x ∀ x∃ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 = e о

FORMELSAMMLUNG
ALGEBRA / GEOMETRIE
Elementare Logik
1.
•
•
•
•
•
•
Verknüpfungen
NOT-Verknüpfung (Negation)
UND-Verküpfung
ODER-Verknüpfung
EXOR-Verknüpfung (Antivalenz)
EXNOR-Verknüpfung (Äquivalenz)
Implikation: a⇒b (aus a folgt b; aber nicht aus b folgt a)
•
•
Kontraposition: b ⇒ a
Umkehrung: b⇒a
2.
Quantoren
•
•
g : ax + by + c = 0
Eigenschaften:
−b
x : r =  ⊥g
 a 
3-Dimensional: ergibt Ebene, keine Geradengleichung möglich
Parameter-Form
1 
 3
r =   + s ⋅  
2
 
 4
2-Dimensional:
 4
1
 
 
r = 2 + s ⋅  5
 6
3
 
 
3-Dimensional:
∀x
∃x
für alle x
es existiert mindestens ein x
3.
•
Beweis mit Gegenannahme (indirekter Beweis)
Man nimmt das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung an,
und zeigt, dass dies auf einen Widerspruch führt.
4.
•
Direkter Beweis
Ziemlich schwierige Beweismethode. Beispiel: n(n+1) =
gerade. Beweis: eine gerade mal eine ungerade Zahl ergibt
gerade Zahl.
5.
•
Induktion (Gleichung x =? y)
Induktionsanfang: n=1 (zeigen dass Beh. mit eingesetztem
Wert stimmt x=y Ö)
Induktionsschritt: Bei y für n Þ n+1 einsetzten Þ y‘
Induktions-Annahme: x+(n+1)=y‘
•
•
•
2-Dimensional:
•
Umwandlung kartesisch-parameter
g : ax + by + c = 0 Þ r =  m  + s ⋅  − b 
n
 a 
 
 
Punkt auf g bestimmen, m= P(x); n=P(y)
•
Umwandlung parameter-kartesisch
 m
a
r =   + s ⋅   Þ g : bx − ay + c = 0
 n
b
P(m,n) in g einsetzen à ergibt Offset c.
3.
•
Ebenengleichungen
Kartesische Form
E : ax + by + cz + d = 0
•
Parameter-Form
1
 4
 7
 
 
  oder r = OP + s ⋅ v + t ⋅ w
r = 2 + s ⋅  5 + t ⋅  8
3
 6
 9
 
 
 
Rekursion
Beispiel: Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...
a0 = a1 = 1
an + an +1 = a n+ 2
 a
 b  ⊥v,w
c
 
Eigenschaften:  
Summenzeichen
n
∑a
i =1
=a1 + a 2 + ...an
i
∑(a + b ) = ∑ a + ∑ b
∑(a ⋅ b ) = a ⋅ ∑ b
i
i
i
i
•
Umwandlung kartesisch-parameter
E : ax + by + cz + d = 0
3 Punkte auf E bestimmen ( P 1(0/0/a); P 2(0/b/0); P 3(c/0/0))
•
Umwandlung parameter-kartesisch
i
r = OP1 + s ⋅ P1 P2 + t ⋅ P1 P3
i
Binomialkoeffizienten
1.
2.
Fakultät Þ
Binomischer Lehrsatz
r = OP + s ⋅ v + t ⋅ w
n! = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)... ⋅ 2 ⋅ 1
gesucht: Vektor senkrecht auf v und w
a
 
r r also für
 b ⊥E = ⊥v , w
c 
 
 n
n!
  =
 k  k!( n − k )!
n
n
( x + y) n = ∑   ⋅ x k ⋅ y n −k
k =0  k 
•
•
 j
d 
 g
a d   g 
 
 
  Þ      
r = k + s ⋅ e  + t ⋅ h
b =  e × h 
l
f
i
c   f   i 
 
 
 
     
Induktion
Þ E : ax + by + cz + d = 0 Þ j,k,l in E einsetzen =d
Induktionsanfang: A(1) verifizieren
Induktionsschritt: zeigen, dass aus A(n) (Induktionsannahme)
folgt (Implikation): A(n+1)
4.
r
r r
a = a = ax 2 + ay 2 + a z 2 = a ⋅ a
Vektoralgebra
1.
•
5.
Vektoren
Komplanare Vektoren
Vektoren liegen in der gleichen Ebene (a und b linear
unabhängig)
Kollineare Vektoren (linear abhängig)
Vektoren haben die gleiche Richtung (parallel). Wenn sie linear
unabhängig sind, dann gilt:
r
r
r r
r ⋅ a + s ⋅b + t ⋅ c = 0
2.
•
Geradengleichungen
Kartesische Form
© Stefan Röthlisberger / E1A
Einheitsvektor
r  a x / a 
r
a 
ea = r =  ay / a 
a 

 az / a 
r
r
r
c = r ⋅ a + s ⋅b
•
Betrag eines Vektors
6.
Winkelhalbierende
r
r
r u
v
w= r + r
u
v
7.
Skalarprodukt
r
ea = 1
r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
1/2
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
ALGEBRA / GEOMETRIE
 1 3 0  → t + 3t ′ = 0 Richtun gsvektor


⇒ keineLösung
 0 0 1 → 0 = 1
 0 0 0 → 0 = 0


PARALLEL & VERSCHIEDE N
 ax  bx 
r r    
a ⋅ b =  a y  ⋅ by  = ax bx + a y by + a zbz
 a  b 
 z  z
8.
Vektorprodukt
1 0 2  → t = 2


 0 1 − 1 → t ′ = −1⇒ keineLösung
0 0 0  → 0 = 0


g UND h SCHNEIDENSICH
 ax 
 bx 
r  ; r  
a =  ay  b =  by 
a 
b 
 z
 z
 a y ⋅ bz − az ⋅ by 

r r 
a × b =  az ⋅ bx − ax ⋅ bz 
 a ⋅ b − a ⋅b 
y
x
 x y
 − 3 − 5 3  1 1.66 − 1 → t + 1.66t ′ = −1

 − 6 − 10 6  →  0 0
→ 0=0
0 

 
g=h
•
9.
•
Lage von Geraden-Geraden
Parameterform
1. Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit prüfen (ja:
parallel; nein: windschief/geschnitten)
2. Punkt P auf g bestimmen
3. Prüfen, ob P auch auf h liegt (ja: gleich; nein: parallel)
•
Kartesisch
1. Auf lineare Abhängigkeit prüfen (Verhältnisse a/b sind
gleich: parallel; sonst: schneiden sich)
2. Schnittpunkt: gleichsetzen
3. Auf gleiche Lage prüfen (c/b ist gleich: identisch; sonst:
parallel)
Ebene-Geradengleichung
r
1

0
0

s t
0 0 5 → r = 5

1 0 4 → s = 4
⇒ Schnittpunkt
0 1 2  → t = 2 ; t in Geradengle ichung ens.
g SCHNEIDET E
 1 0 − 0.5 − 2  → r − 0.5t = −2


 0 1 − 0.5 3  → s − 0.5t = 3
0 0
0
0  → 0 = 0 ⇒ g liegt in E

g LIEGT IN E
10. Lage Gerade-Ebene
•
Parameter-Gerade - Parameter-Ebene
1. Gleichsetzen (keine Lösung: parallel; 1 Lösung:
Schnittpunkt; ∞ Lösungen: g ∈ E);
2. Falls Schnittpunkt: Parameter in g einsetzen (einfacher!)
3. Tip: x,y,z einführen: Gl. System mit 6 Gleichungen:
Schnittpunkt ablesbar
•
Parameter-Gerade – kartesische Ebene
1. Gerade zeilenweise (1.Zeile = x; ....) in Ebenengleichung
einsetzen à t (Bed. wie oben)
2. t in g einsetzen à Schnittpunkt
 1 0 −1 0


 0 1 1 0
 0 0 0 1  → 0 = 1⇒ g parallel zu E


g PARALLEL ZU E
•
11. Lage Ebene-Ebene
•
Beachte: Schnittgerade ist immer Parameter-Form !!!
•
Parameter-Parameter:
1. x,y,z einführen: Gl. System mit 6 Gleichungen:
Schnittgerade ablesbar (die ersten 3 Zeilen)
2. Achtung: falls letzte Zeile: keine Lösung: parallel; 1
Lösung: Schnittgerade; ∞ Lösungen: fallen ineinander
•
Parameter-Kartesisch:
1. Parameter-Ebene zeilenweise (1.Zeile = x; ....) in
Ebenengleichung einsetzen à r=4s+4 (Bed. wie oben)
2. r in Parameter-Ebene einsetzen à Schnittgerade
•
Kartesisch-Kartesisch
1. 2 Gleichungsysteme, je einmal x und y 0 setzen
(Spurpunkte) à 2Punkte auf Schnittgerade (wenn
vorhanden)
2. Schnittgerade bestimmen mit Hilfe von Ortsvektor und
Spannvektoren
Ebene-Ebenegleichung
r s r′ s′
 1 0 − 3 − 2 7


 0 1 − 2 − 3 6
0 0 0
0 0  → 0 = 0 ⇒ E = E ′.

E LIEGT IN E′
−1 − 1 0

−1 1 0
0
0 1  → 0 = 1⇒ keineSchnittger..
E LIEGT PARALLEL ZU E ′
 1 0 0 3 2  → r + 3s ′ = 2


 0 1 0 − 1 0 → s − s′ = 0
 0 0 1 1 0  → r ′ + s ′ = 0 ⇒ s ′ = -r ′


E SCHNEIDET E ′
1 0

0 1
0 0

12. Kreisgleichung
•
Kreis mit Zentrum M(a/b), Radius r Þ
( x − a ) 2 + ( y − b) 2
= r2
13. Kugelgleichung
•
Kugel mit Zentrum M(a/b/c), Radius r Þ
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2
= r2
14. Interpretieren von HP-Matrixen MTH Þ MATR Þ
FACTR Þ RREF
•
Gerade-Geradengleichung Þ
t t′
 1 0 0 → t = 0


 0 1 0 → t′ = 0
 0 0 1  → 0 = 1 ⇒ keineLösung


WINDSCHIEF
© Stefan Röthlisberger / E1A
2/2
13.11.00