NEUE MATHEMATIK in den Klassen 5 bis 7 - ULB Darmstadt

NEUE MATHEMATIK
in den
Klassen 5 bis 7
Herausgegeben von Heinz Eckhardt
Mitarbeiter:
Helmut Postel
Klaus Schäfer
Günther Schneider
Hans Weckesser
Fachbereich Mathematik
Technische Hochschule Oarmstadt
Bibliothek
«nv,Nr.
VERLAG MORITZ DIESTERWEG
Frankfurt am Main • Berlin • München
MD-Nr. 1951
FB Mathematik
TU Darmstadt
58367192
/
INHALT
Vorwort zur 4. Auflage
III
Aus dem Vorwort zur 1. Auflage
IV
TEIL A: Fachliche Grundlagen
Einleitung
1
I Elemente aus der mathematischen Logik (G. SCHNEIDER)
1
1.1 Aussagen
1.1 Aussage als Grundbegriff
1.2 Gegenstände, Eigenschaften und Beziehungen
1
1
2
1.2 Variablen, Terme, Aussageformen
2.1 Variablen
2.2 Terme
2.3 Aussageformen
2.4 Einteilung der Aussageformen
3
3
4
5
6
1.3 Verknüpfung von Aussagen
3.1 Einführung
3.2 Die Negation —i A und die Konjunktion A A B
3.3 Die Adjunktion A v B
3.4 Die Subjunktion A —> B
'
3.5 Die Bijunktion A <-> B
3.6 Zusammenstellung der definierenden Wahrheitstafeln
3.7 Mehrfache Verknüpfungen
7
7
8
9
10
12
12
13
1.4 Bindung von Variablen
4.1 Quantoren
4.2 Kennzeichnungsoperator
14
14
16
1.5 Allgemeingültigkeit von Aussageformen mit Aussagevariablen
5.1 Wahrformen, Sätze der mathematischen Logik
5.2 Die Äquivalenz
5.3 Die Implikation
17
17
18
20
1.6 Verknüpfungen von Aussageformen mit Subjektvariablen
6.1 Die Negation
6.2 Die Konjunktion
6.3 Die Adjunktion .
6.4 Subjunktion und Implikation
6.5 Bijunktion und Äquivalenz
6.6 Verneinung von All- und Existenzaussagen
22
22
23
23
23
25
25
V
II Mengen und ihre Verknüpfungen (H. POSTEL)
II. 1 Mengen und ihre Elemente
1.1 Einführung
1.2 Festlegung von Mengen
1.3 Einelementige Mengen, leere Menge
1.4 Gleichheit von Mengen
1.5 Venn-Diagramme
1.6 Mengen verschiedener Stufen
1.7 Zur axiomatischen Mengenlehre
27
27
30
32
33
34
35
36
II.2 Elementare Relationen zwischen Mengen
2.1 Untermengen-Relation
2.2 Gleichmächtigkeit
36
36
38
113 Verknüpfungen von Mengen
3.1 Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge
3.2 Ergänzungsmenge
3.3 Kreuzmenge
40
40^
45
46
II.4 Mengen von Mengen
4.1 Potenzmenge
4.2 Klasseneinteilung
47
47
81
III Relationen und ihre Eigenschaften (H. POSTEL)
VI
27
53
111.1 Relationen
1.1 Relationen zwischen Mengen
1.2 Veranschaulichung von Relationen
1.3 Relationen in einer Menge
53
53
56
59
111.2 Verknüpfungen von Relationen
2.1 Inverse Relationen
2.2 Verkettung von Relationen
61
61
64
111.3 Eigenschaften von Relationen in einer Menge
3.1 Reflexivität - Irreflexivität
3.2 Symmetrie - Asymmetrie - Identitivität
3.3 Transitivität - Intransitivität
3.4 Zusammenhänge
67
67
69
72
74
111.4 Ordnungsrelationen
4.1 Begriff der Ordnungsrelation
4.2 Hasse-Diagramme
4.3 Linearität
4.4 Wohlordnung
4.5 Zusammenhänge
76
76
77
79
80
81
111.5 Aquivalenzrelationen
5.1 Begriff der Äquivalenzrelation
5.2 Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung
82
82
83
111.6 Eigenschaften von Relationen zwischen Mengen
6.1 Totale Relationen
6.2 Eindeutige Relationen
85
85
89
111.7 Funktionen (Abbildungen)
92
7.1 Funktionen als Relationen
92
7.2 Veranschaulichung von Funktionen
94
7.3 Kennzeichnung von Funktionen durch Terme und Zuordnungsoperator
95
7.4 Umkehrfunktion
97
7.5 Verkettung von Funktionen
98
7.6 Abbildungen
99
IV Gebilde (G. SCHNEIDER)
101
IV.1 Verknüpfungen
101
IV.2 Innere Verknüpfungen
104
IV.3 Eigenschaften von inneren Verknüpfungen
3.1 Kommutative und assoziative Verknüpfungen
104
104
3.2 Verknüpfungen mit neutralem Element und mit inversen Elementen 107
IV.4 Definition des Begriffs ,,Gebilde"
112
IV.5 Ordnungsgebilde
113
IV.6 Verknüpfungsgebilde
6.1 Gebilde mit einer Verknüpfung
6.2 Gebilde mit zwei Verknüpfungen
6.3 Gemischte Gebilde
IV.7 Relationen zwischen Gebilden
7.1 Untergebilde
7.2 Isomorphie
114
114
119
124
126
126
128
V Natürliche Zahlen (H. POSTEL)
132
V.l Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen
1.1 Begriff der Kardinalzahl
1.2 Kleiner-Relation in K
1.3 Addition in K
1.4 Multiplikation in K
132
132
133
134
137
V.2 Axiomatischer Aufbau
141
V.3 Axiomensystem und Modell
144
VII
VI Bruchzahlen (H. POSTEL)
147
VI. 1 Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen
zur Menge der Bruchzahlen durch Einbettung
1.1 Bruchzahl als Klasse
1.2 Kleiner-Relation in B o
1.3 Multiplikation in B o
1.4 Addition in B o
1.5 Einbettung von N o in B o
147
147
150
151
153
154
VI.2 Bruchzahlen als Operatoren über einem Größenbereich
2.1 Natürliche Zahlen als Vervielfachungsoperatoren
2.2 Umkehrung der Vervielfachungsoperatoren
2.3 Bruchoperatoren
2.4 Kleiner-Relation in S
2.5 Verketten von Bruchoperatoren
2.6 Addition von Bruchoperatoren
2.7 Das Gebilde (S; El, °, 0 ) als Erweiterungsgebilde von (N; + , - , < )
155
155
159
161
162
163^
164
166
VII Rationale Zahlen (H. POSTEL)
VII. I Erweiterung der Menge der Bruchzahlen
zur Menge der rationalen Zahlen durch Einbettung
1.1 Rationale Zahl als Klasse
1.2 Kleiner-Relation in Q
1.3 Addition in Q
1.4 Multiplikation in Q
1.5 Einbettung von B o in Q
167
167
167
170
171
173
175
VI1.2 Rationale Zahlen als Koordinaten und Operatoren
176
2.1 Rationale Zahlen als Koordinaten von Punkten auf einer Geraden 176
2.2 Kleiner-Relation in Q
178
2.3 Verschiebungen der Zahlengeraden in sich - Verschiebungsoperatoren 179
2.4 Verketten von Verschiebungsoperatoren
182
2.5 Streckungen der Zahlengeraden in sich - Streckungsoperatoren . . 1 8 6
2.6 Verketten von Streckungsoperatoren
189
2.7 Distributivität
194
VII.3 Axiomatischer Aufbau
VIII
195
TEIL B: Zur Didaktik und Methodik
Einleitung
196
VIII Menge und natürliche Zahl Verknüpfungen von Mengen und von natürlichen Zahlen (H. POSTEL)
196
VIII. I Gründe für die Einführung und Verwendung von Mengenbegriffen . . . . 196
1.1 Schulung kognitiver und intellektueller Fähigkeiten
197
1.2 Logische Schulung
197
1.3 Zusammenhänge zwischen Mengen und natürlichen Zahlen . . . . 1 9 7
1.4 Mengensprache als disziplinübergreifende Fachsprache in der
Mathematik
198
VIII.2 Einführung von Mengenbegriffen unter Berücksichtigung einiger didaktischer Prinzipien für das Lernen von Mathematik
200
2.1 Einige Regeln zur Konstruktion von Lernsequenzen
200
2.2 Die Brunerschen Repräsentationsebenen
202
2.3 Einführung des Begriffs „Menge"
202
2.4 Behandlung der Untermengen-Relation
205
2.5 Behandlung von Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge . . 208
VIII.3 Die verschiedenen Anwendungsaspekte der natürlichen Zahlen und ihrer
Verknüpfungen
210
3.1 Kardinaler Aspekt der natürlichen Zahlen
210
3.2 Ordinaler Aspekt der natürlichen Zahlen
212
3.3 Größen-Aspekt der natürlichen Zahlen
214
3.4 Operator-Aspekt der natürlichen Zahlen
215
3.5 Kalkülmäßig-arithmetischer Aspekt der natürlichen Zahlen . . . . 2 1 6
VIII.4 Verschiedene Phasen bei der Behandlung von Relationen
und Verknüpfungen bei natürlichen Zahlen
4.1 Schema eines Stufenganges nach OEHL
4.2 Kleiner-Relation in N o
4.3 Addition und Subtraktion von natürlichen Zahlen
4.4 Multiplikation und Division natürlicher Zahlen
IX Bruchzahlen (H. WECKESSER)
217
217
219
221
227
234
IX.1 Bruchzahlen zur Kennzeichnung von Zuständen und Operatoren
234
1.1 Analyse einer Sachaufgabe
234
1.2 Bruchzahlen zur Kennzeichnung von Zuständen
234
1.3 Bruchzahlen zur Kennzeichnung von Operatoren
235
1.4 Zusammenhang zwischen Maßzahl und Bruchoperator
235
1.5 Didaktische Erwägungen bei der Einführung von Bruchzahlen . . . 236
1.6 Modelle für Bruchoperatoren
237
1.7 Namen für Bruchzahlen
239
IX
IX.2 Verknüpfungen und Kleiner-Relation in der Menge der Bruchzahlen . . . 239
2.1 Wahl der Reihenfolge
239
2.2 Kleiner-Relation
240
2.3 Multiplikation
.l
242
2.4 Gegenoperator und Division
245
2.5 Addition und Subtraktion
248 !
IX.3 Zusammenhang der Bruchzahlen mit anderen Unterrichtsgegenständen. . 250 i
3.1 Bruchzahlen und natürliche Zahlen
250 i
3.2 Vorbereitung der Prozent- und Schlußrechnung
251
3.3 Bruchrechnung und Termumformungen
252 j
X Ganze und rationale Zahlen (K. SCHÄFER)
253
!
X.l Reihenfolge der Zahlbereichserweiterungen im Unterricht
253 h
1.1 Alternativen hinsichtlich der ersten Erweiterung des Zahlbereichs N o 253 \
1.2 Möglichkeiten hinsichtlich der Reihenfolge bei den weiteren Zahlbej
reichserweiterungen
254 !
j
X.2 Sachanalyse unter didaktischem Aspekt
255
2.1 Mathematischer Kern des Unterrichtsgegenstandes „Ganze und raj
tionale Zahlen, additive und multiplikative Verknüpfung, Kleiner'
Relation"
255
2.2 Anwendungssituationen in der Umwelt für die ganzen und rationalen
Zahlen, für die Kleiner-Relation und für die Verknüpfungen in TL
bzw.Q
256
2.3 Auswertung der Sachanalyse - Kriterien für die didaktischen Entscheidungen
258
X.3 Didaktische Entscheidungen
259
3.1 Einführung der ganzen Zahlen und der additiven Verknüpfung. . . 259 I
3.2 Wahl der Modelle
263 j
3.3 Einführung der multiplikativen Verknüpfung
265 I
3.4 Reihenfolge der Behandlung
272 ;
X.4 Schlußbemerkungen
274 ||
Literaturverzeichnis
275
Sachverzeichnis
279
Hinweise im Text
Runde Klammern (. . .) sind Hinweise auf andere Abschnitte dieses Buches,
eckige Klammern [. . .] sind Hinweise auf Werke im Literatur-Verzeichnis.
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