1 Mechanik - Studentshelp

1 Mechanik
1.1 Kinematik
1.1.1 Beschreibung einer Bewegung
Unter einer Bewegung versteht man die Änderung des Ortes eines Körpers mit der Zeit relativ
zu einem Bezugssystem.
Vorraussetzung: Modell des Massepunktes
1.1.2 Die geradlinig gleichförmige Bewegung
Die Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit v zwischen zwei beliebigen Messpunkten
einer Bewegung ist der Quotient aus dem zurückgelegten Wegabschnitt ∆s = s1 – s2 und der
verflossenen Zeit ∆t = t1 – t2.
Eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (Betrag und Richtung bleiben
konstant) heißt geradlinig gleichförmige Bewegung.
Ihre Zeit-Weg-Funktion lautet s = v t.
Ihr Kennzeichen ist es, dass in gleichen Zeitabschnitten ∆t gleiche Wegstücke ∆s in derselben
Richtung zurückgelegt werden.
1.1.3 Die geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Die Durchschnitts- oder Intervallbeschleunigung a zwischen zwei beliebigen Messpunkten
ist der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung ∆v = v1 – v2 und der dabei verflossenen
Zeit ∆t = t1 – t2.
Eine geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung (Betrag und Richtung bleiben
konstant) heißt geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Sie wird beschrieben durch die Zeit-Weg-Funktion s = ½ a t2, die Zeit-GeschwindigkeitsFunktion v = a t und durch eine konstante Beschleunigung a = konstant.
Ihr Kennzeichen ist, dass sich die Wege s wie die Quadrate t2 der Zeiten und die
Geschwindigkeiten v wie die Zeiten t selbst verhalten.
Zusammenhang zwischen konstanter Beschleunigung, Endgeschwindigkeit und
zurückgelegtem Weg: v2 = 2 a s
Bei a < 0 spricht man von einer gleichmäßig verzögerten Bewegung.
1.1.4 Allgemeine Gesetze der geradlinigen Bewegung
Die Geschwindigkeit v ist gleich der Steigung der Tangente im Zeit-Weg-Diagramm, die
Beschleunigung a gleich der Steigung der Tangente im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm.
Die Geschwindigkeit v = v (t) als Funktion der Zeit t erhält man als erste Ableitung der ZeitWeg-Funktion s = s (t) nach der Zeit t: v = s’ (t)
Die Beschleunigung a = a (t) als Funktion der Zeit t erhält man als erste Ableitung der ZeitGeschwindigkeits-Funktion v = v (t) nach der Zeit und als zweite Ableitung der Zeit-WegFunktion a = v’ (t) = s’’ (t).
1.1.5 Der freie Fall
Unter einem freien Fall versteht man die Bewegung, die ein Körper ausführt, der im luftleeren
Raum fällt.
Der freie Fall ist eine geradlinige Bewegung mit einer für alle Körper am gleichen Ort
konstanten Beschleunigung, der Fall- bzw. Erdbeschleunigung g mit g = 9,81 m/s2.
Der Luftwiderstand verhindert jedoch, dass der fallende Körper seine Geschwindigkeit
ständig steigert.
1.1.6 Der Wurf & Prinzip der ungestörten Überlagerung von Bewegungen
Führt ein Körper gleichzeitig zwei oder mehrere Bewegungen aus, so überlagern sich diese
Bewegungen ungestört zu einer Gesamtbewegung. Wege, Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen addieren sich vektoriell.
1.1.6.1 Der waagerechte Wurf
In waagerechter x-Richtung gelten die Gesetze der geradlinigen gleichförmigen Bewegung
sx = v0 t,
vx = v0,
in lotrechter Richtung y-Richtung die Gesetze des freien Falls
sy = ½ g t 2 ,
vy = g t,
ay = g.
g 2
s y = − 2 sx ,
sx ~ sy2.
Die Bahn ist die Wurfparabel:
2v0
1.1.6.2 Der lotrechte Wurf
Beim lotrechten Wurf überlagern sich eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0 nach
oben mit einer Fallbewegung mit entgegengesetzter Richtung. Die Wurfbahn und das ZeitWeg-Diagramm verlaufen symmetrisch.
1.1.6.3 Der schräge Wurf
In x-Richtung liegt eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit vor. In y-Richtung folgt
die Bewegung den Gesetzen des lotrechten Wurfes mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 sin a.
1.1.7 Die gleichförmige Kreisbewegung
Die Umlaufdauer T einer Kreisbewegung ist der Quotient aus der für n Umläufe benötigten
Zeit t und der Zahl n der Umläufe; der Kehrwert der Umlaufdauer T ist die Frequenz f der
Kreisbewegung.
Eine Kreisbewegung eines Massenpunktes entlang eines Kreisbogens mit konstantem Betrag
der Bahngeschwindigkeit v heißt gleichförmige Kreisbewegung. Der Vektor der
Bahngeschwindigkeit zeigt stets in die Richtung der Tangente der Kreisbahn.
Die Winkelgeschwindigkeit ω einer Kreisbewegung ist der Quotient aus dem vom
Radiusvektor überstrichenen Winkel ∆ϕ und der dabei verflossenen Zeit ∆t.
Zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit gilt die Beziehung v = ω r.
Der Körper erfährt bei der gleichförmigen Kreisbewegung eine Beschleunigung, da sich seine
Richtung ändert. Diese Radialbeschleunigung berechnet sich durch aR = ω2 r. Ihr Vektor ist
stets zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet.
1.2 Dynamik
1.2.1 Kraft und Masse
Zwei Kräfte sind gleich groß, wenn sie denselben Körper gleich stark verformen oder
beschleunigen.
Zwei Körper haben die gleiche Masse, wenn sie am selben Ort die gleiche Gewichtskraft
erfahren.
1.2.2 Trägheit
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung,
solange keine äußeren Kräfte auf ihn wirken. Die Geschwindigkeit eines solchen sich frei
bewegenden Körpers ist nach Betrag und Richtung konstant (1. Newtonsches Axiom).
1.2.3 Grundgleichung der Mechanik
Die Kraft F, die einem Körper der Masse m die Beschleunigung a erteilt, ist das Produkt aus
dieser Masse m und der Beschleunigung a (2. Newtonsches Axiom).
Die Gewichtskraft G, die auf einen Körper der Masse m wirkt, ist das Produkt aus seiner
Masse m und der Fallbeschleunigung g am Beobachtungsort.
Ist die Beschleunigung a Null, so braucht der Körper keinesfalls kräftefrei zu sein. Es können
auch mehrere Kräfte auf ihn wirken, deren Resultierende Null ist.
1.2.4 Wechselwirkungskräfte
Kräfte zwischen Körpern treten nie einzeln, sondern immer paarweise auf. Übt ein Körper A
auf einen Körper B die Kraft FA aus (actio), so übt auch B auf A die Kraft FB aus, Gegenkraft
(reactio) genannt, die entgegengesetzt gleich der ersten Kraft ist (3. Newtonsches Axiom).
1.2.5 Reibungskräfte
An der Berührungsfläche zwischen zwei festen Körpern treten die eine oder andere Art von
Reibungskräften auf, die beide entgegen der Kraft FA wirken, mit welcher der bewegliche
Körper über die Unterlage gezogen werden soll. Solange die Zugkraft FA die
Haftreibungskraft FH nicht übersteigt, haftet der Körper an seiner Unterlage. Bewegt sich
der Körper mit konstanter Geschwindigkeit, muss die Zugkraft FA lediglich der kleineren
Gleitreibungskraft FG gleichkommen.
Die Haftreibungskraft FH eines Körpers ist direkt proportional der Normalkraft FN, mit
welcher der Körper auf seine Unterlage drückt.
FH = fH FN.
Die Haftreibungszahl fH hängt nicht von der Größe, sondern nur von der Beschaffenheit der
Berührfläche zwischen Körper und Unterlage ab. fH = tan αH
Entsprechendes gilt für die Gleitreibungskraft FG und die Gleitreibungszahl fG. Die
Gleitreibungskraft ist dabei unabhängig von der Geschwindigkeit.
1.2.5.1 Antriebs- und Reibungskräfte eines Fahrzeugs
Die Antriebskraft FA, die vom Motor auf die Räder übertragen wird, kann höchstens gleich
der maximalen Haftreibungskraft FH sein. Das Beschleunigungsvermögen eines Autos wird
durch die maximale Haftreibungskraft begrenzt, eine größere Kraft kann durch das Rad nicht
auf die Straße übertragen werden.
Bei konstanter Geschwindigkeit v ist die Antriebskraft FA, die höchstens der
Haftreibungskraft FH entspricht, gleich der Summe aus der Rollreibungskraft FR und dem
Luftwiderstand FL.
1.2.6 Kräfte bei der Kreisbewegung
Soll sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegen, muss auf ihn eine zur Kreismitte hin
gerichtete Kraft, die Zentripetalkraft. Hört ihre Wirkung plötzlich auf, so behält der Körper
nach dem Trägheitsgesetz seinen gerade erreichten Bewegungszustand bei: Er bewegt sich
mit konstanter Geschwindigkeit tangential zu seiner bisherigen Kreisbahn weiter.
1.3 Energie und Arbeit
1.3.1 Arbeit
Die Arbeit W, um einen Körper mit Hilfe einer äußeren Kraft F entlang einer Strecke s zu
verschieben, ist das Produkt aus der Kraftkomponente Fs (mit Fs = F cos α) der äußeren Kraft
parallel zur Verschiebung und des Verschiebeweges s. Ändert sich die Kraft längs des Weges,
so ist die Arbeit das Wegintegral der Kraft: W = ∫ F ( s ) ds .
1.3.1.1 Beschleunigungsarbeit Wa
Die Beschleunigungsarbeit, die einen Körper mit der Masse m aus der Ruhe auf die
Geschwindigkeit v beschleunigt, ist:
Wa = ½ m v2.
1.3.1.2 Hubarbeit Wh
Die Hubarbeit Wh, die erforderlich ist, um einen Körper mit der Masse m um die Höhe h zu
heben, ist unabhängig davon, ob der Körper senkrecht nach oben oder auf längerem
ansteigenden Wege um die Höhe h gehoben wird:
Wh = G h = m g h.
1.3.1.3 Spannarbeit Ws
Die Spannarbeit, die eine Feder mit der Federkonstanten D aus entspanntem Zustand um die
Ws = ½ D se2.
Strecke se dehnt, ist:
1.3.1.4 Reibungsarbeit Wr
Die Reibungsarbeit Wr, welche die von außen bei seiner Bewegung entlang des Weges s auf
einen Körper wirkenden Reibungskräfte Fr verrichten, ist (stets negativ!): Wr = Fr s < 0
1.3.1.5 Leistung
Die Leistung P ist der Quotient aus einer Arbeit W und der Zeit t, in der diese Arbeit
verrichtet wird, wenn W zeitlich konstant ist.
1.3.2 Mechanische Energie
Die Energie E eines Körpers oder eines Systems ist eine Zustandsgröße, ∆E gleich der Arbeit
W ist, die an dem Körper oder an dem System von außen verrichtet wird: ∆E = W.
Positive Arbeit am System erhöht seine Energie, negative verringert sie. Verrichtet das
System nach außen Arbeit, so erniedrigt sich die Energie des Systems.
1.3.2.1 Kinetische Energie
Die kinetische Energie eines mit der Geschwindigkeit v bewegten Körpers ist Ekin = ½ m v2.
Sie ist gleich der an ihm verrichteten Beschleunigungsarbeit Wa.
1.3.2.2 Potentielle Energie
Die potentielle Energie eines Körpers gegenüber der Höhe h = 0 ist Ekin = m g h. Sie ist gleich
der Hubarbeit Wh, die verrichtet werden musste, um den Körper um die Höhe h zu heben.
1.3.2.3 Spannarbeit
Die Spannarbeit einer um die Strecke s gespannten Feder ist Es = ½ D s2. Sie ist gleich der
Spannarbeit Ws, die verrichtet werden musste, um die Feder zu spannen.
1.3.2.4 Satz von der Erhaltung der Energie
In einem energetisch abgeschlossenen System bleibt die Summe der mechanischen Energien
konstant, solange die mechanischen Vorgänge reibungsfrei ablaufen. Energie geht hierbei
weder verloren, noch entsteht sie neu. Sie wandelt sich nur von der einen in eine andere
mechanische Energieform um.
1.3.3 Impuls
Der Impuls p eines Körpers ist das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v
und beschreibt seinen momentanen Bewegungszustand.
Die Kraft F, die auf einen Körper wirkt, ist der Quotient aus der Änderung ∆p des Impulses
und der Zeit ∆t, in der die Änderung erfolgt.
1.3.3.1 Impulserhaltungssatz
Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß.
1.3.4 Stoßvorgänge
Alle Stoßvorgänge als Wechselwirkung zwischen Körpern lassen sich ohne die Kenntnis, was
beim Stoß im einzelnen vor sich geht, allein durch die beiden Erhaltungssätze des Impulses
und der Energie genau beschreiben.
1.3.4.1 Zentraler unelastischer Stoß
Der unelastische Stoß ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die beiden Körper nach dem
Stoß gemeinsam weiter bewegen: v1’ = v2’. Die kinetische Energie nach dem Stoß ist kleiner
als die vor dem Stoß. Die Differenz wird in Verformungs- und Wärmeenergie umgewandelt.
Sonderfall: Bei gleicher Masse ist die Endgeschwindigkeit der Körper gleich der Mittelwert
der Anfangsgeschwindigkeiten.
1.3.4.2 Zentraler elastischer Stoß
Man bezeichnet einen Stoß als elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der
Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich bleibt. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind
durch die Erhaltungssätze bestimmt.
Sonderfall: Bei gleichen Massen tauschen die Körper ihre Anfangsgeschwindigkeiten aus.
Sonderfall: Beim Stoß auf eine Wand wird der Körper mit der entgegengesetzten
Geschwindigkeit zurück geworfen. Die Impulsänderung ist doppelt so groß wie der Impuls
vor oder nach dem Stoß.
1.4 Die Rotation starrer Körper
Ein starrer Körper ist eine Anordnung von Massepunkten mit festen gegenseitigen
Abständen.
1.4.1 Das Drehmoment
Das Drehmoment M ist das Produkt aus der Kraft F und dem Abstand r ihrer Wirkungslinie
von der Drehachse.
1.4.1.1 Arbeit
Wirkt auf einen starren Körper ein konstantes Moment M, so ist die Arbeit W, die bei der
Drehung um den Winkel ϕ verrichtet wird, gleich dem Produkt aus Drehmoment M und
Winkel ϕ.
1.4.1.2 Leistung
Die augenblickliche Leistung P ist gleich dem Produkt aus Drehmoment M und
Winkelgeschwindigkeit ω.
1.4.1.3 Gleichgewichtsbedingung der Drehbewegung
Ein starrer Körper, an dem mehrere Kräfte angreifen, bleibt im Gleichgewicht, wenn die
Summe ihrer Drehmomente Null ist (Beispiel: Hebelgesetz).
1.4.2 Trägheitsmoment und Rotationsenergie
1.4.2.1 Winkelbeschleunigung
Die mittlere Winkelbeschleunigung α ist der Quotient aus der Änderung der
Winkelgeschwindigkeit ∆ω und der dabei verflossenen Zeit ∆t.
1.4.2.2 Trägheitsmoment
Das Trägheitsmoment J eines starren Körpers ist der Quotient aus dem wirkenden
Drehmoment M und der dadurch erzeugten Winkelbeschleunigung α.
Wirkt auf einen starren Körper das Drehmoment M, so erfährt der Körper eine
Winkelbeschleunigung α, die dem Drehmoment proportional ist (Grundgesetz der
Rotation).
Das Trägheitsmoment J eines Körpers, dessen Masse m den Abstand r von der Drehachse hat,
ist das Produkt aus seiner Masse m und dem Quadrat des Abstands r.
1.4.2.3 Rotationsenergie
Die Kraft, die einen starren Körper in Drehbewegung versetzt, verrichtet Arbeit, indem sie
alle Massepunkte des Körpers beschleunigt.
Die Rotationsenergie eines Körpers, der ein Trägheitsmoment J besitzt und sich mit der
Winkelgeschwindigkeit ω dreht, ist: Erot = ½ J ω2.
Die Rotationsenergie ist eine Teilform der kinetischen Energie: Eine rollende Kugel besitzt
die kinetische Energie ihrer Translationsbewegung und ihrer Rotationsbewegung. Ihre
gesamte kinetische Energie ist: Ekin = Etrans + Erot.
1.4.3 Der Drehimpuls
Der Drehimpuls L eines um eine feste Achse rotierenden Körpers ist das Produkt aus seinem
Trägheitsmoment J (bezüglich dieser Achse) und seiner Winkelgeschwindigkeit ω.
Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Abgeschlossen ist das
System, wenn kein äußeres Drehmoment wirkt (Drehimpulserhaltungssatz).
Sonderfall: Bei einer Zentralbewegung ohne äußere Einflüsse überstreicht der vom Zentrum
zum Körper reichende Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).
1.5 Äquivalente: Translation – Rotation
Translation
Weg s
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Kraft F
Masse m
Impuls p
kinetische Energie
Rotation
Winkel ϕ
Winkelgeschwindigkeit ω
Winkelbeschleunigung α
Drehmoment M
Trägheitsmoment J
Drehimpuls L
Rotationsenergie
2 Gravitation
Als Gravitation bezeichnet man die gegenseitige Anziehung von Körpern allein aufgrund
ihrer Masse.
2.1 Gravitationsgesetz
Die Kraft, die den freien Fall eines Körpers auf der Erdoberfläche bestimmt, und die Kraft,
die den Mond auf seiner Kreisbahn hält, sind gleichen physikalischen Ursprungs. Ein
fallender Körper und der Mond unterliegen der gleichen von der Erde ausgehenden
Zentralkraft.
2.1.1 NEWTONs Gravitationsgesetz
Zwei beliebige Körper mit der Masse m und M ziehen sich gegenseitig mit der
Gravitationskraft F in Richtung der Verbindungslinie ihrer Schwerpunkte an. Die
Gravitationskraft ist proportional dem Produkt ihrer Massen m und M und umgekehrt
proportional zum Quadrat ihres Abstandes r. Die Proportionalitätskonstante ist dabei γ , die
Gravitationskonstante.
2.1.2 Anwendung des Gravitationsgesetzes
Mit Hilfe des Gravitationsgesetzes lassen sich die Massen M eines Zentralkörpers bestimmen,
wenn die Umlaufzeit T und die mittlere Entfernung r bekannt sind. Die für die
Kreisbewegung des Satelliten erforderliche Radialkraft FR ist dabei durch die vom
Zentralkörper ausgehende Gravitationskraft FG gegeben.
2.1.3 Gezeiten
Die Gravitationskräfte sind auch Ursache für Ebbe und Flut, da sich das Wasser der
Weltmeere durch die Gravitationskräfte frei verschieben kann. Zur Erklärung der
Gezeitenwirkung des Mondes betrachtet man die Gravitationskräfte des Mondes und die
Zentrifugalkräfte in verschiedenen Punkten der Erde. Die Zentrifugalkräfte entstehen durch
die Drehung von Erde und Mond um den gemeinsamen Schwerpunkt S. Die Zentrifugalkräfte
sind dabei überall gleich, weil alle Erdpunkte gleich große Kreise durchlaufen. Für den
Erdmittelpunkt heben sich Zentrifugalkraft und Gravitationskraft auf. Wirksam für die
Verschiebung der Wassermassen sind die Horizontalkomponenten der
Gezeitenbeschleunigung.
2.2 Das Gravitationsfeld
2.2.1 Feldbegriff
Den Raum, in dem an jedem Punkt auf einen dorthin gebrachten Körper allein aufgrund seiner
Masse eine Kraft, die Gravitationskraft, ausgeübt wird, bezeichnet man als Gravitationsfeld.
Zur Veranschaulichung benutzt man Feldlinien. Setzt man einen Körper den Kräften eines
Gravitationsfeldes aus, so beschreibt seine Bahn eine Feldlinie.
2.2.2 Feldstärke
Die Gravitationsfeldstärke G* einer bestimmten Stelle des Gravitationsfeldes ist der
Quotient aus der Gravitationskraft F, die ein Körper aufgrund seiner Masse an dieser Stelle
erfährt, und seiner Masse m. Die Gravitationsfeldstärke ist ein Vektor, dessen Richtung der
Richtung der Kraft auf den Körper entspricht. Die Gravitationsbeschleunigung auf der Erde
ist praktisch gleich der Erdbeschleunigung.
In einem homogenen Feld hat die Feldstärke überall den gleichen Betrag und die gleiche
Richtung. Ein homogenes Feld stellt man durch Feldlinien dar, die parallel (entsprechend der
überall gleichen Richtung der Feldstärke) und in gleichen Abständen (entsprechend dem
gleichen Betrag der Feldstärke) verlaufen.
Ein kugelförmiger Körper der Masse M bildet um sich ein Radialfeld. Die
Gravitationsfeldstärke in einem Radialfeld nimmt mit dem Quadrat der Entfernung vom
Zentrum des felderzeugenden Körpers ab: G* = γ M / r2.
2.2.3 Verschiebearbeit
Die Verschiebearbeit W12, um einen Körper der Masse m im Gravitationsfeld eines
Zentralkörpers der Masse M vom Punkt P1 (r1) zum Punkt P2 (r2) zu bringen, und damit die
potentielle Energie Epot, die der Körper mit der Masse m im Abstand r2 vom Mittelpunkt des
Zentralkörpers gegenüber der Lage im Abstand r1 besitzt, ist:
1 1
W12 = γ ⋅ m ⋅ M ⋅  −  = E pot .
 r1 r2 
Sie ist nur von der Lage dieser Punkte, und zwar lediglich von ihrer Entfernung zum
Mittelpunkt des Zentralkörpers, nicht aber von dem speziellen Weg abhängig, den man
zwischen den beiden Punkten einschlägt.
2.2.4 Das Potential des Gravitationsfeldes
Um eine von der Masse m des speziellen Körpers unabhängige Aussage der Feldeigenschaft
des Punktes P2 gegenüber dem Punkt P1 zu machen, wird das Potential eingeführt.
Das Potential V12 eines Punktes P2 gegenüber einem Punkt P1im Gravitationsfeld ist der
Quotient aus der Arbeit W12, die man verrichtet, um einen Körper von P1 nach P2 zu
verschieben, und seiner Masse m.
In einem homogenen Gravitationsfeld mit der Feldstärke G* = g, wie es angenähert für
jeweils eine kleine Umgebung auf der Erdoberfläche der Fall ist, ist das Potential V12 = g (h2 –
h1). Im radialen Gravitationsfeld eines Zentralkörpers wie der Erde oder der Sonne mit der
1 1
Masse M ist das Potential des Punktes P2 gegenüber dem Punkt P1: V12 = γ ⋅ M ⋅  −  .
 r1 r2 
3 Quantenphysik
3.1 Experimentelle Grundlagen
3.1.1 Der lichtelektrische Effekt
3.1.1.1 Versuch 1
Bestrahlt man eine Zinkplatte, die mit einem aufgeladenen Elektroskop und einem Gitter
zusammengeschlossen ist, mit UV-Licht, so geht der Ausschlag des Elektroskops schnell
zurück. Mit zunehmender Intensität der Bestrahlung wächst die Geschwindigkeit, mit der sich
das Elektroskop entlädt. Es wächst also die Anzahl der pro Zeiteinheit herausgelösten
Elektronen. Verwendet man zur Bestrahlung IR-Licht – sogar mit erhöhter Intensität –, so
verändert sich das Elektroskop nicht.
3.1.1.2 Diskontinuierliche Energieabsorption (Versuch 2)
Man bestrahlt eine Fotozelle, die mit einem Ampèremeter in Reihe geschaltet ist, mit Licht
verschiedener Frequenzen. Trotz großer Intensität, löst Licht niedriger Frequenzen keine
Elektronen aus.
Ergebnis: Die Energie des Lichts wird nicht kontinuierlich übertragen (Wellenmodell),
sondern paketweise.
3.1.1.3 Kinetische Energie der Elektronen und Austrittsarbeit (Versuch 3)
Mit Hilfe einer regelbaren Spannungsquelle wird in der Fotozelle von Versuch 2 ein
elektrisches Feld erzeugt, so dass keine Elektronen zur Katode gelangen (Gegenfeldmethode).
!
e U = ½ m v2
W0 = h f – e U
Es gilt:
Eel = Ekin
3.1.1.4 Versuch 4
Bei der Wiederholung von Versuch 3 mit konstanter Frequenz und veränderlicher Intensität,
fließt ein geringer Fotostrom, jedoch ist der Fotostrom bei der gleichen Gegenspannung wie
in Versuch 3 Null.
Die maximale kinetische Energie der Fotoelektronen hängt nicht von der Intensität des
Lichtes ab. Eine größere Intensität bedeutet, dass eine größere Anzahl von Elektronen im
Zeitintervall ausgelöst werden kann.
3.1.1.5 Versuch 5
Die Photozelle wird nacheinander mit Licht unterschiedlicher Frequenzen bestrahlt. Man
misst zu jeder Frequenz die Gegenspannung, für die der Fotostrom Null ist.
Es gilt: e U = h f – Wa
Die Gegenspannung nimmt dabei mit wachsender Frequenz zu. Die graphische Darstellung
dieser Abhängigkeit zeigt eine Gerade, welche die x-Achse (Frequenz) bei der
Grenzfrequenz fgr schneidet. Licht der Frequenz f < fgr löst keine Elektronen heraus.
Der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse (Emax) des Frequenz-Energie-Diagramms gibt
die Austrittsarbeit Wa an.
Der Term h beschreibt die Steigung der Geraden und ist für alle Metalle gleich (alle Geraden
sind parallel).
3.1.1.6 Ergebnis
Der lichtelektrische Effekt wird energetisch durch die Gleichung Emax = h f – Wa beschrieben.
Emax ist die maximale kinetische Energie der von dem Licht der Frequenz f ausgelösten
Elektronen. Diese Energie ergibt sich als Differenz der vom Licht aufgenommenen Energie E
= h f und der für den Austritt aus dem Metall benötigten Energie Wa.
3.1.2 Der Compton-Effekt
Bei einer Streuung von energiereichem Licht (Röntgenlicht) an Elektronen vergrößert sich die
Wellenlänge eines Teils der gestreuten Strahlung. Die Vergrößerung hängt nur vom
Streuwinkel und nicht von der Frequenz oder der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts ab.
Für den Streuwinkel 90° ist die Wellenlängenänderung gleich der Compton-Wellenlänge.
Es findet eine Wechselwirkung zwischen den Photonen und den Elektronen statt. Die
gerichtete Strahlung nach der Energieübertragung setzt die Stoßgesetze voraus. Der
Energieaustausch beim Stoß ist maximal, wenn die Massen der beteiligten Körper
übereinstimmen (deshalb energiereiche Photonen). Das getroffene Elektron hat nach dem
Stoß einen größeren Impuls.
3.1.3 Vergleich: Fotoeffekt – Compton-Effekt
Kriterium
Ursache
Wirkung
Vorraussetzung
Gesetze
Fotoeffekt
Photonen
Photonen geben Energie vollständig ab
und lösen Elektronen aus Atomverband
f > fgr
Ekin, Elektron = e U0 = h f – Wa
EPhoton = h f = Ekin, Elektron + Wa
Comptoneffekt
energiereiche Photonen (γ- &
Röntenquanten)
Photonen geben nur einen Teil
ihrer Energie ab
getroffene Elektronen sind frei
Stoßgesetze und ComptonWellenlänge
3.2 Wahrscheinlichkeitswellen bei Teilchen
3.2.1 Hypothesen von DE BROGLIE
1. Zu jedem bewegten Teilchen gehört eine Welle, deren Wellenlänge durch λ = h / p
gegeben ist. h ist das Plancksche Wirkungsquantum und p der Impuls des Teilchens.
2. Zwischen der Frequenz f der Welle und der Gesamtenergie E der Teilchen besteht die
Beziehung E = h f.
4 Atomphysik
4.1 Entwicklung der Atommodelle
4.1.1 Das Kügelchenmodell von DALTON
4.1.1.1 Grundlage:
1. Das Gesetz der konstanten Proportionen (PROUST): Elemente verbinden sich miteinander
in konstanten Proportionen (in bestimmten Massenverhältnissen)
2. Das Gesetz der multiplen Proportionen (DALTON): Bilden zwei Elemente miteinander
mehrere Verbindungen, so verhalten sich die Massenverhältnisse wie kleine ganze Zahlen
zueinander.
4.1.1.2 Folgerungen:
1. Jedes Element besteht aus charakteristischen untereinander gleichen und unteilbaren
Atomen.
2. Die Atome verschiedener Elemente unterscheiden sich nur in der Masse.
3. Atome sind Kugeln mit homogen verteilter Masse.
4. Der Zusammenstoß zweier Atome ist vollkommen elastisch.
4.1.1.3 Stärken:
1. Erklärung der
- Diffusion,
- Brownschen Molekularbewegung
- Änderung der Aggregatzustände
4.1.1.4 Schwächen:
1. keine Ladungsbeschreibung
- Ionisierbarkeit von Atomen und Molekülen in Gasen
- Influenz von Metallen
- Photoeffekt
4.1.2 Das Atommodell von Thomson
4.1.2.1 Grundlage
1. Bei Experimenten zur Gasentladung wurde festgestellt, das positive Ladungen sowie
Elektronen gleichermaßen vorhanden sind.
4.1.2.2 Folgerung
1. Ein Atom besteht aus einer gleichmäßig positiv geladenen Materiekugel, in die Elektronen
regelmäßig verteilt eingebettet sind (Rosinenkuchenmodell).
4.1.3 Das Rutherfordsche Atommodell
4.1.3.1 Grundlage: Der Rutherfordsche Streuversuch
1. Fast alle α-Teilchen gehen ungestreut durch die Folie hindurch.
2. Kleine Ablenkungswinkel kommen häufiger, große seltener vor.
3. Der Streuungswinkel ist abhängig vom Folienmaterial.
4.1.3.2 Folgerungen
1. relativ geringe Radien der Masseteilchen und Konzentration der Gesamtmasse fast
ausschließlich im Kern
2. Die gesamte positive Ladung befindet sich im Kern.
3. Die negativen Ladungen befinden sich in Form von Elektronen in der Atomhülle. Die
Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Kern wie Planeten um die Sonne. Diese
Bahnen geben dem Atom seine Größe. Elektrostatische Anziehungskraft zwischen
positivem Kern und den negativen Elektronen bildet die Zentralkraft.
4.1.3.3 Schwächen
Es wird nicht erklärt, wieso
1. die Elektronenbewegung auf bestimmte Kreisbahnen beschränkt ist,
2. das kreisende Elektron als schwingender Dipol keine elektromagnetische Energie abgibt,
3. es zu elementspezifischen Emissionsspektren bei Gasen kommt.
4.1.4 Das Bohrsche Atommodell
4.1.4.1 Grundlage: Die Bohrschen Postulate
1. Die Elektronen bewegen sich innerhalb der Atomhülle auf diskreten Bahnen, wobei sich
Fliehkraft und elektrostatische Anziehungskraft die Waage halten.
2. Die Bewegung der Elektronen erfolgt ohne Energieabstrahlung.
3. Die Emission und Absorption von Energie in Form von Photonen entsprechen der
Energieänderung eines Elektrons beim Übergang von einer auf eine andere Bahn.
4.1.4.2 Stärken
1. Bruch mit klassischen Vorstellungen an den entscheidenden Stellen (diskrete Bahnen,
keine Energieabstrahlung)
2. Emissions- und Absorptionsquanten lassen sich als Energieänderung des betreffenden
Elektrons erklären.
3. Herleitung des Wasserstoffspektrums sowie Bestimmung des H-Atomradius
4.1.4.3 Schwächen
1. Das Verhalten der Atomhülle mit mehr als einem Elektron kann mathematisch nicht
beschrieben werden.
2. Kugelsymmetrie des Atoms trotz Kreisbahn
3. diskrete Bahnen widersprechen der Heisenbergschen Unschärferelation
4. Die Wellennatur der Elektronen (stehende Wellen) widerspricht den Bohrschen
Kreisbahnen.
5. keine Erklärung für Energieabstrahlung der Elektronen auf Kreisbahn
6. unzureichende Erklärung der chemischen Bindung
4.1.5 Das wellenmechanische Atommodell
4.1.5.1 Grundlage:
1. Elektronen existieren im Dualismus, sie besitzen sowohl Wellen- als auch
Teilcheneigenschaften.
2. Unschärferelation: Ort und Impuls eines Teilchens können niemals gleichzeitig exakt
bestimmt werden.
3. Die Elektronen bewegen sich nicht auf diskreten Bahnen, sondern in Bereichen mit hoher
Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Orbitale) um den Kern.
4. Das Elektron lässt sich in seiner Bewegung als dreidimensionale stehende Welle durch die
Wellenfunktion Ψ beschreiben.
5. Erklärung der Atombindung
4.2 Die quantenhafte Emission
Das bei einer Gasentladung von Wasserstoff erzeugte Licht wird mit einem Gitter spektral
zerlegt. Die dabei sichtbaren diskreten Linien bedeuten, dass die Wasserstoffatome ihre
Energie gequantelt abgeben (quantenhafte Emission). Auch die anderen Atome und
Moleküle in Gasen zeigen diese quantenhafte Emission, denn auch sie geben nur Photonen
ganz bestimmter und für sie charakteristischer Energie ab.
4.3 Die quantenhafte Absorption
4.3.1 Der FRANCK-HERTZ-Versuch
Versuch:
In einen evakuierten Glaskolben befindet sich ein Quecksilbertropfen, der nach Beheizung
des Kolbens eine Quecksilberdampfatmosphäre schafft. An der Glühkathode K werden
Elektronen emittiert, die dann durch das elektrische Feld zwischen K und dem Gitter G durch
eine variable Beschleunigungsspannung Ub beschleunigt werden. Zwischen G und der
darüberliegenden Anode A liegt eine kleine Gegenspannung an. Der Anodenstrom Ia wird nun
in Abhängigkeit von Ub gemessen.
Beobachtung:
Bis zu einer Spannung von X Volt steigt der Anodenstrom überproportional an. Danach fällt
er dann fast auf 0 bei Ub = X + ½ Y Volt, um dann erneut steil anzusteigen mit einem
Maximum bei X + Y Volt. Dieses Steigen und Fallen wiederholt sich periodisch, wenn Ub um
Y Volt erhöht wird.
Erklärung:
Bis zu einer Beschleunigungsspannung von X Volt führen die Elektronen elastische Stöße mit
den vielfach schwereren Quecksilberatomen aus und gelangen dabei ohne an kinetischer
Energie zu verlieren über das Gitter hinaus bis zur Anode – es fließt ein Anodenstrom.
Ab Ub = X Volt gelangen immer weniger Elektronen zur Anode. Die Elektronen müssen ihre
Energie unterwegs bei unelastischen Stößen abgegeben haben. Die Periodizität der
Energieabgabe lässt den Schluss zu, dass die Quecksilberatome nicht jede beliebige Energie
absorbieren.
Ergebnis:
Atome absorbieren Energie nur in bestimmten Quanten. Die Größe dieser Energiequanten ist
charakteristisch für die betreffende Atomart.
4.3.2 Die Resonanzabsorption
Versuche:
1. Die Spektralzerlegung des bei der Verbrennung eines Natriumsalzes entstandenen
Lichtes ergibt nur eine einzelne (gelbe) Linie.
2. Der Strahlengang eines Lichtes mit kontinuierlichem Spektrum wird durch ein Kolben
mit Natriumgas und anschließend durch ein Prisma gelenkt. Die Zerlegung zeigt an
der gelben Stelle aus 1. eine schwarze Linie.
3. Die Spektralzerlegung des Lichtes einer Quecksilberdampflampe zeigt 6 diskrete
Linien verschiedener Farben. Ein in den Strahlengang gehaltener Natriumgaskolben
ändert daran nichts.
Deutung:
1. Bestimmte Atome geben im sichtbaren Licht nur Lichtquanten mit einer bestimmten
Energie E = h f ab.
2. Nur Energiequanten von gleichem Betrag werden auch absorbiert.
3. Lichtquanten mit einer anderen Energie werden nicht absorbiert.
4.3.3 Spektren
1. Entsteht nach der Spektralzerlegung ein leuchtendes Farbband mit stetigem
Farbübergang, so spricht man von einem kontinuierlichem Spektrum (entsteht beim
Glühen von festen und flüssigen Körpern).
2. Entsteht nach der Spektralzerlegung eine einzelne einfarbige Linie, so spricht man von
einem Linienspektrum (entsteht bei der Anregung von Gasen).
3. Ein Emissionsspektrum wird bei der Aussendung von Licht durch leuchtende Gase
oder glühende Körper erzeugt.
4. Leitet man das Licht eines leuchtenden Gases oder glühenden Körpers erst durch ein
nichtleuchtendes Gas, so zeigen sich im Spektrum schwarze Linien.
(Absorptionsspektrum)
5 Elektrisches Feld
5.1 Physikalische Eigenschaften
Ein elektrisches Feld ist ein Raum, in dem auf elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt
werden. Es durchdringt andere Körper, wird aber durch Metallhüllen abgeschirmt (FaradayKäfig) und besteht auch im Vakuum.
5.2 Darstellung des Feldes
Elektrische Feldlinien geben in jedem Punkt des Feldes die Richtung der Kraft auf eine
positive Probeladung Q an. Sie beginnen in der positiven felderzeugenden Ladung und enden
in der negativen.
5.3 Die elektrische Feldstärke
Die Kraft Fel im elektrischen Feld auf die Probekugel ist zu deren Ladung Q proportional.
Die elektrische Feldstärke E ist der Quotient aus der Kraft F, die ein positiv geladener Körper
im betrachteten Feldpunkt erfährt, und seiner Ladung Q.
5.4 Das radialsymmetrische Feld
Im Feld einer frei aufgestellten Kugel nimmt die Feldstärke kugelsymmetrisch nach außen hin
ab. Die Feldstärke E in einem Punkt dieses Radialfeldes ist proportional zu Q/r2. Der
Proportionalitätsfaktor ε0 heißt elektrische Feldkonstante.
Coulombsches Gesetz: Die Kraft zwischen zwei Punktladungen ist dem Produkt der
Ladungen direkt und dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional. Die Kraftrichtung
ist durch die Verbindungslinie der beiden Ladungen gegeben.
5.5 Influenz und Polarisation
Alle Körper besitzen elektrische Ladungen. Wenn sich gleich große, entgegengesetzte
Ladungen binden, so nennt man den Körper elektrisch neutral. Ein geladener Körper enthält
dagegen einen Überschuss an positiven oder negativen Ladungen.
Die Trennung der Ladungen eines leitenden Körpers unter dem Einfluss eines elektrischen
Feldes nennt man Influenz.
Das Innere eines Leiters enthält im elektrostatischen Gleichgewicht weder ein elektrisches
Feld noch überschüssige Ladungen. Überschüssige Ladungen befinden sich nur auf der
Oberfläche des Leiters.
Feldlinien stehen bei elektrostatischem Gleichgewicht senkrecht auf Oberflächen von Leitern.
Die unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes in den Molekülen von Isolatoren auftretende
Ladungsausrichtung heißt elektrische Polarisation.
Im inhomogenen elektrischen Feld wirkt auf neutrale Körper eine Kraft in Richtung
wachsender Feldstärke.
5.6 Elektrisches Potential
5.6.1 Arbeit im elektrischen Feld
Transportiert man eine Ladung Q längs eines Weges s gegen die Feldlinienrichtung eines
homogenen elektrischen Feldes der Feldstärke E, so ist die verrichtete Arbeit gleich dem
Produkt aus der Ladung, dem Betrag der Feldstärke und dem Betrag der Wegkomponente in
Richtung des Feldes: W = Q E a.
Will man im homogenen elektrischen Feld einen geladenen Probekörper von einem Punkt P0
zu einem Punkt P1 bringen, so ist die zu verrichtende Arbeit unabhängig von dem
eingeschlagenen Weg.
5.6.2 Das Potential
Das elektrische Potential V01 eines Punktes P1 in bezug auf P0 im elektrischen Feld ist der
Quotient aus der Arbeit W01, die man verrichten muss, um einen geladenen Probekörper vom
Punkt P0 nach P1 zu bringen, und seiner Ladung Q.
Die Arbeit bei der Bewegung eines Körpers mit der Ladung Q von P1 nach P0 ist gleich dem
Produkt aus der Ladung des Körpers und der Differenz der Potentiale der beiden Punkte. Die
Potentialsdifferenz ist unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes P0.
5.6.3 Elektrische Spannung
Die Spannung U zwischen den Punkten P1 und P2 ist gleich der Differenz ihrer Potentiale.