Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2017, 3/2 SWS

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II
SS 2017, 3/2 SWS
Prof. Dr. M. Voigt
21. März 2017
II
Inhaltsverzeichnis
5 Grundlagen
5.1 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Inverse Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Bildungsvorschriften: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Eigenschaften und Operationen . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . .
5.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Algebraische Form komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Arithmetische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Gaußsche Zahlenebene, Betrag, konjugiert komplexe Zahl .
5.3.5 Trigonometrische und exponentielle Form komplexer Zahlen
5.3.6 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Polynome über R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Hornerform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Nullstellen und Faktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Polynome über C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Funktionen in der Wirtschaftsmathematik . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Angebots-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Preis-Absatz-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Erlös- bzw. Umsatz-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.5 Stückkostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.6 variable Stückkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.7 Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag . . . . . . . . . . . . . .
5.6.8 Stückgewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.9 Produktionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
1
1
1
2
2
3
5
5
6
7
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
13
15
15
15
15
15
16
17
17
18
18
IV
INHALTSVERZEICHNIS
5.6.10 Materialverbrauchsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2017
18
Kapitel 5
Grundlagen
5.1
Funktionen einer Variablen
5.1.1
Grundlagen
(a) Begriffe:
Eine Funktion f ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der folgenden
drei Größen
• A = D(f ): Menge, Definitionsbereich von f
• B: Menge
• f (a) = b: Bildungsvorschrift, die jedem Element a ∈ A eindeutig ein
Element b ∈ B zuordnet
(b) Bezeichnungen/ Schreibweisen:
a∈A
b = f (a)
W (f ) = {f (a) | a ∈ A}
Gf := {(x, y) ∈ D(f ) × W (f ) | y = f (x)}
x 7→ f (x)
f :A→B
f : D(f ) ⊆ C → B
Beispiele: Funktionen, Bezeichnungen
• f : R → R, f (x) = x2
• f : D(f ) ⊆ R → R+ , f (x) =
√
x
√
• f : D(f ) ⊆ R → R : f (x) = ± 1 − x2
1
Argument von f
Bild von a, Funktionswert von
f an der Stelle a.
Wertebereich von f
Graph der Funktion f .
x wird nach f (x) abgebildet
f bildet ab von A nach B
f ist eine Abbildung aus C
nach B
2
1.2.2017
(c) Weitere Definitionen
Bezeichnung
Injektion
Bijektion
Bedeutung: symbolisch
zu jedem b ∈ B gibt es
höchstens ein a ∈ A mit
f (a) = b, d.h. a1 6= a2 ⇒
f (a1 ) 6= f (a2 )
zu jedem b ∈ B gibt es genau ein a ∈ A mit f (a) = b
Erklärung
f ist eine eineindeutige Abbildung, d.h. zu verschiedenen Argumenten gehören
verschiedene Bilder
f ist eine eineindeutige
Abbildung auf B
Beispiele: Eigenschaften von Funktionen
• f : R → R, f (x) = x2
• f : D(f ) ⊆ R → R+ , f (x) =
5.1.2
√
x
Inverse Abbildung
Falls f : A → B bijektiv ist, so existiert die inverse Abbildung g = f −1 : B → A
mit g(b) = a ⇔ f (a) = b ⇒ ∀a ∈ A (f −1 (f (a)) = a
(a) Ermittlung der inversen Abbildung:
Umstellen der Zuordnung nach x, eventuell Variablentausch
(b) Beispiele: inverse Abbildung
• f : D(f ) ⊆ R → R+ , y = f (x) =
√
x
x
• f : R → (0, ∞) : y = f (x) = e
(c) Bemerkung: Der Definitionsbereich D(f ) ist gleich dem Wertebereich W (g)
der inversen Funktion und der Wertebereich W (f ) ist gleich dem Definitionsbereich D(g) der inversen Funktion.
5.1.3
Bildungsvorschriften:
implizit gegebene
Funktion
F (x, y) = 0
die Bildungsvorschrift ist in Form einer
Gleichung gegeben, die nicht nach der
abhängigen Variablen aufgelöst ist
explizit gegebene y = f (x)
die Bildungsvorschrift ist in Form eiFunktion
ner Gleichung gegeben, die nach der
abhängigen Variablen
aufgelöst ist

100 0 ≤ x ≤ 50

x + 50 50 < x ≤ 550
zusammengesetzte Funktion ist ab- z.B. f (x) =

Funktion
schnittsweise defi600 550 < x < ∞
niert
3
1.2.2017
y
y
3
3
y = f (x) = e
x
y = f (x) = e
x
2
2
-1
1
-3
-2
-1
x = f (y) = ln y
1
2
3
1
x
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
y =f
2
-1
3
x
(x) = ln x
Abbildung 5.1: Die Exponentialfunktion y = f (x) = ex und ihre Umkehrfunktion
x = f −1 (y) = ln(y) und rechts deren Bild y = ln(x) nach Vertauschen der
Variablen
Beispiel: Darstellung von Funktionen
• f : D(f ) ⊆ R+ → R+ : y = f (x) mit x2 + y 2 − 1 = 0
5.1.4
Eigenschaften und Operationen
(a) Monotonie von Funktionen: I ⊆ D(f )

f monoton wachsend auf I,



f streng monoton wachsend auf I,
∀x1 , x2 ∈ I gilt:
f monoton fallend auf I,


 aus x1 < x2 folgt
f streng monoton fallend auf I,

f (x1 ) ≤ f (x2 )



f (x1 ) < f (x2 )
f (x1 ) ≥ f (x2 )



f (x1 ) > f (x2 )
(b) Krümmung von Funktionen: x1 < x2 , I = [x1 , x2 ] ⊆ D(f )
f
f
f
f
konvex,
streng konvex,
konkav,
streng konkav,








f (x) ≤ sf (x1 ) + (1 − s)f (x2 )



f (x) < sf (x1 ) + (1 − s)f (x2 )
∀s ∈ [0, 1] und
 f (x) ≥ sf (x1 ) + (1 − s)f (x2 )
x = sx1 +(1−s)x2 , 

f (x) > sf (x1 ) + (1 − s)f (x2 )
gilt:
(c) Progressiv und degressiv steigende bzw. fallende Funktionen:
f
f
f
f
progressiv steigend
degressiv steigend
progressiv fallend
degressiv fallend
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
f
f
f
f
monoton
monoton
monoton
monoton
steigend und konvex
steigend und konkav
fallend und konkav
fallend und konvex
4
1.2.2017
y
y
f konvex
f konkav
x
x1
x
x1
x2
x2
Abbildung 5.2: Konvexe und konkave Funktionen
y
y
f degressiv
wachsend
f degressiv
fallend
f progressiv
fallend
f progressiv
wachsend
x1
x2
x3
x
x1
x2
x3
x
Abbildung 5.3: Wachstumseigenschaften von Funktionen
5
1.2.2017
(d) Operationen:
Gleichheit
f
ist
Einschränkung von
g auf D(f ), g ist
Erweiterung von
f auf D(g)
verkettete, mittelbare Funktion
f =g
D(f ) = D(g) ∧ f (x) = g(x) ∀x ∈ D(f ))
D(f ) ⊂ D(g) ∧ f (x) = g(x) ∀x ∈ D(f ))
h=g◦f
Nullstellen von f
xi
Translation,
Verschiebung
Streckung
y = f (x − a) + b
h(x) = g(f (x)),
wobei W (f ) ⊂ D(g) ⇒ D(h) = D(f )
f heißt innere Funktion, g heißt äußere
Funktion;
Lösungen der Gleichung f (x) = 0, (xi ∈
D(f ))
Verschiebung des Graphen von y = f (x)
um den Vektor (a, b)T
Streckung des Graphen von y = f (x) um
den Faktor a parallel zur x-Achse und den
Faktor b parallel zur y-Achse
Streckung mit |a| < 1 und/oder |b| < 1
Streckung mit a < 0 und/oder b < 0
y = b · f ( xa )
Stauchung
Spiegelung
Beispiele: Operationen
• g : R → R, g(x) = x2
f : R+ → R, f (x) = x2
• f : R → (0, ∞), f (x) = ex ,
g : R → R, g(x) = x2 + 1
5.2
5.2.1
spezielle Funktionen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Potenzfunktionen
n
f (x) = x ,
n ∈ {2, 3, ...}
√
f (x) = n x,
n ∈ {2, 3, ...}
Df = R, Wf =
R+ n gerade
R n ungerade
Df = R+ , Wf = R+
sind die Umkehrfunktionen zu den Potenzfunktionen, wenn bei diesen der Definitionsbereich auf R+ eingeschränkt
wird!
√
(Es ist nicht zwingend notwendig, die Wurzelfunktionen f (x) = n x mit ungeradem n nur für nichtnegative x zu definieren, man kann diese Funktionen auch
Wurzelfunktionen
6
1.2.2017
für beliebige x ∈ R definieren. Die Einschränkung auf nichtnegative Argumente
bringt aber eine Reihe von wünschenswerten Eigenschaften.)
Es gilt damit:
1
y = f1 (x) = x 3 ,
2
y = f2 (x) = x 6 =
√
6
2
√
6
x
2
x2 ,
y = f3 (x) = x 6 =
Definition:
• f : D(f ) ⊆ R → R heißt gerade Funktion, sofern f (x) = f (−x) für alle
x ∈ D(f ) gilt.
• f : D(f ) ⊆ R → R heißt ungerade Funktion, sofern f (x) = −f (−x) für alle
x ∈ D(f ) gilt.
5.2.2
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktion
f (x) = ax (a > 0)
Logarithmusfunktion
f (x) = loga (x)
y
y=e
9
Df = R, Wf = (0, ∞)
Df = (0, ∞), Wf = R
Umkehrfunktion zur Exponentialfkt.
y
3x
y = ln x
2
y=e
-2x
7
y=
1
5
y=e
3
_1
3
ln x
x
0
1
1
-2
-1
0
1
2
3
5
7
9
x
x
-1
y= -
_1
2
ln x
-2
Abbildung 5.4: Exponential- und Logarithmusfunktion
e−Funktion
natürlicher Logarithmus
f (x) = ex ,
f (x) = ln(x)
e = 2.718 281 828 459 . . .
Umkehrfunktion zur e−Funktion.
Es gilt
y = ex
⇐⇒
x = ln(y) .
7
1.2.2017
ln(x)
genügt es, sich mit der e−Funktion und ihrer Umkehrln(a)
funktion zu beschäftigen.
Wegen loga (x) =
Es gelten:
5.3
5.3.1
Potenz-Gesetze:
Logarithmen-Gesetze:
ex+y
=
ex−y
=
ln(x · y) =
ln xy
=
exy
=
ex · ey
ex
ey
(ex )y
ln(xy ) =
ln(x) + ln(y)
ln(x) − ln y
y · ln(x)
Komplexe Zahlen
Einführung
Gauß (18./19. Jahrhundert)
N: x + a = 0 keine Lösung (a 6= 0)
Z: x + a = 0 ⇔ x = −a
x · a = 1 keine Lösung a 6= 1
Q: x · a = 1 ⇔ x = 1/a (a 6= 0)
x2 = 2 keine Lösung
√
R: x2 = a ⇔ x = ± a (a ≥ 0)
x2 =√−1 keine Lösung
C: i := −1, i2 = −1
√
x2 − 4x + 13 = 0 ⇔ x = 2 ± −9 = 2 ± 3i
5.3.2
Algebraische Form komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form
z = x + i · y mit x, y ∈ R und i =
√
−1
Bezeichnungen:
• x = Re(z): Realteil von z
• y = Im(z): Imaginärteil von z
• i: imaginäre Einheit, i2 = −1
• C := {z = x + iy | x, y ∈ R}
Dann gilt für z ∈ C : z ∈ R ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z = x + i · 0 = x
8
1.2.2017
5.3.3
Arithmetische Operationen
für z = a + ib = rz eiϕz und w = c + id = rw eϕw gilt:
Gleichheit
Addition/Subtraktion
Multiplikation
Division
z = w d.h. a + ib = c + id ⇔ a = c ∧ b = d
z ± w = (a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d)
z · w = (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
(a+ib)(c−id)
z
a+ib
−ad+bc
= c+id
= (c+id)(c−id)
= cac+bd
2 +d2 + i c2 +d2
w
Beispiele komplexe Zahlen
5.3.4
Gaußsche Zahlenebene, Betrag, konjugiert komplexe Zahl
• Die komplexe Zahl z = x + iy entspricht dem Punkt (x, y) in der Ebene
p
• r = |z| = x2 + y 2 entspricht dem Abstand von z zum Ursprung =0 und
wird Betrag von z genannt.
• z̄ := x − iy: heisst konjugiert komplexe Zahl von z.
Beispiel: M = {z ∈ C | |z| = 2}
Regeln
(R1) z · z̄ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2
(R2) Re(z̄) = Re(z), Im(z̄) = −Im(z)
(R3) |z̄| = |z|, |z| = 0 ⇔ z = 0
(R4) |z · w| = |z| · |w| ∀z, w ∈ C
9
1.2.2017
5.3.5
Trigonometrische und exponentielle Form komplexer Zahlen
Die komplexe Zahl z = x + iy ist auch eindeutig bestimmt durch
• Betrag: |z| – Länge der Strecke von z zum Ursprung und das
• Argument: arg(z) = ϕ – Winkel zwischen positiver reeller Achse und Strahl
von 0 nach z.
Bemerkung: ϕ ist nicht eindeutig, der Hauptwert von arg z liegt in [−π, π)
(a) algebraische Form:
z = x + iy
(b) trigonometrische Form:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
(c) exponentielle Form: Mit der Formel von Euler eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ erhalten
wir die exponentielle Form
z = reiϕ
(d) Umrechnungen:
• trigonometrisch/exponentiell → algebraisch
Gegeben: |z| = r, arg(z) = ϕ ⇒
a = Re(z) = r cos ϕ
b = Im(z) = r sin ϕ
• algebraisch → trigonometrisch/exponentiell
Gegeben: √
Re(z) = a, Im(z) = b ⇒
r = |z| = a2 + b2
ϕ = arg(z) bestimmbar aus: cos ϕ = a/r, sin ϕ = b/r, ϕ ∈ (−π, π]
(e) Beispiele:
π
• z = 2ei 4
√
√
• z = 2−i 2
5.3.6
Potenzen und Wurzeln
(a) Die Formeln von De Moivre
-) eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ) ,
-) (eiϕ )n = einϕ (n ∈ N)
10
1.2.2017
(b) Multiplikation und Division
Für z = |z|eiϕ , w = |w|eiψ gilt:
• zw = |z||w|ei(ϕ+ψ)
• z n = |z|n einϕ
|z|
• wz = |w| ei(ϕ−ψ)
Beispiele: z =
√1
2
+
√1 i,
2
w = − √12 +
√1 i
2
(c) n-te Wurzel
Gegeben: a ∈ C Gesucht: z ∈ C mit z n = a
Lösung:
• Darstellung von a in exponentieller Form
a = |a|eiϕ = |a|ei(ϕ+2kπ) k ∈ Z
• n Lösungen:
p
(ϕ+2kπ)
zk = n |a|ei n
k = 0, . . . , n − 1
Beispiele: z 3 = 1 + i, z 4 = −2 − 2i
5.4
Polynome
5.4.1
Polynome über R
(a) Definition:
Eine Funktion p : R → R heißt Polynom vom Grade n, wenn es Zahlen
a0 , . . . , an ∈ R, an =
6 0 derart gibt, daß
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn =
n
P
ak xk
k=0
für alle x ∈ R gilt.
(b) Bezeichnungen:
ak für k = 0, . . . , n:
n:
Koeffizienten des Polynoms
Grad des Polynoms
(c) Regeln:
-) Addition und Subtraction
n
X
k=0
k
ak x ±
n
X
k=0
k
bk x =
n
X
k=0
(ak ± bk )xk
11
1.2.2017
-) Koeffizientenvergleich
n
X
k
ak x =
n
X
k=0
k=0
bk xk ⇔ ak = bk
(0 ≤ k ≤ n)
(d) einfache Polynome: lineare Funktionen, quadratische Funktionen
5.4.2
Hornerform
Ziel: vereinfachte Funktionswertberechnung
(a) Hornerform eines Polynoms f (x) =
n
P
ak xk (W.G.Horner, 1756-1837):
k=0
f (x) = (. . . (( an x + an−1 )x + an−2 )x + · · · + a1 )x + a0
| {z }
n−1
Beispiel: f (x) = 2x3 − 3x2 + x − 5
(b) Hornerschema zur Funktionswertberechnung an der Stelle x = b
an
an−1
cn b
+
·b
cn = an
ր
cn−1
an−2
cn−1 b
ր
cn−2
...
...
ր
a1
c2 b
ր
c1
a0
c1 b
ր
f (b)
(c) weitere Anwendung:
Division von f (x) durch x − b
f (x) = (x − b)(cn xn−1 + cn−1 xn−2 + · · · + c2 x + c1 ) + f (b)
(d) Bemerkung: Ist b Nullstelle von f (x), so gilt f (x) = (x − b) · g(x) ∀x ∈ R
wobei g(x) wieder ein Polynom ist.
5.4.3
Nullstellen und Faktorzerlegung
(a) Definitionen:
Als Nullstelle einer Funktion f : D(f ) ⊆ R → R bezeichnet man jede
Lösung der Gleichung f (x) = 0, x ∈ D(f ).
Betrachten Polynom p : R → R
• b ∈ R ist Nullstelle von p(x) ⇔ es existiert ein Polynom h(x) mit
p(x) = (x − b)h(x).
12
1.2.2017
• b ∈ R heißt ℓ-fache Nullstelle von p(x), sofern ein Polynom g(x) existiert mit p(x) = (x − b)ℓ g(x).
• ℓ heißt dann die Vielfachheit von b.
(b) reelle Faktorzerlegung:
Für jedes Polynom p : R → R existiert die Faktorzerlegung
p(x) = an (x − b1 )l1 . . . (x − br )lr (x2 + c1 x + d1 )k1 . . . (x2 + cs x + ds )ks
mit den reellen Nullstellen bi der Vielfachheit li (i = 1, . . . , r) und den
quadratischen Polynomen x2 + ci x + di der Vielfachheit ki (i = 1, . . . , s),
die in R keine Nullstelle haben.
(c) Bemerkung: Kennt man eine Nullstelle b des Polynoms p(x), so bestimmt
man h(x) mit p(x) = (x − b)a h(x), z.B. durch wiederholte Anwendung des
Hornerschemas (erweitertes Hornerschema) und versucht dann Nullstellen
von h(x) zu ermitteln.
Beispiel reelle Faktorzerlegung: p(x) = x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5
5.4.4
Polynome über C
(a) Definition:
Eine Funktion p : C → C heißt Polynom vom Grade n, wenn es Zahlen
a0 , . . . , an ∈ C, an =
6 0 derart gibt, daß
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n =
n
P
ak z k
k=0
für alle z ∈ C gilt.
Die Regeln für Polynome über C sind analog den Regeln für Polynome über
R.
(b) Fundamentalsatz der Algebra:
Jedes komplexe Polynom p(z) =
n
P
ak z k besitzt die Faktorisierung
k=0
p(z) = an (z − w1 )ℓ1 (z − w2 )ℓ2 . . . (z − wk )ℓk
mit den verschiedenen Nullstellen wi ∈ C der Vielfachheit ℓi (i = 1, . . . , k)
und ℓ1 + ℓ2 + · · · + ℓk = n. Ein Polynom vom Grade n ≥ 1 besitzt also
genau n Nullstellen in C, wobei jede Nullstelle so oft gezählt wird, wie ihre
Vielfachheit angibt.
Beispiel komplexe Faktorzerlegung: p(x) = x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5
13
1.2.2017
(c) Bemerkung: Jedes Polynom über R kann als Polynom über C aufgefaßt
werden.
(d) Satz: Mit jeder Nullstelle w eines Polynoms p mit reellen Koeffizienten ist
auch die konjugiert komplexe Zahl w̄ eine Nullstelle von p, d.h. die nicht
reellen Nullstellen von p treten stets als konjugierte Paare w und w̄ auf.
Beispiel Nullstellen reeller Polynome: p(x) = x4 + 1.
5.5
Rationale Funktionen
(a) Definition:
Seien p(x) und q(x) Polynome über R.
heißt gebrochen rationale Funktion.
f (x) = p(x)
q(x)
(b) Satz: Jede rationale Funktion f (x) =
p(x)
q(x)
r(x)
q(x)
mit Zählergrad ≥ Nennergrad
= h(x) +
mit einem Polynom h(x) und
läßt sich darstellen als p(x)
q(x)
einem Restpolynom r(x) mit Grad (r) < Grad (q) (echt gebrochen rationale
Funktion).
Beispiel Polynomdividion: p(x) = x3 − 1, q(x) = x − 1
y
y
x
x
Abbildung 5.5: Polstellen gerader (links, ohne Vorzeichenwechsel ...) und ungerader Ordnung (rechts, mit Vorzeichenwechsel in den Funktionswerten)
(c) Polstellen, Asymptoten und Lücken
Eine Polstelle einer Funktion liegt vor, wenn die Beträge der Werte der
Funktion in der Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden, d.h. die Werte
der Funktion streben gegen +∞ oder −∞. Der Graph der Funktion besitzt
an dieser Stelle eine vertikale Asymptote.
14
1.2.2017
Für rationale Funktionen f (x) =
p(x)
q(x)
gilt
• Nullstellen der Funktion y = f (x) sind
alle Nullstellen des Zähler-Polynoms p(x) im Definitionsbereich D(f )
• Polstellen und Lücken (hebbare Unstetigkeits-Stellen) der Funktion
y = f (x) sind alle Nullstellen des Nenner-Polynoms.
Wenn xj eine kn -fache Nullstelle des Nenner-Polynoms q(x) (kn > 0)
und eine kz -fache Nullstelle des Zähler-Polynoms p(x) ist, dann gilt:
kz ≥ kn =⇒ xj ist eine Lücke, und
kn > kz =⇒ xj ist eine Polstelle (kn − kz )-ter Ordnung.
Beispiele Polstellen/Lücken:
• f (x) = 1/(x − 2)
• f (x) = 1/(x − 2)2
• f (x) =
(x−2)2
(x+1)2 (x−2)
15
1.2.2017
5.6
5.6.1
Funktionen in der Wirtschaftsmathematik
Angebots-Funktion
x = x(p), p ∈ D(x) = R+
Bedeutung:
(gewinnmaximierende) Angebots-Menge in Abhängigkeit vom
erzielbaren Preis (bei vollkommener Konkurrenz);
Eigenschaften: positiv, monoton steigend, i.a. mit Sättigungswert;
Beispiel:
Bemerkung:
5.6.2
2−p
x(p) = 10 · (1 − e 3 ), p ∈ D(x) = [2, ∞); s. Folie
ökonomisch nur sinnvoll für x ≥ 0
Preis-Absatz-Funktion
x = x(p), p ∈ D(x) = {p ∈ R+ ∧ x(p) ≥ 0}
p = p(x), x ∈ D(p) = {x ∈ R+ ∧ p(x) ≥ 0}
Bedeutung:
Absatzmenge in Abhängigkeit vom Preis bzw. erzielbarer
Preis in Abhängigkeit von der abzusetzenden Menge;
Eigenschaften: beide Funktionen sind monoton fallend und zueinander invers
(Umkehrfunktionen);
Beispiel:
x(p) = 250 − 2.5p ⇐⇒ p(x) = 100 − 0.4x;
p ∈ D(x) = [0, 100], x ∈ D(p) = [0, 250];
5.6.3
Erlös- bzw. Umsatz-Funktion
E(x) = x · p(x),
E(p) = p · x(p),
D(E(x)) = D(p)
D(E(p)) = D(x)
Bedeutung:
Erlös/Umsatz in Abhängigkeit vom Absatz oder vom Preis;
Eigenschaften: im monopolistischen Fall degressiv steigend bis zum ErlösMaximum, dann progressiv fallend;
im polypolistischen Fall (p konstant) linear steigend;
Beispiel:
E(x) = 100x − 0.4x2 , x ∈ D(E(x)) = [0, 250], s. Folie
E(p) = 250p − 2.5p2 , p ∈ D(E(p)) = [0, 100],
5.6.4
Kostenfunktion
K(x) = Kf + Kv (x), x ∈ D(K) = R+ ,
Kf ≥ 0 : Fixkosten,
Kv (x) :
variable Kosten
16
1.2.2017
E
p
6000
E = E(x)
100
x
4000
10
50
x = x(p)
2000
5
p = p(x)
1
5
10
15
20 p
50
100
150
200
250
x
Abbildung 5.6: Graph einer Angebotsfunktion (links) sowie einer Preis-AbsatzFunktion und der zugehörigen Erlösfunktion eines monopol. Unternehmens
(rechts)
Bedeutung:
Produktionskosten
in
Abhängigkeit
von
der
Produktionsmenge;
Eigenschaften: positiv, monoton steigend;
Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie auf
[0, xS ] degressiv und auf [xS , ∞) progressiv steigend ist,
xS heißt dann Schwelle des Ertragsgesetzes;
,
Beispiel:
K(x) = 0.01x3 − x2 + 60x + 800, x ∈ D(K) = R+ , xS = 100
3
Kf = 800; Kv (x) = 0.01x3 − x2 + 60x; s. Folie
5.6.5
Stückkostenfunktion
k(x) =
Bedeutung:
K(x)
,
x
x ∈ D(k) = (0, ∞)
Produktionskosten je Mengeneinheit in Abhängigkeit von der
Produktionsmenge;
Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, xo ], monoton steigend auf
[xo , ∞), das Minimum kmin = k(xo ) = po der Stückkosten wird
beim Output xo angenommen und heißt Betriebsoptimum, es
stellt (langfristig) die untere Schranke po für den Abgabepreis
des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke kann langfristig ohne Verlust produziert werden.
800
Beispiel:
k(x) = 0.01x2 − x + 60 +
, x ∈ D(k) = (0, ∞)
x
xo = 60.8152, po = k(xo ) = 49.3243 ist langfr. Preisminimum.
17
1.2.2017
K
k
14000
14000
12000
700
10000
K = K(x)
10000
K = K(x)
600
500
8000
400
6000
6000
E = E(x)
300
4000
k = k(x)
200
2000
2000
0
50
100
150
200
250
x
50
100
150
200
250
x
-2000
-4000
G = G(x)
Abbildung 5.7: Graph einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion und der zugehörigen Stückkostenfunktion (links) sowie Graph einer Kostenfunktion, einer
Erlösfunktion und der zugehörigen Gewinnfunktion (rechts)
5.6.6
variable Stückkosten
kv (x) =
Kv (x)
,
x
x ∈ D(k) = (0, ∞)
Bedeutung:
variabler Teil der Produktionskosten, bezogen auf eine Mengeneinheit des Outputs, in Abhängigkeit von der
Produktionsmenge;
Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, xm ], monoton steigend auf
[xm , ∞), das Minimum kvmin = kv (xm ) = pm der variablen
Stückkosten heißt Betriebsminimum, es stellt (kurzfristig) die
untere Schranke pm für den Abgabepreis des Produktes dar,
nur oberhalb dieser Schranke können zumindest noch die laufenden Kosten der Produktion gedeckt werden.
Beispiel:
kv (x) = 0.01x2 − x + 60, x ∈ D(k) = (0, ∞),
xm = 50, pm = kv (xm ) = 35 ist kurzfristiges Preisminimum,
bei dem nur noch die laufenden Kosten gedeckt werden!
5.6.7
Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag
Gewinnfunktion G(x) = E(x) − K(x), x ∈ D(G) = D(p),
Deckungsbeitrag D(x) = E(x) − Kv (x) = G(x) + Kf , x ∈ D(D) = D(p)
18
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Bedeutung:
Gewinn (Deckungsbeitrag) in Abhängigkeit vom Output
Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output xGmax = xDmax mit maximalem Gewinn/Deckungsbeitrag, danach progressiv fallend;
die Nullstellen x1 und x2 der Gewinnfunktion heißen untere/obere Gewinnschwelle, wenn gilt G(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈
[x1 , x2 ];
Beispiel:
G(x) = −0.01x3 + 0.6x2 + 40x − 800, x ∈ D(G) = [0, 250]
xGmax = 61.63332, Gmax = 1603.28843, Dmax = 2403.28843,
x1 = 16.9174, x2 = 93.6029, s. Folie
5.6.8
Stückgewinnfunktion
G(x)
= p(x) − k(x), x ∈ D(g) = D(p) \ {0}
x
Bedeutung:
Gewinn je Mengeneinheit in Abhängigkeit vom Output
Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output xgmax mit maxmalem Stückgewinn, danach progressiv fallend
, x ∈ D(g) = (0, 250]
Beispiel:
g(x) = −0.01x2 + 0.6x + 40 − 800
x
xgmax = 47.6311, gmax = 29.0957
g(x) =
5.6.9
Produktionsfunktion
x(r),
x ∈ D(x(r)) = (0, ∞)
Bedeutung:
Output in Abhängigkeit vom Input r
Eigenschaften: monoton steigend, meist bis zu einer Sättigungsgrenze xmax
Beispiel:
x(r) = 1 1− 1 2 , r ∈ (0, ∞), x ∈ Wf = (0, 4), s. Folie
2
5.6.10
+r
2
Materialverbrauchsfunktion
r(x),
Bedeutung:
x ∈ D(r) = [0, xmax )
Verbrauch des Inputfaktors r in Abhängigkeit vom Output x
Umkehrfunktion der Produktionsfunktion
Eigenschaften: monoton steigend
√ 2 , x ∈ D(r) = (0, 4)
Beispiel:
r(x) = (2−4x
x)