Zusammenfassung 2. Halbjahr

2006/2007
Mathematik 8. Jahrgangsstufe
Lehrtext
Zusammenfassung – Grundwissen
Lösung einer Bruchgleichung
Eine Bruchgleichung wird in den folgenden Schritten rechnerisch gelöst:
• Vorbereitungsarbeiten:
1. Bestimme den Hauptnenner. Ermittle deshalb zu jedem Nenner die Faktorisierung (durch Ausklammern, Anwendung einer binomischen Formel)
und die zugehörigen Erweiterungsfaktoren.
2. Ermittle die Definitionsmenge D der Bruchgleichung. Dazu muss man nur
feststellen, für welche Werte der Hauptnenner 0 wird.
• Lösung der Bruchgleichung:
1. Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner.
Beachte dabei: Das Multiplizieren der Gleichung mit dem
Hauptnenner bedeutet die Zähler der einzelnen Bruchterme mit
den zugehörigen Erweiterungsfaktoren zu multiplizieren.
2. Fasse die x- Glieder und die Zahlen zusammen.
3. Löse nach x auf und prüfe, ob das Ergebnis in der Definitionsmenge liegt
und schreibe die Definitionsmenge an.
Musteraufgabe zu den Bruchgleichungen
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichung:
x
1
x2
−
= 2
x − 5 2x + 10
x − 25
• Vorarbeiten:
1. Bestimmung des Hauptnenners:
Nenner
x−5
2x + 10
x2 − 25
Hauptnenner
Faktorisierung
x−5
2 · (x + 5)
(x − 5)(x + 5)
2(x − 5)(x + 5)
Erweiterungsfaktoren
2(x + 5)
x−5
2
Genauere Erklärung der Faktorisierung:
– Beim zweiten Nenner kann man
klammern:
a·b +
|{z}
q
2·x +
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die Zahl zwei mit dem Distributivgesetz ausa · c = a · (b + c)
|{z}
| {z }
q
q
2 · 5 = 2 · (x + 5)
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– Beim dritten Nenner kann man die dritte binomische Formel anwenden:
a2 − |{z}
b2 = (a − b)(a + b)
|{z}
|
{z
}
q
q
q
x2 − 52 = (x − 5)(x + 5)
2. Bestimmung der Definitionsmenge
Dazu muss man prüfen, für welche x- Werte der Hauptnenner 0 wird:
x = 5 ∨ x = −5 ⇒ D = Q \ {−5; 5}
• Lösung der Bruchgleichung
x
1
x2
−
= 2
| · HN
x − 5 2x + 10
x − 25
2x(x + 5) + (x − 5) = 2x2
2x2 + 10x + x − 5 = 2x2
11x = 5
5
D
x=
11
5
L=
11
Anwendung der Potenzgesetze
An dieser Stelle werden nochmals kurz die Potenzgesetze zusammengefasst:
• Das erste Potenzgesetz:
am · am = am+n
• Das zweite Potenzgesetz:
am · bm = (ab)m
• Das dritte Potenzgesetz:
(am )n = am·n
• Das vierte Potenzgesetz:
• Das fünfte Potenzgesetz:
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an
= an−m
am
am a m
=
bm
b
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Musteraufgabe zu den Potenzgesetzen
Schreibe den folgenden Term ohne die Verwendung von Brüchen:
(x2 y −3 )−3 z 2
x2 (yx)−2 z
−4
Gehe bei diesen Aufgaben immer von innen nach außen vor. Wende dazu zunächst das zweite
Potenzgesetz an:
−6 −9 2 −4
x y z
=
x2 y −2 x−2 z
Mit dem ersten Potenzgesetz kann man die x im Nenner noch zusammenfassen:
=
x−6 y −9 z 2
x2+(−2) y −2 z
x−6 y −9 z 2
x0 y −2 z
−4
x−6 y −9 z 2
y −2 z
−4
x−6 y −9 z 2
y −2 z
−4
=
=
=
−4
Nun kann man mit dem vierten Potenzgesetz kann man den Bruch beseitigen:
= x−6−0 y −9−(−2) z 2−1
= x−6 y −7 z 1
−4
−4
Die Klammer löst man nun mit dem dritten Potenzgesetz auf:
= x24 y 28 z −4
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Die Strahlensätze
An dieser Stelle werden die Strahlensätze nochmals wiederholt:
Die Strahlensätze gehen von der folgenden Figur aus:
• Der erste Strahlensatz macht eine Aussage über gleiche Streckenverhältnisse
auf den Strahlen, die von Z ausgehen:
ZA
ZB
=
AA0
BB 0
ZA
ZB
=
ZA0
ZB 0
• Der zweite Strahlensatz macht eine Aussage über das Seitenverhältnis der
Parallelstrecken zu dem Seitenverhältnis auf einem von Z ausgehenden Strahl:
ZA
AB
= 0 0
0
ZA
AB
Musteraufgabe zum Strahlensatz
Ist man von der Alten Kirche noch 150 m entfernt, dann kann man den Turm auf einer Augenhöhe von 1,50m zur Deckung bringen. Der Daumen wird dabei 0,30 m vor das Gesicht gehalten
und er hat eine Länge von 0,09m. Berechne die Höhe des Kirchturms der Alten Kirche.
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Lösung
Da man hier eine Aussage über die Seitenverhältnisse auf einem Strahl und dem Verhältnis
zweier Parallelstrecken vorliegen haben, ist der zweite Strahlensatz zu verwenden:
150 m
x
=
0,09 m
0,30 m
x = 45 m
Adiiert man noch die Augenhöhe dazu, dann hat der Kirchturm die Höhe 46,5 m.
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