1 Differentialrechnung - me

1 Differentialrechnung
1.1 Ableitungen und Ableitungsregeln
Nützliche Ableitungen
1.
0
1
1
= − 2 = −x−2
x
x
√
1
( x)0 = √
2 x
2. Trigonometrische Funktionen:
[sin(x)]0 = cos(x)
[cos(x)]0 = − sin(x)
3.
f (x) = ex ⇒ f 0 (x) = ex
4. allgemeine Exponentialfunktion
f (x) = ax
Es gilt
f (x) = ex∗ln a
nach Logarithmengesetz. Mit Kettenregel folgt
f (x) = (ex )ln a
f 0 (x) = ln(a) ∗ (ex )ln(a)−1 ∗ ex
⇒ f 0 (x) = ax ln(a)
Potenzregel
(xn )0 = n ∗ xn−1
f (x) = x5 ; f 0 (x) = 5 ∗ x4
Merke: (x)0 = 1 ∗ x0 = 1
Faktorregel, Summenregel Bei einer Summe können wir die Teile einzeln ableiten.
Hat eine Potenz von x einen konstanten Vorfaktor, so bleibt dieser bei der Ableitung
bestehen. Konstante Terme, die addiert werden, fallen bei Ableitungen weg, da eine
Verschiebung der Funktion keinen Einfluss auf die Steigung der Funktion hat.
(cxn + xl + a)0 = c ∗ n ∗ xn−1 + l ∗ xl−1
f (x) = 5x3 + x2 + 12; f 0 (x) = 15x2 + 2x
1
Kettenregel Man betrachte eine Funktion als Verkettung von zwei Funktionen.
g(x) = u(v(x))
Beispiel:
g(x) = (1 + 3x)10
v(x) = 1 + 3x; u(v) = v 10
Man leitet g(x) folgendermaßen ab. Bilde die ersten Ableitungen von u und v; multipliziere dann die Ableitung der äußeren Funktion (u) mit der der inneren Funktion
(v).
u0 (v) = 10v 9 ; v 0 (x) = 3
g 0 (x) = 10(3x + 1)9 ∗ 3 = 30(3x + 1)9
Beispiele für die Kettenregel sind nicht nur hohe Polynome, sondern auch Funktionen
wie
f (x) = sin(2x + 3)
oder
h(x) =
p
3x2 + 4x + 1
Produktregel Mit der Produktregel lassen sich Produkte von Funktionen ableiten.
Dies ist an einem einfachen Beispiel gezeigt, was sich auch noch durch Ausmultiplizieren
und Anwenden der obigen Regeln lösen lässt. Die Anwendung der Produktregel erschwert
dieses Beispiel! Es sollte immer ein möglichst einfacher Weg gesucht werden: Wenn möglich, stets die Potenz- oder Kettenregel anwenden!(Bei f (x) = sin(x)(x + 18) ist dies
nicht möglich, hier muss zwingend die Produktregel verwendet werden!)
f (x) = u(x) ∗ v(x)
f 0 (x) = u0 (x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v 0 (x)
Kurz
f 0 = u0 v + uv 0
Beispiel
f (x) = (x3 + 17)(4x5 − 3)
f 0 (x) = 3x2 (4x5 − 3) + (x3 + 17)20x4 = 32x7 + 340x4 − 9x2
2
Quotientenregel Auch hier gilt: Wenn möglich eine Vereinfachung suchen und dann
mit der Potenz- oder Kettenregel ableiten.
1
Merke: g(x)
= g(x)−1 kann einfach abgeleitet werden!
f (x) =
f 0 (x) =
u(x)
v(x)
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
v 2 (x)
Kurz
u0 v − uv 0
v2
Ein möglichst einfaches Beispiel, was sich dennoch nicht so umformen lässt, um es mit
der Potenzregel abzuleiten (Hier fällt natürlich einiges weg, da u in diesem Fall 1 ist; die
Ableitung von 1 ist 0):
f 0 (x) =
f (x) =
f 0 (x) =
sin x
x+3
cos x ∗ (x + 3) − 1 ∗ sin x
(x + 3)2
Es empfiehlt sich, den Binom im Nenner stehen zu lassen. Dieser kann sich bei weiteren
Ableitungen leichter wegkürzen lassen.
Für das Beispiel
1
= (x + 3)−1
x+3
auf jeden Fall die Kettenregel anwenden!
3
1.2 Regeln von de l’Hospital
Die Regeln von de l’Hospital sind hilfreich bei folgender Problematik:
Bestimmung von Grenzwerten für gebrochene Funktionen mit nichtrationalen Anteilen.
Beispiel:
1 − cos x
lim
x→0
sin x
Folgend sind nun die vier Regeln aufgeführt:
1. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→a v(x)
x→a v (x)
lim
wobei u(a) = v(a) = 0 ist. Außerdem muss gelten:
u(x) und v(x) sind in einer gemeinsamen Umgebung von x0 = a differenzierbar
und limx→a u(x)
v(x) existiert.
2. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→∞ v (x)
x→+∞ v(x)
lim
wobei limx→∞ u(x) = limx→∞ v(x) = 0 ist und limx→∞
u0 (x)
v 0 (x)
3. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→a v(x)
x→a v (x)
lim
wobei limx→a v(x) = ∞ ist und limx→∞
u0 (x)
v 0 (x)
existiert.
4. Regel von de l’Hospital
u0 (x)
u(x)
= lim 0
x→∞ v (x)
x→+∞ v(x)
lim
wobei limx→∞ v(x) = ∞ gilt und limx→∞
u0 (x)
v 0 (x)
existiert.
1 − cos x
sin x
1 − cos x
sin x
lim
= lim
=0
x→0
x→0 cos x
sin x
lim
x→0
4
existiert.
1.3 Finden der Umkehrfunktion
Um die Umkehrfunktion f¯ zu einer Funktion f zu finden, gibt es zwei mögliche Wege.
1. Nach x auflösen, danach die Variablen x und y vertauschen
2. oder umgekehrt: Zuerst vertauschen und dann nach y auflösen.
Finde nun die Umkehrfunktion an einem Beispiel:
f (x) = ex
y = ex
Vertausche die Variablen
x = ey
ln x = y
f¯(x) = ln x
Merke: Es gibt Funktionen, die nur abschnittsweise umkehrbar sind, da zu einem y
mehrere x zugeordnet sind. Eine Funktion ist aber derart definiert, dass jedem x genau
ein y zugeordnet ist. Daher kann man zum Beispiel f (x) = x2 nur im 1. Quadranten und
im 2. Quadranten umkehren und nicht genau eine Umkehrfunktion für alle x angeben.
5
1.4 Partielle Ableitung und totales Differential
Bekannt ist die Ableitung einer Funktion mit einer Variablen. Die Ableitung wird hier
(x)
entweder durch f 0 oder durch den Differentialquotienten dfdx
dargestellt, wobei bei
dy
Funktionen mit y = f (x) dieser die Gestalt dx besitzt.
Partielle Ableitung Bei einer Funktion mit mehr als einer Variablen kann eine partielle
Ableitung nach einer Variablen gebildet werden. Hierbei werden alle anderen Variablen
als konstant angenommen. Das Zeichen für eine partielle Ableitung ist ∂
Die partielle Ableitung hat mehrere Schreibweisen, an einem Beispiel gezeigt:
f (x, y) = 3xy − y 2 x
Man schreibt nun
∂f
∂x
= 3y − y 2
y
für die partielle Ableitung der Funktion f nach der Variablen x. Das y im Index steht
dafür, dass y ebenfalls eine Variable der Funktion f ist, bei dieser partiellen Ableitung
aber als konstant angesehen wird. Hier gibt es jedoch mehrere Möglichkeiten. Man kann
auch schreiben
∂f (x, y)
= fx = 3y − y 2
∂x
y
Im Differenzenquotienten ist dies die ausführliche Schreibweise. fx ist eine Ersatzschreibweise für diesen Quotienten. Am einfachsten ist es jedoch, wenn man die Schreibweise
∂f
= 3y − y 2
∂x y
verwendet, da sie kurz ist und dennoch alle wichtigen Informationen enthält. Die oberen
Alternativen sind nur aufgeführt damit man sie kennt, falls man sie in Lehrbüchern
findet.
Die zweite partielle Ableitung hat nun folgende Symbole
∂f 2
∂x∂y
für die zweite Ableitung von f , wobei die erste Ableitung nach x und die zweite nach y
gebildet wurde bzw.
∂f 2
∂y∂x
für die zweite Ableitung von f , wobei die erste Ableitung nach y und die zweite nach x
gebildet wurde bzw.
Natürlich kann man auch zweimal nach der gleichen Variable ableiten, die Symbole
hierfür sind
∂f 2
∂f 2
bzw.
∂2x
∂2y
6
Totales Differential Das totale Differential ist die Summe aller partiellen Ableitungen.
Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich der reellen Zahlen, abhängig von n Variablen
f (x1 , x2 , x3 , ..., xn )
Dann ist das totale Differential von f
df =
n
X
∂f
dxi
∂dxi
i=1
also die Summe aller partiellen Ableitungen.
Beispiel
f (x, y, t) = xet − 2xy + xt3
Man schreibt nun
∂f
= fy,t = et − 2y + t3
∂x y,t
∂f
= fx,t = −2x
∂y x,t
∂f
= fx,y = xet + 3xt2
∂t x,y
Somit ist das totale Differential:
df = (et − 2y + t3 )dx − 2xdy + (xet + 3xt2 )dt
Ist f eine Funktion mehrerer Variabler in den Bereich der reellen Zahlen R, das heißt
ein Vektor wird auf eine reelle Zahl durch f abgebildet, also z.B. f (x, y, z) = x + y + z ,
so kann man folgenden Operator bilden, der Nabla-Operator genannt wird:
f : Rn → R ; (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) 7→ x ∈ R
 
 
∂f
∂f


∂x1
∂x1
dx1
 
 
 ∂f 
 ∂f  
 ∂x2 
 ∂x2   dx2 





... 
∇f =  ... 
df =  ...  • 






 ... 
 ...   ... 




dxn
∂f
∂f
∂xn
∂xn
Man kann dann das totale Differential als inneres Produkt (Skalarprodukt) von ∇f mit
dem Vektor, welcher die dxi enthält auffassen. Die Frage, wie die sozusagen gesamte
Ableitung f 0 dieser Funktion aussieht, wird im PDF über Differenzierbarkeit aus mathematischer Sicht beantwortet. Für Funktionen, welche als Wertebereich die reellen Zahlen
haben, stimmt f 0 mit ∇f überein. In höhreren Dimensionen stellt die Funktionalmatrix
(auch Jacobimatrix) so etwas, wie die Ableitung der Funktion dar.
7
2 Integralrechnung
2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Zusammenhang zwischen
Differenzieren und Integrieren her.
Rb
1. Ist die Funktion f stetig, so ist die Ableitung der Integralfunktion x → a f dx
gleich der Integrandenfunktion f .
2. Die Funktion f sei auf einem IntervallRI stetig und a ∈ I.
x
Dann ist die Integralfunktion Ia (x) = a f (t)dt auf I differenzierbar und es gilt:
Ia0 (x) = f (x)
3. Ist die Funktion f auf einem Intervall I stetig und F eine Stammfunktion von f ,
dann gilt für alle a ∈ I, b ∈ I
b
Z
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
2.2 Stammfunktion
Eine Stammfunktion F (x) einer Funktion f (x) erhält man bei der Integration von f (x).
Leitet man diese Stammfunktion ab, so erhält man wieder die Ursprungsfunktion!
Es gibt niemals eine bestimmte Stammfunktion, sondern stets eine Schar von Stammfunktionen, da
F 0 (x) = f (x)
3
Es sei f (x) = x2 . So kann F (x) = x3 sein, da F 0 (x) = f (x) gilt.
3
Ebenso kann aber F (x) = x3 + 4 sein, da der konstante Term beim Ableiten wegfällt.
f (x) = x2
x3
+ c|c ∈ R
3
Stellt dann eine Schar von Stammfunktionen zu f (x) dar.
F (x) =
8
2.3 Regeln für das bestimmte Integral
1. Summenregel
Z
b
Z
b
g(x)dx
f (x)dx +
[f (x) + g(x)]dx =
a
a
a
b
Z
2. Faktorregel
b
Z
b
Z
c ∗ f (x)dx = c ∗
f (x)dx
a
a
3. Regel der Intervalladditivität(a < c < b)
b
Z
c
Z
f (x)dx =
a
Z
f (x)dx +
a
4.
Z
b
f (x)dx
c
b
Z
f (x)dx = −
a
f (x)dx
b
a
2.4 Integration von Potenzfunktionen
Potenzfunktionen werden nach folgender Formel integriert:
Z
Z
xn+1
n
a ∗ x = a ∗ xn = a ∗
n+1
Beispiel:
Z
(x3 − 2x2 + 3x − 7)dx =
Z
x3 dx − 2
Z
x2 dx + 3
Z
Z
xdx − 7
1dx
x4 2x3 3x2
−
+
− 7x + c
4
3
2
Wobei Faktor- bzw. Summenregel angewendet werden. Merke: Aus x0 wird beim Integrieren x1 ! Konstante Terme fallen also nicht weg wie beim Differenzieren!
Diese
Formel ergibt sich aus der Umkehrung der Potenzregel für das Differenzieren
=
xn+1
n+1
0
= xn
2.5 Integration durch Substitution
Bei der Integration durch Substitution wird bei verketteten Funktionen eine der Funktionen ersetzt, sodass eine Integration leichter möglich wird.
Beispiel:
Z b
(2x + 5)8 dx
a
u = 2x + 5,
du
= 2 = u0
dx
9
Z
u(b)
u(a)
Z
u8
du =
u0
u(b)
u(a)
u(b)
u8
du
u(a) 2
9 u(b)
u8
u
du =
2
18 u(a)
Z
Jetzt Rücksubstitution:
(2x + 5)9
=
22
b
a
Merke:
mit u = f (x)
Z
Z
0
f (x) ∗ g(f (x))dx =
Z
2x ∗
mit u = x2 − 5
p
x2 − 5dx
Z
=
g(u)du
√
udu
2.6 partielle Integration
Die partielle Integration wird zur Integration von Produkten von Funktionen genutzt.
Ohne Herleitung geben wir die Formel an
Z
Z
0
[u (x) ∗ v(x)]dx = u(x) ∗ v(x) + [u(x) ∗ v 0 (x)]dx
Ähnlich wie bei Produkt- und Quotientenregel gilt auch bei der partiellen Integration:
Wenn möglich durch Umformen Integration durch Substitution anwenden!
2.7 Drehvolumina
Das Drehvolumen einer Funktion um die x-Achse in den Grenzen a und b kann folgendermaßen bestimmt werden: Erneut bilden wir wie bei der Flächenberechnung sehr
kleine Teilstücke, die wir summieren, jedoch lassen wir diese Teilstücke um die x-Achse
rotieren, daher summieren wir nicht Streifen sondern Kreisflächen auf.
Daher ist das Rotationsvolumen um die x-Achse definiert als:
Z b
Vx = π ∗
f (x)2 dx
a
Um das Drehvolumen um die y-Achse von einer Funktion zu bestimmen, müssen wir die
gleiche Formel anwenden, aber diesmal mit der Umkehrfunktion!
Z b
Vy = π ∗
f¯(x)2 dx
a
10
2.8 Zusammenstellung von Ableitungen und Integralen
Trigonometrische Funktionen
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
Daraus folgt für die Integration:
Z
cos xdx = sin(x) + c
Z
sin xdx = − cos(x) + c
Wurzelfunktion Wende Potenzschreibweise an:
√
1
x = x2
Z
⇒
√
√
3
2x 2
2 x3
xdx =
+c=
+c
3
3
natürlicher Logarithmus Es gilt:
1
ln x0 =
x
Z
⇒
Sowie
1
dx = ln |x| + c
x
Z
ln xdx = x ∗ ln x − x + c
Z
⇒
ln(cx)dx =
1
∗ (cx ∗ ln(cx) − cx) + k
c
Mit der Substitution cx = u
natürliche Exponentialfunktion Es gilt für f (x) = ex :
f 0 (x) = ex
Z
⇒
ex dx = ex + c
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