Lösungen - Brinkmann.du

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
10.03.2013
Lösungen Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit II
Ergebnisse:
E1
Ergebnisse
a)
t ( x ) = −4x + 10
1
3
x+
4
2
b) Das Dreieck hat eine Fläche von 8,5 Flächeneinheiten (FE).
E2
n(x) =
Ergebnisse
a) Die Funktion f ( x ) hat an den Stellen x1/ 2 = ±3 die Steigung 2
b) f ' ( x ) hat an den Stellen x1/ 2 = ±1,5 die Steigung − 0,25
c)
2
3
3
d) t ( x ) = − x
t1 ( x ) = −
t2 ( x ) =
2
3
3
e)
2
⎛1
⎞
t ( x ) = ⎜ u2 − 1⎟ x − u3
9
⎝3
⎠
f)
1
3
g(x) = − x +
2
2
E3
Ergebnisse
a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y – Achse, da nur gerade
Exponenten auftreten.
b) P
− 12 ≈ −3, 46 | 0
P
12 ≈ 3, 46 | 0
P ( 0 | 4,5 )
min1
(
)
min 2
c) Pw1 ( 2 | 2 ) ⇒ t1 ( x ) = −2x + 6
d) P ( 0 | 4,5 )
y
(
(
)
max
Pw2 ( −2 | 2 ) ⇒ t 2 ( x ) = 2x + 6
Px1/ 2 − 12 ≈ −3, 46 | 0
)
Px3 / 4
(
12 ≈ 3, 46 | 0
e) Wertetabelle siehe „Ausführliche Lösung“.
f) Graph siehe „Ausführliche Lösung“.
g) streng monoton fallend in
⎤ − ∞ ; − 12 ⎡
⎦
⎣
streng monoton wachsend in ⎤⎦ − 12 ; 0 ⎡⎣
⎤ 0 ; 12 ⎡
streng monoton fallend in
⎦
⎣
streng monoton wachsend in ⎤⎦ 12 ; ∞ ⎡⎣
h) Linkskrümmung in ] − ∞ ; − 2 [ Rechtskrümmung in ] − 2 ; 2
Linkskrümmung in ] 2 ; ∞
i)
lim f ( x ) = ∞
x → −∞
)
[
[
lim f ( x ) = ∞
x→ ∞
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
1 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
10.03.2013
E4: Ergebnis
1 3 1 2
x − x − 4x + 4
2
2
196
⎛ 4
⎞
Pmin ( 2 | −2 )
Pmax ⎜ − = −1,3 |
≈ 7,26 ⎟
27
⎝ 3
⎠
f ( x) =
Funktionsgleichung:
Extrempunkte:
71
⎛1
⎞
Pw ⎜ = 0,3 |
≈ 2,63 ⎟
27
⎝3
⎠
Wendepunkt:
Achsenschnittpunkte:
Py ( 0 | 4 )
Px1 (1| 0 )
(
Px2 − 8 ≈ −2,83 | 0
)
Px3
(
8 ≈ 2,83 | 0
)
Graph siehe „Ausführliche Lösung“.
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
2 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
10.03.2013
Ausführliche Lösungen:
A1 Aufgabe
1 4 3 2
x − x +7
16
2
a) Die Gleichungen von Tangente und Normale sollen für x0 = 2 berechnet
werden.
b Tangente und Normale bilden mit der x- Achse zusammen ein Dreieck.
Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) =
A1
Ausführliche Lösung
a)
1 4 3 2
1
f (x) =
x − x +7
x0 = 2
f ' ( x ) = x 3 − 3x
16
2
4
1
3
f ( x0 ) = f ( 2 ) =
⋅ 16 − ⋅ 4 + 7 = 1 − 6 + 7 = 2
16
2
1
f ' ( x 0 ) = f ' ( 2 ) = ⋅ 8 − 3 ⋅ 2 = 2 − 6 = −4
4
t ( x ) = f ' ( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) = −4 ( x − 2 ) + 2 = −4x + 8 + 2 = −4x + 10
n(x) = −
A1
1
1
1
1
1
3
( x − x0 ) + f ( x0 ) = ( x − 2 ) + 2 = x − + 2 = x +
f ' ( x0 )
4
4
2
4
2
Ausführliche Lösung
b)
g⋅h
Dreiecksfläche = A =
2
Tangente und Normale schneiden sich im Punkt S ( x 0 | f ( x 0 ) ) = S ( 2 | 2 )
Damit ist h = 2LE
g ist der Abstand der Nullstellen von t ( x ) und n ( x )
10
= 2,5
4
1
3
1
3
12
n ( x ) = 0 ⇔ x + = 0 ⇔ x = − ⇔ x2 = −
= −6
4
2
4
2
2
8,5 ⋅ 2
g = 6 + 2,5 = 8,5 ⇒ A =
= 8,5FE
2
t ( x ) = 0 ⇔ −4x + 10 = 0 ⇔ 4x = 10 ⇔ x1 =
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
3 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
10.03.2013
A2 Aufgabe
1 3
x −x; x∈\
9
a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2 ?
b) Die Steigung von f ' ( x ) an der Stelle x = 1,5 ist − 0,25.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) =
Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an.
Begründen Sie Ihre Vermutung.
c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte Tangente?
Geben Sie die Gleichung an.
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im Ursprung.
e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt P ( u | f(u) ).
f) Welche Gerade schneidet f(x) in Px ( 3 | 0 ) senkrecht ?
A2
Ausführliche Lösung
a)
1
1
f ( x ) = x3 − x ⇒ f ' ( x ) = x2 − 1
9
3
Die Steigung bei x 0 hat den Wert 2
1 2
1
x 0 − 1 = 2 ⇔ x 02 = 3 ⇔ x 02 = 9 ⇒ x 01/ 2 = ±3
3
3
Die Funktion f ( x ) hat an den Stellen x1/ 2 = ±3 die Steigung 2
⇒ f ' ( x0 ) = 2 ⇔
A2
Ausführliche Lösung
b)
1
f ' ( x ) = x 2 − 1 ist eine Parabel und damit achsensymmetrisch.
3
Aus f ' (1,5 ) = −0,25 folgt f ' ( −1,5 ) = −0,25
f ' ( x ) hat an den Stellen x1/ 2 = ±1,5 die Steigung − 0,25
A2
Ausführliche Lösung
c)
1
f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x1/ 2 = ± 3
3
2
2
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
f 3 =−
3;f − 3 =
3 ⇒ P⎜ 3 | −
3 ⎟ ; Q⎜− 3 |
3⎟
3
3
3
3
⎝
⎠
⎝
⎠
( )
(
)
Die Tangenten sind Geraden, die parallel zur x − Achse verlaufen:
2
2
t1 ( x ) = −
3 ; t2 ( x ) =
3
3
3
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
4 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A2
Seite 5
10.03.2013
Ausführliche Lösung
d)
1
1
f ( x ) = x3 − x ⇒ f ' ( x ) = x2 − 1
9
3
Gleichung der Tangente im Ursprung: x 0 = 0
t ( x ) = f ' ( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 )
f ' ( x 0 ) = f ' ( 0 ) = −1
f ( x0 ) = f ( 0 ) = 0
⇒ t ( x ) = −1( x − 0 ) + 0 = − x
A2 Ausführliche Lösung
e)
1
1
f ( x ) = x3 − x ⇒ f ' ( x ) = x2 − 1
9
3
Gleichung der Tangente im Punkt P ( u | f ( u ) )
t ( x ) = f ' ( u )( x − u ) + f ( u )
1 2
1
u −1
f ( u ) = u3 − u
3
9
1
⎛1
⎞
⎛1
⎞
⎛1
⎞ 1
t ( x ) = ⎜ u2 − 1⎟ ( x − u ) + u3 − u = ⎜ u2 − 1⎟ x − u ⎜ u2 − 1⎟ + u3 − u
9
⎝3
⎠
⎝3
⎠
⎝3
⎠ 9
f ' (u ) =
1
2
1
1
3
⎛1
⎞
⎛1
⎞
⎛1
⎞
= ⎜ u2 − 1⎟ x − u3 + u + u3 − u = ⎜ u2 − 1⎟ x − u3 + u3 = ⎜ u2 − 1⎟ x − u3
9
9
3
9
9
⎝3
⎠
⎝3
⎠
⎝3
⎠
A2
Ausführliche Lösung
f) Die Gerade, die f(x) in Px ( 3 | 0) schneidet, ist die Normale in diesem Punkt.
1
1
f ( x ) = x3 − x ⇒ f ' ( x ) = x2 − 1
Px ( 3 | 0 ) ⇒ x0 = 3
9
3
1
n (x) = −
( x − x0 ) + f ( x0 )
f ' ( x0 )
f ' ( x0 ) = f ' ( 3 ) =
1
⋅9 −1= 3 −1= 2
3
1
⋅ 27 − 3 = 3 − 3 = 0
9
1
1
3
n ( x ) = − ( x − 3) + 0 = − x +
2
2
2
f ( x0 ) = f ( 3 ) =
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
5 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A2
Seite 6
10.03.2013
Ausführliche Lösung
5
4
3
2
f ( x)
1
f´ ( x)
t ( x)
5
4
3
2
n ( x)
1
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
6 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 7
10.03.2013
A3 Aufgabe
1 4 3 2 9
x − x +
32
4
2
Ist der Funktionsgraph symmetrisch? Falls ja, welcher Art ist die Symmetrie?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Berechnen sie die relativen Extrema (Hochpunkte, Tiefpunkte).
Berechnen Sie die Wendepunkte und die Funktionsgleichungen der
Wendetangenten.
Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte.
Stellen Sie mit allen bisher bekannten Punkten eine Wertetabelle auf.
Zeichnen Sie den Graphen möglichst genau in ein Koordinatensystem und
kennzeichnen Sie die markanten Punkte.
(Falls nötig, erweitern Sie dazu Ihre Wertetabelle um einige Punkte.
Gezeichnet werden soll im Intervall I = [ -5 ; 5 ] Maßstab: 1 cm ist eine
Einheit.)
Machen Sie eine Aussage über das Monotonieverhalten des Graphen,
d.h. geben Sie die Intervalle für monoton wachsend, bzw. monoton fallend
an.
Machen Sie eine Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen,
d.h. geben Sie die Intervalle für Rechts- bzw. Linkskrümmung an.
Bestimmen Sie die Randpunkte des Definitionsbereiches.
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
f ( x) =
A3
Ausführliche Lösung
a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y – Achse, da nur gerade
Exponenten auftreten.
A3
Ausführliche Lösung
b)
1 4 3 2 9
1
3
3
3
f (x) =
x − x + ⇒ f ' ( x ) = x 3 − x ⇒ f '' ( x ) = x 2 −
32
4
2
8
2
8
2
1
3
3⎞
⎛1
f ' ( x ) = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x ⎜ x 2 − ⎟ = 0 ⇒ x1 = 0
8
2
2⎠
⎝8
1 2 3
1
3
x − = 0 ⇔ x 2 = ⇔ x 2 = 12 ⇔ x 2 / 3 = ± 12
8
2
8
2
x1 = 0 und x 2 / 3 = ± 12 sind Stellen mit waagerechter Tangente.
3
< 0 ⇒ rel. Max. bei x1 = 0
2
3
3 36 3
f '' ( x 2 / 3 ) = f '' ± 12 = ⋅ 12 − =
− = 3 > 0 ⇒ rel. Min. bei x 2 / 3 = ± 12
8
2 8 2
9
1
3
9
f ( x1 ) = f ( 0 ) =
f ( x2 / 3 ) =
⋅ 144 − ⋅ 12 + = 0
2
32
4
2
f '' ( x1 ) = f '' ( 0 ) = −
(
Pmax ( 0 | 4,5 )
)
(
Pmin1 − 12 ≈ −3, 46 | 0
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
)
05.05.2008 21:36
Pmin 2
(
12 ≈ 3, 46 | 0
)
7 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A3
Seite 8
10.03.2013
Ausführliche Lösung
c)
1 4 3 2 9
1
3
3
3
3
f (x) =
x − x + ⇒ f ' ( x ) = x 3 − x ⇒ f '' ( x ) = x 2 − ⇒ f ''' ( x ) = x
32
4
2
8
2
8
2
4
3
3
3
3
f '' ( x ) = 0 ⇔ x 2 − = 0 ⇔ x 2 = ⇔ x 2 = 4 ⇔ x1/ 2 = ±2
8
2
8
2
x1/ 2 = ±2 sind mögliche Wendestellen.
3
⋅ ( ±2 ) ≠ 0 ⇒ Wendestellen bei x1/ 2 = ±2
4
1
3
9 1
9
⋅ 16 − ⋅ 4 + = − 3 + = 2
f ( x1/ 2 ) = f ( ±2 ) =
32
4
2 2
2
PW1 ( −2 | 2 )
PW 2 ( 2 | 2 ) sind die Wendepunkte.
f ''' ( x1/ 2 ) = f ''' ( ±2 ) =
Wendetangenten:
1
3
f ' ( x 0 ) = f ' ( −2 ) = − ⋅ 8 + ⋅ 2 = 2
8
2
x 0 = −2 ⇒ f ( x 0 ) = f ( −2 ) = 2
t.1 ( x ) = 2 ( x + 2 ) + 2 = 2x + 6
x0 = 2 ⇒ f ( x0 ) = f ( 2) = 2
f ' ( x0 ) = f ' ( 2 ) =
t 2 ( x ) = −2 ( x − 2 ) + 2 = −2x + 6
A3
1
3
⋅ 8 − ⋅ 2 = −2
8
2
Ausführliche Lösung
d)
9
⎛ 9⎞
f ( 0 ) = ⇒ Py ⎜ 0 | ⎟
2
⎝ 2⎠
1 4 3 2 9
x − x + = 0 (biquadratische Gleichung)
32
4
2
1 2 3
9
x2 = z ⇒
z − z + = 0| ⋅ 32 ⇔ z2 − 24z + 144 = 0
32
4
2
f (x) = 0 ⇔
p = −24
q = 144
⇒ D = 144 − 144 = 0 ⇒ D = 0 = 0
p
± D = 12 ± 0 = 12
2
z1 = x 2 ⇔ 12 = x 2 ⇔ x1/ 2 = ± 12
z1/2 = −
Px1/ 3
(
12 ≈ 3, 46 | 0
)
(
z2 = x 2 ⇔ 12 = x 2 ⇔ x 3 / 4 = ± 12
Px1/ 3 − 12 ≈ −3, 46 | 0
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
)
8 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A3
A3
Seite 9
10.03.2013
Ausführliche Lösung
e) Funktionswerte wurden mit dem Taschenrechner berechnet.
Aus Symmetriegründen reicht es, nur die Funktionswerte für positive xWerte zu berechnen.
x
0
−5
−4 − 12 ≈ −3, 46 −3 −2 −1
f ( x ) 5,28 0,5
0
x
1
2
3
f ( x ) 3,78 2 0,28
12 ≈ 3, 46 4
5
0
0,5 5,28
0,28
Ausführliche Lösung
f)
2
3,78 4,5
7
6
5
f ( x)
4
t1 ( x)
3
t2 ( x)
2
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1
x
A3
Ausführliche Lösung
g) streng monoton fallend in
⎤ − ∞ ; − 12 ⎡
⎦
⎣
streng monoton wachsend in ⎤ − 12 ; 0 ⎡
⎦
⎣
⎤
⎡
streng monoton fallend in
0 ; 12
⎦
⎣
streng monoton wachsend in ⎤ 12 ; ∞ ⎡
⎦
⎣
Das Monotonieverhalten wurde aus dem Graphen abgelesen.
Änderungen erfolgen an den Extremstellen.
A3
Ausführliche Lösung
h) Linkskrümmung in
] −∞;−2 [
] 2;∞ [
Rechtskrümmung in
] −2;2 [
Linkskrümmung in
Das Krümmungsverhalten wurde aus dem Graphen abgelesen.
Änderungen erfolgen an den Wendestellen.
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
9 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A3
Seite 10
10.03.2013
Ausführliche Lösung
i)
⎡
⎤
1
3
1
9
1
⎢
⎥
lim f ( x ) = lim x 4 ⎢ − ⋅ 2 + ⋅ 4 ⎥ = ∞
x → −∞
x → −∞
32 N
4 x
2 x
N
⎢⎣
⎥
→0
→0 ⎦
⎡
⎤
3 1 9 1⎥
4 ⎢ 1
lim f ( x ) = lim x ⎢ − ⋅ 2 + ⋅ 4 ⎥ = ∞
x→ ∞
x→ ∞
32 N
4 x
2 x
N
⎢⎣
⎥⎦
0
→0
Für große x- Werte, sowohl in negativer, wie auch positiver Richtung,
werden die Funktionswerte in positiver Richtung immer größer.
Man sagt, wenn die Werte für x- Betrag gegen unendlich streben, dann
streben auch die Funktionswerte gegen plus unendlich.
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
10 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 11
10.03.2013
A4 Aufgabe
Der Graph einer ganzrationalen Funktion geht durch die Punkte
P1 ( −1| 7 )
P2 ( −2 | 6 )
P3 ( 3 | 1)
P4 ( −3 | −2 )
Berechnen Sie die Funktionsgleichung, die Extrempunkte, den Wendpunkt und
die Achsenschnittpunkte. Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den
Graphen so genau wie möglich in ein geeignetes Koordinatensystem.
Falls Ihnen zum Zeichnen Punkte fehlen, so berechnen Sie diese.
A4
Ausführliche Lösung
Berechnung der Funktionsgleichung:
f ( x ) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1x + a0
P1 ( −1| 7 )
P2 ( −2 | 6 )
P3 ( 3 | 1)
P4 ( −3 | 2 )
⇒ f ( −1) = 7
⇒ f ( −2 ) = 6
⇒ f (3)
= 1
⇒ f ( −3 ) = 2
⇔ −1a3 + 1a2 − 1a1 + 1a0
⇔ −8 a3 + 4 a2 − 2 a1 + 1a0
= 7
= 6
⇔ 27 a3 + 9 a2 + 3 a1 + 1a0
⇔ −27 a3 + 9 a2 − 3 a1 + 1a0
= 1
= 2
20a2 = −10 | 20 ⇔ a2 = −
a0 a1 a2
a3
1 −1 1
−1
1 −2 4
−8
1 3 9 27
1 −3 9 −27
1 −1 1
−1
−7
0 −1 3
0 4 8 28
0 −2 8 −26
−1
1 −1 1
−7
0 −1 3
0 0 20
0
0 0
2 −12
7
6
1
2
1
− 12a3 = −7 | +1
2
1
⇔ −12a3 = −6 | ( −12 ) ⇔ a3 =
2
−a1 + 3a2 − 7a3 = −1
2a2 − 12a3 = −7 ⇒ 2 ⋅
II − I
1
III − I
2
IV − I
7
−1
−6 III + 4 ⋅ II
−9 IV − 2 ⋅ II
7
−1
−10
−7
1
⎛ 1⎞
⇔ −a1 + 3 ⋅ ⎜ − ⎟ − 7 ⋅ = −1
2
⎝ 2⎠
3 7
⇔ −a1 − − = −1 ⇔ −a1 − 5 = −1| +5
2 2
⇔ −a1 = 4 | ⋅ ( −1) ⇔ a1 = −4
a0 − a1 + a2 − a3 = 7
1 1
− =7
2 2
⇔ a 0 + 3 = 7 | −3 ⇔ a 0 = 4
⇔ a0 + 4 −
f (x) =
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
1 3 1 2
x − x − 4x + 4
2
2
11 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A4
Seite 12
10.03.2013
Ausführliche Lösung
Extrempunkte:
1
1
3
f ( x ) = x 3 − x 2 − 4x + 4 ⇒ f ' ( x ) = x 2 − x − 4 ⇒ f '' ( x ) = 3x − 1
2
2
2
3
2
2
8
2
8
f ' ( x ) = 0 ⇔ x2 − x − 4 = 0 | ⋅ ⇔ x2 − x − = 0 ⇒ p = − ; q = −
2
3
3
3
3
3
2
1 8 25
25 5
⎛p⎞
D = −⎜ ⎟ − q = + =
⇒ D=
=
9 3
9
9
3
⎝2⎠
1 5
x1 = + = 2
p
3 3
x1/ 2 = − ± D
1 5
4
2
x2 = − = −
3 3
3
f '' ( x1 ) = f '' ( 2 ) = 3 ⋅ 2 − 1 = 6 − 1 = 5 > 0 ⇒ rel. Min. bei x1 = 2
4
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
f '' ( x 2 ) = f '' ⎜ − ⎟ = 3 ⋅ ⎜ − ⎟ − 1 = −4 − 1 = −5 < 0 ⇒ rel. Max. bei x 2 = −
3
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
1
1
f ( x1 ) = f ( 2 ) = ⋅ 8 − ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 + 4 = 4 − 2 − 8 + 4 = −2 ⇒ PMin ( 2 | −2 )
2
2
1 64 1 16
4
64 16 16
⎛ 4⎞
f ( x2 ) = f ⎜ − ⎟ = − ⋅
− ⋅
+ 4⋅ + 4 = −
−
+
+4
2 27 2 9
3
54 18 3
⎝ 3⎠
=−
A4
196
64 48 288 216 392 196
⎛ 4
⎞
≈ 7,26 ⎟
−
+
+
=
=
⇒ PMax ⎜ − ≈ 1,33 |
27
54 54 54
54
54
27
⎝ 3
⎠
Ausführliche Lösung
Wendepunkt:
1
1
3
f ( x ) = x 3 − x 2 − 4x + 4 ⇒ f ' ( x ) = x 2 − x − 4 ⇒ f '' ( x ) = 3x − 1 ⇒ f ''' ( x ) = 3
2
2
2
1
f '' ( x ) = 0 ⇔ 3x − 1 = 0 | +1 ⇔ 3x = 1|: 3 ⇔ x w = mögliche Wendestelle
3
1
⎛ 1⎞
f ''' ( x w ) = f ''' ⎜ ⎟ = 3 ≠ 0 ⇒ x w = ist eine Wendestelle
3
⎝3⎠
1
1
1 4
⎛ 1⎞ 1 1 1 1
f ( xw ) = f ⎜ ⎟ = ⋅
− ⋅ − 4⋅ + 4 =
−
− +4
3
54 18 3
⎝ 3 ⎠ 2 27 2 9
3 72 216 142 71
71
1
⎛1
⎞
−
+
=
=
⇒ Pw ⎜ ≈ 0,33 |
≈ 2,63 ⎟
=
−
54 27
27
54 54 54 54
⎝3
⎠
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
12 von 13
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
A4
Seite 13
10.03.2013
Ausführliche Lösung
Achsenschnittpunkte:
1
1
f ( x ) = x 3 − x 2 − 4x + 4
f ( 0 ) = 4 ⇒ Py ( 0 | 4 )
2
2
1
1
f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − x 2 − 4x + 4 = 0 erste Nullstelle durch probieren
2
2
Horner − Schema :
1
1
−
−4 4
2
2
1
x =1 ↓
0 −4 f (1) = 0 ⇒ x1 = 1
2
1
0 −4 0
2
Re stpolynom :
1 2
1
x − 4 = 0 | +4 ⇔ x 2 = 4 | ⋅2 ⇔ x 2 = 8 ⇒ x 2 / 3 = ± 8
2
2
(
Px1 (1 | 0 )
A4
Px2 / 3 ± 8 ≈ 2,83 | 0
Ausführliche Lösung
Wertetabelle:
x
−3 −2,83 −2 −1,33 −1 0 0,33 1
f ( x ) −2
A4
)
0
6
7,26
2
4 2,63 0 −2
7
2,83 3
0
1
Ausführliche Lösung
8
7
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
1
0
1
2
3
4
2
3
Erstellt von R. Brinkmann p5_diff_vb_ka_02_e.doc
05.05.2008 21:36
13 von 13