Lösungshinweise

Mathe II für Naturwissenschaften
06.04.17
Dr. Christine Zehrt
Hinweise und Ergebnisse zur Übung 6
Uni Basel
Besprechung der Lösungen: 10./11. bzw. 19.–21. April 2017 in den Übungsstunden
Lösungshinweise
Aufgabe 1
Analog zum Beispiel auf Seite 66. Die Nullhypothese H0 ist nun jedoch p ≤ 0, 02 und gesucht
ist die kleinste ganze Zahl x, so dass P5000 (k ≥ x) ≤ 0, 05 (bzw. ≤ 0, 01).
Aufgabe 2
Die Formel für das 95 %-Vertrauensintervall ist auf Seite 69 zu finden, wobei α = 5 %.
Aufgabe 3
Den t-Test für gepaarte Stichproben anwenden, vgl. das Beispiel auf Seite 70. Die Mittelwerte
µx , µy sind hier die durchschnittlichen Erträge der beiden Sorten.
Aufgabe 4
(a) Der Varianzenquotiententest ist auf den Seiten 72–73 beschrieben.
(b) t-Test für unabhängige Stichproben anwenden, vgl. Seiten 70–71.
Aufgabe 5
χ2 -Test anwenden, vgl. das Beispiel und das Allgemeine Vorgehen auf den Seiten 76–78. Am
einfachsten setzt man die gegebenen Zahlen in die Formel für die Testgrösse χ2 auf Seite 78
oben ein.
Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe)
“Mit Sicherheit” bedeutet ein 100 %-Vertrauensintervall.
Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe)
Testgrösse ist der Korrelationskoeffizient |rxy | (von Pearson) der 4 Wertepaare, wie im Beispiel
auf den Seiten 73–74.
Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe)
Analog zum Beispiel auf den Seiten 79–81. Man kann die quadratische Gleichung auf Seite 81
lösen oder die Formel (auch auf Seite 81) für grosse Stichproben verwenden.
Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe)
χ2 -Test anwenden wie im Beispiel für mehr als vier Felder auf den Seiten 78–79.
Ergebnisse
Aufgabe 1
H0 : p ≤ 0, 02, H1 : p > 0, 02 (einseitiger Test)
α = 5 % : H0 kann verworfen werden (120 liegt im Verwerfungsbereich {117, . . . , 5000})
α = 1 % : H0 muss beibehalten werden (der Verwerfungsbereich ist nun {124, . . . , 5000})
Für α = 5 % folgt aus P5000 (k ≥ x) ≤ 0, 05, dass P5000 (k < x) ≥ 0, 95. Mit Hilfe der Tabelle
von Seite 60 führt die Näherung mit der Normalverteilung auf x − 21 ≥ 1, 645 σ + µ = 116, 28
(die Grenzkorrektur 12 geht “gegen innen”, da es um die Näherung des Flächeninhalts des
“äusseren Bereichs” geht).
Analog für α = 1 %, wobei hier anstelle der Tabelle von Seite 60 die Tabelle der Normalverteilung benutzt werden muss.
(Da wir für den Verwerfungsbereich auf eine ganze Zahl runden müssen, ist in beiden Fällen
der Fehler α erster Art nicht exakt gleich 5 % bzw. 1 %. Das tatsächliche α ist im ersten Fall
gleich 4,75 %, im zweiten Fall gleich 0,89 %.)
Aufgabe 2
(a) [ 3, 4 − 2, 571 · 0, 1265 ; 3, 4 + 2, 571 · 0, 1265 ] = [ 3, 075 ; 3, 725 ]
(b) [ 3, 5 − 3, 182 · 0, 0913 ; 3, 5 + 3, 182 · 0, 0913 ] = [ 3, 209 ; 3, 791 ]
Aufgabe 3
11,6
t-Test für gepaarte Stichproben: Testgrösse t = |d−0|
SEd = 4,063 = 2, 871 > 2, 571 = tkrit
Die durchschnittlichen Erträge der beiden Sorten sind also nicht gleich.
(Man kann auch einseitig testen: µd ≥ 0 (H0 ) gegen µd < 0 (H1 ). Auch hier kann H0
verworfen werden, denn t = 2, 871 > 2, 015 = tkrit. Die Erträge der neuen Sorte sind
signifikant tiefer).
Aufgabe 4
(a) Testgrösse F =
1702
1502
= 1, 28 < 1, 81 = Fkrit
=⇒
σ1 = σ2
(b) Testgrösse (für unabhängige Stichproben) t = 2, 1499 > 2 > tkrit
Die Nullhypothese kann verworfen werden, es ist also µ1 6= µ2 . Die Kopierer produzieren
(mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit ≤ 5 %) unterschiedlich häufig einen Papierstau.
(Man kann auch einseitig testen: µ1 ≥ µ2 (H0 ) gegen µ1 < µ2 (H1 ). Auch hier kann
H0 verworfen werden, denn t = 2, 1499 > 1, 671 > tkrit . Die Kopierer von Hersteller 2
produzieren also weniger häufig einen Papierstau).
Aufgabe 5
Niveau 5 % : χ2 = 3, 926 > 3, 84 = χ2krit
Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit ≤ 5 % gibt es also einen Zusammenhang zwischen Augenfarbe und Haarfarbe. Blonde sind häufiger blauäugig als Dunkelhaarige.
Niveau 1 % : χ2 = 3, 926 < 6, 63 = χ2krit
Man kann nicht von einem Zusammenhang ausgehen. Blonde sind nicht hochsignifikant
häufiger blauäugig als Dunkelhaarige.
Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe)
Im Intervall (−∞, ∞)
Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe)
Testgrösse |rxy | = rxy = 0, 849 < 0, 950 = rkrit (rkrit ist der Tabellenwert für n = 4, α = 5 %)
Die Nullhypothese muss beibehalten werden. Man kann also nicht von einer Korrelation der
Wertepaare der Grundgesamtheit ausgehen. (Weil der Stichprobenumfang n = 4 so klein ist,
ist der kritische Tabellenwert rkrit sehr gross.)
Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe)
Wie auf den Seiten 80–81 beschrieben, sind die Intervallgrenzen für p die Lösungen der
quadratischen Gleichung (für n = 100, h = 0, 37)
1, 962 p(1 − p) = 100(0, 37 − p)2 .
Ausmultipliziert und umgeformt führt dies auf die quadratische Gleichung
ap2 + bp + c = 0
mit a = 100+1, 962 = 103, 8416; b = −200·0, 37−1, 962 = −77, 8416; c = 100·0, 372 = 13, 69.
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen findet man die Lösungen 0, 282 und
0, 468. Das gesuchte 95 %-Vertrauensintervall ist also [0, 282 ; 0, 468].
Mit Hilfe der Formel für grosse Stichproben (auf Seite 81) findet man das Intervall [0, 275 ; 0, 465].
Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe)
Mit den Randhäufigkeiten sieht die Tafel so aus:
gut
mangelhaft
Total
A
238
41
279
B
130
23
153
C
410
40
450
Total
778
104
882
Unter Annahme der Nullhypothese, dass alle Lieferanten gleich gut sind, erhalten wir die
folgenden Häufigkeiten:
gut
mangelhaft
Total
A
246,10
32,90
279
B
130134,96
18,04
153
C
396,94
53,06
450
Total
778
104
882
x = 246, 10 erhält man beispielsweise durch die Rechnung
P (A und gut) = P (A)P (gut) =
x
279 778
·
=
.
882 882
882
Die Zahl 32,90 darunter ergibt sich dann aus 279 − 246, 10 = 32, 90.
Nun berechnet man für jedes der sechs inneren Felder die Zahl
(gemessene Häufigkeit − erwartete Häufigkeit)2
erwartete Häufigkeit
Die Summe über diese sechs Zahlen ergibt die Testgrösse χ2 = 7, 452.
(Rundet man bei den erwarteten Häufigkeiten auf ganze Zahlen (wie in der Vorlesung für
vier Felder), dann erhält man χ2 = 7, 388.)
Nun ist χ2 = 7, 452 < 9, 21 = χ2krit (Freiheitsgrad 2).
Die Nullhypothese muss beibehalten werden. Die Lieferanten sind also alle gleich gut.