Potenzgesetze I

Potenzgesetze I
1. Berechne ohne Taschenrechner.
42 =
1 3
=
3
2, 41 · 102 =
0, 52 =
1 4
=
2
0, 314 · 101 =
0, 13 =
2 3
=
5
0, 002 · 104 =
1, 22 =
2 4
=
3
13, 2 · 103 =
2. Schreibe als Potenz und berechne.
4·4·4=
(−2) · (−2) · (−2) · (−2) =
(−1) · (−1) · (−1) =
10 · 10 · 10 · 10 =
1 1 1
· · =
2 2 2
2 2
· =
3 3
3. Schreibe auf zwei verschiedene Arten als Potenz (Hochzahl 6= 1).
16 =
1
=
16
81 =
10000 =
1
=
81
0, 0625 =
4. Gib folgende Ausdrücke als einfache Potenzen an; schreibe ausführlich !
(a) (23 )4 =
(b) (24 )3 =
5. Rechne so:
23 · 22 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 25 .
34 · 33 =
25 · 22 =
53 · 51 =
(−2)4 · (−2)2 =
Lass jetzt den Zwischenschritt weg.
36 · 38 =
125 · 127 =
103 · 107 =
(−2)4 · (−2)12 =
6. Formuliere auf dem Merkblatt das 1. Potenzgesetz.
1
Potenzgesetze II
1. Rechne so:
6·6·6·6·6
65
=
= 6 · 6 = 62 .
63
6·6·6
1, 54
=
1, 53
(−3)5
=
(−3)3
36
=
32
27
=
24
2. Lass jetzt die Zwischenschritte weg!
29
=
23
712
=
74
a5
=
a3
314
=
311
(−5)9
=
(−5)1
x11
=
x5
3. Formuliere auf dem Merkblatt das 2. Potenzgesetz.
4. Erkläre: Warum muss beim 2. Potenzgesetz a 6= 0 gelten?
5. Vereinfache mit Hilfe der Potenzgesetze.
25 · 27 · 23 =
a7 · a3 · a2 =
34 · 37
=
34
5
2
7
7
: 5 =
4
3
3
55 · 52
=
53
4
5
a
a
: 4 =
5
b
b
2
Potenzgesetze III
1. Berechne und Vergleiche!
22 · 32 = 4 · 9 = 36,
(2 · 3)2 = 6 · 6 = 36.
23 · 53 =
(2 · 5)3 =
2. Forme so um: (2 · 3)2 = 2 · 3 · 2 · 3 = 22 · 32 . Lass ggf. die Zwischenschritte
weg.
(2 · 4)3 =
(a · b)5 =
(2 · x)4 =
3. Formuliere auf dem Merkblatt das 3. Potenzgesetz.
4. Schreibe als Produkt von Potenzen mit Primzahlbasis.
63 =
125 =
44 =
82 =
184 =
107 =
5. Vereinfache:
125
=
· 33
103 · 6
=
4 · 152
63
=
22
182
=
123
24
3
Potenzgesetze IV
1. Berechne auf zwei Arten und Vergleiche!
6 2
6 2
=
=
2
6 4
=
3
2
6 4
=
3
2. Forme so um:
5 2
=
2
Lass ggf. die Zwischenschritte weg.
7 4
5 5
52
· = 2.
2 2
2
12 3
=
=
3
a 3
=
b
3
a 5
=
2
3. Formuliere auf dem Merkblatt das 4. Potenzgesetz.
4. Rechne so:
(52 )3 = 52 · 52 · 52 = 56 .
Lass ggf. die Zwischenschritte weg.
(23 )2 =
(22 )3 =
(34 )2 =
(32 )4 =
(53 )3 =
(a3 )4 =
5. Formuliere auf dem Merkblatt das 5. Potenzgesetz.
6. Vereinfache.
(34 )2
=
(32 )4
(2a2 )3
=
(ab)2
(23 )4
=
25
(2x)2
=
4
4
Merkblatt
1. Potenzgesetz: Für alle reellen Zahlen a und alle natürlichen Zahlen m und
n gilt:
am · an =
.
2. Potenzgesetz: Für alle reellen Zahlen a 6= 0 und alle natürlichen Zahlen
m > n gilt:
am
= am : an =
.
an
3. Potenzgesetz: Für alle reellen Zahlen a und b und alle natürlichen Hochzahlen m gilt:
(a · b)m =
.
4. Potenzgesetz: Für alle reellen Zahlen a und b 6= 0 und alle natürlichen
Hochzahlen m gilt:
a m
=
.
b
5. Potenzgesetz: Für alle reellen Zahlen a und alle natürlichen Hochzahlen
m und n gilt:
(am )n =
.
Merke: Muss man Produkte oder Quotienten von Potenzen umformen, so
müssen bei der Anwendung der Potenzgesetze entweder die Grundzahlen oder
die Hochzahlen gleich sein. Ist das nicht der Fall: Finger weg!!
Muss man Summen oder Differenzen von Potenzen umformen, hilft nur Ausklammern (bzw. binomische Formeln).
5
Potenzgesetze V
1. Berechne (ohne Taschenrechner):
24 =
√
√
32 =
4
(−1)2 =
√
(− 5 )6 =
3 =
1, 22 =
2
2 =
(−2)4 =
√ 5
2 =
2. Schreibe als Potenz (pos. Hochzahlen):
27 =
32 =
81 =
64 =
1
=
4
1
=
8
0, 01 =
0, 04 =
3. Vereinfache:
25 · 23 =
34 · 3m =
2m · 2n =
am+1 an−m =
am bn a2+m b4−n =
x2m−1 x2−m =
2m · 4m+1 =
32m−1 : 9m =
32m−1 − 92m =
22m − 4m =
4. Klammere aus:
25 a − 27 b =
8x + 16y =
2m−1 r + 2m+1 s =
32m−1 − 9m x
x2 − 4y 2 =
22m x2 − 34m y 2 =
r2 + 4rs + 4s2 =
24m a2 + 22m+1 abm + b2m =
Vereinfache oder forme um!
a3 ba2 b3 =
3abcbcd =
(a + b)2 (a + b)4 =
(x + y)5
=
(x + y)3
7a4 − 3a4 =
5aba + 2ba2 =
23 · 73 =
−42 =
(−4)2 =
a3 · b3 · c3 =
34 + 2 · 34 =
(3b2 )2 =
((23 )4 )5 =
(x2 + 2xy + y 2 )3
=
(a + b)3
[(x − y)(x + y)]3
=
(x2 − y 2 )3
(x2 − 4)m
=
(x + 2)m
a−b
=
b−a
182 · 14
=
214 · 8
(2a)3 =
a2 + 2ab + b2
=
a+b
(4x2 + 12x + 9)5
=
(2x + 3)5
6