Übung 1 - Uni Kassel

Dr. Jürgen Senger
INDUKTIVE STATISTIK
Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
ÜBUNG 1 - LÖSUNGEN
1.
Zweimaliges Werfen eines Würfels mit Berücksichtigung der Reihenfolge
a.
Ergebnismenge (Ereignisraum)
Die Ergebnismenge ist die Menge aller Elementarereignisse eines Zufallsexperiments.
M = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
| M | = 36
(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
b.
Ereignisse
Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.
Die Menge aller Ereignisse wird als Ereignismenge bezeichnet.
A ist das Ereignis, beim zweimaligen Werfen des Würfels die Augensumme 8
zu würfeln:
A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
| A| = 5
2.Wurf
1.Wurf
1
Senger – Induktive Statistik
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
ÜBUNG 1 - LÖSUNGEN
2
B ist das Ereignis, beim zweimaligen Werfen des Würfels eine gerade Augensumme zu würfeln:
B = {(1,1), (1, 3), (1, 5)(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3,1), (3, 3), (3, 5),
| B | = 18
(4, 2), (4, 4), (4, 6), (5,1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
2.Wurf
1.Wurf
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
C ist das Ereignis, beim zweimaligen Werfen des Würfels ein Augenprodukt zu
würfeln, das größer als 20 ist:
|C | = 6
C = {(4, 6), (5, 5), (5, 6)(6, 4), (6, 5), (6, 6)}
2.Wurf
1.Wurf
1
Senger – Induktive Statistik
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
ÜBUNG 1 - LÖSUNGEN
c.
3
Zusammengesetzte Ereignisse
A∪ B = B
da A ⊂ B
B ∩ C = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)}
| B ∩C | = 4
A = M \ A = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
,
(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
, (3, 6),
| A | = 36 − 5
(4,1), (4, 2), (4, 3),
, (4, 5), (4, 6),
(5,1), (5, 2),
, (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6,1),
, (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
C = M \ C = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),
(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),
(6,1), (6, 2), (6, 3),
}
d.
A\ B = ∅
da A ⊂ B
A\C = A
da A ∩ C = ∅
| C | = 36 − 6
| A\C| =5
Wahrscheinlichkeiten
P ( A) =
5
36
P( B) =
P( A ∪ B) = P( B) =
P( B ∩ C ) =
1
2
4 1
=
36 9
31
36
5
= 1 − P (C ) =
P(C )
6
P( A \ B ) = P (∅) = 0
5
P ( A \ C ) = P ( A) =
36
P( A )
= 1 − P ( A) =
Senger – Induktive Statistik
18 1
=
36 2
P (C ) =
6 1
=
36 6
ÜBUNG 1 - LÖSUNGEN
2.
4
Dreimaliges Werfen einer Münze mit Berücksichtigung der Reihenfolge
a.
Ergebnismenge
M = { KKK , KKZ , KZK , ZKK , KZZ , ZKZ , ZZK , ZZZ }
b.
Ereignisse
A ist das Ereignis, beim dreimaligen Werfen einer Münze dreimal Zahl zu werfen:
A = {ZZZ }
B ist das Ereignis, beim dreimaligen Werfen einer Münze einmal Kopf und
zweimal Zahl zu werfen:
B = {KZZ , ZKZ , ZZK }
c.
Wahrscheinlichkeiten
| A| 1
=
|M | 8
|B| 3
P( B) =
=
|M | 8
P ( A) =
3.
Petersburger Spiel
Eine Münze wird solange geworfen bis erstmals das Ereignis "Zahl" eintritt.
a.
Ergebnismenge (Ereignisraum)
M = { Z , KZ , KKZ , KKKZ , KKKKZ , KKKKKZ , . . . }
Es handelt sich hier um eine Ergebnismenge mit abzählbar unendlich vielen
Elementarereignissen.
b.
Ereignisse
A ist das Ereignis, beim Werfen einer Münze vor dem 5. Versuch Zahl zu werfen, also beim 1., 2., 3. oder 4. Versuch:
A = { Z , KZ , KKZ , KKKZ }
B ist das Ereignis, beim Werfen einer Münze nach dem 3. Versuch Zahl zu
werfen, also beim 4., 5., 6. oder einem späteren Versuch:
B = { KKKZ , KKKKZ , KKKKKZ , . . . }
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ÜBUNG 1 - LÖSUNGEN
c.
5
Zusammengesetzte Ereignisse
Die Vereinigung ist das Ereignis, vor dem 5. oder nach dem 3. Versuch Zahl zu
werfen. Das ist das sichere Ereignis.
A ∪ B = { Z , KZ , KKZ , KKKZ } ∪ { KKKZ , KKKKZ , KKKKKZ , . . . } = M
Der Durchschnitt ist das Ereignis, vor dem 5. und nach dem 3. Versuch Zahl zu
werfen, also beim 4. Versuch.
A ∩ B = { Z , KZ , KKZ , KKKZ } ∩ { KKKZ , KKKKZ , KKKKKZ , . . . } = { KKKZ }
Das Komplementärereignis zum Ereignis A, vor dem 5. Versuch Zahl zu werfen, ist das Ereignis beim 5. oder einem weiteren Versuch Zahl zu werfen.
A = M \ A = { Z , KZ , KKZ , KKKZ , KKKKZ , . . . } \ { Z , KZ , KKZ , KKKZ }
= { KKKKZ , KKKKKZ . . . }
Das Komplementärereignis zum Ereignis B, nach dem 3. Versuch Zahl zu werfen, ist das Ereignis, beim 3. oder einem früheren Versuch Zahl zu werfen.
B = M \ B = { Z , KZ , KKZ , KKKZ , KKKKZ , . . . } \ { KKKZ , KKKKZ , . . . }
= { Z , KZ , KKZ }
Die Differenz A \ B ist das Ereignis, vor dem 5. und nicht nach dem 3. Versuch
Zahl zu werfen. Das ist das Ereignis, beim 1., 2. oder 3. Versuch Zahl zu werfen.
A \ B = { Z , KZ , KKZ , KKKZ } \ { KKKZ , KKKKZ , KKKKKZ , . . . }
= { Z , KZ , KKZ }
Die Differenz B \ A ist das Ereignis, nach dem 3. Versuch und nicht vor dem 5.
Versuch Zahl zu werfen. Das ist das Ereignis, beim 1., 2. oder 3. Versuch Zahl
zu werfen. Das ist das Ereignis, beim 5. oder einem weiteren Versuch Zahl zu
werfen.
B \ A = { KKKZ , KKKKZ , KKKKKZ , . . . } \ { Z , KZ , KKZ , KKKZ }
= { KKKKZ , KKKKKZ , . . . }
Senger – Induktive Statistik
ÜBUNG 1 - LÖSUNGEN
4.
6
Werfen einer idealen Münze
Unter der Annahme, daß es sich um eine regelmäßige (faire) Münze handelt, können wir das Zufallsexperiment "Werfen einer Münze" als Laplace-Experiment auffassen. Die Wahrscheinlichkeit können wir daher mit Hilfe des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs berechnen, ohne die Münze überhaupt zu werfen.
Wenn wir die Münze werfen, erwarten wir, daß die relative Häufigkeit des Ereignisses "Zahl" mit der Zahl der Versuche gegen die Wahrscheinlichkeit
P ( A) =
1
2
konvergiert.
5.
Werfen einer unregelmäßigen Münze
Wenn wir die Münze verbiegen, gibt es Grund zu der Annahme, daß die beiden Seiten, d.h. die Ereignisse "Kopf" und "Zahl" nicht gleichwahrscheinlich sind. Aufgrund theoretischer Überlegungen (a priori) können wir also keine Aussagen über
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Zahl" machen.
Vielmehr müssen wir nun die Münze werfen und die Wahrscheinlichkeit durch die
relative Häufigkeit bei einer größeren Zahl von Versuchen schätzen. Wir beobachten zunächst stärkere Schwankungen der relativen Häufigkeit, die mit der Zahl der
Versuche abnehmen.
Ist die Zahl der Versuch hinreichend groß, dann ist die relative Häufigkeit praktisch
konstant und gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Zahl".
P( A) ≈ hn ( A)
wenn n hinreichend groß
Wir verstehen daher unter der statistischen Wahrscheinlichkeit den Grenzwert der
relativen Häufigkeit des Ereignisses A, wenn die Zahl der Versuche n gegen unendlich geht:
P( A) = lim hn ( A)
n→∞
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