Partielle Differentialgleichungen für Ingenieure 1 Grundbegriffe der

Partielle Differentialgleichungen für Ingenieure
Prof. Michael Reissig (Institut für Angewandte Analysis)
Wintersemester 2008/2009
Viele Prozesse der Natur und Technik werden durch Bilanzgleichungen oder Erhaltungssätze beschrieben. Damit kommt man zu Modellen, die mit Hilfe von partiellen
Differentialgleichungen beschrieben werden.
Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen lassen sich i.allg. partielle
Differentialgleichungen noch schwerer exakt lösen. Wie geht der Techniker bei der
Behandlung von Modellen aus Natur und Technik vor?
• Modell aufstellen, Nebenbedingungen für Prozeßgrößen vorgeben,
• analytische Untersuchungen durchführen, d.h. zu entscheiden, ob das aufgestellte Modell vernünftig ist, hat das Modell überhaupt eine Lösung, welche Eigenschaften haben die Lösungen, d.h. man ist an der Gesamtheit aller Lösungen interessiert, ← solche Fragen diskutieren wir in dieser Vorlesung
”Partielle Differentialgleichungen für Ingenieure”,
• numerische Simulation durchführen, näherungsweise Berechnung der zu bestimmenden Prozeßgrößen ← Hilfsmittel erhält man in der Vorlesung ”Numerik partieller Differentialgleichungen”,
• schließlich muß abgeklärt werden, ob die erhaltenen Resultate mit den praktischen Erwartungen übereinstimmen.
1
Grundbegriffe der Theorie partieller Differentialgleichungen
Wir beschäftigen uns nur mit partiellen Differentialgleichungen in den Anschauungsräumen R1 , R2 , R3 .
1.1
Stationäre Prozesse
Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung der Form
R2 :
R3 :
F (x, y, u, ux , uy , uxx , uxy , uyy , · · ·) = 0,
F (x, y, z, u, ux , uy , uz , uxx , uxy , uxz , uyz , uyy , uzz , · · ·) = 0 .
Merke:
1
• Die Lösung u = u(x, y) im R2 bzw. u = u(x, y, z) im R3 hängt von den
Ortsvariablen x, y bzw. x, y, z ab. Die Lösung ist aber unabhängig von der
Zeitvariablen t. Deshalb werden durch obige partielle Differentialgleichungen
stationäre Prozesse beschrieben.
• Hängt die Lösung u = u(x) nur von einer Raumvariablen x ab und nicht von
der Zeitvariablen t, dann erhält man die Beziehung
du d2 u
,
, · · ·) = 0 .
dx dx2
Das ist keine partielle Differentialgleichung, sondern eine gewöhnliche Differentialgleichung (vgl. Vorlesung Höhere Mathematik II). Man unterscheidet
streng zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen.
F (x, u,
1.2
Instationäre Prozesse
Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung der Form
R1 : F (x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utt , · · ·) = 0,
R2 : F (x, y, t, u, ux , uy , ut , uxx , uxy , uyy , uxt , uyt , utt , · · ·) = 0,
R3 : F (x, y, z, t, u, ux , uy , uz , ut , · · ·) = 0.
Merke:
• Die Lösung hängt jetzt von der Zeitvariablen t und von Ortsvariablen ab. Deshalb werden durch obige partielle Differentialgleichungen instationäre Prozesse
beschrieben.
Die vorkommende partielle Ableitung mit der höchsten Ableitungsordnung bestimmt
die Ordnung der partiellen Differentialgleichung.
Eine partielle Differentialgleichung heißt linear, falls die gesuchte Lösung u, als auch
alle vorkommenden partiellen Ableitungen von u linear auftreten. Die Abhängigkeit
von u bez. der Zeitvariablen t und bez. der Ortsvariablen braucht dagegen nicht
notwendig linear zu sein.
Ziel: Gesucht sind alle Funktionen u, die eine vorgelegte partielle Differentialgleichung erfüllen.
Machen wir uns die neuen Begriffe an folgenden Beispielen klar:
1.
ut + u uxx = 0 ,
2.
utt − ux + sin u = 0 ,
3.
ut − sin(x2 t)uxx = 0 ,
4.
ut + 3x ux − tx2 = 0 .
2
2
2.1
Modelle in Natur und Technik
Erhaltungssätze
Ein Erhaltungssatz ist eine mathematische Formulierung folgender Beobachtung, die
in Natur und Technik immer auftritt:
Vorgelegt sei ein beliebiges Gebiet G und eine Quantität u in G. Dann ist die Rate der
zeitlichen Änderung ∂u
der Quantität u gleich der Rate des Flusses φ der Quantität
∂t
u durch den Rand ∂G des Gebietes G und der Rate f des Entstehens oder Versiegens
der Quantität u im Gebiet selbst.
Rª
6
6
R ª
R
ª
G
? ?
Die Quantität sei u = u(t, x), oder u = u(t, x, y), oder u = u(t, x, y, z). Wendet
man den Gaußschen Integralsatz an, dann ergibt sich aus obiger Beschreibung die
folgende lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung im Gebiet G:
R1 :
R2 :
R3 :
∂u ∂φ
+
= f (t, x),
∂t
∂x
∂u
+ div φ = f (t, x, y),
∂t
∂u
+ div φ = f (t, x, y, z).
∂t
Die Divergenz von φ ist definiert durch
∂φ1 ∂φ2
+
,
∂x
∂y
∂φ1 ∂φ2 ∂φ3
R3 : div φ = div (φ1 , φ2 , φ3 ) =
+
+
.
∂x
∂y
∂z
R2 : div φ = div (φ1 , φ2 ) =
Mit φ bezeichnen wir den Fluß der Quantität durch den Rand des Gebietes. Mit f =
f (t, · · ·) bezeichnen wir die Quellen oder Senken, die zum Entstehen oder Versiegen
der Größe u führen.
3
Transport oder Konvektion
Lineare Konvektion:
Der Zusammenhang zwischen Fluß φ und Quantität u wird in homogenen Medien
beschrieben durch φ = ~c u, das heißt, jede Komponente φk des Flusses ist proportional zu u, ~c ist ein konstanter Vektor. Man erhält dann die Transport- oder
Konvektionsgleichung
R1 :
R2 :
R3 :
∂u
∂u
+c
= f (t, x), φ = cu ,
∂t
∂x
∂u
∂u
∂u
+ c1
+ c2
= f (t, x, y), φ1 = c1 u, φ2 = c2 u ,
∂t
∂x
∂y
∂u
∂u
∂u
∂u
+ c1
+ c2
+ c3
= f (t, x, y, z), φ1 = c1 u, φ2 = c2 u, φ3 = c3 u .
∂t
∂x
∂y
∂z
Nichtlineare Konvektion:
Der Zusammenhang zwischen Fluß φ und Quantität u wird beschrieben durch
φ = φ(u) = (φ1 (u), φ2 (u), φ3 (u)), das heißt, jede Komponente des Flusses hängt
nichtlinear von u ab. Dann ergibt sich im R3 die nichtlineare Konvektionsgleichung
∂u
∂u
∂
∂
∂
+ div φ(u) =
+
φ1 (u) +
φ2 (u) +
φ3 (u) = 0
∂t
∂t
∂x
∂y
∂z
falls keine Quellen oder Senken im Gebiet G vorliegen.
+ div φ(u) = 0 ist schon sehr kompliziert. In der Literatur
Beachte: Die Gleichung ∂u
∂t
kann man unter Burgers-Gleichung Informationen erhalten.
Lineare Konvektion in heterogenen Materialien:
In heterogenen Materialien gilt φ = ~c(x, y, z)u, wobei jetzt der Vektor ~c nicht mehr
als konstant vorausgesetzt wird, sondern von den Punkten (x, y, z) des Gebietes G
abhängen darf. Es gilt dann
∂u
∂u
∂u
∂u
+ c1 (x, y, z)
+ c2 (x, y, z)
+ c3 (x, y, z)
∂t
∂x
∂y
∂z
¶
µ
∂c1 (x, y, z) ∂c2 (x, y, z) ∂c3 (x, y, z)
+
+
u=0,
+
∂x
∂y
∂z
wenn wir auch jetzt auf Quellen oder Senken verzichten.
Versuchen wir im R3 die spezielle Konvektionsgleichung
∂u
∂u
∂u
∂u
+ c1
+ c2
+ c3
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
4
zu lösen. Diese können wir auch in der Form
µ
¶
∂u ∂u ∂u
∂u
+ ~c · grad u = 0 , grad u =
,
,
, ~c = (c1 , c2 , c3 ) ,
∂t
∂x ∂y ∂z
schreiben.
Wir wählen den Lösungsansatz: u(t, x, y, z) = F (~k · (x, y, z) − t) = F (k1 x + k2 y +
k3 z − t), wobei F eine auf dem R1 definierte, differenzierbare Funktion ist. Dann gilt
∂u
dF ∂u
dF ∂u
dF
=−
,
= k1
,
= k2
,
∂t
dτ ∂x
dτ ∂y
dτ
dF
∂u
= k3
mit τ = k1 x + k2 y + k3 z − t .
∂z
dτ
Eingesetzt erhalten wir
∂u
dF
dF
dF
dF
+ ~c · grad u = −
+ c1 k1
+ c2 k2
+ c3 k3
∂t
dτ
dτ
dτ
dτ
dF
dF
=
(c1 k1 + c2 k2 + c3 k3 − 1) =
(~c · ~k − 1) .
dτ
dτ
Fazit:
Falls ~c · ~k = 1, dann ist u(t, x, y, z) = F (~k · (x, y, z) − t) eine Lösung von
∂u
+ ~c· grad u = 0 für jede differenzierbare Funktion F . Man nennt diese Lösungen
∂t
ebene Wellen oder sich fortpflanzende Wellen (travelling waves).
2.2
Diffussion
Wir wenden uns wieder im R3 unserem Erhaltungssatz
∂u
+ div φ = f (t, x, y, z)
∂t
zu. Jetzt ist φ nicht proportional zu u, sondern φ = −D grad u, wobei D die
Diffusionskonstante ist. Damit ergibt sich
∂u
∂u
+ div (−D grad u) =
− D 4 u = f (t, x, y, z).
∂t
∂t
Die partielle Differentialgleichung
∂u
− D 4 u = f (t, x, y, z).
∂t
heißt Diffussionsgleichung und beschreibt Diffusionsvorgänge. Die allgemeine Differentialgleichung zur Beschreibung der Teilchendiffussion in einem Stoff ist
ρ(x, y, z)
∂u
− div (D(x, y, z) grad u) + q(x, y, z)u = f (t, x, y, z),
∂t
wobei
5
• ρ = ρ(x, y, z) die Porosität, D = D(x, y, z) den Diffussionskoeffizienten und
q = q(x, y, z) die Absorption durch den Stoff bezeichnen,
• u = u(t, x, y, z) die Teilchendichte im Punkt (x, y, z) zum Zeitpunkt t bezeichnet.
Mit Hilfe der Diffussionsgleichung werden aber auch Wärmeleitprozesse beschrieben.
Deshalb heißt diese Gleichung auch Wärmeleitungsgleichung. Nach dem Fourierschen
Gesetz ist der Wärmefluß
φ = −K gradT,
wobei T = T (t, x, y, z) die Temperatur zum Zeitpunkt t im Ortspunkt (x, y, z) bezeichnet. Damit erhalten wir
∂T
∂T
∂T
+ div φ =
− K divgrad T =
− K 4 T = f (t, x, y, z).
∂t
∂t
∂t
Die Wärmeleitfähigkeit K kann in heterogenen Medien vom Ortspunkt (x, y, z)
oder bei vorhandenen großen Temperaturunterschieden auch von der Temperatur
T abhängen. Dann gilt nach dem Fourierschen Gesetz
φ = −K(x, y, z, T )gradT.
Man erhält die nichtlineare Wärmeleitungsgleichung
∂T
− div(K(x, y, z, T )gradT ) = f (t, x, y, z).
∂t
2.3
Stationäre Modelle
Mitunter sind Techniker an stationären (zeitunabhängigen) Zuständen (Lösungen)
interessiert. Läuft ein Prozeß sehr lang in der Zeit, dann sollte sich ein von der
Zeit unabhängiger stationärer Zustand einstellen. Dabei muß vorausgesetzt werden,
daß die Quellen oder Senken nicht von der Zeit abhängen. Andernfalls ist nicht an
Stationarität zu denken. Als stationärer Grenzfall der Modelle aus Abschnitt 2.2
erhalten wir
−D 4 u = f (x, y, z), −K 4 T = f (x, y, z),
− div(D(x, y, z) grad u) + q(x, y, z)u = f (x, y, z),
− div(K(x, y, z, T )gradT ) = f (x, y, z).
Die partielle Differentialgleichung 4u = f (x, y, z) heißt Poisson-Gleichung. Falls keine Quellen oder Senken vorliegen ergibt sich daraus die Laplace-Gleichung 4u = 0.
Diese ist die grundlegende Differentialgleichung der Potentialtheorie und beschreibt
Potentiale (Gravitationspotentiale, Einfachschicht-, Doppelschichtpotentiale) außerhalb von Quellen oder Senken.
6
2.4
Schwingungen und Akustik
Akustik ist die Wissenschaft des Schalls und erklärt wie sich Signale in einem Medium ausbreiten.
Wir sind interessiert an Schallwellen in einer Röhre mit kreisförmigen Querschnitt,
die mit Gas gefüllt ist. In einem festen Querschnitt sollen die Zustandsgrößen konstant sein, damit hängen diese nur von der Variablen x (Längenparameter in der
Röhre) und der Zeitvariablen t ab. Somit gelangen wir zu eindimensionalen (1-d)
Modellen. Die Zustandsvariablen sind die Massendichte ρ = ρ(x, t), die Geschwindigkeit v = v(x, t) und der Druck p = p(x, t). Um die Gleichungen der Akustik
herleiten zu können starten wir mit der schon bekannten Bilanzgleichung
∂u
∂φ
+
= f.
∂t
∂x
Zuerst muß die Massebilanz gesichert sein. Dazu wählen wir u = ρ und φ = ρv, das
ist der sogenannte Massefluß. Es soll keine Quellen oder Senken für die Masse selbst
geben, damit ist f = 0. Damit erhalten wir die Massebilanz
∂t ρ + ∂x (ρv) = 0.
Merke: Man nennt diese partielle Differentialgleichung Kontinuitätsgleichung. Im 3-d
Fall nimmt sie die Form
∂t ρ + div (ρ ~v ) = 0
an. Für inkompressible Fluide gilt ρ = const., und somit nimmt die Kontinuitätsgleichung die Form div ~v = 0 an.
Nun müssen wir uns der Impulsbilanz zuwenden. Es sind u = ρv die Impulsdichte
und φ = (ρv)v der Impulsstrom. Jetzt tritt eine Quelle f auf, die durch den Druck∂p
gradienten entlang der Röhre hervorgerufen wird, f = − ∂x
. Damit erhalten wir die
Impulsbilanz
∂t (ρv) + ∂x (ρv 2 ) = −∂x p.
Neben diesen beiden Bilanzen muß noch eine Zustandsgleichung der Form p = F (ρ)
vorgeschrieben werden. Wir setzen voraus F 0 (ρ) > 0, der Druck wächst damit mit
wachsender Dichte. Ein typisches Beispiel einer solchen Zustandsgleichung ist p =
kργ mit k > 0 und γ > 1.
Wir setzen konstante Temperatur während des Prozesses voraus, andernfalls muß
noch eine Energiebilanz aufgestellt werden.
Die Theorie des Schalls beschäftigt sich mit kleinen Störungen eines homogenen
Gases. Wir setzen voraus, daß das Gas in Ruhe ist, ρ = ρ0 , v = 0, p0 = F (ρ0 ).
7
An einem Ende der Röhre soll eine kleine Störung auftreten, ρ = ρ0 + ρ̃(x, t), v =
ṽ(x, t), ρ̃ und ṽ beschreiben kleine Störungen. Dann gilt nach der Zustandsgleichung
p = F (ρ) = F (ρ0 + ρ̃) = F (ρ0 ) + F 0 (ρ0 )ρ̃ +
F 00 (ρ0 ) 2
ρ̃ + · · · = p0 + c2 ρ̃ + · · · ,
2!
p
wobei c = F 0 (ρ0 ) die Schallgeschwindigkeit ist. Die Terme mit ρ̃2 sind sehr klein
und vernachlässigbar im Vergleich zu Termen, die von der Größenordnung ρ̃ sind.
Setzen wir diese Ausdrücke in die Massebilanz ein, dann erhalten wir
∂
∂
(ρ0 + ρ̃) +
((ρ0 + ρ̃)ṽ) = 0.
∂t
∂x
Setzen wir die Kontinuitätsgleichung in die allgemeine Impulsbilanz ein, dann ergibt
sich
(ρv)t + (ρv 2 )x = ρt v + ρ vt + ρx v 2 + ρ 2vvx
= −ρx v 2 − ρ vvx + ρ vt + ρx v 2 + 2ρ vvx
= ρ vt + ρ vvx = −px .
Zusammenfassend schlußfolgern wir aus der Impuls- und Massebilanz die Beziehung
ρ vt + ρ vvx + px = 0.
Setzen wir nun die obigen Ausdrücke für ρ, v und p in diese Beziehung ein, dann
erhalten wir
(ρ0 + ρ̃)
∂ṽ
∂
+ (ρ0 + ρ̃)ṽ
ṽ + (p0 + c2 ρ̃ + · · ·)x = 0.
∂t
∂x
Aus der Massebilanz erhalten wir
∂ ρ̃
∂ṽ
∂
+ ρ0
+
(ρ̃ ṽ) = 0.
∂t
∂x |∂x {z }
dieser Term wird als klein angesehen,
da ρ̃ und ṽ klein sind.
Aus der Folgerung aus Masse- und Impulsbilanz erhalten wir
ρ0
∂ṽ
kleine und damit
∂ ρ̃
= 0.
+ c2
+
vernachlässigbare Terme
∂t
∂x
Damit erhalten wir die lineare Approximation
8
∂ ρ̃
∂ṽ
∂ṽ
∂ ρ̃
+ ρ0
= 0, ρ0
+ c2
= 0.
∂t
∂x
∂t
∂x
↓
Differentiation nach t
↓
Differentiation nach x
2
∂ 2 ρ̃
∂ 2 ṽ
∂ 2 ṽ
2 ∂ ρ̃
+
ρ
= 0.
=
0,
ρ
+
c
0
0
∂t2
∂t∂x
∂x∂t
∂x2
Setzen voraus, daß
∂ 2 ṽ
∂t∂x
↓
=
∂ 2 ṽ
∂x∂t
gilt
↓
2
∂ 2 ρ̃
2 ∂ ρ̃
−
c
= 0,
∂t2
∂x2
2
∂ 2 ṽ
2 ∂ ṽ
−
c
= 0
∂t2
∂x2
erhält man auf entsprechende Weise.
2
Man nennt allgemein utt − c uxx = 0 Wellengleichung. Im 2 − d oder 3 − d Fall
nimmt die Wellengleichung die Gestalt
utt − c2 4 u = 0, 4u = uxx + uyy (2 − d), 4u = uxx + uyy + uzz (3 − d)
an.
Merke: Durch die Wellengleichung werden auch transversale Schwingungen einer elastischen Saite oder einer Membran beschrieben. Beobachtet man die Schwingungen
einer elastischen Saite in einem schweren Öl, dann tritt eine zusätzliche Dämpfung
auf. Man beschreibt diesen Vorgang durch die gedämpfte Wellengleichung
utt − c2 uxx + k ut = 0
↑
dieser Term beschreibt die Dämpfung.
In (2 − d) oder (3 − d) nimmt die gedämpfte Wellengleichung die Gestalt
utt − c2 4 u + k ut = 0
an.
Versuchen wir wieder Lösungen von utt − c2 4 u = 0 in Form von ebenen Wellen
oder sich fortpflanzenden Wellen (travelling waves) zu erhalten.
Dazu wählen wir den Lösungsansatz
u(t, x, y, z) = F (k1 x + k2 y + k3 z − t), utt = F 00 (τ ), c2 uxx = c2 k12 F 00 (τ ),
c2 uyy = c2 k22 F 00 (τ ), c2 uzz = c2 k32 F 00 (τ ) mit τ = k1 x + k2 y + k3 z − t.
9
Falls also c2 (k12 + k22 + k32 ) = 1 erfüllt ist, dann ist u eine Lösung von utt − c2 4 u = 0
für jede zweimal differenzierbare Funktion F .
Die Wellengleichung kommt auch in anderen Modellierungsebenen zur Anwendung.
So werden kleine Verschiebungen eines elastischen Stabes beschrieben durch
ρ(x)S(x)∂t2 u − ∂x (E(x)S(x)∂x u) = F (x, t),
wobei S(x) den Flächeninhalt des Querschnittes des Stabes und E(x) den Youngsche
Modul bezeichnen.
2.5
Quantenmechanik
Wir betrachten ein Teilchen der Masse m, das sich auf der x-Achse unter Einwirkung
einer Kraft F = F (x) bewegt. Uns interessiert die Position x = x(t), die sich nach
2
dem zweiten Newtonschen Grundgesetz aus der Beziehung m ddt2x = F (x) ergibt.
In der atomaren Skale gilt wegen der Heisenbergschen Unschärfebeziehung diese
deterministische Gleichung nicht mehr. Der Zustand eines Teilchens wird durch
die sogenannte Wellenfunktion ψ = ψ(t, x) beschrieben (eine 1 − d Betrachtungsweise wird hierbei vorausgesetzt). Die Funktion
|ψ(t, x)|2
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Wellenfunktion ψ = ψ(t, x) ist komplexwertig, damit ist
Rb
|ψ(t, x)|2 = ψ(t, x)ψ(t, x)) , durch |ψ(t, x)|2 dx wird die Wahrscheinlichkeit bea
schrieben, mit welcher sich ein Teilchen zum Zeitpunkt t im Intervall [a, b] befindet.
Die Wellenfunktion ψ ergibt sich als Lösung der Schrödinger-Gleichung
i h̃
h̃2 ∂ 2 ψ
∂ψ
=−
+ V (x)ψ
∂t
2m ∂x2
für t > 0 und x ∈ R, wobei V = V (x) die potentielle Energie, m die Masse und
h̃ = h/(2π) das Plancksche Wirkungsquantum beschreiben.
Als freie Schrödinger-Gleichung bezeichnet man
i
∂ψ
∂ 2ψ
=−
.
∂t
∂x2
Im 2 − d oder 3 − d Fall nimmt diese die Gestalt
i
∂ψ
=−4ψ
∂t
bzw.
i
∂ψ
= 4ψ
∂t
an.
Merke: Die freie Schrödinger-Gleichung 1i ∂ψ
= 4ψ und die Diffussionsgleichung
∂t
∂u
1
=
4u
unterscheiden
sich
nur
durch
den
Koeffizienten
. Trotzdem haben die
∂t
i
Lösungen ganz unterschiedliche Eigenschaften.
10
2.6
Die Gleichungen der Gas- und Hydrodynamik
Wir sind interessiert an der Beschreibung der Bewegung einer idealen Flüssigkeit
(eines idealen Gases) mit vernachlässigbarer Zähigkeit.
Im Anschauungsraum ßR3 seien ~v = (v1 , v2 , v3 )(t, x, y, z) der Geschwindigkeitsvektor, ρ = ρ(t, x, y, z) die Dichte, p = p(t, x, y, z) der Druck, f = f (t, x, y, z) die
~ x, y, z) = (G1 (t, x, y, z), G2 (t, x, y, z), G3 (t, x, y, z)) die
Intensität der Quelle und G(t,
Gewichtskräfte.
Dann ergeben sich die Grundgleichungen der Hydro- bzw. Gasdynamik zu
∂t ρ+ div (ρ~v ) = f
∂t~v + (~v , grad )~v +
(Massebilanz),
1
ρ
grad p = G
(Impulsbilanz),
dazu gibt man sich noch eine Zustandsgleichung der Form Φ(p, ρ) = 0 vor
(vgl. mit der Modellierung aus Abschnitt 2.4).
Frage: Wie ist der Term (~v , grad) ~v zu verstehen?
Antwort:
(~v , grad) ~v = ((v1 , v2 , v3 ) · (∂x , ∂y , ∂z ))(v1 , v2 , v3 )
= (v1 ∂x v1 + v2 ∂y v1 + v3 ∂z v1 , v1 ∂x v2 + v2 ∂y v2 + v3 ∂z v2 , v1 ∂x v3 + v2 ∂y v3 + v3 ∂z v3 ).
2.7
Die Navier-Stokes Gleichungen
Die Navier-Stokes Gleichungen stellen die Bewegungsgleichungen für ein Newtonsches Fluid dar. Falls die Dichte als konstant gesetzt wird, ergeben sich diese zu
ρ ∂t~v + ρ(~v , grad )~v − µ 4x ~v + grad p = G,
div ~v = 0.
Mit µ bezeichnen wir die Zähigkeit, die als konstant vorausgesetzt wird. Falls die
Strömung sehr langsam ist (|~v | ist klein) oder der Geschwindigkeitsgradient sehr
klein ist ((|∂x~v |, |∂y~v |, |∂z~v |) klein, im laminaren Bereich (keine Turbulenzen)), dann
kann man ρ(~v , grad )~v vernachlässigen, und wir erhalten die Stokesschen Gleichungen ρ ∂t~v − µ 4x ~v + grad p = G.
Bei nichtnewtonschen Fluiden ist die Zähigkeit nicht konstant (Schlacken, flüssiger
Estrich). Für nichtnewtonsche Fluide ohne elastischem Verhalten gilt
√
ρ ∂t~v + ρ(~v , grad )~v − div (2µ( 2tr D2 )D) + grad p = G, div ~v = 0 ,
√
√
wobei jetzt die Zähigkeit µ = µ( 2 tr D2 ) von 2 tr D2 abhängt. Wir bezeichnen
mit
11
D = 12 (L + LT ) den symmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradiententensors
L mit



L=
∂u1
∂x
∂u2
∂x
∂u3
∂x
∂u1
∂y
∂u2
∂y
∂u3
∂y
∂u1
∂z
∂u2
∂z
∂u3
∂z

 ,
LT
ist die transponierte Matrix zu L ,
tr D2 = spur D2 = Summe der Elemente der Hauptdiagonale von D2 .
Hat das nichtnewtonsche Fluid noch ein elastisches Verhalten, das heißt, das Fluid
hat ein Gedächtnis für seine früheren Deformationszustände, dann kann im Fall von
rheologisch einfachen Stoffen die Beschreibung
³ Z t
´
ρ ∂t~v + ρ(~v , grad )~v − div 2
G(t − t0 )D(t0 , x, y, z)dt0 + grad p = G, div ~v = 0,
−∞
gewählt werden mit der sogenannten Relaxationsfunktion G = G(t) für isotrope
Fluide.
Zusammenfassung von Kapitel 2:
In diesem Kapitel haben wir verschiedene Situationen aus Natur und Technik vorgestellt, in welchen bei Modellierungen auf ganz natürliche Weise partielle Differentialgleichungen bzw. Systeme partieller Differentialgleichungen ins Spiel kommen.
12
3
Kenngrößen für ein Differentialgleichungsmodell
In diesem Kapitel werden wir lernen, welche zusätzlichen Informationen man vor
dem Beginn der Lösung partieller Differentialgleichungen benötigt oder auf welche
Informationen man achten sollte.
3.1
Geometrie des Gebietes
Es gibt verschiedene Geometrien für Gebiete, in welchen ein Prozeß berechnet werden soll.
a) Beschränkte Gebiete oder Innengebiete
Der Prozeß läuft in einem Gebiet (2-d, 3-d) ab, wobei das Gebiet in eine hinreichend
große Kugel passt. Im 1-d Fall läuft der Prozeß in einem beschränkten Intervall ab.
Beispiele:
1-d: Transversalschwingungen einer fest eingespannten Saite,
2-d:
Durchbiegung einer Platte,
3-d:
Erwärmung oder Abkühlung einer Kugel.
b)Außengebiete
Im 2-d oder 3-d Fall spricht man von einem Außengebiet, wenn das Komplementgebiet bez. dem gesamten Raum R2 oder R3 ein beschränktes Gebiet ist.
Beispiel:
2-d: Umströmen eines Zylinders kann als 2-d Problem aufgefaßt werden, falls die
Strömung eine verschwindende Komponente in Richtung der Zylinderachse besitzt.
13
-
-
-
-
-
c) Der gesamte Raum
Es gibt Prozesse, die auf der gesamten reellen Achse (1-d) oder im gesamten Raum
(2-d, 3-d) verstanden werden müssen.
Beispiel:
3-d: Gravitationspotential eines Massepunktes oder einer mit Masse belegten
Schicht,
Ausbreitung von Schallwellen.
d) Streifengebiete (wave guides)
Beispiel:
Schallausbreitung in einer unendlichen Röhre.
e) ”Außengebiete zu Streifengebieten”
Beispiel:
3-d: Beugung elektromagnetischer Wellen am unendlichen Zylinder.
f) Halbraum
Mitunter laufen Prozesse in halbunendlichen Intervallen oder im Halbraum ab.
Beispiele:
1-d: Schwingungen der halbunendlichen Saite,
14
3-d:
Wellenausbreitung mit Hindernis.
µ
µ
R
3.2
µ R
R
Instationäre Prozesse
Im vorigen Abschnitt haben wir Geometrien G beschrieben, in denen ein stationärer
Prozeß abläuft. Falls der Prozeß instationär ist, dann kommt noch die Zeitvariable
t hinzu.
Ist man an der Beschreibung des Prozesses in einem Zeitintervall [0, T ] interessiert,
dann läuft der Prozeß in einem Zylinder G × [0, T ] ab. Ist man an der Modellierung
über einen langen Zeitraum interessiert, dann beobachtet man den Prozeß in einem
unendlichen Zylinder G × [0, ∞), wobei auch jetzt t = 0 als der Zeitpunkt gewählt
wird, zu welchem man beginnt, den Prozeß zu beobachten. Läuft ein Prozeß ab
und man beginnt während des Laufens diesen zu beobachten, dann ist man auch
an der Vorgeschichte der Prozeßbeobachtung interessiert. In diesem Fall läuft der
Prozeß in einem Zylinder G × [−T1 , T2 ] oder G × (−∞, T ] oder G × [−T, +∞) oder
G × (−∞, +∞) ab. Das Zeitintervall (−∞, +∞) bedeutet , daß man an einer langen
Vorgeschichte und an einer langen Prozeßbeobachtung interessiert ist.
3.3
Anfangsbedingungen und Randbedingungen
Neben partiellen Differentialgleichungen treten in Modellen auch Anfangsbedingungen oder Randbedingungen an die gesuchten Lösungen auf.
Stationäre Prozesse:
Bei stationären Prozessen treten nur Randbedingungen auf. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten:
1. Randbedingung 1.Art oder vom Dirichlet-Typ, dabei wird die gesuchte Lösung
u auf dem Rand ∂G der Geometrie G vorgegeben,
u|∂G = g(x)
← gegebene Funktion auf dem Rand ∂G.
2. Randbedingung 2.Art oder vom Neumann-Typ, dabei wird die Normalenablei∂u
der gesuchten Lösung u auf dem Rand ∂G der Geometrie G vorgetung ∂n
geben,
∂u
| = g(x)
← gegebene Funktion auf dem Rand ∂G.
∂n ∂G
3. Randbedingung 3.Art oder vom Robin-Typ, das ist eine Art Linearkombination
aus Randbedingungen 1. und 2.Art,
15
(h1 (x)u + h2 (x)
∂u
)|
∂n ∂G
= g(x),
dabei sind g, h1 und h2 auf dem Rand ∂G der Geometrie G vorgegebene
Funktionen.
a)
Innengebiete
• 4u = 0: es darf genau eine Randbedingung 1.Art oder 2.Art oder 3.Art auf
∂G vorgeschrieben werden.
• Plattengleichung 42 u = 0: setzen wir 4u = w, dann läßt sich 42 u = 0
in der Form 4w = 0 , 4u = w schreiben. Wir dürfen genau zwei
Randbedingungen vorgeben. Typische Beispiele sind
u|∂G = g1 (x, y, z), w|∂G = g2 (x, y, z), das heißt,
u|∂G = g1 (x, y, z), (4u)|∂G = g2 (x, y, z).
Es geht aber auch
u|∂G = g1 (x, y, z), ∂n u|∂G = g2 (x, y, z).
b) Außengebiete
• 4u = 0 : es darf genau eine Randbedingung 1.Art oder 2.Art oder 3.Art auf ∂G
vorgeschrieben werden. Das reicht aber i.allg. noch nicht aus, die technisch relevante
Lösung eindeutig zu identifizieren. Dazu muß man noch Abklingbedingungen an die
Lösung für |x| → ∞ vorschreiben. Im R3 lautet
p diese Abklingbedingung
1
|u(x, y, z)| = O ( r ) für r → ∞ , r = x2 + y 2 + z 2 . Dabei bezeichnet O( 1r )
das Landau-Symbol. Es bedeutet |u(x, y, z)| ≤ Cr mit einer geeigneten Konstanten
C.
Beispiel:
• Massenpunkt, das Gravitationspotential verhält sich wie 1r .
Im R2 verwendet man anstelle der Abklingbedingung |u(x, y, z)| = O (ln 1r ).
Beachte: Mitunter reichen Randbedingung und Abklingbedingung noch nicht aus,
Lösungen eindeutig zu charakterisieren.
Beispiel: Helmholtz-Gleichung aus der Streutheorie: 4u + k 2 u = 0 , k 2 > 0 ist
eine Konstante. Wir können genau eine Randbedingung auf ∂G, die Abklingbedingung für r → ∞ und die sogenannte Sommerfeldsche Strahlungsbedingung aus der
Streutheorie vorschreiben.
Betrachten wir mit k = 2π, x ∈ R3 und G = {x ∈ R3 : |x| > 1}, die Familie von
Funktionen u(x) = −C sin(k|x|)/(4π|x|) mit einer beliebigen reellen Konstanten C.
16
Wir sehen sofort, daß u(x) = 0 auf ∂G = {x ∈ R3 : |x| = 1} und die Abklingbedingung |u(x)| = O ( 1r ) erfüllt sind. Außerdem stellt u = u(x) eine radialsymmetrische
Lösung der Helmholtz-Gleichung dar. Das ergibt sich nach Umrechnung des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten,
³
´
1
1 ³ 2 ´
1
2
2
2
∂θ sin θ ∂θ u + 2 2 ∂φ2 u.
∂x u + ∂y u + ∂z u = 2 ∂r r ∂r u + 2
r
r sin θ
r sin θ
Die radialsymmetrische Abhängigkeit von u = u(x) impliziert das Prüfen der
gewöhnlichen Differentialgleichung 2.Ordnung
2
d2r u + dr u + k 2 u = 0.
r
Es ist leicht zu prüfen, daß obige Familie von Funktionen dieser Differentialgleichung genügt. Somit haben wir eine Familie von u ≡ 0 verschiedener Lösungen der
Helmholtz-Gleichung im Außengebiet G = {x ∈ R3 : |x| > 1} gefunden, die der homogenen Dirichlet-Bedingung und der Abklingbedingung genügt. Stellen wir aber
genau eine der beiden Sommerfeldschen Strahlungsbedingungen
r∂r u − ikru → 0 für r → ∞,
r∂r u + ikru → 0 für r → ∞,
dann ergibt sich nur die Lösung u ≡ 0 aus obiger Familie von Lösungen.
Frage:
Was ergibt die Sommerfeldsche Strahlungsbedingung im Fall k = 0?
c) Der gesamte Raum
Es treten keine Nebenbedingungen an die Lösung auf.
d) Streifengebiete
y6
b
∂G
?
a
∂G
6
-
x
G = Rx × [a, b]
∈
∈
x
y
Bez. x besteht das Streifengebiet aus der gesamten reellen Achse, bez. y besteht
es nur aus dem beschränkten Intervall [a, b], also aus einem ”Innengebiet”. Damit
dürfen Bedingungen auf dem Rand ∂G, der unteren und oberen Streifengrenze vorgeschrieben werden.
17
Fazit: Stationäre Prozesse werden durch partielle Differentialgleichungen und
Randbedingungen an die gesuchte Lösung modelliert. Man spricht dann auch von
Randwertproblemen.
Instationäre Prozesse:
Bei instationären Prozessen treten Anfangsbedingungen und Randbedingungen auf.
Anfangsbedingungen sind Bedingungen an die Lösung zum Zeitpunkt t = 0.
a) Innengebiete
• ∂t u − 4u = f (t, x, y, z): es dürfen genau eine Randbedingung auf ∂G × (0, T ) und
genau eine Anfangsbedingung u(0, x, y, z) = g(x, y, z) auf G × {t = 0} vorgegeben
werden. Dabei beschreibt ∂G × (0, T ) die Mantelfläche des Zylinders Z = G × (0, T ).
Mögliche Randbedingungen sind
u|∂G×(0,T ) = g(t, x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂G , t ∈ (0, T ),
∂u
|∂G×(0,T ) = g(t, x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂G , t ∈ (0, T ).
∂n
t=T
¾Randbedingung auf der Mantelfläche
t=0
¾
Anfangsbedingung
• ∂t2 u − 4u = f (t, x, y, z): es dürfen genau eine Randbedingung auf ∂G × (0, T )
und genau zwei Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0, u(0, x, y, z) =
g0 (x, y, z) , ∂t u(0, x, y, z) = g1 (x, y, z) vorgeschrieben werden.
Frage: Wir untersuchen die instationäre Plattengleichung ∂t2 u − 42 u = 0 im Zylinder Z = G × (0, ∞). Welche Nebenbedingungen dürfen an die Lösung u vorgeschrieben werden?
b)
Außengebiete
18
• ∂t u − 4u = f (t, x, y, z): es dürfen genau eine Randbedingung auf ∂G × (0, ∞),
die Abklingbedingung |u(t, x, y, z)| = O ( 1r ) und eine Anfangsbedingung
u(0, x, y, z) = g(x, y, z) auf G × {t = 0} vorgeschrieben werden.
• ∂t2 u−4u = f (t, x, y, z): zusätzlich zu den vorher genannten Nebenbedingungen
darf noch die Anfangsbedingung ut (0, x, y, z) = g1 (x, y, z) auf G × {t = 0}
vorgeschrieben werden.
Frage: Wie sehen die Nebenbedingungen für ∂t2 u − 42 u = 0 aus? Scheint nicht so
einfach zu sein, warum?
c) Der gesamte Raum
• ∂t u − 4u = f (t, x, y, z): es darf genau eine Anfangsbedingung u(0, x, y, z) =
g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3 , formuliert werden.
• ∂t2 u − 4u = f (t, x, y, z): es dürfen genau zwei Anfangsbedingungen
u(0, x, y, z) = g0 (x, y, z), ut (0, x, y, z) = g1 (x, y, z) formuliert werden.
Frage: Wie sehen die Nebenbedingungen für ∂t2 u − 42 u = 0 aus?
d)
Streifengebiete
Es darf genau eine Randbedingung auf
{(t, x, y = a) ∪ (t, x, y = b), t ∈ (0, T ), x ∈ R}
und genau eine Anfangsbedingung
u(0, x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ Rx × (a, b)
für Lösungen von ∂t u − 4u = f (t, x, y) und genau zwei Anfangsbedingungen
u(0, x, y) = g0 (x, y), ut (0, x, y) = g1 (x, y), (x, y) ∈ Rx × (a, b)
für Lösungen von ∂t2 u − 4u = f (t, x, y) vorgeschrieben werden.
Verträglichkeit zwischen Nebenbedingungen
1. Häufig ist die Anfangsbedingung u(0, x, y, z) = g(x, y, z) für alle (x, y, z) ∈ G,
das heißt, für alle (x, y, z) aus dem Abschluß G des Gebietes G definiert.
Die Randbedingung vom Dirichlet-Typ u(t, x, y, z) = h(t, x, y, z) ist auf
∂G × [0, T ] vorgelegt. Die Mengen G × {t = 0} und ∂G × [0, T ] haben den
Durchschnitt ∂G × {t = 0}. Deshalb ist es vernünftig auf ∂G × {t = 0} die
Verträglichkeitsbedingung h(0, x, y, z) = g(x, y, z) für alle (x, y, z) ∈ ∂G vorzuschreiben.
19
6
Verträglichkeitsmenge
2. Betrachten wir das Dirichletsche Randwertproblem
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
im Rechteck R = {(x, y) ∈ [0, a] × [0, b]}. Dann darf die Dirichlet-Bedingung
auf dem Rand ∂R vorgeschrieben werden:
• u(x, 0) = f1 (x), u(x, b) = f2 (x), 0 ≤ x ≤ a,
• u(0, y) = g1 (y), u(a, y) = g2 (y), 0 < y < b.
Sind die Funktionen g1 (y), g2 (y) auf [0, b] definiert, dann müssen in den
Eckpunkten die Verträglichkeitsbedingungen • f1 (0) = g1 (0), g1 (b) =
f2 (0), f2 (a) = g2 (b), f1 (a) = g2 (0)
erfüllt sein.
6
b
Verträglichkeitsmenge
a
3.4
-
Interpretation von Randbedingungen und Anfangsbedingungen
a)
Vorgelegt sei ein wärmeleitender Körper K. An der Oberfläche des
wärmeleitenden Körpers treten Wärmeübergänge mit der Umgebung auf, die zu
Randbedingungen führen. Der Wärmestrom, der durch die vorhandene Temperaturdifferenz entsteht, kann mit dem Newtonschen Abkühlungsgesetz beschrieben
20
werden. Hat der Außenraum die konstante Temperatur T0 , das Flächenelement dσ
der Oberfläche ∂K des Körpers K die Temperatur T , so beträgt die übertragene
Wärmemenge dQ = α(T − T0 )dσ dt, α ist dabei die Wärmeübertragungszahl. Andererseits muß dQ aus dem Körperinneren an die Oberfläche durch Wärmeleitung
gebracht werden, so daß sich
dQ = −λ
∂T
dσdt
∂n
ergibt. Durch Gleichsetzen beider Wärmemengen folgt für jeden Randpunkt des
Körpers K die Beziehung
∂T
+ h(T − T0 ) = 0 auf ∂K × (0, ∞)
∂n
als Randbedingung bei freiem Wärmeübergang, h ist die relative
Wärmeübergangszahl. Das ist eine Randbedingung 3.Art oder vom Robin-Typ.
Falls man den Rand ∂K des wärmeleitenden Körpers K vollständig isoliert, dann
gibt es keinen Wärmestrom nach Außen, das heißt,
¯
∂T ¯¯
=0
←−
Randbedingung 2.Art.
∂n ¯∂K×(0,∞)
Falls man durch Erwärmung oder Abkühlung eine Oberflächentemperatur erzeugt,
dann gilt
T (t, x, y, z)|∂K×(0,∞) = g(t, x, y, z) für (x, y, z, t) ∈ ∂K × (0, ∞).
Mit g(t, x, y, z) wird die erzeugte Oberflächentemperaturverteilung bezeichnet. Die
Anfangsbedingung T (0, x, y, z) = T0 (x, y, z), (x, y, z) ∈ K, beschreibt die Anfangstemperaturverteilung im Körper K zum Zeitpunkt t = 0.
b) Wir betrachten die Transversalschwingungen einer in den Punkten x = 0 und
x = L fest eingespannten schwingenden Saite der Länge L. Stellen wir das entsprechende Modell auf.
Partielle Differentialgleichung: ∂t2 u − ∂x2 u = 0.
Anfangsbedingungen:
schrieben,
u(0, x) = u0 (x), Anfangsauslenkung der Saite wird be-
ut (0, x) = u1 (x), Anfangsgeschwindigkeit der Saite wird beschrieben,
Randbedingung: u(t, 0) = u(t, L) = 0, Saite ist fest eingespannt,
Verträglichkeitsbedingungen:
u0 (0) = u0 (L) = 0, u1 (0) = u1 (L) = 0.
21
Betrachten wir jetzt eine Saite, die in x = 0 fest eingespannt ist und in x = L frei
schwingt. Dann bleiben die Anfangsbedingungen unverändert. Die Randbedingung
u(t, 0) = 0 ist von erster Art und kennzeichnet das feste Einspannen in x = 0. In x =
L wird das freie Schwingen dadurch charakterisiert, daß der Anstieg der Tangente
(t, L) = 0. Diese Randbedingung
an die Saite in x = 0 verschwindet. Damit ist ∂u
∂x
ist von zweiter Art.
3.5
Spezielle Geometrien - angepaßte Koordinaten
Falls man einen Prozeß in einem Zylinder, in einer Kugel, oder in einer Kreisscheibe untersucht, dann sollte dem Techniker klar sein, daß anstelle von kartesischen
Koordinaten Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten oder Polarkoordinaten verwendet werden. Man nennt solche Koordinaten der Geometrie angepaßte Koordinaten.
Durch den Wechsel zu angepaßten Koordinaten wird das Problem mitunter erheblich
komplizierter.
Beispiel 1: Schwingungen einer kreisförmigen Membran mit Radius R, die am
Rand fest eingespannt ist. Stellen wir das zugehörige Modell auf.
Partielle Differentialgleichung: utt − 4u = 0, das heißt, utt − uxx − uyy = 0.
Die Einführung von Polarkoordinaten bietet sich an: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Mit
r
Iϕ
diesen neuen, den angepaßten Koordinaten, erhalten wir:
∂x u = ∂r u∂x r + ∂ϕ u∂x ϕ, ∂y u = ∂r u∂y r + ∂ϕ u∂y ϕ,
2
2
∂x2 u = ∂r2 u(∂x r)2 + ∂r u ∂x2 r + ∂rϕ
u ∂x r∂x ϕ + ∂ϕ u ∂x2 ϕ + ∂rϕ
u∂x ϕ∂x r + ∂ϕ2 u(∂x ϕ)2 ,
2
2
∂y2 u = ∂r2 u(∂y r)2 + ∂r u ∂y2 r + ∂rϕ
u ∂y r∂y ϕ + ∂ϕ u ∂y2 ϕ + ∂rϕ
u∂y ϕ∂y r + ∂ϕ2 u(∂y ϕ)2 .
Es gilt mit r =
sofort
p
x2 + y 2 , x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ϕ = arccos xr , ϕ = arcsin yr
x
∂r
y
∂ϕ
y
∂r
= ,
= ,
= − 2,
∂x
r
∂y
r
∂x
r
∂ϕ
x
∂ 2ϕ
2xy
∂ 2ϕ
2xy
= 2,
=
,
=
−
.
∂y
r
∂x2
r4
∂y 2
r4
22
Nach Einsetzen der transformierten Ausdrücke für ∂x2 u und für ∂y2 u in die Ausgangs2
gleichung sehen wir, daß die Ableitungen ∂rϕ
u und ∂ϕ u herausfallen. Wir erhalten
in Konsequenz
1
1
∂x2 u + ∂y2 u = ∂r2 u + ∂r u + 2 ∂ϕ2 u.
r
r
Damit bekommen wir als transformierte partielle Differentialgleichung
utt − urr −
Anfangsbedingungen:
Randbedingung:
1
1
ur − 2 uϕϕ = 0.
r
r
u(0, r, ϕ) = u0 (r, ϕ), ut (0, r, ϕ) = u1 (r, ϕ),
u(t, R, ϕ) = 0.
Verträglichkeitsbedingung:
u0 (R, ϕ) = u1 (R, ϕ) = 0.
Beachte: Bei der mathematischen Lösung dieses Rand-Anfangswertproblems, man
nennt dieses auch gemischtes Problem, da beide Arten von Nebenbedingungen
auftreten, benötigt man noch die offensichtliche Bedingung |u(t, 0, ϕ)| bleibt beschränkt.
Beispiel 2: Wärmeleitung in einem kreisförmigen Draht. Stellen wir das zugehörige Modell auf.
Partielle Differentialgleichung: Natürlich verwenden wir Polarkoordinaten, r =
R, x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, die Temperatur T = T (t, ϕ) hängt nur vom Polarwinkel ϕ und der Zeit t ab. Als transformierte partielle Differentialgleichung bekommen
wir
Tt −
1
Tϕϕ = 0.
R2
Anfangsbedingung: T (0, ϕ) = T0 (ϕ).
Randbedingung:
Es gibt ja eigentlich keinen Rand. Es gilt aber, daß T 2πperiodisch in ϕ ist. Damit erhalten wir anstelle der Randbedingung die Periodizitätsbedingung
T (t, ϕ) = T (t, ϕ + 2π).
Verträglichkeitsbedingung:
T0 (ϕ) = T0 (ϕ + 2π).
Dieses gemischte Problem oder Rand-Anfangswertproblem wird später untersucht.
23
3.6
Lösungsbegriff
In einfach gelagerten Fällen kann die Lösung eines Differentialgleichungsproblems
durch eine explizite Lösungsdarstellung, das heißt, durch einen Funktionsausdruck,
ein Integral oder eine Reihe gegeben werden. Häufig gewinnt man Lösungen in Form
von Reihen, man spricht dann von formalen Lösungen. Es muß immer eine Konvergenzuntersuchung der formalen Lösung durchgeführt werden. Hat die Reihe die
erwarteten Differenzierbarkeitseigenschaften, dann kann die formale Lösung zu einer
klassischen Lösung werden. Wir erklären den Begriff der klassischen Lösung an zwei
Beispielen.
Beispiel 1 4u = f :
Die Quelle f = f (x, y, z) sei eine stetige Funktion im R3 , die außerhalb einer großen
Kugel gleich 0 ist. Dann ist u = u(x, y, z) eine klassische Lösung von 4u = ∂x2 u +
∂y2 u + ∂z2 u = f (x, y, z), falls erstens die zweiten partiellen Ableitungen ∂x2 u, ∂y2 u, ∂z2 u
so existieren wie das im Grundkurs eingeführt wurde, und falls andererseits die
Summe dieser partiellen Ableitungen gerade f = f (x, y, z) ergibt in jedem Punkt
des R3 .
Gegeben sei eine Punktmasse der Masse 1 im Koordinatenursprung im R3 . Dann
ergibt sich das von dieser Punktmasse erzeugte Gravitationspotential als Lösung von
4u = δ0 ←− Diracsche δ-Distribution im Punkt 0.
Dieses Potential ist keine klassische Lösung, da andernfalls 4u eine Funktion ergeben
müßte. Die Distribution δ0 ist aber keine Funktion. Das Gravitationspotential ist eine
sogenannte distributionelle Lösung, das ist ein erweiterter Lösungsbegriff zu dem der
klassischen Lösung.
Beispiel 2 Wenden wir uns dem Modell b) aus Abschnitt 3.4 zu.
Wir betrachten also die beidseitig fest eingespannte schwingende Saite:
∂t2 u − ∂x2 u = 0 in {(x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)},
u(0, x) = u0 (x), ut (0, x) = u1 (x), u(t, 0) = u(t, L) = 0.
Dann ist die Auslenkung u = u(t, x) eine klassische Lösung von ∂t2 u − ∂x2 u = 0, falls
u zweimal partiell differenzierbar nach t und x ist.
Besitzt die Anfangsauslenkung der Saite einen Knick, dann pflanzt sich dieser für
t > 0 fort. Die Lösung ist dann nicht mehr zweimal partiell differenzierbar nach
x. Um solche Phänomene beschreiben zu können, benötigen wir den Begriff der
distributionellen Lösung.
3.7
Der Korrektheitsbegriff
Wir haben bisher eine Reihe möglicher Modelle kennengelernt, die aus partiellen Differentialgleichungen und Nebenbedingungen an die Lösung (Rand- oder Anfangsbe24
dingungen) bestehen. Sowohl vom mathematischen Standpunkt als auch vom technischen Standpunkt aus sind die folgenden drei Fragen von Interesse:
(F1)
(F2)
Besitzt das Modell überhaupt eine Lösung?
Das ist die Frage nach der Existenz einer Lösung.
Existiert höchstens eine Lösung oder können auch
mehrere Lösungen existieren?
Das ist die Frage nach der Eindeutigkeit einer Lösung.
Falls die Fragen (F1) und (F2) positiv beantwortet werden, dann ist die folgende
Frage interessant.
(F3)
Hängt die Lösung stetig von den Daten ab?
Als Daten bezeichnen wir die Vorgaben aus den Anfangs- und Randbedingungen,
die Quellen und die Koeffizienten der partiellen Differentialgleichungen. Die Frage
drückt aus, ob kleine Änderungen der Daten zu einer kleinen Änderung der Lösung
führen.
Falls für ein vorgelegtes Modell die Fragen (F1) bis (F3) positiv beantwortet werden,
dann heißt das Modell (das vorgelegte mathematische Modell) korrekt gestellt.
Beachte: Die Beantwortung der Frage (F3) hat einen praktischen Hintergrund. Vorgelegt sei z.B. das Cauchy-Problem für die Schwingungsgleichung
ρ(x)∂t2 u − div (h(x) grad u) = f (t, x),
u(0, x) = u0 (x), ut (0, x) = u1 (x).
Dabei sind ρ(x) und h(x) Materialgrößen, die durch Messungen bestimmt werden.
Messungen unterliegen Meßfehlern. Falls (F3) für dieses Modell positiv beantwortet
werden kann, dann bedeutet das, daß sich bei kleiner Änderung von ρ(x), h(x),
f (t, x), u0 (x), u1 (x) auch die Lösung u = u(t, x) nur wenig ändert, das heißt,
Meßfehler in den Daten bestimmen nicht wesentlich die Lösung. Die Korrektheitseigenschaft ist eine wesentliche Eigenschaft, Simulationen durchzuführen.
Es gibt natürlich auch Modelle, die nicht korrekt gestellt sind.
Beispiel 1
Wir untersuchen für ein Innengebiet G das Neumann-Problem
∂u
4u = 0, ∂n
|∂G = g.
Falls v eine Lösung ist, dann ist auch v + c, c ist eine beliebige Konstante, eine
Lösung. Es gibt unendlich Rviele Lösungen, damit muß (F2) verneint werden. Eine
Lösung existiert nur, falls g(~x)dσ = 0 ist.
∂G
Das bedeutet: Nur wenn der Fluß von u durch ∂G gleich 0 ist, existiert eine Lösung.
Da in G keine Quellen oder Senken existieren bedeutet das:
”Es kann nur das reinfließen nach G was auch gleichzeitig rausfließt.”
25
Beispiel 2 Zu nicht korrekt gestellten Modellen führen häufig inverse Probleme der
Natur und Technik. Gegeben sei in einem Innengebiet G das Dirichlet-Problem
− 4 u + a(x)u = 0,
u|∂G = g(x).
Inverses Problem der Parameteridentifikation:
Welche Informationen über die Lösung u = u(x) benötigen wir, um den Koeffizienten
a = a(x) eindeutig identifizieren zu können?
4
4.1
Erste Lösungsprinzipien
Die Methode des Separationsansatzes
Der Grundgedanke der Methode des Separationsansatzes besteht darin, Lösungen in
Form von Produkten von Funktionen zu konstruieren, wobei jede der vorkommenden
Variablen in genau einer Funktion auftritt.
Beispiele:
1. Wenden wir uns der Wellengleichung mit Quelle ∂t2 u−∂x2 u−∂y2 u−∂z2 u = f (x, y, z, t)
zu.
Annahme: Die Quelle f ist periodisch in t, das heißt, f (x, y, z, t) = −g(x, y, z)eiat
mit einer Konstanten a. Wir suchen Lösungen u = u(x, y, z, t), die bez. t gleiches
periodisches Verhalten haben, das heißt, u(x, y, z, t) = w(x, y, z)eiat .
Nach Einsetzen dieses Ansatzes in die vorgelegte partielle Differentialgleichung erhalten wir
(−a2 w(x, y, z) − ∂x2 w(x, y, z) − ∂y2 w(x, y, z) − ∂z2 w(x, y, z))eiat = −g(x, y, z)eiat .
Nun ist eiat 6= 0, damit erfüllt w = w(x, y, z) die partielle Differentialgleichung
∂x2 w + ∂y2 w + ∂z2 w + a2 w = g ,
bzw.
4 w + a2 w = g.
Das ist eine inhomogene Helmholtz-Gleichung.
2
2
h ∂ ψ
2. Wenden wir uns der Schrödinger-Gleichung ih ∂ψ
= − 2m
+ V (x)ψ aus
∂t
∂x2
Abschnitt 2.5 zu. Falls die Energie E des Teilchens mit der Masse m einen bestimmten Wert besitzt, dann können wir für die Wellenfunktion ψ = ψ(x, t) den
i
Ansatz ψ(x, t) = w(x)e− h Et wählen. Nach Einsetzen erhalten wir für w(x) die Bestimmungsgleichung
−
h2 d2 w
+ V (x)w = E w.
2m dx2
26
Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, die sich leichter behandeln
läßt als die vorgelegte Schrödinger-Gleichung.
Beachte: Ein Vorteil des Separationsansatzes liegt, darin, daß mitunter die Lösung
partieller Differentialgleichungen auf die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert wird. Letztere sind häufig einfacher zu behandeln.
3. Wenden wir uns der Laplace-Gleichung in einem Rechteck R zu, das heißt,
uxx + uyy = 0 in einem Rechteck R = {(x, y) ∈ [0, a] × [0, b]}.
Wir wählen den Separationsansatz
u(x, y) = X(x)Y (y).
Einsetzen dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung liefert
X 00 (x)Y (y) + Y 00 (y)X(x) = 0 bzw. X 00 (x)Y (y) = −Y 00 (y)X(x).
Division durch X(x)Y (y) ergibt schließlich
X 00 (x)
Y 00 (y)
= −
= λ,
X(x)
Y (y)
| {z }
| {z }
linke Seite ist eine Funktion in x
rechte Seite ist eine Funktion in y
wobei λ eine reelle Konstante ist, diese heißt Separationskonstante.
Fazit: Produktlösungen u(x, y) = X(x)Y (y) von uxx + uyy = 0 erhalten wir, indem
wir zu einer beliebigen reellen Konstanten λ die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
X 00 − λ X = 0, Y 00 + λ Y = 0
lösen (siehe Grundkurs Höhere Mathematik).
4. Untersuchen wir die Schwingungen einer fest eingespannten kreisförmigen Membran aus Abschnitt 3.5. Dann erhalten wir
utt − urr −
1
1
ur − 2 uϕϕ = 0.
r
r
Wir wählen den Separationsansatz u(t, r, ϕ) = T (t)w(r, ϕ).
Einsetzen dieses Ansatzes in die Schwingungsgleichung in Polarkoordinaten liefert
T 00 w − T wrr −
1
1
T wr − 2 T wϕϕ = 0
r
r
bzw. nach Umstellen
wrr + 1r wr + r12 wϕϕ
T 00 (t)
=
= λ.
T (t)
w(r, ϕ)
27
Somit erhalten wir Produktlösungen u(t, r, ϕ) = T (t)w(r, ϕ), in dem wir die
gewöhnliche Differentialgleichung T 00 − λT = 0 und die partielle Differentialgleichung
wrr +
1
1
wr + 2 wϕϕ − λ w = 0
r
r
lösen.
Idee: Man sollte noch einmal den Separationsansatz ausnutzen.
Dazu setzen wir w(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ). Einsetzen ergibt
1
1
R00 (r)Φ(ϕ) + R0 (r)Φ(ϕ) + 2 R(r)Φ00 (ϕ) − λR(r)Φ(ϕ) = 0.
r
r
Nach Division durch R(r)Φ(ϕ) und Multiplikation von r2 erhalten wir
r2 R00 (r) rR0 (r)
Φ00 (ϕ)
+
− λr2 =
−
=
µ.
|{z}
R(r)
R(r)
Φ(ϕ)
|
{z
}
| {z }
reelle Konstante
Funktion in r
Funktion in ϕ
Fazit: Durch zweimalige Anwendung des Separationsansatzes reduzieren wir die Frage nach Produktlösungen u(t, r, ϕ) = T (t)R(r)Φ(ϕ) der partiellen Differentialgleichungen utt − urr − 1r ur − r12 uϕϕ = 0 auf die Lösung der drei gewöhnlichen Differentialgleichungen
T 00 (t) − λ T (t) = 0, Φ00 (ϕ) + µ Φ(ϕ) = 0
und
r2 R00 (r) + r R0 (r) − (λ r2 + µ)R(r) = 0.
Dabei sind µ und λ beliebig vorgegebene reelle Zahlen. Für spezielle Werte µ = k 2 ,
k ist eine nichtnegative ganze Zahl, heißt die letzte Differentialgleichung Besselsche
Differentialgleichung.
4.2
Eigenwerte - Eigenzustände (Eigenfunktionen)
In Abschnitt 4.1 haben wir den Separationsansatz zur Konstruktion von Produktlösungen kennengelernt. In diesem Abschnitt nutzen wir die Randbedingungen an die Lösung, um zu sogenannten Eigenwerten und Eigenfunktionen (Eigenzustände) zu kommen.
Modell 1: Vorgelegt sei das Modell der fest eingespannten schwingenden Saite
(siehe Abschnitt 3.6):
∂t2 u − ∂x2 u = 0 in {(x, t) ∈ (0, L) × (0, ∞)},
28
Randbedingung:
u(t, 0) = u(t, L) = 0.
Wir wählen den Separationsansatz
Differentialgleichung erhalten wir
u(t, x) = T (t)X(x). Nach Einsetzen in die
T 00 (t)X(x) − X 00 (x)T (t) = 0, daraus folgt
T 00 (t)
X 00 (x)
=
= λ.
T (t)
X(x)
Wir verbinden nun den Separationsansatz mit der Randbedingung u(t, 0) = u(t, L) =
0. Danach muß gelten T (t)X(0) = T (t)X(L) = 0. Es ist nicht sinnvoll T (t) = 0 zu
setzen, da dann u(t, x) ≡ 0 folgt. Damit spiegelt sich die Randbedingung u(t, 0) =
u(t, L) = 0 in der Bedingung X(0) = X(L) = 0 wieder. Somit erhalten wir für die
gesuchte Funktion X(x) das Modell
X 00 − λ X = 0, X(0) = X(L) = 0.
Ziel: Bestimme alle reellen Zahlen λ so, daß dieses Randwertproblem eine von
X(x) ≡ 0 verschiedene Lösung besitzt. Dazu führen wir folgende Fallunterscheidung
durch:
a) λ = 0 :
X 00 (x) = 0 ⇒ X(x) = ax + b, X(0) = 0 ⇒ b = 0 , X(L) =
0 ⇒ a = 0.
Für λ = 0 ergibt sich nur die triviale Lösung X(x) ≡ 0.
b) λ > 0 :
X 00 − λX = 0, aus der Vorlesung Höhere Mathematik kennen wir
die allgemeine Lösungsdarstellung
√
X(x)
= c1 e √λx + c2 e−
√
c1 e λL + c2 e− λL = 0.
√
λx
, X(0) = 0
⇒
c1 + c2 = 0 , X(L) = 0
⇒
Da L > 0 ist, hat dieses lineare Gleichungssystem
c1 + c2 = 0,
√
c1 e
λL
√
+ c2 e −
λL
= 0,
nur die triviale Lösung c1 = c2 = 0.
Für λ > 0 ergibt sich nur die triviale Lösung X(x) ≡ 0.
c) λ < 0 :
X 00 − λ X = 0, aus der Vorlesung Höhere Mathematik kennen wir
die allgemeine Lösungsdarstellung
√
√
X(x) = c1 cos(
−λx)
+
c
sin(
−λx), X(0) = 0 ⇒ c1 = 0, X(L) =
2
√
0 ⇒ c2 sin( −λL) = 0.
Da c2 6= 0 gewählt wird (andernfalls erhalten wir wieder X(x) ≡ 0), ergibt sich
√
√
¡ ¢2
die Bedingung sin( −λL) = 0, also −λL = k π bzw. −λk = Lk π
¡ ¢2
bzw. λk = − Lk π , k = 1, 2, 3, · · · .
29
Fazit: Es gibt eine Folge {λk }k negativer reeller Werte mit λk = −
Randwertproblem
¡ kπ ¢2
L
so, daß das
X 00 − λk X = 0, X(0) = X(L) = 0,
eine von Xk (x) ≡ 0 verschiedene Lösung
(setzen dabei c2 = 1) besitzt.
¡
¢
√
Xk (x) = sin( −λk x) = sin kπ
x
L
Man nennt λk Eigenwert und Xk (x) die zugehörige Eigenfunktion (den zugehörigen
Eigenzustand).
Frage: Was ändert sich, wenn wir die Saite nur in x = 0 fest einspannen und in
x = L frei schwingen lassen?
Randbedingung:
u(t, 0) = 0, ∂x u(t, L) = 0, u(t, 0) = 0 ⇒ X(0) = 0 wie gehabt,
∂x u(t, L) = 0 ⇒ ∂x (T (t)X(x))(t, L) = 0 ⇒ X 0 (L) = 0. Zu lösen ist nun das
Randwertproblem
X 00 − λ X = 0, X(0) = 0, X 0 (L) = 0.
Durch gleiches Vorgehen zeigt man, daß λ = 0 und λ > 0 nur die triviale Lösung
X(x) ≡ 0 liefert. Es sei jetzt λ < 0. Dann gilt wieder
√
√
X(x)
=
c
cos(
−λx)
+
c
sin(
X 0 (L) = 0 ⇒
1
2
√
√
√−λx), X(0) = 0 ⇒
√ c1 = 0,
π
−λc2 cos( −λL) = 0 ⇒ cos( −λL) = 0, also
−λL = 2 + k π bzw.
¡ 1 ¡π
¢¢2
λk = − L 2 + k π
, k = 0, 1, 2, · · · .
Fazit: Es gibt eine Folge {λk }k negativer reeller Werte mit λk = −
so, daß das Randwertproblem
¡ 1 ¡π
L
2
+kπ
¢¢2
X 00 − λ X = 0, X(0) = 0, X 0 (L) = 0,
¡ ¡
¢ ¢
eine von Xk (x) ≡ 0 verschiedene Lösung Xk (x) = sin L1 π2 + k π x besitzt.
Beachte:
Man nennt Randwertprobleme der Form X 00 − λ X = 0, X(0) = 0, X(L) = 0 oder
X 00 − λ X = 0, X(0) = 0, X 0 (L) = 0 Sturm-Liouville Probleme.
Es gibt eine Theorie von Sturm-Liouville Problemen, die es gestattet, die Existenz
einer Folge von Eigenwerten {λk }k und zugehörigen Eigenfunktionen {Xk = Xk (x)}
zu zeigen, wobei sich die Sturm-Liouvillschen-Randwertprobleme aus dem Separationsansatz und den Randbedingungen ergeben.
Modell 2: Wir untersuchen die Wärmeleitung in einem kreisförmigen Draht (siehe Abschnitt 3.5):
30
ut − R12 uϕϕ = 0, u bezeichne jetzt die Temperatur.
Anstelle der Randbedingung tritt die Periodizitätsbedingung u(t, ϕ) = u(t, ϕ + 2π)
auf. Wir wählen den Separationsansatz
u(t, ϕ) = T (t)Φ(ϕ). Nach Einsetzen in
die partielle Differentialgleichung bekommen wir
T 0 (t)Φ(ϕ) −
1 00
Φ (ϕ)T (t) = 0,
R2
R2 T 0 (t)
Φ00 (ϕ)
=
= λ, Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π).
T (t)
Φ(ϕ)
Zu lösen haben wir das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem
Φ00 (ϕ) − λ Φ(ϕ) = 0, Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π).
Für λ > 0 erhalten wir als 2π-periodische Lösung nur die triviale Lösung Φ(ϕ) ≡ 0.
Für λ = 0 erhalten wir die nichttriviale 2π-periodische Lösung Φ(ϕ) ≡ 1. Für λ < 0
bekommen wir
√
√
Φ(ϕ) = c1 cos( −λϕ) + c2 sin( −λϕ).
Nun muß Φ 2π-periodisch in ϕ sein, das heißt,
√
√
Φ(ϕ + 2π) = c1 cos( −λ(ϕ + 2π)) + c2 sin( −λ(ϕ + 2π))
√
√
= c1 cos( −λϕ) + c2 sin( −λϕ).
Aus der 2π-Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion folgt
√
−λk 2π = 2kπ ⇒ λk = −k 2 .
Fazit: Es gibt eine Folge {λk }k negativer reeller Werte mit λk = −k 2 so, daß
Φ00 − λk Φ = 0, Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π)
eine von Φk (ϕ) ≡ 0 verschiedene Lösung
Φk (ϕ) = c1 cos(kϕ) + c2 sin(kϕ),
k = 0, 1, 2, · · · ,
besitzt.
Modell 3:
(Vergleich von Geometrien)
Modell 3.1: Schwingungen einer kreisförmigen Membran mit dem Radius 1, die
am Rand fest eingespannt ist (siehe Abschnitte 3.5 und 4.1).
Nach Separationsansatz erhalten wir für die von den Polarkoordinaten (angepaßte
Koordinaten) r und ϕ abhängigen Funktionen R(r) und Φ(ϕ) die gewöhnlichen
Differentialgleichungen
Φ00 (ϕ) + µ Φ(ϕ) = 0,
r2 R00 (r) + rR0 (r) − (λr2 + µ)R(r) = 0.
31
Als Randbedingung haben wir u(t, r = 1, ϕ) = T (t)R(r = 1)Φ(ϕ) = 0, also R(1) =
0. Für Φ(ϕ) haben wir die 2π-Periodizitätseigenschaft
Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).
Nach den Untersuchungen zu Modell 2 haben wir die Eigenwerte µk = k 2 und die
Eigenfunktionen Φk (ϕ) = c1 cos(kϕ) + c2 sin(kϕ), k = 0, 1, 2, 3, · · · .
Zu jedem µk = k 2 haben wir das Problem
r2 R00 (r) + r R0 (r) − (λ r2 + k 2 )R(r) = 0, R(1) = 0
zu lösen. Wie schon in Abschnitt 4.1 erwähnt, ist das die Besselsche Differentialgleichung. Dabei durchläuft r das Intervall (0, 1). In r = 1 haben wir eine Randbedingung R(1) = 0. Damit ergeben sich zu jedem k
• eine Folge von nicht-positiven reellen Eigenwerten {λlk }l≥0 ,
(1)
(1)
(2)
(2)
• zwei Familien von Lösungen Rlk = Rlk (r) und Rlk = Rlk (r), wobei alle
(2)
Funktionen Rlk (r) in r = 0 unendlich werden. Deshalb fordert man die offensichtlich erfüllte Bedingung |u(t, r = 0, ϕ)| < ∞ für jede Zeit t, das heißt, daß
die Auslenkung der Membran im Mittelpunkt zu jedem Zeitpunkt t endlich
bleibt (vgl. mit Modell 1 aus Abschnitt 3.5). Das entspricht für die gesuchte
Funktion R = R(r) der Bedingung |R(0)| < ∞. Damit scheidet die Familie
(2)
(1)
Rlk (r) aus und man erhält nur Rlk (r).
Beachte: Die Besselsche Differentialgleichung ist nicht einfach zu lösen. Die Funktio(1)
nen Rlk (r) heißen Besselfunktionen 1.Art (vgl. mit der Tafel spezieller Funktionen
“Atlas of functions”).
Fazit: Das Randwertproblem
r2 R00 (r) + r R0 (r) − (λr2 + k 2 )R(r) = 0, |R(0)| < ∞, R(1) = 0
besitzt eine Folge {λlk }l≥0 reeller Eigenwerte und reeller Eigenfunktionen
(1)
{Rlk (r)}l≥0 .
Fazit: Die Modellierung der Schwingungen der kreisförmigen Membran wird
zurückgeführt auf die Lösung von
T 00 − λT = 0, Φ00 + µ Φ = 0, Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ),
r2 R00 (r) + r R0 (r) − (λr2 + k 2 )R(r) = 0, |R(0)| < ∞, R(1) = 0.
Die 2.Differentialgleichung mit der Periodizitätsbedingung hat die Eigenwerte µk =
k 2 mit den Eigenfunktionen Φk (ϕ) = c1 cos(kϕ) + c2 sin(kϕ), k = 0, 1, 2, 3, · · · .
32
Die 3.Differentialgleichung hat mit der Randbedingung R(1) = 0 und der Beschränktheitsbedingung |R(0)| < ∞ die reellen Eigenwerte {λlk }l≥0 und die zu(1)
gehörigen Eigenfunktionen (Besselfunktionen 1.Art) {Rlk (r)}l≥0 .
Modell 3.2:
Schwingungen einer rechteckigen Membran, die fest eingespannt ist.
Die partielle Differentialgleichung lautet ∂t2 u − ∂x2 u − ∂y2 u = 0.
Die Randbedingung stellt sich in folgender Form dar: 0 = u(t, x, 0) = u(t, x, b), x ∈
[0, a], 0 = u(t, 0, y) = u(t, a, y), y ∈ [0, b].
Wir wählen den Separationsansatz
u(t, x, y) = T (t)w(x, y).
Damit ergibt sich T 00 w − T ∂x2 w − T ∂y2 w = 0 daraus folgt
mit der ersten Separationskonstanten λ.
T 00
T
=
∂x2 w+∂y2 w
w
= λ
Zu lösen sind T 00 − λ T = 0 und ∂x2 w + ∂y2 w − λ w = 0.
Wählen nun den Separationsansatz w(x, y) = X(x)Y (y) und setzen diesen in
obige Differentialgleichung ein. Wir erhalten
X 00 Y + Y 00 X − λXY = 0
Separationskonstanten µ.
Zu lösen haben wir somit
bzw.
X 00
X
− λ = −
Y 00
Y
=
µ mit der zweiten
Y 00 + µ Y = 0, X 00 − (λ + µ)X = 0.
Verarbeiten der Randbedingung:
u(t, x, 0) = T (t)X(x)Y (0) = 0 ⇒ Y (0) = 0, entsprechend zeigt man Y (b) =
X(0) = X(a) = 0. Somit sind die beiden Sturm-Liouville Probleme
Y 00 + µY = 0, Y (0) = Y (b) = 0, X 00 − (λ + µ)X = 0, X(0) = X(a) = 0
zu lösen. Entsprechend dem
bei der Behandlung von Modell
¡ kπ ¢Vorgehen
¡ kπ1 erhalten
¢
2
wir die Eigenwerte µk = b
mit den Eigenfunktionen Yk (y) = sin b y , k =
1, 2, 3, · · ·.
Für jedes µk haben wir das Sturm-Liouville Problem X 00 − (λ + µk )X = 0, X(0) =
¡ lπ ¢2 ¡ kπ ¢2
X(a) = 0 zu lösen. Es ergeben
sich
die
Eigenwerte
λ
=
−
− b
und die
lk
a
¡
¢
Eigenfunktionen Xl (x) = sin lπa x .
Fazit: Die Modellierung der rechteckigen Membran wird zurückgeführt auf die Lösung
von T 00 − λT = 0 und ∂x2 w + ∂y2 w − λw = 0. Die 2. Differentialgleichung mit der
Randbedingung w(x, 0) = w(x, b) = w(0, y) = w(a, y) = 0 hat die Eigenwerte λlk =
¡ ¢2 ¡ ¢2
¢
¡
¢
¡
− lπa − kπ
y .
mit den Eigenfunktionen wlk (x, y) = sin lπa x sin kπ
b
b
Beachte: Die Konstruktion von Produktlösungen läßt sich im Fall der
rechteckigen Membran viel einfacher durchziehen als für die kreisförmige
Membran.
33
4.3
Eigenschaften der Systeme von Eigenfunktionen
In den vorhergehenden Abschnitten haben wir verschiedene Sturm-Liouvillesche
Probleme gelöst:
z.B. bei der Modellierung der beidseitig fest eingespannten schwingenden Saite ergab
sich X 00 − λX = 0 , X(0) = X(L) = 0,
¡ ¢2
, k = 1, 2, 3, · · ·,
mit den Eigenwerten
λk = − kπ
L
¡
¢
und den Eigenfunktionen
Xk (x) = sin kπ
x ;
L
bei der Modellierung der einseitig fest eingespannten schwingenden Saite ergab sich
X 00 − λX = 0 , X(0) = 0 , X 0 (L) = 0,
¡¡
¢ ¢2
, k = 0, 1, 2, · · ·,
mit den Eigenwerten
λk = − π2 + kπ L1
¡¡ π
¢ ¢
und den Eigenfunktionen
Xk (x) = sin
+ kπ Lx ;
2
bei der Modellierung der Wärmeleitung in einem kreisförmigen Draht ergab sich
Φ00 + µ Φ = 0 , Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π),
µk = k 2 , k = 0, 1, 2, · · ·,
mit den Eigenwerten
und den Eigenfunktionen
Φk (ϕ) = c1 cos(kϕ) + c2 sin(kϕ).
Merke: Die Menge der Eigenfunktionen {Xk = Xk (x)}k>0 oder {Φk = Φk (ϕ)}k≥0
hat eine bemerkenswerte Eigenschaft, und zwar erfüllt diese sogenannte Orthogonalitätsrelationen. Wählen wir zwei Eigenfunktionen Xk und Xl zu verschiedenen
Eigenwerten λk und λl , bilden das Produkt beider Eigenfunktionen, und integrieren
das Produkt über (0, L) oder (0, 2π) so ergibt sich Null.
Orthogonalitätsrelationen:
Z L
Xk (x)Xl (x)dx = 0
0
Z 2π
Φk (ϕ)Φl (ϕ)dϕ = 0
für k 6= l,
für k 6= l.
0
Frage: Welche Bedeutung haben diese Orthogonalitätsrelationen?
Antwort: Man kann Vergleichsfunktionen in Reihen nach den Eigenfunktionen entwickeln. Dabei sind Vergleichsfunktionen zweimal stetig differenzierbare Funktionen
auf dem Intervall [0, L] oder [0, 2π], die der entsprechenden homogenen Randbedingung, aber nicht notwendig der vorgelegten Differentialgleichung genügen.
Also ist u = u(x) oder u = u(ϕ) eine Vergleichsfunktion in unseren Beispielen, wenn
• u(0) = u(L) = 0 und u zweimal stetig differenzierbar auf [0, L] ist,
34
• u(0) = 0 , u0 (L) = 0 und u zweimal stetig differenzierbar auf [0, L] ist,
• u(ϕ) = u(ϕ + 2π) und u zweimal stetig differenzierbar auf [0, 2π] ist.
Entwicklungssatz:
Jede Vergleichsfunktion u = u(x) (oder u = u(ϕ)) kann auf
∞
P
[0, L] (oder auf [0, 2π]) als gleichmäßig konvergente Reihe u(x) =
ck Xk (x) (oder
u(ϕ) =
∞
P
k=1
c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ)) dargestellt werden. Falls die gewählte Funktion
k=0
u(x) der homogenen Randbedingung genügt und nur auf dem offenen Intervall (0, L)
∞
P
ck Xk (x)
(oder auf (0, 2π)) zweimal stetig differenzierbar ist, dann gilt u(x) =
auf (0, L) (oder u(ϕ) =
∞
P
k=1
c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ) auf (0, 2π)) und die Reihe
k=0
konvergiert gleichmäßig auf jedem Teilintervall [a, b] mit 0 < a < b < L (oder
0 < a < b < 2π).
Die Koeffizienten ck , c1k und c2k sind reelle Zahlen. Diese berechnen sich durch
Z L
. Z L
ck =
u(x)Xk (x)dx
Xk (x)2 dx,
0
Z0 2π
. Z 2π
c1k =
u(ϕ) cos(kϕ)dϕ
cos2 (kϕ)dϕ,
0
Z0 2π
. Z 2π
sin2 (kϕ)dϕ.
u(ϕ) sin(kϕ)dϕ
c2k =
0
0
Man nennt diese reellen Zahlen Fourierkoeffizienten und die obigen Reihen Fourierreihen.
Machen wir uns zum Schluß dieses Abschnittes die Formeln zur Berechnung der
∞
P
Fourierkoeffizienten ck plausibel. Angenommen u(x) =
ck Xk (x).
k=1
Dann multiplizieren wir diese Gleichung mit Xl (x), integrieren über (0, L) und erhalten
!
Z L
Z L ÃX
∞
u(x)Xl (x)dx =
ck Xk (x) Xl (x)dx .
0
Nehmen wir jetzt an, daß wir
0
RL
0
und
k=1
∞
P
vertauschen dürfen (gleichmäßige Konver-
k=1
35
genz der Reihe vorausgesetzt), dann gilt
Z
L
u(x)Xl (x)dx =
0
∞
X
Z
L
ck
Xk (x)Xl (x)dx
|
{z
}
= 0 für k 6= l
Orthogonalitätsrelationen
0
k=1
Damit bleibt
RL
ck =
u(x)Xk (x)dx
.
RL
2 dx
X
(x)
k
0
0
Entsprechend zeigt man
R 2π
c1k =
0
u(ϕ) cos(kϕ)dϕ
, k = 0, 1, 2, · · · ,
R 2π
cos2 (kϕ)dϕ
0
und
R 2π
c2k =
4.4
0
u(ϕ) sin(kϕ)dϕ
, k = 1, 2, 3, · · · .
R 2π 2
sin
(kϕ)dϕ
0
Superpositionsprinzip und Verarbeiten der Anfangsbedingungen
Mit Hilfe des Separationsansatzes erhalten wir Produktlösungen vorgelegter partieller Differentialgleichungen. In Abschnitt 4.2 haben wir Eigenwerte und Eigenfunktionen kennengelernt.
Schwingungen einer kreisförmigen Membran:
Eigenwerte:
Eigenfunktionen:
λlk , l, k ≥ 0,
(1)
wlk (r, ϕ) = Rlk (r) Φk (ϕ) von
wrr + 1r wr +
1
r2
wϕϕ = λlk w, l, k ≥ 0.
Schwingungen einer rechteckigen Membran:
¡ ¢2 ¡ ¢2
Eigenwerte:
λlk = − lπa − kπ
,
b
¡
¢2
¡ lπ ¢2
y
Eigenfunktionen:
wlk (x, y) = sin a x sin kπ
b
wxx + wyy = λlk w, l, k ≥ 1.
Wärmeleitung in einem kreisförmigen Draht:
36
von
λk = −k 2 ,
Eigenwerte:
Eigenfunktionen:
Φ00 = λk Φ.
Φk (ϕ) = c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ) von
Es müssen jetzt noch die Differentialgleichungen
T 00 (t) − λlk T (t) = 0 (λlk ≤ 0!),
in den ersten beiden Fällen und
T 0 (t) +
k2
T (t) = 0,
R2
k2
im dritten Fall gelöst werden. Im dritten Fall ergibt sich die Lösung Tk (t) = e− R2 t .
In den ersten beiden Fällen ergibt sich
p
p
Tlk (t) = flk cos( −λlk t) + glk sin( −λlk t).
Damit ergeben sich in den ersten beiden Fällen die Produktlösungen
(1)
ulk (r, ϕ, t) = Rlk (r)Φk (ϕ)Tlk (t),
µ
¶
µ
¶
lπ
kπ
ulk (x, y, t) = sin
x sin
y Tlk (t),
a
b
bzw. im dritten Fall
k2
uk (ϕ, t) = Φk (ϕ)e− R2 t .
Alle Produktlösungen erfüllen die homogene Randbedingung (festes Eingespanntsein
der kreisförmigen oder der rechteckigen Membran) bzw. die Periodizitätsbedingung
uk (ϕ, t) = uk (ϕ + 2π, t). Es kommt jetzt das Superpositionsprinzip zur Anwendung.
Hat man eine Differentialgleichung ohne Quelle, für unsere drei Beispiele
1
1
utt − urr − ur − 2 uϕϕ = 0,
r
r
utt − uxx − uyy = 0,
ut −
1
uϕϕ = 0,
R2
dann ist die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung. Formal können wir auch
die Linearkombination aller unendlich vielen Produktlösungen bilden und erhalten
die sogenannten formalen Lösungen in Form von Reihen
´³
´
X (1) ³
p
p
u(r, ϕ, t) =
Rlk (r) c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ) flk cos( −λlk t) + glk sin( −λlk t) ,
l,k≥0
u(x, y, t) =
X
l,k≥0
µ
sin
¶
µ
¶³
´
p
p
lπ
kπ
x sin
y
flk cos( −λlk t) + glk sin( −λlk t) ,
a
b
X
k2
u(ϕ, t) =
(c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ))e− R2 t .
k≥0
37
Diese Darstellungen heißen formale Lösungen, weil bis jetzt noch keine Konvergenzuntersuchungen der Reihen durchgeführt wurden. Es könnte also im Prinzip auch
möglich sein, daß die obigen Reihenlösungen divergieren.
Wenden wir uns zuerst den Anfangsbedingungen in allen drei Beispielen zu.
Nach Beispiel 2 aus Abschnitt 3.5 gilt für die Wärmeleitung im kreisrunden Draht
die Anfangsbedingung
u(0, ϕ) = u0 (ϕ) mit u0 (ϕ) = u0 (ϕ + 2π).
Setzen wir nun u0 (ϕ) als 2 × stetig differenzierbar auf dem Intervall [0, 2π] voraus,
dann ist u0 (ϕ) eine Vergleichsfunktion und läßt sich nach dem Entwicklungssatz
nach den Eigenfunktionen entwickeln, also gilt
u0 (ϕ) =
∞
X
fk cos(kϕ) + gk sin(kϕ).
k=0
Setzen wir in der Lösungsdarstellung
∞
X
k2
(c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ))e− R2 t
u(t, ϕ) =
k=0
t = 0 und führen einen Koeffizientenvergleich durch (das ist möglich, da das System
der Eigenfunktionen vollständig ist, wir sind auf die Vollständigkeit von Systemen
von Eigenfunktionen nicht eingegangen, das muß aber gewährleistet sein), dann
ergeben sich die Beziehungen c1k = fk und c2k = gk . Damit erhalten wir als formale
Lösung der Wärmeleitung im kreisrunden Draht
u(t, ϕ) =
∞
X
k2
(fk cos(kϕ) + gk sin(kϕ))e− R2 t .
k=0
Wenden wir uns noch den Schwingungen einer kreisförmigen, fest eingespannten
Membran zu. Nach Beispiel 1 aus Abschnitt 3.5 gelten die Anfangsbedingungen
u(0, r, ϕ) = u0 (r, ϕ) und ut (0, r, ϕ) = u1 (r, ϕ) mit u0 (1, ϕ) = u1 (1, ϕ) = 0 (R = 1
gewählt). Sind nun u0 (r, ϕ) und u1 (r, ϕ) zweimal stetig differenzierbar, dann sind
diese Funktionen Vergleichsfunktionen und lassen sich deshalb nach den Eigenfunk(1)
tionen wlk (r, ϕ) = Rlk (r)Φk (ϕ) entwickeln, und es gelten die folgenden Darstellungen:
u0 (r, ϕ) =
u1 (r, ϕ) =
∞ X
∞
X
k=0 l=0
∞ X
∞
X
(1)
(1)
(1)
(1)
alk Rlk (r) cos(kϕ) + blk Rlk (r) sin(kϕ),
dlk Rlk (r) cos(kϕ) + elk Rlk (r) sin(kϕ).
k=0 l=0
38
Schauen wir uns die formale Lösungsdarstellung für u = u(r, ϕ, t) an, dann ergeben
sich daraus
X (1)
u(r, ϕ, 0) =
Rlk (r)(c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ))flk ,
l,k≥0
bzw.
X
ut (r, ϕ, 0) =
(1)
Rlk (r)(c1k cos(kϕ) + c2k sin(kϕ))
p
−λlk glk .
l,k≥0
Nach Koeffizientenvergleich (Vollsändigkeit des Systems der Eigenfunktionen ist gesichert) bekommen wir
c1k flk = alk , c2k flk = blk , c1k glk = √
dlk
elk
, c2k glk = √
.
−λlk
−λlk
Somit ergibt sich die formale Lösung
´
X (1) ³
p
Rlk (r) alk cos(kϕ) + blk sin(kϕ) cos( −λlk t)
u(r, ϕ, t) =
l,k≥0
³
(1)
+Rlk (r)
´ sin(√−λ t)
lk
√
dlk cos(kϕ) + elk sin(kϕ)
.
−λlk
Entsprechend leitet man die formale Lösung für die Schwingungen einer rechteckigen,
fest eingespannten Membran her.
Merke: Wir haben zur Herleitung von formalen Lösungen für verschiedene Modelle
einen Koeffizientenvergleich durchgeführt. Dieser ist möglich, da in unseren Beispielen das System der Eigenfunktionen vollständig ist.
4.5
Differenzierbarkeitseigenschaften formaler Lösungen
Am Ende der mathematischen Behandlung von Modellen müssen Konvergenzuntersuchungen der formalen Lösungen durchgeführt werden. Wenden wir uns der formalen Lösung für die Wärmeleitung im kreisrunden Draht
∞
X
k2
u(t, ϕ) =
(fk cos(kϕ) + gk sin(kϕ))e− R2 t
k=0
zu. Diese soll die Differentialgleichung
ut −
1
uϕϕ = 0 für t > 0 und ϕ ∈ R1
R2
39
(u ist 2π-periodisch in ϕ) lösen.
¡ ¢
Wir setzen jetzt voraus, daß sich die Fourierkoeffizienten fk und gk wie O k12
verhalten, das heißt, |fk |, |gk | ≤ kC2 für k ≥ 1 mit einer von k unabhängigen
Konstanten C. Dann konvergiert die Reihe
u(0, ϕ) =
∞
X
fk cos(kϕ) + gk sin(kϕ)
k=0
(Anwendung des Majorantenkriteriums für Funktionenreihen). Für t > 0 kann bei
der Berechnung der partiellen Ableitungen erster Ordnung die Reihe
∞
X
k2
u(t, ϕ) =
(fk cos(kϕ) + gk sin(kϕ))e− R2 t
k=0
gliedweise differenziert werden, das heißt,
∂ϕl u(t, ϕ)
∞
X
k2
(fk dlϕ cos(kϕ) + gk dlϕ sin(kϕ))e− R2 t ,
=
k=0
∂tl u(t, ϕ)
∞
X
k2
(fk cos(kϕ)) + gk sin(kϕ))dlt e− R2 t .
=
k=0
k2
Diese Reihen konvergieren für t > 0 gleichmäßig bez. ϕ, da e− R2 t k p für jede Potenz
p für festes t > 0 und hinreichend großes k beliebig klein ausfällt und schneller fällt
als jede negative Potenz k −m . Bei jeder zusätzlichen Differentiation entsteht eine
zusätzliche Potenz von k.
Fazit: Die formale Lösung der Wärmeleitung in einem kreisrunden Draht stellt eine
klassische Lösung dar, die für t > 0 unendlich oft differenzierbar in t und ϕ ist. Das
Problem der Wärmeleitung in einem kreisrunden Draht ist korrekt gestellt.
Die Konvergenzuntersuchungen für die formalen Lösungen der fest eingespannten
kreisförmigen oder rechteckigen Membran gestalten sich schwieriger. Man kann aber
auch die Existenz klassischer Lösungen und die Korrektheit der gemischten Probleme
nachweisen.
4.6
Behandlung von inhomogenen Rand-Anfangswertproblemen
Bis jetzt haben wir die Fouriersche Methode nur für Modelle ohne Quellen und
Senken untersucht. In diesem Abschnitt wenden wir uns einem Modell mit einer
Quelle oder Senke F = F (t, x) zu.
40
Wir betrachten dazu die Modellierung der Schwingungen einer gedämpften Saite
(Dämpfung kut ) unter Einfluß einer äußeren Kraft F (z.B. hervorgerufen durch ein
angelegtes Magnetfeld), die zusätzlich Schwingungen erzeugt.
Modell:
Partielle Differentialgleichung:
utt − c2 uxx + kut = F (t, x), 0 < x < L, t > 0.
Anfangsbedingungen:
u(0, x) = f (x), ut (0, x) = g(x).
Eine Randbedingung:
u(t, 0) = r(t), u(t, L) = s(t), t ≥ 0.
Verträglichkeitsbedingungen: f (0) = r(0), f (L) = s(0), g(0) = r0 (0), g(L) = s0 (0).
1. Schritt:
Transformation auf verschwindende Randdaten
Es sei U = U (t, x) eine Funktion, die wie folgt definiert ist:
U (t, x) =
L−x
x
r(t) +
s(t).
L
L
Diese Funktion erfüllt U (t, 0) = r(t), U (t, L) = s(t), damit ist die Randbedingung
erfüllt. Wir betrachten die neue Funktion w(t, x) := u(t, x) − U (t, x). Diese löst das
Rand-Anfangswertproblem
wtt − c2 wxx + kwt = F1 (t, x), w(0, x) = f1 (x), wt (0, x) = g1 (x),
w(t, 0) = w(t, L) = 0
mit
µ
¶
µ
¶
L−x
L−x 0
x
x 0
f1 (x) = f (x) −
r(0) + s(0) , g1 (x) = g(x) −
r (0) + s (0) ,
L
L
L
L
µ
¶
µ
¶
L − x 00
L−x 0
x
x
F1 (t, x) = F (t, x) −
r (t) + s00 (t) − k
r (t) + s0 (t) .
L
L
L
L
Die Verträglichkeitsbedingungen f1 (0) = f1 (L) = g1 (0) = g1 (L) = 0 sind erfüllt.
2. Schritt:
Splitten in zwei Rand-Anfangswertprobleme
Für w wählen wir den Ansatz w = w1 + w2 , wobei w1 und w2 die folgenden RandAnfangswertprobleme lösen:
w1,tt − c2 w1,xx + kw1,t = F1 (t, x),
w1 (x, 0) = w1,t (x, 0) = 0, w1 (0, t) = w1 (L, t) = 0
(homogene Rand- und Anfangsbedingungen, aber inhomogene Differentialgleichung);
w2,tt − c2 w2,xx + kw2,t = 0,
w2 (x, 0) = f1 (x), w2,t (x, 0) = g1 (x), w2 (0, t) = w2 (L, t) = 0
41
(homogene Differentialgleichung und Randbedingung, aber inhomogene Anfangsbedingungen).
Das gemischte Problem für w2 haben wir schon gelöst.
Es bleibt nur noch das folgende gemischte Problem (v := w1 ) zu lösen:
vtt − c2 vxx + kvt = F1 (t, x), v(0, x) = vt (0, x) = 0, v(0, t) = v(L, t) = 0.
3. Schritt:
Sturm - Liouvillesches Eigenwertproblem
Wir untersuchen das Eigenwertproblem +c2 X 00 − λX = 0 , X(0) = X(L) = 0. Wie
gehabt müssen die Eigenwerte λk und zugehörigen Eigenfunktionen Xk = Xk (x)
bestimmt werden.
4. Schritt:
Gesonderte Behandlung der Quelle/Senke
Die rechte Seite F1 ist bez. x auf dem Intervall (0, L) definiert. Durch ungerade
Fortsetzung
F1 (−x, t) = −F1 (x, t), x ∈ (0, L),
erhalten wir eine neue Funktion
½
F̃1 (x, t) =
F1 (x, t), x ∈ (0, L),
−F1 (−x, t), x ∈ (−L, 0).
Nach der Theorie trigonometrischer Fourierreihen (siehe Grundkurs Höhere Mathematik) läßt sich F̃1 in eine reine Sinusreihe entwickeln, das heißt, F̃1 (t, x) =
∞
P
F̃1,k (t)Xk (x).
k=1
Nach Anwendung des Superpositionsprinzips erhalten wir den Lösungsansatz
∞
P
v(t, x) =
Tk (t)Xk (x). Einsetzen dieses Ansatzes in die partielle Differentialgleik=1
chung und formales Differenzieren der Lösung (formal bedeutet: Vertauschung von
unendlicher Summation und partieller Differentiation nach t oder x) liefern
2
vtt − c vxx + kvt =
∞
X
Tl00 (t)Xl (x)
l=1
+k
∞
X
l=1
5. Schritt:
Tl0 (t)Xl (x) =
−
∞
X
Tl (t)c2 Xl00 (x)
l=1
X
F̃1,l (t)Xl (x) = F̃1 (t, x).
l=1
Cauchy-Probleme zur Berechnung der Funktionen Tl = Tl (t)
Verwenden wir schließlich c2 Xl00 = λl X, dann erhalten wir nach Koeffizientenvergleich der Eigenfunktionen Xl = Xl (x) (das System der Eigenfunktionen {Xl }l≥1
ist vollständig) die Cauchy-Probleme
42
Tl00 − λl Tl + k Tl0 = F̃1,l (t), Tl (0) = Tl0 (0) = 0, l ≥ 1
(Tl (0) = Tl0 (0) = 0 entspricht den Cauchy-Bedingungen w1 (x, 0) = w1,t (x, 0) = 0!).
Mit Hilfe der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind die Funktion Tl (t) zu gegebenen F̃1,l (t) zu bestimmen.
6. Schritt:
Konvergenzuntersuchung der formalen Lösungen
Damit erhalten wir die formale Lösung
v(t, x) = w1 (t, x) =
∞
X
Tl (t)Xl (x).
l=1
Konvergenzuntersuchungen sollten angeschlossen werden.
Fazit: Damit schließen wir die Erklärungen zur Fourierschen Methode ab.
4.7
Noch einmal zur Modellierung
Zuerst wollen wir uns zum Abschluß dieses Kapitels noch Modellierungen von Platten anschauen.
Modell 1: Wenden wir uns zuerst der Durchbiegung und den Eigenschwingungen
einer frei gelagerten Rechteckplatte zu.
Wir setzen dazu voraus, daß auf eine rechteckige Platte (als eben angesehen und in
der x − y-Ebene positioniert) eine Kraft senkrecht zur Platte wirkt. Uns interessiert
nur die z-Komponente der Kraft, die mit F = F (x, y) bezeichnet wird. Die rechteckige Platte fülle den Bereich B = {(x, y) ∈ [0, a] × [0, b]} aus. Nach Abschnitt 3.3
erhalten wir die partielle Differentialgleichung
∂x4 w + 2∂x2 ∂y2 w + ∂y4 w =
F (x, y)
,
N
wobei N die Plattensteifigkeit und w = w(x, y) die Verschiebungen bezeichnen. Der
Prozeß ist natürlich stationär, so daß nur Randbedingungen von Interesse sind.
Wie sehen diese Randbedingungen aus? Zuerst beobachten wir, daß im Fall der frei
gelagerten Platte die Ränder verschiebungsfrei sind, d.h.
w(0, y) = w(a, y) = w(x, 0) = w(x, b) = 0 für x ∈ [0, a] und für y ∈ [0, b].
Wir benötigen jedoch noch eine zweite Randbedingung. Diese resultiert aus der
Tatsache, daß wegen des freien Lagerns das Moment My für x = 0 bzw. das Moment
Mx für y = 0 verschwindet. Zusammen mit der Verschiebungsfreiheit des Randes
der Platte ergibt sich sofort
4w(0, y) = 4w(a, y) = 4w(x, 0) = 4w(x, b) = 0 für x ∈ [0, a] und für y ∈ [0, b].
43
Damit können bei der frei gelagerten Rechteckplatte die Verschiebungen zum Rand
hin eine nicht horizontale Tangente besitzen. Zur Berechnung der Eigenschwingungen der frei gelagerten Platte haben wir das Modell
ρh∂t2 w + N (∂x4 w + 2∂x2 ∂y2 w + ∂y4 w) = 0,
Anfangsbedingungen: w(0, x, y) = f (x, y), wt (0, x, y) = g(x, y),
Randbedingungen: w(t, x, y) = 4w(t, x, y) = 0 auf dem Rand der Platte
zu untersuchen, wobei die Verträglichkeitsbedingungen zwischen Anfangs- und
Randbedingungen erfüllt sein sollten.
Beachte: Das Randwertproblem der Durchbiegung einer frei drehbar gelagerten
Rechteckplatte unter Auftreten einer Belastung f = f (x, y), d.h. das Randwertproblem
∂x4 w + 2∂x2 ∂y2 w + ∂y4 w = f (x, y),
w(0, y) = w(a, y) = w(x, 0) = w(x, b) = 0 für x ∈ [0, a] und für y ∈ [0, b],
4w(0, y) = 4w(a, y) = 4w(x, 0) = 4w(x, b) = 0 für x ∈ [0, a] und für y ∈ [0, b],
läßt sich nicht ohne weiteres durch den Separationsansatz lösen. Schon Navier (1821)
hat aber gezeigt, daß der Doppelreihenansatz
w(x, y) =
³ nπ ´
³ pπ ´
Cnp sin
x sin
y
a
b
p=1
∞ X
∞
X
n=1
zum Ziel führt. Falls die Belastung f eine Vergleichsfunktion ist, d.h. den obigen
homogenen Randbedingungen genügt, dann kann die Fourierreihenentwicklung
f (x, y) =
³ nπ ´
³ pπ ´
fnp sin
x sin
y
a
b
p=1
∞ X
∞
X
n=1
benutzt werden, um die unbekannten Fourierkoeffizienten Cnp zu berechnen.
Modell 2: Wenden wir uns nun der Durchbiegung und den Eigenschwingungen einer
fest eingespannten Kreisplatte zu.
Wir setzen dazu voraus, daß auf eine kreisförmige Platte (als eben angesehen und
in der x − y-Ebene positioniert) eine radialsymmetrische Kraft senkrecht zur Platte
wirkt. Uns interessiert nur die z-Komponente der Kraft, die mit F = F (r) bezeichnet
wird. Die kreisförmige Platte fülle den Bereich B = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ R2 } aus.
Nach Abschnitt 3.3 und der Wahl angepaßter Koordinaten erhalten wir die partielle
Differentialgleichung
1
1
F (r)
2
,
d4r w + d3r w − 2 d2r w + 3 dr w =
r
r
r
N
44
wobei wiederum N die Plattensteifigkeit und w = w(r) die Verschiebungen bezeichnen. Der Prozeß ist natürlich stationär, so daß nur Randbedingungen von Interesse
sind.
Wie sehen diese Randbedingungen aus? Zuerst beobachten wir, daß im Fall der fest
eingespannten kreisförmigen Platte der Rand verschiebungsfrei ist, d.h. w(r = R) =
0. Wir benötigen jedoch noch eine zweite Randbedingung. Diese drückt aus, daß
bei der am Rand fest eingespannten kreisförmigen Platte die Verschiebungen zum
Rand hin eine horizontale Tangente besitzen, d.h. dr w(r = R) = 0. Wie bei der Modellierung der schwingenden Membran (vgl. mit Abschnitt 4.2, Modell 3) benötigen
wir noch Bedingungen in r = 0, die aus der Familie aller Lösungen obiger Differentialgleichung die richtigen Lösungen herausfiltern. Solche Bedingungen sind z.B.
w(r = 0), d2r w(r = 0) sind endlich oder w(r = 0) ist endlich und dr w(r = 0) = 0.
Zur Berechnung der Eigenschwingungen der fest eingespannten kreisförmigen Platte
haben wir das Modell
2
1
1
ρh∂t2 w + N (d4r w + d3r w − 2 d2r w + 3 dr w) = 0,
r
r
r
Anfangsbedingungen: w(0, r) = f (r), wt (0, r) = g(r),
Randbedingungen: w(t, r = R) = dr w(t, r = R) = 0 auf dem Rand der Platte
zu untersuchen, wobei die Verträglichkeitsbedingungen zwischen Anfangs- und
Randbedingungen erfüllt sein sollten.
Zum Abschluß wollen wir uns noch ein Modell aus der Halbleitertechnik anschauen.
Modell 3: Eine Anwendung aus der Transistor-Theorie zur Ladungsdiffusion in
Transistoren
Das folgende mathematische Modell ist entnommen
Lindmayer/Wrigley, Fundamentals of Semiconductor Devices, Princeton, 1965.
Partielle Differentialgleichung:
³
η ´
pt − D pxx − px = 0, 0 < x < L, t > 0;
L
³
x x ´
KL 1−e−η(1− L ) L
eine Anfangsbedingung: p(x, 0) = D
, 0 ≤ x ≤ L;
η
Randbedingung: p(0, t) = p(L, t) = 0, t ≥ 0.
Hierbei beschreibt p = p(x, t) die Konzentration der positiven Ladungsträger, K, D
und η sind positive Konstanten. Die Verträglichkeit zwischen Rand- und Anfangsbedingung ist erfüllt.
ηx
Dη 2
• Wir wählen den Lösungsansatz p(x, t) = e 2L − 4L2 t u(x, t) mit einer zu bestimmenden Funktion u = u(x, t).
45
• Dann erhalten wir
für diese Funktion
das neue Modell ut −Duxx = 0, u(x, 0) =
ηx ¡
x x¢
KL − 2L
−η(1− L
)L
f (x) = Dη e
1−e
, u(0, t) = u(L, t) = 0.
• Man findet eine formale Lösung u(x, t) =
∞
P
cn sin
n=1
Benutzen wir die Fourierreihenentwicklung f (x) =
¡ nπx ¢
L
∞
P
e−
n2 π 2 D
t
L2
fn sin
n=1
.
¡ nπx ¢
L
,
dann ergibt sich sofort für die gesuchte Konzentration positiver Ladungsträger
∞
¡ ¢ ηx − D (n2 π2 + η2 )t
P
4
fn sin nπx
e 2L e L2
.
p(x, t) =
L
n=1
• Die Konzentration der Löcher (der positiven Ladungsträger) erleidet einen
Kollaps für t → ∞. Der Entladungsstrom I = I(t) fließt und berechnet sich
D
durch I(t) = Ip K
px (x, t) |x=0 für t > 0. Das Auftreten des exponentiell
fallenden zeitabhängigen Faktors gestattet, px (0, t) durch gliedweise Differentiation der gewonnenen Reihe für p = p(x, t) zu berechnen. Man erhält
∞
2
D
2 2 η
D X nπ
I(t) = Ip
fn e− L2 (n π + 4 )t .
K n=1 L
• Bei der Transistorenherstellung interessiert die Größe Q (reclaimable charge
(zurückgewonnene Ladung)), die definiert ist durch
Z ∞
Z R
Q=
I(t)dt = lim
I(t)dt.
R→∞
0
0
Wir können in der letzten Beziehung gliedweise integrieren und erhalten
Q = Ip
∞
1 X
Lnπ
fn
K n=1 n2 π 2 +
η2
4
.
Letztes Fazit: Im wesentlichen arbeitet die Fouriersche Methode für Innengebiete
(siehe Abschnitt 3.1).
5
5.1
Integraltransformationen
Grundlegende Ideen und Beispiele
Eine Integraltransformation ist z.B. definiert durch
Z b
F (s) =
K(s, t)f (t)dt.
a
46
Dabei ist f aus dem Originalraum aller Funktionen, die transformierbar sind. Die
Funktion F = F (s) heißt Bildfunktion. Mit K = K(s, t) bezeichnen wir die Kernfunktion. In den Anwendungen treten eine Reihe von Integraltransformationen auf:
Beispiele:
K(s, t)
√1 e−ist
2π
−st
a
b
Bezeichnung
−∞
+∞
Fouriertransformation
e
0
+∞
Laplacetransformation
ts−1
0
+∞
Mellintransformation
cos(st)
0
+∞
Kosinustransformation
sin(st)
0
+∞
Sinustransformation
t Jν (st)
0
+∞
Hankeltransformation
√
↑ Besselfunktionen 1. Art
st Kν (st)
0
+∞
Meijertransformation
↑ Kelvinfunktionen
Wir werden uns in diesem Abschnitt nur mit der Fourier- und mit der Laplacetransformation beschäftigen. Wir werden keine Untersuchungen anstellen, welche
Funktionen jeweils transformierbar sind, sondern wie folgt verfahren:
• Mit O bezeichnen wir den Originalraum aller Funktionen, die transformierbar
sind.
• Mit B bezeichnen wir den Raum aller Bildfunktionen.
• Mit T bezeichnen wir die jeweilige Integraltransformation.
f ∈ O → F = T f ∈ B.
Philosophie:
• Ein Ausgangsproblem ist schwer zu lösen (es soll eine Lösung f = f (t) gefunden werden).
• Anwendung einer geeigneten Integraltransformation überführt das Ausgangsproblem in ein transformiertes Hilfsproblem. Dieses ist leichter lösbar und
liefert eine Lösung F (s).
• Schwierig ist i.allg. die Rücktransformation, das heißt, eine inverse Integraltransformation liefert eine Funktion f = T −1 F .
47
• Schließlich bleibt zu überprüfen, ob die gewonnene Funktion tatsächlich eine
Lösung des Ausgangsproblems ist.
Anwendungsprinzipien:
• Das Ausgangsproblem sollte linear sein, z.B. eine lineare gewöhnliche oder
partielle Differentialgleichung.
• Es gibt keine allgemeine Antwort auf die Frage, welche Integraltransformation
auf welches Problem optimal anwendbar ist. Für jede Integraltransformation
müssen spezielle Eigenschaften studiert werden, z.B. welche Funktionen sind
transformierbar, Vertauschung von Grenzprozessen, Umkehrformeln, inverse
Integraltransformationen.
• Die Anwendung von Integraltransformationen ist ein Probierverfahren, das
heißt, am Ende muß untersucht werden, ob die gefundene Lösung tatsächlich
das Ausgangsproblem löst und ob während der Anwendung der Integraltransformation eingeführte Voraussetzungen wirklich erfüllt sind.
5.2
Die Fouriertransformation
Üblicherweise verwendet man nicht die Variablen t und s, sondern die Variablen x
und ξ. Die Integraltransformation lautet dann
Z +∞
1
F (f )(ξ) := √
e−ixξ f (x)dx.
2π −∞
Dabei sind x und ξ ∈ R1 reelle Variablen. Man nennt x die physikalische Variable
und ξ die Phasenvariable.
Es gelten folgende Rechenregeln:
1:
2:
ik dkξ F (f )(ξ) = F (xk f );
(iξ)k F (f )(ξ) = F (dkx f ).
Was besagen diese Rechenregeln?
zu 1)
Bilden wir die Fouriertransformierte einer Originalfunktion f multipliziert
mit der k-ten Potenz der physikalischen Variablen, dann entspricht das der k-ten
Ableitung der Fouriertransformierten F (f ) nach der Phasenvariablen multipliziert
mit ik .
zu 2)
Bilden wir die Fouriertransformierte der k-ten Ableitung einer Originalfunktion f nach der physikalischen Variablen, dann entspricht das der Fouriertransformierten F (f ) von f multipliziert mit (iξ)k .
48
Merke: Damit sind die Differentiation und die Multiplikation mit der Variablen
zueinander duale Operationen im Originalraum und im Bildraum.
Differentiation in O nach der physikalischen Variablen
im Bildraum B,
=
b
Multiplikation mit ξ
Multiplikation mit der physikalischen Variablen x in O =
b
Bildraum B nach der Phasenvariablen.
Differentiation im
Frage: Welche Funktionen f aus dem Originalraum O erfüllen obige Rechenregeln?
k
Antwort: Es sei f = f (x) n Mal stetig differenzierbar und ddxfk → 0 für |x| → ∞
für k = 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1, dann gelten die obigen Regeln für k = 0, 1, 2, · · · , n.
Machen wir uns die Rechenregel 1 plausibel: Es gilt
Z +∞
1
e−ixξ f (x)dx.
F (f )(ξ) = √
2π −∞
Differenzieren wir k Mal nach ξ, dann gilt
Z +∞
1
k
k
dξ F (f )(ξ) = √ dξ
e−ixξ f (x)dx.
2π
−∞
R +∞
Setzen wir jetzt voraus, daß die unbestimmte Integration −∞ und die Differentiation dkξ vertauschbar sind (das gilt unter den oben gemachten Voraussetzungen an
f ), dann gilt
Z +∞
Z +∞
1
1
k
k −ixξ
dξ F (f )(ξ) = √
∂ξ e
f (x)dx = √
e−ixξ (−ix)k f (x)dx
2π −∞
2π −∞
bzw. mach Multiplikation mit ik
ik dkξ F (f )(ξ) = F (xk f ).
Machen wir uns die Rechenregel 2 plausibel: Es gilt
Z +∞
Z +∞
1
1
k
k −ixξ
(i ξ) F (f )(ξ) = √
(i ξ) e
f (x)dx = √
(−1)k ∂xk e−ixξ f (x)dx.
2π −∞
2π −∞
Die gemachten Voraussetzungen an f sichern, daß man k Mal die partielle Integration anwenden kann und somit ∂xk von e−ixξ auf f hinüberwälzt. In jedem Schritt
entsteht eine −1, also in k Schritten (−1)k . Die Randterme verschwinden auf Grund
49
der gemachten Voraussetzung
Somit ergibt sich
dk f
dxk
→ 0 für |x| → ∞ für k = 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1.
Z +∞
1
(i ξ) F (f )(ξ) = √
(−1)k ∂xk e−ixξ f (x)dx
2π −∞
Z +∞
1
=√
(−1)k−1 ∂xk−1 e−ixξ dx f (x)dx = · · · =
2π −∞
Z +∞
1
=√
e−ixξ dkx f (x)dx.
2π −∞
k
Beispiele:
2
ξ
• F (exp(−ax2 ))(ξ) = √12a exp(− 4a
), a > 0, das heißt, Gauß-Funktionen ergeben
im Fourierbild wieder Gauß-Funktionen,
a = 21 , F (exp(− 12 x2 ))(ξ) = exp(− 12 ξ 2 );
q
a
• F (exp(−a|x|)) = π2 ξ2 +a
2 , a > 0.
In der Signaltheorie wird verwendet mit a ∈ R
1
1
F (δa ) = √
exp(−iaξ), a = 0 ⇒ F (δ0 ) = √ .
2π
2π
Somit ist das Fourierbild der Diracschen δ0 -Distribution die konstante Funktion
≡ √12π .
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Fouriertransformierten:
+∞
R
Es sei f ∈ L1 (R), d.h.
|f (x)|dx < ∞. Dann ist F (f )(ξ) als Funktion stetig auf
−∞
(−∞, +∞) und es gilt F (f )(ξ) → 0 für ξ → ±∞.
Natürlich steht die Frage nach der inversen Fouriertransformation. Diese wird mit
F −1 bezeichnet und definiert durch
Z +∞
1
−1
F (G(ξ))(x) = √
eixξ G(ξ)dξ.
2π −∞
Dabei ist G eine beliebige Funktion aus dem Bildraum B.
Naiv könnte man vermuten, daß folgende wichtige Beziehung gilt:
F −1 (F (f )) = f !!!! Diese Beziehung heißt Fouriersche Umkehrformel.
Beachte:
50
• Für Funktionen f ∈ L1 (R) gilt keine Fouriersche Umkehrformel !
R +∞
• Aber: Die Fouriertransformation ist auf L1 (R) = {f : −∞ |f (x)|dx < ∞}
umkehrbar eindeutig. Damit kann wenigstens eine Rücktransformation auf
F (L1 (R)), das heißt, auf der Menge aller Fouriertransformierten von L1 (R)Funktionen, definiert werden. Diese Rücktransformation stimmt aber nicht mit
F −1 überein. In vielen Fällen ist die Rücktransformation definiert durch
Z +∞
1
−1
F (G(ξ))(x) = √ H.W.
eixξ G(ξ)dξ
2π
−∞
Z M
1
lim
=√
eixξ G(ξ)dξ.
2π M →∞ −M
Mit dieser Rücktransformation gilt
F −1 (F (f )) =
f (x + 0) + f (x − 0)
.
2
Mit f (x + 0) bzw. f (x − 0) bezeichnen wir den rechtsseitigen bzw. linksseitigen
Grenzwert von f an der Stelle x. Damit kann die Fouriersche Umkehrformel
nicht gelten (F −1 (F (f )) = f ).
Ein letztes wesentliches Hilfsmittel ist der sogenannte Faltungssatz: Unter geeigneten Voraussetzungen an f und g, z.B. f, g ∈ L1 (R), existiert die Faltung
Z +∞
Z +∞
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy =
g(x − y)f (y)dy.
−∞
−∞
Faltungssatz:
In vielen Fällen gilt
³
´
√
1
F (f ∗ g) = F (f ) · F (g) 2π, F −1 F (f ) · F (g) = (f ∗ g) √ .
2π
5.3
Die partielle Fouriertransformation
Hat man eine Funktion f vorgelegt, die z.B. von zwei reellen Variablen x, y abhängt,
also f = f (x, y), dann wendet man mitunter die Fouriertransformation nur bez. x
an. Man spricht dann von der partiellen Fouriertransformation. Diese ist definiert
durch
Z +∞
1
Fx (f (x, y))(ξ, y) = √
e−ixξ f (x, y)dx.
2π −∞
Die Variable y ist als Parameter anzusehen, der im Transformationsprozeß nicht
berücksichtigt wird.
Rechenregeln:
51
1. ik ∂ξk Fx (f (x, y))(ξ, y) = Fx (xk f (x, y)),
2. ∂yk Fx (f (x, y))(ξ, y) = Fx (∂yk f (x, y)),
3. (iξ)k Fx (f (x, y))(ξ, y) = Fx (∂xk f (x, y)),
4. y k Fx (f (x, y))(ξ, y) = Fx (y k f (x, y)).
Merke: Man kann die Fouriertransformation auch für Funktionen mehrerer reeller
Variablen definieren. Das geschieht durch
Z
1
F (f )(ξ) = √ n
e−ix·ξ f (x)dx,
n
2π R
x = (x1 , · · · , xn ), ξ = (ξ1 , · · · , ξn ) und x · ξ =
n
P
xk ξk . Entsprechend läßt sich
k=1
auch die partielle Fouriertransformation für Funktionen mehrerer reeller Variablen
definieren.
5.4
Anwendungsbeispiele der Fouriertransformation
Beispiel 1 Das Cauchy-Problem für die Wellengleichung
Vorgelegt sei das Cauchy-Problem für die Wellengleichung
utt − c2 uxx = 0, u(0, x) = f (x), ut (0, x) = g(x) für x ∈ R und t > 0.
Die Anwendung der partiellen Fouriertransformation bez. x liefert
Fx (utt ) = (Fx (u))tt = vtt , v = Fx (u), Fx (−c2 uxx ) = c2 ξ 2 Fx (u) = c2 ξ 2 v.
Damit erhalten wir das folgende Cauchy-Problem für v:
vtt + c2 ξ 2 v = 0, v(0, ξ) = F (f )(ξ), vt (0, ξ) = F (g)(ξ).
Dieses Problem ist mit der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen zu behandeln (siehe Grundkurs Höhere Mathematik), ξ ist als Konstante anzusehen. Als
Lösung erhalten wir
¢
¢
¡
F (g)(ξ) ¡ icξt
1
v(t, ξ) = F (f )(ξ) eicξt + e−icξt +
e − e−icξt .
2
2icξ
Verwenden wir die inverse partielle Fouriertransformation Fξ−1 , dann erhalten wir
(diese Annahme ist später zu
mit der Annahme Fξ−1 (Fx (u(t, x)) = u(t, x)
52
überprüfen, damit erlauben wir nur solche Lösungen, für welche die Fouriersche
Umkehrformel gilt)
·
¸
Z +∞
¡ iξ(x+ct)
1
1
iξ(x−ct)
√
u(t, x) =
F (f )(ξ) e
+e
) dξ
2
2π −∞
·
¸
Z +∞
¢
1
F (g)(ξ) ¡ iξ(x+ct)
1
iξ(x−ct)
√
+
e
−e
dξ
2c
iξ
2π −∞
Z +∞
´
³ Z x+ct
´
1³
1 1
√
=
f (x + ct) + f (x − ct) +
F (g)(ξ)
eiξy dy dξ
2
2c 2π −∞
x−ct
¡
¢
R x+ct
(hier verwenden wir die Beziehung iξ1 eiξ(x+ct) − eiξ(x−ct) = x−ct eiξy dy und nach
Vertauschung der Integrationsreihenfolge erhalten wir)
Z x+ct
Z ∞
´
1³
1
1
√
=
f (x + ct) + f (x − ct) +
eiξy F (g)(ξ)dξdy
2
2c x−ct
2π −∞
Z x+ct
³
´
1
1
g(y)dy.
f (x + ct) + f (x − ct) +
=
2
2c x−ct
Das ist die D’Alembertsche Lösungsdarstellung für die Wellengleichung im 1-d Fall.
Dabei haben wir vorausgesetzt, daß auch für die Daten f und g die Fouriersche
Umkehrformel gilt.
Beispiel 2
Das Dirichlet-Problem für die Potentialgleichung in der Halbebene
Vorgelegt sei das Dirichlet-Problem für die Potentialgleichung in der Halbebene
uxx + uyy = 0, y ≥ 0, x ∈ R mit den folgenden Nebenbedingungen:
Randbedingung vom Dirichlet-Typ:
u(0, x) = f (x),
und der Abklingbedingung:
u(x, y) → 0 für |x| → ∞, y → ∞.
Wir wenden die partielle Fouriertransformation bez. x an und erhalten mit v(ξ, y) :=
Fx→ξ (u(x, y))(ξ, y), die Variable y ist als Parameter zu behandeln, das Bildproblem
vyy − ξ 2 v = 0, v(0, ξ) = F (f )(ξ), v(ξ, y) → 0 für y → ∞.
Mit Hilfe der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten wir als Lösung
v(y, ξ) = c1 (ξ)e−|ξ|y + c2 (ξ)e|ξ|y .
Da v(y, ξ) → 0 für y → ∞ vorausgesetzt wurde, folgt unmittelbar c2 (ξ) ≡ 0. Nutzen
wir v(0, ξ) = F (f )(ξ), dann ergibt sich sofort v(y, ξ) = F (f )(ξ)e−|ξ|y .
Für die Funktion e−|ξ|y gilt die Fouriersche Umkehrformel F (F −1 (e−|ξ|y )) =
e−|ξ|y , y > 0. Damit erhalten wir, die Fouriertransformation wirkt bezüglich der
53
x-Variable, die inverse Fouriertransformation bezüglich der ξ-Variable, die Variable
y ist als Parameter anzusehen und wird bei der Transformation nicht berücksichtigt,
v(y, ξ) = F (f )(ξ)F (F −1 (e−|ξ|y )).
Somit ist der Faltungssatz anwendbar und liefert
³
´
−1
u(y, x) = Fξ→x
(v(y, ξ)) = F −1 F (f )(ξ)F (F −1 (e−|ξ|y ))
³
´ 1
1
−1
−1
−1 −|ξ|y
= F (F (f )(ξ)) ∗ F
F (F (e
)) √ = f (x) ∗ F −1 (e−|ξ|y ) √ ,
2π
2π
sofern für f die Fouriersche Umkehrformel F −1 (F (f )) = f gilt. Die Faltung wirkt
bezüglich der q
x-Variable. Nach unseren Beispielen aus Abschnitt 5.2 wissen wir
y
−1 −|ξ|y
F (e
) = π2 x2 +y
2 . Damit erhalten wir die sogenannte Poissonsche Integralformel in der Halbebene für die Lösung
r
Z
y +∞
2
y
1
f (z)
√ =
u(y, x) = f (x) ∗
dz.
2
2
π x + y 2π
π −∞ (x − z)2 + y 2
Die Faltung wirkt bezüglich der x-Variablen, die Variable y ist als Parameter anzusehen.
Beispiel 3 Das Cauchy-Problem für die Diffussionsgleichung
Vorgelegt sei das Cauchy-Problem für die Diffussionsgleichung
ut − kuxx = 0, t > 0, x ∈ R,
u(0, x) = f (x), k > 0.
Nach Anwendung der partiellen Fouriertransformation bez. x bekommen wir das
Bildproblem
vt + kξ 2 v = 0, v(0, ξ) = F (f )(ξ).
2
Wir erhalten sofort die Lösung v(t, ξ) = F (f )(ξ)e−kξ t bzw.
Z +∞
1
2
u(t, x) = √
F (f )(ξ)eixξ−kξ t dξ.
2π −∞
Nach Anwendung des Faltungssatzes erhalten wir
Z +∞
x2
1
1
2
e− 4kt .
u(t, x) = √
f (y)g(x − y)dy
mit g(x) = Fξ−1 (e−kξ t ) = √
2π −∞
2kt
Damit bekommen wir die Lösungsdarstellung
Z +∞
(x−y)2
1
u(t, x) = √
f (y)e− 4kt dy.
%
4πkt −∞
Fundamentallösung oder Elementarpotential der Diffusionsgleichung
54
5.5
Die Laplacetransformation
Die Laplace-Transformierte L(f )(s) einer Funktion f = f (x) ist definiert durch
Z ∞
Z M
−sx
L(f )(s) :=
e f (x)dx = lim
e−sx f (x)dx.
M →∞
0
0
Die Originalfunktion f ist definiert auf dem Intervall (0, ∞). Die Bildfunktion
L(f )(s) ist definiert für komplexe Zahlen s.
Die Funktion f gehört zum Originalraum La , falls eine komplexe Zahl s1 ∈ C existiert mit
Z ∞
Z M
−s1 x
|e
f (x)|dx = lim
|e−s1 x f (x)|dx < ∞.
M →∞
0
0
Dann existiert die Laplace-Transformierte L(f )(s) für alle Re s ≥ Re s1 . Das
Laplace-Integral konvergiert für Re s ≥ Re s1 absolut.
i Im s 6
C
Re s1
-
Re s
In der Halbebene Re s ≥ Re s1 konvergiert das Laplace-Integral absolut.
Frage: Warum spielt Re s eine wesentliche Rolle?
Antwort: Es gilt
Z ∞
¯Z ∞
¯ Z ∞
¯
¯
−sx
−sx
e f (x)dx¯ ≤
|e f (x)|dx =
|e−x Res f (x)|dx
¯
0
0
0
Z
∞
−x Res1
+x(Res1 −Res)
=
|e
f (x)| |e
| dx < ∞.
{z
}
|
0
≤1
Rechenregeln und Beispiele
• L(1) =
R∞
0
e−sx dx = lim
M →∞ 0
= lim − 1s e−sx |M
0 =
M →∞
RM
1
s
e−sx dx
für Re s > 0, L(1) = 1s .
55
L(e−ax f (x)) = L(f )(s + a).
• Dämpfungssatz:
• L(e−ax ) = L(1)(s + a) =
1
s+a
für Re(s + a) > 0.
• L(cos x) = L( 12 eix + 12 e−ix ) = 12 L(eix ) +
1
1 1
+ 12 s+i
= s2s+1 für Res > 0.
2 s−i
• L(e−ax cos x) =
s+a
(s+a)2 +1
1
2
L(e−ix ) =
für Re(s + a) > 0.
L(f (x − h))(s) = e−hs L(f )(s),
Rh
L(f (x + h))(s) = ehs (L(f )(s) − e−sx f (x)dx) für h ≥ 0.
• Verschiebungssätze:
0
n
d
• Multiplikationssatz: L(xn f )(s) = (−1)n ds
n L(f )(s).
n
Γ(n+1)
d
1
n!
• L(xn ) = (−1)n ds
,
n ( s ) = sn+1 =
sn+1
Γ(α)
α−1
allgemein: L(x ) = sα für Re α > 0 und Res > 0.
• Ähnlichkeitssatz:
• L(cos(ax)) =
L(f (ax)) =
s
1
a
a ( as )2 +1
• Integrationssatz:
=
1
a
(L(f ))( as ), a > 0.
s
.
s2 +a2
³ Rx
´
L
f (t)dt (s) = 1s L(f )(s).
0
Stammfunktion von f
³
L(f (n) (x)) = sn L(f )(s) − sn−1 f (+0) +
´
sn−2 f 0 (+0) + · · · + s f (n−2) (+0) + f (n−1) (+0) .
• Differentiationssatz:
• Faltungssatz:
Sind f1 , f2 ∈ La , so exisitert ihre endliche Faltung
Rx
f (x) = (f1 ∗ f2 )(x) = f1 (x − t)f2 (t)dt. Die Funktion f gehört auch zu La
0
und es gilt L(f1 ∗ f2 )(s) = L(f1 )(s) · L(f2 )(s).
Weitere bekannte Beispiele:
³ ´
x
Vorgelegt sei die Funktion erfc 2√
:=
t
Transformierte:
³
³ ´´
x
• L erfc 2√
(s) =
t
1
s
√2
π
R∞
x
√
2 t
√
exp(−x s), x ≥ 0.
56
2
e−λ dλ. Dann gilt für die Laplace-
5.6
Umkehrung der Laplacetransformation
Methode 1 Komplexe Umkehrformel
Vorgelegt sei eine Funktion f ∈ La . Es sei y ein Wert auf der reellen Achse, der
in der Halbebene {s : Res ≥ Res1 } liegt. Falls f von beschränkter Schwankung ist,
dann gilt in Umgebung von x die komplexe Umkehrformel

(x−0)
Z y+i∞
x > 0 : f (x+0)+f

2
1
−1
f (+0)
= L (L(f )) = HW
esx L(f )(s)ds.
x=0:
2

2πi y−i∞
x<0:
0
Methode 2
Wenn
Umkehrung durch Reihenentwicklung
∞
P
ak
, 0 < λ0 < λ1 < · · · für {s ∈ C : |s| ≥ Res1 } absolut
F (s) =
sλk
k=0
konvergent ist, das heißt
∞ ¯
¯
P
¯ aλk ¯ < ∞, so ist F (s) = L(f )(s) mit
k
s
k=0
f (x) =
∞
X
k=0
xλk −1
ak
.
Γ(λk )
Beachte: Diese zweite Methode der Umkehrung wird z.B. zur Behandlung der Besselschen Differentialgleichung
x2 d2x u + xdx u + (x2 − k 2 )u = 0
oder zur Behandlung der Laguerrschen Differentialgleichung
xd2x u + (1 − x)dx u + λu = 0
eingesetzt.
5.7
Anwendungsbeispiele der Laplacetransformation
Bestimmung der Temperaturverteilung in einem halbunendlichen Medium, wenn die
Temperatur in x = 0 vorgeschrieben ist
Vorgelegt sei die Wärmeleitungsgleichung im halbunendlichen Medium
ut − kuxx = 0
für {(t, x) ∈ R2 , x > 0 und t > 0}.
Anfangsbedingung:
u(0, x) = 0,
Randbedingung:
u(t, 0) = f (t),
Verträglichkeitsbedingung:
f (0) = 0,
Abklingbedingung:
u(t, x) → 0 für x → ∞ und t > 0.
Die Laplacetransformation wird bez. der t-Variablen angewendet. Es gilt
L(−kuxx ) = −k L(u)xx , L(ut ) = s L(u)(s, x) − u(+0, x) = s L(u)(s, x),
57
hier verwenden wir die homogene Anfangsbedingung, wobei für die zweite Beziehung
der Differentiationssatz angewendet wurde. Damit ergibt sich folgende gewöhnliche
Differentialgleichung 2. Ordnung im Bildraum (v = L(u)):
vxx (s, x) −
s
v(s, x) = 0.
k
Wir erhalten mit der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten die allgemeine Lösung
√s
√s
v(s, x) = c1 (s)e−x k + c2 (s)ex k .
Abklingbedingung
v(s, x) → 0 für x → ∞ liefert c2 (s) = 0, da andernfalls
√
x ks
e
für geeignete s: Res ≥Res1 unbeschränkt wachsen kann.
Die Randbedingung v(s, 0) = L(u(t, 0)) = L(f )(s) liefert c1 (s) = L(f )(s).
Damit haben wir als Lösung unseres transformierten Problems
√s
v(x, s) = L(f )(s)e−x k .
Nun wenden wir den Faltungssatz an und erhalten
√s
v(x, s) = L(f ∗ L−1 (e−x k )).
Die Rücktransformation liefert
u(t, x) = L−1 (L(f ∗ L−1 (e−x
√s
k
))).
Wir setzen voraus, daß die Umkehrformel
√s
√s
L−1 (L(f ∗ L−1 (e−x k ))) = f ∗ L−1 (e−x k )
gilt (das ist zu überprüfen) und erhalten
√s
x2
x
L−1 (e−x k )
= √
e− 4kt
|
{z
}
2 πkt3/2
Berechnung ist nicht einfach
Z t
x2
x
=
f (t − τ ) √
e− 4kt dτ.
2 πkτ 3/2
0
u(t, x) = f ∗
Bestimmung der Temperaturverteilung in einem halbunendlichen Medium, wenn der
Wärmefluß in x = 0 vorgeschrieben ist
Vorgelegt sei das mathematische Modell
ut − κuxx = 0, x > 0, t > 0, mit der Anfangsbedingung u(x, 0) = 0, der Randbedin= g(t) in x = 0 und für t > 0, dabei ist α der Wärmeleitkoeffizient,
gung −α ∂u
∂x
und dem Verhalten im Unendlichen u(x, t) → 0 für x → ∞, t > 0.
58
Gehen wir wie bei der Behandlung des vorigen Modells vor, dann erhalten wir als
Lösung des transformierten Problems
r
µ r ¶
1
κ
s
U (x, s) =
L(g)(s) exp −x
.
α
s
κ
Die neuerliche Anwendung des Faltungssatzes liefert
r Z
¶
µ
1 κ t
x2
− 12
u(x, t) =
dτ
g(t − τ )τ exp −
α π 0
4κτ
bzw. nach Verwendung gleicher Variablentransformation
¶
Z ∞ µ
x
x2
2
u(x, t) = √
g t−
λ−2 e−λ dλ.
2
4κλ
α π √x
2 κt
59