Übung 3.7 - Uni Kassel

Dr. Jürgen Senger
MATHEMATIK
Grundlagen für Ökonomen
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
1.
Gesamtkosten
K = 10 + 2 x + 0, 4 x 2
Durchschnittskosten:
K=
K 0,4 x 2 + 2 x + 10
10
=
= 0,4 x + 2 +
x
x
x
Grenzkosten:
K′ =
dK
= 0,8 x + 2
dx
Bedingung 1. Ordnung für ein Durchschnittskostenminimum:
K ′ = 0,4 −
10
x2
=0
0,4 x 2 = 10
10
x2 =
= 25
0,4
x = 25 = 5
Bedingung 2. Ordnung für ein Durchschnittskostenminimum:
K ′′ =
20
x3
> 0 gilt für alle x > 0 also auch für x = 5!
Die Durchschnittskostenfunktion nimmt ihr Minimum an der Stelle x = 5 an.
Durchschnittskosten im Minimum
K (5) = 0,4 ⋅ 5 + 2 +
10
=6
5
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
2
Grenzkosten im Durchschnittskostenminimum:
K ′(5) = 0,8 ⋅ 5 + 2 = 6
Im Durchschnittskostenminimum x = 5 gilt:
K (5) = K ′(5) = 6
15
K ′ = 0,8 x + 2
10
K = 0,4 x + 2 + 10
x
6
5
2
0
2.
a.
5
10
15
x
Gesamtkosten:
K = K x = 25 x − 8 x 2 + x 3
Grenzkosten:
K ′ = 25 − 16 x + 3 x 2
Durchschnittskosten:
K = 25 − 8 x + x 2
Bedingung 1. Ordnung für Durchschnittskostenminimum:
K ′ = −8 + 2 x = 0
2x = 8
x=4
SENGER - Mathematik - 12.10.05
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
3
Bedingung 2. Ordnung für Durchschnittskostenminimum:
K ′′(4) = 2 > 0
⇒
Minimum an der Stelle x = 4
Durchschnittskosten im Minimum
K (4) = 25 − 8 ⋅ 4 + 4 2 = 25 − 32 + 16 = 9
Grenzkosten im Durchschnittskostenminimum:
K ′(4) = 25 − 16 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 2 = 25 − 64 + 48 = 9
Im Durchschnittskostenminimum x = 4 gilt:
K (4) = K ′(4) = 9
20
K ′ = 25 − 16 x + 3 x 2
15
K = 25 − 8 x + x 2
10
9
5
0
2.
b.
2
Gesamtkosten:
K = K x = 3 x 2 + 5 x + 75
Grenzkosten:
K ′ = 6x + 5
Durchschnittskosten:
K = 3x + 5 +
SENGER - Mathematik - 12.10.05
75
x
4
6
x
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
4
Bedingung 1. Ordnung für Durchschnittskostenminimum:
K′=3 −
75
x2
=0
75
3
75
x=
= 25 = 5
3
x2 =
Bedingung 2. Ordnung für Durchschnittskostenminimum:
K ′′(5) =
150
53
>0
⇒ Minimum an der Stelle x = 5
Durchschnittskosten im Minimum
K (5) = 3 ⋅ 5 + 5 +
75
= 35
5
Grenzkosten im Durchschnittskostenminimum:
K ′(5) = 6 ⋅ 5 + 5 = 35
Im Durchschnittskostenminimum x = 5 gilt:
K (5) = K ′(5) = 35
K ′ = 6x + 5
70
60
K = 3x + 5 + 75
x
50
40
30
20
10
0
SENGER - Mathematik - 12.10.05
5
10
15
x
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
3.
a.
5
Gewinnfunktion:
G = 25 x − (0,2 x 2 + 15 x + 80)
= −0,2 x 2 + 10 x − 80
Bedingung 1. Ordnung für Gewinnmaximum:
G ′ = −0,4 x + 10 = 0
0,4 x = 10
x = 25
Bedingung 2. Ordnung für Gewinnmaximum:
G ′′(25) = −0,4 < 0
⇒
Maximum an der Stelle x = 25
Gewinn im Maximum:
G (25) = −0,2 ⋅ 25 2 + 10 ⋅ 25 − 80 = 45
Gewinnschwellen:
G = −0,2 x 2 + 10 x − 80 = 0
x 2 − 50 x + 400 = 0
50
x1 / 2 =
± 25 2 − 400
2
= 25 ± 225
= 25 ± 15
x1 = 10
x2 = 40
50
G = −0,2 x 2 + 10 x − 80
x
0
-50
-80
SENGER - Mathematik - 12.10.05
10
20
30
40
50
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
3.
b.
6
Gewinnfunktion:
G = 40 x − (0,3 x 2 + 28 x + 90)
= −0,3x 2 + 12 x − 90
Bedingung 1. Ordnung für Gewinnmaximum:
G ′ = −0,6 x + 12 =
0
− 0,6 x = −12
x = 20
Bedingung 2. Ordnung für Gewinnmaximum:
G ′′(20) = −0,6 < 0
⇒
Maximum an der Stelle x = 20
Gewinn im Maximum:
G (20) = −0,3 ⋅ 20 2 + 12 ⋅ 20 − 90 = 30
Gewinnschwellen:
G = −0,3 x 2 + 12 x − 90 = 0
x 2 − 40 x + 300 = 0
40
x1 / 2 =
± 20 2 − 300
2
= 20 ± 100
= 20 ± 10
x1 = 10
x2 = 30
50
G = −0,3 x 2 + 12 x − 90
30
x
0
-50
-90
SENGER - Mathematik - 12.10.05
10
20
30
40
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
4.
7
Preis-Absatz-Funktion:
p = 10 − 2x
Erlösfunktion:
E = p( x) x = (10 − 2 x) x = 10 x − 2 x 2
Grenzerlösfunktion:
E ′ = 10 − 4x
Durchschnittserlösfunktion:
E=
E
=10 − 2x
x
Bedingung 1.Ordnung für Erlösmaximum:
E ′ = 10 − 4 x = 0
4 x = 10
x = 2,5
Bedingung 2.Ordnung für Erlösmaximum
E ′′(2,5) = −4 < 0
⇒
Maximum an der Stelle x = 2,5
Erlös im Maximum:
E (2,5) = 10 ⋅ 2,5 − 2 ⋅ 2,5 2 = 25 − 2 ⋅ 6,25 = 12,5
p, E, E'
12.5
10
E = 10 x − 2 x 2
5
p = 10 − 2 x
E ′ = 10 − 4 x
x
0
SENGER - Mathematik - 12.10.05
2.5
5
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
5.
8
Gewinnfunktion des Monopolisten:
G = 10 x − 2 x 2 − (2 + 2 x) = −2 x 2 + 8 x − 2
Bedingung 1.Ordnung für Gewinnmaximum:
G ′ = −4 x + 8 = 0
4x = 8
x=2
Bedingung 2.Ordnung für Gewinnmaximum:
G ′′(2) = −4 < 0
⇒
Maximum bei x = 2
Preis im Gewinnmaximum (Monopolpreis):
p = p (2) = 10 − 2 ⋅ 2 = 6
Gewinn im Maximum:
G (2) = −2 ⋅ 2 2 + 8 ⋅ 2 − 2 = −8 + 16 − 2 = 6
E, K
K = 2 + 2x
10
Gmax
E = 10 x − 2 x 2
5
2
0
2 2.5
6
5
x
5
G = −2 x 2 + 8 x − 2
Gmax
0
-2
SENGER - Mathematik - 12.10.05
2
5
x
ÜBUNG 3.7 - LÖSUNGEN
6.
9
Preiselastizität der Nachfrage:
εx/ p ≡ −
dx p
dp x
Die Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Preis ist:
1 
1
dx d 
=  5 − p = −
2 
2
dp dp 
Die Preiselastizität der Nachfrage beträgt daher:
εx/ p ≡ −
−1 p 1 p
dx p
=−
=
dp x
2 x 2 x
Im Gewinnmaximum gilt:
x =2
p(2) = 6
Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum:
1 6
2 2
εx/ p = ⋅ =
7.
6 3
=
4 2
Die Elastizität der Kosten bezüglich der Menge ist definiert:
εK / x ≡
dK x K ′
=
x
dx K K
Die Ableitung der Kostenfunktion
K = a xb
nach der Menge x lautet:
K ′ = b ⋅ a x b −1
Die Mengenelastizität der Kosten beträgt daher:
εK / x =
b ⋅ ax b −1
a xb
x=b
ax b
ax b
=b
b
Elastizität ist konstant, die Kostenfunktion K = a x also isoelastisch.
SENGER - Mathematik - 12.10.05