Parameterform Ebenen, Ebenengleichung in Parameterform
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www.SchulLV.de Basiswissen > Analytische Geometre > Ebenen > Parameterform Parameterform Spickzettel Aufgaben Kurzlösungen Ausführliche Lösungen PLUS Lernvideos PLUS Ebenen, Ebenengleichung in Parameterform Erklärung Eine Ebene ist eine unendlich lange, gerade Fläche. Auf ihr befinden sich unendlich viele Punkte aus dem Koordinatensystem. Eine solche Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch drei verschiedene Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, vollständig definiert werden: Sind beispielsweise drei Punkte A(a1 a2 a3 ), B(b1 b2 b3 ) und C(c1 c2 c3 ) im Koordinatensystem gegeben, so kann die Gleichung einer Ebene E in Parameterform durch diese drei Punkte wie folgt angegeben werden: ∣ ∣ → ⎯⎯⎯⎯⎯→ E : x = OA + t ⋅ ⎯⎯⎯⎯→ AB + s ∣ ∣ ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯→ → AC = u + t ∣ ∣ ⋅ → v + s ⋅ ⎯→ w Hierbei versteht man unter → den Stützvektor der Ebene E , u → v t , , ⎯→ die Spannvektoren der Ebene E , reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und w s somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können. www.SchulLV.de 1 von 2 Beispiel ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Gegeben sind die Punkte A(1 0 0) , B(4 2 3) und C(0 1 2) , die nicht auf einer Geraden liegen. Stelle die Gleichung der Ebene E in Parameterform durch diese Punkte auf: Zuerst legen wir fest, dass der Vektor Du kannst auch Raum. ⎯⎯⎯⎯⎯→ OB 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ OA = 0 ⎯⎯⎯⎯⎯→ oder OC ; AB = 0 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ ; OA Stützvektor und ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ AB AC , Spannvektoren sein sollen. als Stützvektor wählen, dadurch erhältst du die selbe Ebene im 3 ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ AC = 3 − 1 1 2 Diese kannst du in die allgemeine Parameterform einer Ebenengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Ebene E in Parameterform: → ⎯⎯⎯⎯⎯→ E : x = OA + t ⋅ ⎯⎯⎯⎯→ AB + s ⋅ 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ AC = 0 0 www.SchulLV.de + t ⋅ 3 2 3 + s ⋅ − 1 1 2 2 von 2
