
c) |x|
Übungsaufgabe 17. Welche der folgenden Abbildungen f : R2 → R sind surjektiv bzw. injektiv?
a) f (x, y) = x + y
b) f (x, y) = x2 + y2 + 1
c) .
Übungsaufgabe 18. Prüfen Sie, ob eine Abbildung f : X → Y genau dann injektiv ist, wenn
a) aus x, x0 ∈ X und x 6= x0 folgt f (x) 6= f (x0 );
b) zu jedem y ∈ Y gibt es höchstens ein x ∈ X mit y = f (x);
c) zu jedem x ∈ X gibt es genau ein y ∈ Y mit y = f (x);
d) sind x, x0 ∈ X mit f (x) = f (x0 ), so gilt x = x0 .
Übungsaufgabe 19. Seien f : X → Y , g : Y → Z Abbildungen und g ◦ f : X → Z die Komposition von f und g. Zeigen Sie:
a) Sind f und g injektiv (surjektiv), so ist g ◦ f injektiv (surjektiv).
b) Ist g ◦ f injektiv (surjektiv), so ist auch f injektiv (g surjektiv).
Anzahl, Mächtigkeit:
Übungsaufgabe 20. Prüfen Sie, ob folgende Aussagen gelten:
#(X ∪Y ) = #X + #Y für alle endlichen Mengen X, Y .
X ∪Y endlich ⇒ X, Y endlich.
X ∩Y endlich ⇒ X, Y endlich.
3
Matrizen:
Übungsaufgabe 21. Gegeben seien die Matrizen




1 −1 2
−1 0 1
0
5  , B =  0 1 0 −1 ,
A = 0 3
1 8 −7
1 0 −1 0


1 4
D = −1 2 0 8 , F = 0 5 .
6 8


1
0

C=
8
−7
Berechnen Sie alle möglichen Produkte.
Übungsaufgabe 22. Eine quadratische Matrix, in deren Zeilen und Spalten jeweils genau eine
1 und sonst auschließlich Nullen stehen, heißt Permutationsmatrix. Zum Beispiel ist


1 0 0
P = 0 0 1
0 1 0
eine Permutationsmatrix. Berechnen Sie mit der Matrix A aus der Aufgabe 21 die Produkte
PA und AP.
Übungsaufgabe 23. Eine untere Dreicksmatrix (oder Subdiagonalmatrix) L (wie lower) ist
eine quadratische Matrix bei der alle Elemente oberhalb der Diagonalen 0 sind, d.h., Li j = 0
für j > i. Anolog ist eine obere Dreicksmatrix (oder Superdiagonalmatrix) U (wie upper)
definiiert.
Lösen Sie das folgende gestaffelte Gleichungssystem

  

1 6 −1
x1
3
0 −16 5  x2  = −10 ,
0 0
29
x3
−58
bei der die Systemmatrix eine obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen ist.
Übungsaufgabe 24. a) Bilden Sie zu dem Gleichungssystem aus Aufgabe 23 das zugehörige
homogene System und lösen Sie dieses.
b) Berechnen Sie alle Lösungen des homogenen Systems
 
x1
1 6 −1  
0
x2 =
.
0
0 16 5
x3
c) Berechnen Sie alle Lösungen des inhomogenen Systems
 
x1
1 6 −1  
3
x2 =
.
0 10 5
−10
x3
Hinweis: Führen Sie für eine Unbekannte einen Parameter ein.
4
Gauß-Algorithmus:
Übungsaufgabe 25. Lösen Sie folgende homogene Gleichungssysteme:
a)
x1 −x2 +3x3 = 0
2x1 +3x2 −x3 = 0
3x1 +7x2 −5x3 = 0
b)
x1 +3x2 +2x3 = 0
2x1 −2x2 +5x3 = 0
−3x1 +3x2 −2x3 = 0
c)
x1
x1
x1
x2
+2x2
+3x2
+4x2
+2x3
+3x3
+4x3
+5x3
+3x4
+4x4
+5x4
+6x4
=
=
=
=
0
0
0
0
Übungsaufgabe 26. Für welche reellen Werte λ hat das folgende homogene Gleichungssystem nichtriviale Lösungen? Ermitteln Sie diese Lösungen.

   
λ 1 −1
x1
0
1 λ 2  x2  = 0
1 2 −λ
x3
0
Hinweis: Man transformiere zuerst das System durch eine geeignete Zeilenvertauschung in
eine für den Gauß-Algorithmus günstigere Form.
Übungsaufgabe 27. Lösen Sie die folgenden inhomogenen Gleichungssysteme:
a)

   
1 6 −1
x1
3
3 2 2  x2  = −1
4 1 5
x3
−6
b)
−6x1 +6x2 +2x3 −2x4
−9x1 +8x2 +3x3 −2x4
−3x1 +2x2 +x3
−15x1 +14x2 +5x3 −4x4
=
=
=
=
2
3
1
5
c)

   
1 −1 2 −3
x1
7




4 0
3
1  x2   9 


=
11 −5 1
0  x3   2 
3 −1 −1 2
x4
−2
5
d)
 
x1

1 −1 6
8 
2
x2  =
.
−3 2 −7 −2 x3 
−10
x4
Übungsaufgabe 28. Geben Sie die Lösung der folgenen parameterabhängigen Gleichungssysteme an. Beachten Sie dazu nötige Fallunterscheidungen.
a)


  
12t
2 4 2
x1
2 12 7 x2  = 12t + 7 ,
7t + 8
x3
1 10 6
t ∈R
b)
   
−4
1 −2 3
x1
2 1 1 x2  =  2  ,
x3
−b
1 a 2

a, b ∈ R .
Übungsaufgabe 29. Durch den Gauß-Algorithmus wird eine quadratische Koeffizientmatrix
A ∈ Rn×n in eine Matrix U in Zeilstufenform transformiert. Zeigen Sie zuerst, daß U eine
obere Dreicksmatrix ist.
Die Transformation zur Zeilenstufenform kann auch durch wiederholte Multiplikation mit
unteren Dreiecksmatrizen L(i) durchgeführt werden,
Ax = b
(L
(1)
A)x = L(1) b
..
.
(L(n−1) L(n−2) · · · L(2) L(1) A)x = Ux = b̂ = L(n−1) L(n−2) · · · L(2) L(1) b .
Zeigen Sie, daß für a11 6= 0 und
1
0 0 ···
− a21 1 0 · · ·
 aa11
 31
(1)
L = − a11 0 1 · · ·
 ..
.. .. ..
 .
. . .
an1
− a11 0 0 · · ·

0
0
0
..
.

0
0

0

.. 
.
0 1
der erste Schritt in der Transformation zur Zeilenstufenform durchgeführt wird. Wie sind die
weiteren Transformationsmatrizen L(i) zu wählen?
Transformieren Sie das inhomogene System aus Aufgabe 27 a) nach dieser Methode.
6
Übungsaufgabe 30. Sei A ∈ R2×2 eine gegebene Matrix. Durch y = Ax wird einem Vektor
x ∈ R2 ein Vektor y ∈ R2 zugeordnet. Diese Abbildung x 7→ f (x) := Ax ist eine spezielle
lineare Abbildung und enthält als Spezialfälle die geometrische Drehstreckung in der Ebene.
Wir betrachten nun eine weitere Matrix B ∈ R2×2 und die mit ihr verbundene Abbildung
x 7→ g(x) := Bx.
Welche Bedingungen sind an A zu stellen, damit eine Matrix B so existiert, daß g Umkehrabbildung zu f wird? Anders formuliert, unter welchen Bedingungen an A existiert eine Matrix
B mit
x = g( f (x)) = BAx ?
4 1
4 1
a) Untersuchen Sie die Matrizen A1 =
und A2 =
und berechnen Sie
20 5
20 −5
gegebenfalls die Matrix B in der Umkehrabbildung.
b) Unter welcher Bedingung an A existiert für jedes y ∈ R2 genau ein x ∈ R2 mit y = Ax?
Welche Eigenschaft der Abbildung f wird hierbei gefordert?
Gruppen:
Übungsaufgabe 31. Untersuchen Sie, warum die Menge der n × n-Matrizen, n > 1, über R
keine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation bildet.
Übungsaufgabe 32. Für eine gegebene n × n-Matrix A suchen wir eine n × n-Matrix B mit
AB = E, das heißt eine zu A inverse Matrix B. Um diese Matrix B zu bestimmen, versuchen
wir die Gleichungssysteme Ax = ei mit i = 1, . . . n zu lösen. Man bemerke dabei daß ei die i-te
Spalte von E ist, und daß die Lösung von Ax = ei die i-te Spalte von B ergibt.
a) Mit dem Gauß-Algorithmus überlege man sich, wann die inverse Matrix existiert und ob
sie eindeutig bestimmt ist.
b) Bei obiger Idee wird der Gauß-Algorithmus n-mal durchgeführt, d.h., für jede der rechten
Seiten ei ein Mal. Kann man die Transformation für alle rechten Seiten e1 , . . . , en mit einem
geeigneten Schema simultan durchführen?




1 6 −1
1
3
2
5
3  bzw. B = 3 2 2 .
c) Bestimmen Sie die inverse Matrix für A =  2
−3 −8 −4
4 1 51
16
Übungsaufgabe 33. Bestimmen Sie die maximale Teilmenge G der n × n-Matrizen über R,
so daß G mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet und zeigen Sie die Gruppeneigenschaften.
Übungsaufgabe 34. Sei (G, ◦) eine Gruppe mit a ◦ a = n für alle a ∈ G. Zeigen Sie, daß die
Gruppe abelsch ist.
Übungsaufgabe 35. Zeigen Sie, daß alle Gruppen (G, ◦) mit maximal 4 Elementen abelsch
sind. Vieviele Möglichkeiten gibt es hierbei für die Operation ◦ bei Gruppen mit maximal 3
Elementen?
7
Körper:
Übungsaufgabe 36. Gibt es einen Körper (K, +, ·), bei dem K einelementig ist?
Übungsaufgabe 37. Wieviele Körper (K, +, ·) mit K = {0, 1} und 0 als neutralem Element
bezüglich Addition und 1 als neutralem Element bezüglich Multiplikation gibt es? Stellen Sie
eine geeignete Behauptung über die Eigenschaften aller zweielementiger Körper auf.
Übungsaufgabe 38. Sei K = {0, 1, 2} eine dreielementige Menge. Auf welche Arten können
eine Addition + (mit neutralen Element 0) und eine Multiplikation · (mit neutralen Element 1)
definiert werden, so daß (K, +, ·) einen Körper bildet? Stellen Sie eine geeignete Behauptung
über die Eigenschaften aller dreielementiger Körper auf.
Komplexe Zahlen:
Übungsaufgabe 39. Zeigen Sie, daß (C, +, ·) ein Körper mit dem neutrale Element 0 = (0, 0)
bezüglich Addition und dem neutralen Element 1 = (1, 0) bezüglich Multiplikation ist. Bestimmen Sie dazu insbesondere die inversen Elemente bezüglich Addition und Multiplikation.
Übungsaufgabe 40. Für eine komplexe Zahl z = (x, y) = x + iy nennen p
wir die Zahl z :=
√
(x, −y) = x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Mit |z| := zz = x2 + y2 wird ihr
Betrag bezeichnet.
a) Veranschaulichen Sie sich durch Interpretation komplexer Zahlen als Punkte in der Ebene
R2 (Gaußsche Zahlenebene), was Betrag und konjugiert Komplexes und Summe von komplexen Zahlen bedeuten.
√
b) Bestimmen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , z1 z2 , zz12 , z2 , z2 z1 , | zz12 | für z1 = 1 + i 3, z2 = 1 − i.
Übungsaufgabe 41. Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil sowie den Betrag der komple2
1+i
1
xen Zahlen z1 = 1+i
, z2 = 1+i
1−i , z3 = i + 3+i .
Übungsaufgabe 42. Welche Punkte z = (x, y) in der Gaußschen Zahlenebene erfüllen folgende Bedingung:
a) |z + 2 − i| ≥ 2;
b) zz =1, z 6= 0.
Lineare Gleichungssysteme in anderen Körpern:
Übungsaufgabe 43. Überlegen Sie sich, warum der Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer
Lösung x ∈ Kn des Gleichungssystems Ax = b mit A ∈ Mat(m × n, K) und b ∈ Km angewandt
werden kann.
8
Übungsaufgabe 44. Lösen Sie
ix1
+3x2 +(2 + i)x3 −(7 + i)x4 = 0
9x1 +(4 − i)x2
+5ix3
+8x4 = 0
in C.
Übungsaufgabe 45. Für A =
1 1
0 1
∈ Mat(2 × 2, K) bestimme man die inverse Matrix
A−1 = B ∈ Mat(2 × 2, K) für
a) den Körper K = R,
a) den Körper K = {0, 1} mit 0 bzw. 1 als neutrale Elemente bezüglich Addition bzw. Multiplikation.
Vektorräume
Im Folgenden bezeichnet Abb(X,Y ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y .
Übungsaufgabe 46. Sei X eine nichtleere Menge, V ein K-Vektorraum. Seien durch
( f + g)(x) := f (x) + g(x) ,
(λ · f )(x) := λ · f (x) für f , g ∈ Abb(X,V ), x ∈ X, λ ∈ K
eine Addition und Multiplikation mit Skalar in Abb(X,V ) definiert. Zeigen Sie, daß Abb(X,V )
damit ein Vektorraum ist.
Übungsaufgabe 47. Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen
Vektorräume V ?
a) {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 = x2 = 2x3 } in V = R3 ,
b) {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x12 = x24 = 0} in V = R2 ,
c) {(µ + λ, λ2 ) ∈ R2 : µ, λ ∈ R} in V = R2 ,
d) { f ∈ Abb(R, R) : f (x) = f (−x) für alle x ∈ R} in V = Abb(R, R),
e) {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 ≥ x2 } in V = R3 ,
f) {A ∈ Mat(m × n, R) : A ist in Zeilenstufenform} in V = Mat(m × n, R),
Übungsaufgabe 48. Seien V und W zwei K-Vektorräume. Zeigen Sie, daß das direkte Produkt V ×W durch die Verknüpfungen
(v.w) + (v0 , w0 ) := (v + v0 , w + w0 ) ,
λ · (v, w) := (λv, λw)
ebenfalls zu einem K-Vektorraum wird.
9
Übungsaufgabe 49. Sei T > 0. Eine Abbildung f : R → R heißt T -periodisch, falls f (x) =
f (x + T ) für alle x ∈ R.
a) Zeigen Sie, daß { f ∈ Abb(R, R) : f ist T -periodisch} ein Untervektorraum von Abb(R, R)
ist.
b) Zeigen Sie daß lin{ f ∈ Abb(R, R) : f (x) = sin nx oder f (x) = cos nx für x ∈ R, n ∈ N} ein
ein Untervektorraum von Abb(R, R) ist.
Übungsaufgabe 50. Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig?
√ √
a) 1, 2, 3 im Q-Vektorraum R,
b) (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) im R3 .
Übungsaufgabe 51. Für welche t ∈ R sind die folgenden Vektoren aus R3 linear abhängig?
(1, 3, 4) ,
(3,t, 11) ,
(−1, −4, 0) .
Übungsaufgabe 52. Stellen Sie den Vektor w jeweils als Linearkombination der Vektoren v1 ,
v2 , v3 dar.
a) w = (6, 2, 1), v1 = (1, 0, 1), v2 = (7, 3, 1), v3 = (2, 5, 8),
b) w = (2, 1, 1), v1 = (1, 5, 1), v2 = (0, 9, 1), v3 = (3, −3, 1).
Übungsaufgabe 53. Gegeben seien im R3 die Vektoren a1 = (1, 0, 0), a2 = (0, 1, 0), a3 =
(1, −1, 0), a4 = (1, 0, −1). Bestimmen Sie lin(a1 , a2 , a3 ) und lin(a1 , a2 , a4 ).
Übungsaufgabe 54. Wir betrachten die Spaltenvektoren der Matrix A aus dem Gleichungssystem aus Aufgabe 28 b).
a) Untersuchen Sie, ob diese Vektoren linear unabhängig sind.
b) Welche Eigenschaft muß der Vektor b im Gleichungssystem Ax = b haben, damit dieses
System lösbar ist?
Übungsaufgabe 55. Wir betrachten ein Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ Rm×n , b ∈ Rm \
{0}. Formulieren Sie mit Hilfe der Begriffe Linearkombination oder lineare Hülle ein Kriterium für die Lösbarkeit des Gleichungssystems.
Basis und Dimension
Übungsaufgabe 56. Gegeben seien im R5 die Vektoren v1 = (4, 1, 1, 0−2), v2 = (0, 1, 4, −1, 2),
v3 = (4, 3, 9, −2, 2), v4 = (1, 1, 1, 1, 1), v5 = (0, −2, −8, 2, −4).
a) Bestimmen Sie V = lin(v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ).
b) Bestimmen Sie eine Basis in V .
10
Übungsaufgabe 57. Geben Sie für die folgenden R-Vektoräume jeweils eine Basis an:
a) {(x1, , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 = x3 },
b) {(x1, , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 3x2 + 2x4 = 0 , 2x1 + x2 + x3 = 0},
c) { f ∈ Abb(R, R) : f (x) = 0 bis auf endlich viele x ∈ R}.
Übungsaufgabe 58. Zeigen Sie, daß C endlich erzeugt ist über R, aber R nicht endlich erzeugt
ist über Q.
Übungsaufgabe 59. Ist (vi )i∈I eine Basis von V und (w j ) j∈J eine Basis von W , so ist
((vi , 0))i∈I ∪ ((0, w j )) j∈J
eine Basis von V ×W . Insbesondere gilt
dim(V ×W ) = dimV + dimW ,
falls dimV < ∞, dimW < ∞ .
Übungsaufgabe 60. Sei V ein reeller Vektorraum und a, b, c, d, e ∈ V . Zeigen Sie, daß die
folgenden Vektoren linear abhängig sind:
v1 = a + b + c , v2 = 2a + 2b + 2c − d , v3 = a − b − e ,
v4 = 5a + 6b − c + d + e , v5 = a − c + 3e , v6 = a + b + d + e .
Lineare Abbildungen
Übungsaufgabe 61. Wir betrachten V = R2 mit der Standardbasis ε = (e1 , e2 ), e1 = (1, 0),
e2 = (0, 1). Seien a1 = (4, 20) und a2 = (1, −5).
a) Zeigen Sie, daß es genau eine lineare Abbildung L : V → V gibt, welche ei auf ai für i = 1, 2
abbildet. Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix Lε,ε an.
b) Zeigen Sie, daß L invertierbar ist und geben die Abbildungsmatrix der inversen Abbildung
bezüglich der Standardbasis an.
Übungsaufgabe 62. Gibt es eine lineare Abbildung L : R2 → R2 mit
L(2, 0) = (0, 1) ,
L(1, 1) = (5, 2) ,
L(1, 2) = (2, 3) ?
Übungsaufgabe 63. Gibt es eine lineare Abbildung L : R3 → R2 mit
L(2, 0, 1) = (0, 1) ,
L(1, 1, 1) = (5, 2) ,
L(1, −1, 0) = (2, 1) ?
Übungsaufgabe 64. Wir betrachten V = R3 mit der Standardbasis ε = (e1 , e2 , e3 ) und die
beiden Vektoren x1 = (2, −1, 3) und x2 = (3, 7, 0).
a) Finden Sie eine lineare Abbildung L : V → V mit x1 , x2 ∈ ker(L). Ist L eindeutig bestimmt?
Was können Sie über den Rang von L aussagen?
b) Es sei nun zusätzlich noch gefordert, daß L den Vektor x3 = (0, 0, 1) auf (3, 4, 1) abbilden
soll. Zeigen Sie, daß eine solche Abbildung L existiert und eindeutig bestimmt ist. Was
können Sie über den Rang von L aussagen? Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix Lε,ϕ von
L, wobei sie dazu im Urbildraum eine naheliegende Basis ϕ anstelle von ε wählen sollten.
Welchen Rang hat Lε,ϕ ? Sind Lε,ϕ und L invertierbar?
11
Übungsaufgabe 65. Sei V ein Vektorrraum. Eine lineare Abbildung P : V → V heißt Projektion, wenn P ◦ P = P.
Wir betrachten V = R3 und P : V → V mit P(x) = M · x mit


1 a 0
M = 0 b 0 
0 c 1
für x ∈ R3 , wobei a, b, c ∈ R.
a) Für welche a, b, c ist P eine Projektion? Bestimmen Sie rg(P), ker(P) und im(P). Ist P
invertiertbar?
b) Untersuchen Sie für obige P anhand von rg(P), ob P(a1 ) k P(a2 ) für a1 = (2, −1, 3) und
a2 = (3, 7, 0) möglich ist.
Übungsaufgabe 66. Sei ϕ = (sin, cos, sin · cos, sin2 , cos2 ) und V = lin(ϕ) ⊂ Abb(R, R). Wir
betrachten die Abbildung D : V → V mit D( f ) = f 0 für f ∈ V , wobei f 0 die Ableitung der
Funktion f bezeichnet.
a) Zeigen Sie, daß ϕ eine Basis von V ist.
b) Zeigen Sie, daß D eine lineare Abbildung ist.
c) Bestimmen Sie die zu D gehörende Abbildungsmatrix Dϕ,ϕ .
d) Bestimmen Sie ker(D) und im(D).
Übungsaufgabe 67. Für n ∈ N≥1 betrachten wir den R-Vektorraum Pn der Polynome p : R →
R vom Grade kleiner gleich n. Es seien pi : R → R, i = 0, . . . , n, gegeben durch pi (x) = xi für
x ∈ R. Damit ist ϕ = (p0 , . . . , pn ) eine Basis von Pn und ψ = (p0 , . . . , pn−1 ) eine Basis von
Pn−1 . Wir betrachten D : Pn → Pn−1 mit D(p) = p0 mit p0 als der Ableitung von p ∈ Pn .
a) Welche Dimension hat Pn ?
b) Zeigen Sie, daß D eine lineare, surjektive Abbildung ist. Ist D auch injektiv?
c) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix Dψ,ϕ zu D.
d) Zeigen Sie, daß es eine lineare Abbildung I : Pn−1 → Pn gibt mit D ◦ I = idPn und bestimmen
Sie Abbildungsmatrix Iϕ,ψ .
Übungsaufgabe 68. Wir betrachten den R-Vektorraum P3 der Polynome vom Grade kleiner
gleich 3 mit der Basis ϕ = (p0 , p1 , p2 , p3 ). Wir betrachten die Abbildungen
F : Pn → R ,
G : Pn → R3 ,
Z 1
F(p) =
p(t) dt
−1
G(p) = (p(−1), p(0), p(1)) .
a) Zeigen Sie, daß F und G lineare Abbildungen sind.
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b) Bestimmen Sie im(F), im(G) und dim(ker(F)). Finden Sie wenigstens einen 2-dimensionalen Untervektorraum von ker(F).
c) Seien ε und ε0 die kanonischen Basen von R und R3 . Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen Fε,ϕ und Gε0 ,ϕ .
d) Zeigen Sie ker(G) ⊂ ker(F).
e) Bestimmen Sie eine lineare Abbildung H : R3 → R mit H ◦ G = F.
Übungsaufgabe 69. Wir betrachten den R-Vektorraum P3 der Polynome p : R → R vom Grade kleiner gleich n. Es seien pi : R → R, i = 0, . . . , 3, gegeben durch p0 (x) = 1, p1 (x) = 1 + x,
p2 (x) = x2 − 1, p3 (x) = x3 + x für x ∈ R. Wir betrachten D : Pn → Pn−1 mit D(p) = p0 mit p0
als der Ableitung von p ∈ Pn .
a) Zeigen Sie, daß ϕ = (p0 , . . . , p3 ) eine Basis von P3 und ψ = (p0 , . . . , p2 ) eine Basis von P2
ist.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix Dψ,ϕ zu D.
Übungsaufgabe 70. Im R3 betrachten wir die durch den Richtungsvektor r = (0, 1, 1) gegebene Drehachse durch (0, 0, 0) und die Drehung Dr,ϕ um diese Achse um den Winkel ϕ.
Machen Sie dazu eine Skizze und zerlegen Sie die Drehung in eine Drehung um die e1 -Achse,
eine Drehung um die e2 -Achse und Rückdrehung um die e1 -Achse. Finden Sie damit die
r,ϕ
Abbildungsmatrix Dε,ε bezüglich der kanonischen Basis ε = (e1 , e2 , e3 ) .
Rang von Matrizen und linearen Abbildungen
Übungsaufgabe 71. Seien L : U → V und M : V → W lineare Abbildungen in den endlichdimensionalen K-Vektorräumen U, V , W .
a) Zeigen Sie
rg(M ◦ L) ≤ rg(L) .
Wann tritt Gleicheit auf? Finden Sie ein Beispiel, bei dem die strenge Ungleichung gilt.
b) Übertragen Sie obige Ungleichung auf entsprechende Matrizen.
Übungsaufgabe 72. Welchen Rang haben folgende Matrizen?

 


1 2 3 0
1
2
1 2 3
 4 5 6 0  7
2
 
4 5 6 , 
 7 8 9 0 ,  1 −1
7 8 9
10 11 12 0
−1 5

3 0
0 3

3 −8
3 8
Übungsaufgabe 73. Bestimmen Sie den Rang der n × n-Matrix


a b b ··· b
b a b · · · b


b b a · · · b
A=
,
 .. .. ..
.. 
. . .
.
b b b ··· a
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wobei a und b verschiedene reelle Zahlen sind.
Hinweis: Subtrahieren Sie zuerst die erste Zeile von allen anderen.
Übungsaufgabe 74. Sei A ∈ Kn×n . Zeigen Sie: Wenn rg(A) = n, dann hat Ax = b für jedes
b ∈ Kn genau eine Lösung.
Übungsaufgabe 75. (Minöl Ü3 3.2.23) Man bestimme den Rang rg(A) der Koeffizientenmatrix und den Rang rg(A|b) der erweiterten Koeffizientenmatrix für folgende Gleichungsysteme. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse entscheide man über die Lösbarkeit und die
Dimension des Lösungsraumes. Hinweis: Zur Kontrolle können die Gleichungssysteme auch
vollständig gelöst werden.
x1 +x2 +x3 = 2
2x1 −2x2 +2x3 = 0
3x1 +4x2 −x3 = 1
a) 3x1 +2x2 +x3 = 2 , b) 5x1 −x2 +7x3 = 2 , c) x1 −x2 +x3 = 0
2x1 +3x2 +4x3 = 3
3x1 −x2 +4x3 = 0
5x1
2x2 +x3 = 2
x1 +x2
x1
+x4
d)
x1
+x3 +x4
2x1
+x3 −x4
3x1 +2x2
−x4
4x2 2x3 −3x4
e)
x1 −5x2 −x3 +3x4
2x1
−x4
=3
=5
,
=8
=1
=5
=3
=2
=1
Elementare Analytische Geometrie
Übungsaufgabe 76. (Minöl Ü3 2.1.10) Welche Vektoren a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 erfüllen die
Bedingungen |a| = 10, ](e1 , a) = ](e2 , a) = π3 ?
Übungsaufgabe 77. (Minöl Ü3 2.1.12) Gegeben seien die Vektoren
a = (1, −2, 1) ,
b = (1, 0, 1) ,
c = (1, 0, −1) .
Man berechne
a) |a|, |b|, |c|;
b) ha, bi, hb, ci, ha, ci;
c) a × c, b × c, h(a × b), ci;
d) a × (b × c), (a × b) × c;
e) [a, b, c].
Übungsaufgabe 78. (Minöl Ü3 2.1.4) Bestimme die Projektion ab von a auf b für
a) a, b ∈ R2 , a = (1, 4), b = (3, 1);
b) a, b ∈ R2 , a = −3e1 + 2e2 , b = 3e1 + e2 ;
c) a, b ∈ R3 , a = (2, 1, 3), b = (5, −1, 1);
d) a, b ∈ R3 , b = e1 .
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Übungsaufgabe 79. (Minöl Ü3 4.1.2) Man gebe eine Gleichung einer Geraden g im R3 in
Parameterdarstellung an, wenn jeweils gefordert wird:
a) g ist parallel zu e2 und geht durch (1, 2, 3);
b) g verläuft durch die Punkte (1, 2, 3) und (4, 5, 6).
Übungsaufgabe 80. (Minöl Ü3 4.1.10) Man bestimme eine parameterfreie Gleichung der
durch folgende Angaben jeweils festgelegten Ebene E:
a) In E liegen die Punkte A = (0, 0, 1), B = (1, −1, 0), C = (−2, 1, 1);
b) In E liegen die Punkte A = (1, 2, 3), B = (3, 2, 1) und E steht senkrecht auf der Ebene
4x1 − x2 + 2x3 = 7;
c) In E liegt der Punkt A = (1, −2, 1), der Vektor a = (1, −2, 1) steht senkrecht auf E;
d) In E liegt der Punkt A = (1, −1, 3) und E ist parallel zu 3x1 + x2 + x3 = 7.
Übungsaufgabe 81. (Minöl Ü3 4.1.11) Gesucht ist eine Gleichung der Ebene E in Parameterform:
a) E enthält den Punkt P = (1, −1, 2) und verläuft parallel zu a = (1, 3, 1) und b = (1, 4, 2);
b) In E liegen die Punkte A = (4, −2, 11), B = (2, 3, 4) und C = (6, 8, 10).
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