Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck Ps
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1 / 29 Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Umwelttechnik Baden-Württemberg 01.12.11 Inhaltsverzeichnis 1 Energietechnik / Thermodynamik.................................................................................................................3 Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik....................................................................................................3 Umrechnungsfaktoren verschiedener Energieeinheiten ............................................................................................3 Übersicht über Energieeinheiten ............................................................................................................................3 Stoffwerte im Normzustand ...................................................................................................................................3 Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm....................................................................................................................3 Erwärmung von Wasser..........................................................................................................................................4 Schmelzen und Verdampfen ..................................................................................................................................4 Erster Hauptsatz der Wärmelehre...........................................................................................................................5 allgemeines Gasgesetz...........................................................................................................................................5 Zustandsänderungen idealer Gase...........................................................................................................................5 Verbrennung von Brennstoffen (BS)........................................................................................................................6 Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom.....................................................................................6 Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz...................................................................................................6 Wärmestrahlung....................................................................................................................................................7 Wärmeübergang durch Konvektion.........................................................................................................................7 Wärmeleitung........................................................................................................................................................7 2 Bauphysik.......................................................................................................................................................8 Ermittlung von Temperaturen an den Bauteiloberfläche............................................................................................8 Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion........................................................................................................8 Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge........................................................................................................8 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck Ps ...............................................................................................................9 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl.................................................10 Tabelle Sperrstoffe...............................................................................................................................................11 3 Elektrotechnik..............................................................................................................................................12 Ladung Q (Ladungsmenge)...................................................................................................................................12 Strom I................................................................................................................................................................12 Spannung U.........................................................................................................................................................12 Elektrische Energie W (Energiemenge, Arbeit).......................................................................................................12 Leistung P...........................................................................................................................................................12 Widerstand R, Ohmsches Gesetz...........................................................................................................................13 Reihenschaltung...................................................................................................................................................14 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle............................................................................................................14 Parallelschaltung..................................................................................................................................................15 Knoten- und Maschenregel...................................................................................................................................15 Widerstand und Temperatur.................................................................................................................................15 Spannungsteiler...................................................................................................................................................16 Brückenschaltung.................................................................................................................................................16 Dioden und LEDs.................................................................................................................................................17 Solarzelle.............................................................................................................................................................18 Spule...................................................................................................................................................................19 Kondensator........................................................................................................................................................20 Ladungsvorgang beim Kondensator.......................................................................................................................21 Dreiphasiger Wechselstrom...................................................................................................................................22 Symmetrisches Dreiphasensystem.........................................................................................................................23 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................24 Codes und Codierer..............................................................................................................................................26 Speicher RS-Flipflop............................................................................................................................................26 Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................27 4 Umweltlabor................................................................................................................................................28 Teilchenzahl.........................................................................................................................................................28 molares Volumen.................................................................................................................................................28 Zusammensetzung von Lösungen und Stoffgemischen...........................................................................................28 Löslichkeit............................................................................................................................................................28 Dichte.................................................................................................................................................................28 pH-Wert..............................................................................................................................................................29 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 2 / 29 Leitfähigkeit.........................................................................................................................................................29 Extinktion............................................................................................................................................................29 Fehlerfortpflanzung..............................................................................................................................................29 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 3 / 29 1 Energietechnik / Thermodynamik Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik W w Arbeit in J spez. Arbeit in Q J kg Wärmemenge in J Q̇ J kg Leistung in W 1W=1 J s q spez. Wärmemenge in Arbeitsumsatz bei ZustandsänW12 derung von Zustand 1 nach Zustand 2 Q12 Wärmeumsatz bei Zustandsänderung von Zustand 1 nach Zustand 2 T absolute Temperatur in K U V Volumen in m³ p absoluter Druck in innere Energie in J m Masse des Gases in kg N m2 1 Pa = 1 Cp, cV, Ri, κ s. Tabelle Stoffwerte Umrechnungsfaktoren verschiedener Energieeinheiten 1 kJ 1 kcal 1 kWh 1 kg SKE 1 kg RÖE 1 m³ Erdgas kJ 1 4,1868 3.600 29.308 41.868 31.736 kcal 0,24 1 860 7.000 10.000 7.580 kWh 0,000278 0,001163 1 8,14 11,63 8,816 kg SKE 0,000034 0,000143 0,123 1 1,428 1,083 kg RÖE 0,000024 0,0001 0,086 0,7 1 0,758 m³ Erdgas 0,000032 0,00013 0,113 0,923 1,319 1 Quelle: www.volker-quaschning.de Übersicht über Energieeinheiten Einheit Bezeichnung, Erläuterung Umrechnung in kJ bzw. kWh J Joule 1.000 J = 1.000 Ws = 1 kJ cal Calorie 1.000 cal = 1 kcal = 4,186 kJ Wh Wattstunde 1 Wh = 3,6 kJ (kg) SKE (Kilogramm) Steinkohleeinheit 1 kg SKE = 29.308 kJ (kg) RÖE (Kilogramm) Rohöleinheit 1 kg RÖE = 41.868 kJ m³ Erdgas Kubikmeter Erdgas 1 m³ Erdgas = 31.736 kJ Quelle: www.volker-quaschning.de Stoffwerte im Normzustand Gas spezifische Wärmeka- spezifische Wärmekapazität bei konstantem pazität bei konstantem Druck Volumen cp in kJ kg ⋅K cV in kJ kg ⋅K Adiabatenkoeffizient κ= cp cV spezifische Gaskonstante für Gas i Ri in kJ kg ⋅K Kohlendioxid 0,844 0,655 1,29 0,189 Luft 1,005 0,718 1,40 0,287 Sauerstoff 0,917 0,658 1,39 0,260 Stickstoff 1,038 0,741 1,40 0,297 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 4 / 29 Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm Wirkungsgrad allgemein η= Carnot-Wirkungsgrad Nutzen Aufwand ηC = 1 − T min Tmax Energieflussdiagramm Wzu zugeführte Arbeit (Energie) Wab abgegebene Arbeit (Energie) WV Verluste Pzu,ab,V entsprechende Leistungen η Wirkungsgrad Wab Wzu = WV Bei einem Sankey-Diagramm erfolgt eine mengenproportianale Darstellung W V = W zu − W ab 1 , 2 Einzelwirkungsgrade W zu W ab = Pzu Pab ges = 1 ⋅ 2 besitzt keine Einheit, wird häufig in % angegeben. PV = Pzu − Pab Erwärmung von Wasser spezifische Wärmekapazität Angaben bei Normbedingungen: ϑ0= 0°C, p0 = 1013,25 hPa Wärmemenge in Wh Q=m⋅c⋅ Wärmeleistung in W Q̇= 4,2 kJ kg ⋅K 1,163 Wh kg ⋅K cEis 2,05 kJ kg ⋅K 0,57 Wh kg ⋅K cDampf 2,05 kJ kg ⋅K 0,57 Wh kg ⋅K m⋅c⋅ = ṁ⋅c⋅ t Cwasser Schmelzen und Verdampfen Spezifische Schmelzwärme von Wasser Angaben bei Normbedingungen: ϑ0= 0°C, p0 = 1013,25 hPa Schmelzwärme in kJ = Schmelzenthalpie QS =m⋅q q 332 kJ kg ⋅K 92,2 Wh kg ⋅K Spezifische Verdampfungswärme von Wasser Verdampfungswärme in kJ = Verdampfungsenthalpie Q v=m⋅r r 2258 kJ kg ⋅K 627,2 Wh kg ⋅K Dampftbellen <xy Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 5 / 29 Erster Hauptsatz der Wärmelehre Δ Q + Δ W = Δ U → Im Kreisprozess gilt : ΣQ + Σ W = 0 allgemeines Gasgesetz p ∗ V = m⋅R i ∗ T Zustandsänderungen idealer Gase isobar Q 12 = c p ⋅m⋅ T21 W 12 =−p ⋅V21 p = const V1 V = 2 T1 T2 isochor Q 12 = c v ⋅m⋅ T21 W 12 = 0 V = const p1 p = 2 T 1 T2 V2 V1 p1 W 12 =−m⋅ R ⋅T⋅ln i p2 V = const p1 p = 2 T 1 T2 W 12 =−m ∗ R i⋅T⋅ln isotherm Q 12 = −W 12 W12 =− adiabat Q 12 = 0 W 12 =− W 12 =− Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt m ∗ Ri ⋅ T2 − T1 1− [[ ] ] [[ ] ] m⋅R i ⋅T 1 V1 ⋅ 1− V2 −1 m ∗ Ri ⋅ T 1 p2 ⋅ 1− p1 −1 −1 −1 p ∗ V κ = const κ−1 κ [ ] [ ] T1 p = 1 T2 p2 = V2 V1 κ−1 1. Dez 11 6 / 29 Verbrennung von Brennstoffen (BS) Wärmebelastung Brennwert und Heizwert von Brennstoffen nach dem Brennwert nach dem Heizwert Brennwert Erdgas 11,1 kWh 3 m 11,8 kWh l Heizwert 10 kWh 3 m 10 kWh l gasförmige BS Q˙B,s = V̇B ⋅Hs Q˙B,i = V˙ B ⋅ Hi Heizöl EL flüssige / feste BS Q˙B,s = ṁB ⋅Hs Q˙B,i = ṁB ⋅ Hi Holzpellets 5,21 kWh kg 4,9 kWh kg Steinkohle 8,6 kWh kg 8 kWh kg Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom Volumenstrom in m3 s V̇ = V t V̇ = A⋅v Rohrvolumen in m³ Massenstrom in kg s V = A⋅l ṁ = V t A v l m ρ Volumen in m³ Zeit in s durchströmte Fläche (Rohrquerschnitt) in m² m Fließgeschwindigkeit in s Länge in m Masse in kg kg Dichte der Flüssigkeit in m 3 m t ṁ = ⋅V̇ Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz Massenstrom ist konstant: ṁ 1 = ṁ 1 = konstant Massenstrom an den Stellen 1 und 2 eines Rohrleitungsabschnitts bei konstanter Dichte: Volumenstrom ist konstant: V̇ 1 = V̇ 1 = konstant v 1⋅A1 = v 2⋅A 2 = konstant Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 7 / 29 Wärmestrahlung Wärmeabstrahlung eines Körpers mit der abstrahlenden Oberfläche A: Q̇ 1s = ⋅Cs ⋅ A⋅ ε 4 T 100 Cs Emissionszahl des Strahlers: absolut schwarzer Körper 1 Kuper poliert 0,03 Ziegelstein, Mörtel 0,93 Heizkörperfarbe 0,93 Strahlungskonstante 5,67 W 2 4 m ⋅K Wärmeübergang durch Konvektion Wärmeübergangszahl in Q̇ k = A ⋅⋅ Vertikale ebene Wände: v vertikale Heizplatten: [ vs ] 0,1 0,5 2,0 4,5 H ∖ L [ mWK ] 6,6 8,3 14,6 25,1 2 W 2 m K ∈ W 2 m K 15 20 24 75 6,19 5,56 5,39 60 5,23 4,99 4,80 50 4,81 4,54 4,31 Wärmeleitung Q̇ = A⋅ ⋅ d Wärmestrom in W m 2⋅K W Wärmedurchlasswiderstand in mehrschichtige Bauteile Rλ = d λ d1 d2 d3 R= .... 1 2 3 Wärmedurchgangswiderstand d1 d2 d 3 RT = Rse .... Rsi 1 2 3 Wärmedurchgangskoeffizient Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt [ W m 2⋅K ] U= 1 RT A … Fläche des Bauteils in m² d … Bauteildicke in m W λ … Wärmeleitfähigkeit in m⋅K ∆ … Temperaturdifferenz in K d1,2,3 usw.Baustoffdicke des Baustoffs 1,2,3 usw. in m Richtung des Wärmestroms innerer Wärmeübergangswiderstand Rsi aufwärts 0,10 horizontal 0,13 abwärts 0,17 2 m ⋅K W 2 m ⋅K W 2 m ⋅K W äußerer Wärmeübergangswiderstand Rse 0,04 0,04 0,04 2 m ⋅K W 2 m ⋅K W 2 m ⋅K W 1. Dez 11 8 / 29 2 Bauphysik Ermittlung von Temperaturen an den Bauteiloberfläche Trennschicht: Berührungsfläche zwischen zwei Baustoffschichten bei mehrschichtigem Aufbau eines Außenbauteils. Temperatur in der ersten Trennschicht (von innen betrachtet): 1 = si − R1 ⋅U⋅ i − e Temperatur in der zweiten Trennschicht (von innen betrachtet): Si i e R1 R2 2 = 1 − R2 ⋅ U⋅ i − e Temperatur in der dritten Trennschicht (von innen betrachtet) 3 = 2 − R3 ⋅ U⋅ i − e R3 U Temperatur Oberfläche innen in °C Temperatur Raumluft innen in °C Temperatur Außenluft in °C Wärmedurchlasswiderstand der ersten Baustoffschicht (von innen betrachtet) Wärmedurchlasswiderstand der zweiten Baustoffschicht (von innen betrachtet) Wärmedurchlasswiderstand der dritten Baustoffschicht (von innen betrachtet) U-Wert des gesamten Wandquerschnitts Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion Wasserdampfteildruck innen in Pa pi = p si⋅i 100 % Wasserdampfteildruck außen in Pa pe = p se⋅e 100% psi Sättigungsdampfdruck Bauteiloberfläche innen in Pa Φi Relative Luftfeuchte innen in % pse Sättigungsdampfdruck Bauteiloberfläche außen in Pa Φe Relative Luftfeuchte außen in % d µ Wasserdampfdiffussionsäquivalente Luftschichtdicke sD = ⋅d Baustoffdicke in m Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl (dimensionslos) Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand 6 Z = sd⋅1,5⋅10 = ⋅d⋅1,5⋅10 1,5⋅106 ... Kehrwert des Wasserdampf-Diffusionsleitkoeffim²⋅h⋅Pa zienten in Luft δa bei der Bezugstemperatur in kg Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl µ 6 Luft 1 Holz 50 Ziegel, Gasbeton, Putz 5 Weichfaserplatte (Holz) 2 Glas 10000 PE-Dichtfolie Mineralwolle Gipskarton Beton EPS-Schaum 100000 1 10 70 50 Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge während der Tauperiode anfallende Tauwassermenge in mW ,T = t T⋅ pSW⋅pSW p ⋅p i e − Zi Ze kg m2 tT tV pi Wasserdampfteildruck innen in Pa pe Wasserdampfteildruck außen in Pa psw Wasserdampfsättigungsdruck mit Tauwasserausfall in Pa während der Verdunstungsperiode nach außen abwandernkg Zi de Wassermenge [ m ] 2 mW ,V = tV⋅ p SW⋅p SW pi⋅p e − Zi Ze Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt Dauer der Tauwasserperiode in h Dauer der Verdunstungsperiode in h Innerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand, der zwischen der Tauwasserebene und der inneren Baum²⋅h⋅Pa teiloberfläche besteht [ kg ] Ze äußerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand; der zwischen der Tauwasserebene und der äußeren m²⋅h⋅Pa Bauteiloberfläche besteht [ kg ] 1. Dez 11 9 / 29 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck Ps Quelle: http://www.ing-buero-junge.homepage.t-online.de/energieausweis/Tabellen-Taup-Saett.pdf Wasserdampfsättigungsdruck Pa Temperatur in °C 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 4244 4006 3781 3566 3362 3169 2985 2810 2645 2487 2340 2197 2065 1937 1818 1706 1599 1498 1403 1312 1228 1148 1073 1002 935 872 813 759 705 657 611 611 562 517 476 437 401 368 337 310 284 260 237 217 198 181 165 150 137 125 114 103 4269 4030 3803 3588 3382 3188 3003 2827 2661 2504 2354 2212 2079 1950 1830 1717 1610 1508 1413 1321 1237 1156 1081 1008 942 878 819 765 710 662 616 605 557 514 472 433 398 365 336 306 281 258 235 215 197 180 164 149 136 124 113 102 4294 4053 3826 3609 3403 3208 3021 2845 2678 2518 2369 2227 2091 1963 1841 1729 1621 1518 1422 1330 1245 1163 1088 1016 949 884 825 770 716 667 621 600 552 509 468 430 395 362 333 304 279 255 233 213 195 178 162 148 135 123 112 101 4319 4077 3848 3631 3423 3227 3040 2863 2695 2535 2384 2241 2105 1976 1854 1739 1631 1528 1431 1340 1254 1171 1096 1023 955 890 831 776 721 672 626 595 547 505 464 426 391 359 330 301 276 253 231 211 193 177 161 146 133 122 111 100 4344 4101 3871 3652 3443 3246 3059 2880 2711 2551 2399 2254 2119 1988 1866 1750 1642 1538 1441 1349 1262 1179 1103 1030 961 896 837 781 727 677 630 592 543 501 461 423 388 356 327 298 274 251 229 209 191 175 159 145 132 121 110 99 4369 4124 3894 3674 3463 3266 3077 2897 2727 2566 2413 2268 2132 2001 1878 1762 1653 1548 1451 1358 1270 1187 1110 1038 968 902 843 787 732 682 635 587 538 496 456 419 385 353 324 296 272 249 228 208 190 173 158 144 131 120 109 98 4394 4148 3916 3695 3484 3284 3095 2915 2744 2582 2428 2283 2145 2014 1889 1773 1663 1559 1460 1367 1279 1195 1117 1045 975 907 849 793 737 687 640 582 534 492 452 415 382 350 321 294 269 246 226 206 188 172 157 142 129 118 107 97 4419 4172 3939 3717 3504 3304 3114 2932 2761 2598 2443 2297 2158 2027 1901 1784 1674 1569 1470 1375 1287 1203 1125 1052 982 913 854 798 743 691 645 577 531 489 448 412 379 347 31$ 291 267 244 224 204 186 170 155 141 128 117 106 96 4445 4196 3961 3793 3525 3324 3132 2950 2777 2613 2457 2310 2172 2039 1914 1795 1684 1578 1479 1385 1296 1211 1133 1059 988 919 861 803 748 696 648 572 527 484 444 408 375 343 315 288 264 242 221 202 184 168 153 139 127 116 105 95 4469 4219 3984 3759 3544 3343 3151 2968 2794 2629 2473 2324 2185 2052 1926 1806 1695 1588 1458 1394 1304 1218 1140 1066 995 925 866 808 753 700 653 567 522 480 440 405 372 340 312 286 262 239 219 200 182 167 152 138 126 115 104 94 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 10 / 29 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl Werkstoff Putze, Mörtel, Estriche Kalkmörtel, Kalk-Zementmörtel Zementmörtel Gipsputz Wärmedämmputz 060 080 Großformatige Bauteile Rohdichte ρ in 1800 2000 1200 ≥ 200 2200 2400 800 1000 Leichtbeton (geschlossenes Gefü1200 ge) 1400 1500 Mauerwerk einschließlich Mörtelfugen Mauerwerk aus Vollklinker 2000 1200 1400 Vollziegel, Hochlochziegel 1600 1800 700 Mauerwerk aus Leichthochlochzie800 gel Typ W, in Leichtmörtel verlegt 900 1000 Mauerwerk aus Kalksandstein 1200 1400 500 Mauerwerks aus Porenbetonplan600 steinen 700 800 Hohlblocksteine aus Leichtbeton 600 600 Lehmbaustoffe 1200 1800 Wärmedämmstoffe Mineralwolle Wärmeleitfähigkeitsgruppe WLG 15 - 200 030....050 Dämmstoffe aus expandiertem Po15 - 30 lystyrol (EPS) WLG 030....050 Dämmstoffe aus extrudiertem Poly25 - 45 styrol (XPS) WLG 026...040 Dämmstoffe aus Polyurethan (PUR) 30 Schaumglas WLG 038....055 100 - 160 Expandierter Kork 55 - 130 WLG 040 ...055 Holzfaserdämmplatten 120 - 280 WLG 032...060 Hanf 20 - 25 Dämmstoffe aus Zellulose 35 - 70 Stroh (Matten) 150 - 400 Wolle 20 Perlit (als Schüttung) 50 - 100 Holz und Holzwerkstoffe Hartholz 700 Weichholz 500 300 500 Sperrholz 700 1000 300 Spanplatten 600 900 OSB Platten 650 Sonstige gebräuchliche Stoffe Keramikplatten, Fliesen 2300 Glas 2500 Stahl 7800 Kupfer 8900 Normalbeton Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt [ ] kg m3 Wärmeleitfähigkeit λ in W m⋅K [ ] Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl μ1 1 1,6 0,51 0,060 0,080 15 - 35 15 - 35 10 1,65 2 0,39 0,49 0,62 0,79 0,89 70 - 120 80 - 130 0,96 0,50 0,58 0,68 0,81 0,21 0,23 0,24 0,50 0,56 0,70 0,16 0,19 0,22 0,25 0,32 0,17 0,47 0,91 50 - 100 0,030…0,050 1 0,030…0,050 20 - 100 0,026…0,040 80 - 250 0,020…0,045 0,038...0,050 40 - 200 dampfdicht 0,040…0,055 5 - 10 0,032...0,060 3 - 10 0,040 0,040 0,09 – 0,13 0,034...0,040 0,045…0,07 1 1 2 1 2 0,18 0,13 0,09 0,13 0,17 0,24 0,1 0,14 0,18 0,13 50 – 200 20 - 50 50 – 150 70 – 200 90 – 200 110 - 250 10 – 50 15 – 50 20 - 50 30 - 50 1,3 1 50 380 dampfdicht dampfdicht dampfdicht dampfdicht 5 - 20 70 - 150 5 - 10 5 - 10 5 - 10 5 - 10 5 - 10 5 - 10 - 2 2 5 2 3 1. Dez 11 11 / 29 Aluminiumlegierungen 2800 160 1 Es ist jeweils der für die Baukonstruktion ungünstigere Wert einzusetzen dampfdicht Tabelle Sperrstoffe Sperrstoffe Polyethylenfolie 0,15 mm Polyethylenfolie 0,25 mm PVC Folie Aluminium Folie 0,05 mm Bitumiertes Papier 0,1 mm Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke s D in m 50 100 30 1500 2 1. Dez 11 12 / 29 3 Elektrotechnik Ladung Q (Ladungsmenge) Elektrische Ladung: • • • • [Q] = C = As Q = N⋅e 2 Arten (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist übertragbar im Raum zwischen Ladungen + wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein „elektrisches Feld“ erklärt werden e Elementarladung (kleinstmögliche Ladung) 1 e entspricht −1,602 x 10−19 C N Anzahl der Ladungsträger C Einheit Coulomb As Einheit AmpereSekunde Strom I Unter einer elektrischen Strömung („Strom“) versteht man einen Transport von Ladungsträgern. Stromstärke = I= Ladungsmenge Zeit Q t Gleichspannung [ I ]=A = I= dQ dt Wechselspannung A As s Einheit Ampere Spannung U Elektrische Spannung = Arbeit beim Transport der Ladung Ladungsmenge U= Die Spannung ist eine wichtige elektrotechnische Grundgröße, die als „Nennspannung“ über den Einsatz von Geräten entscheidet. V W Q [U] = V = Ws As Einheit Volt Elektrische Energie W (Energiemenge, Arbeit) W elektrische Arbeit (engl. Work) umgesetzte Energiemenge t Zeit W = U⋅ Q W = P⋅ t [W ] = Ws = VAs = J Ws Einheit WattSekunde, oft umgerechnet in kWh J Einheit Joule Leistung P P elektrische Leistung (engl. Power) P= W t P = U⋅ I W Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt [P] = W =V⋅ A P = I2 ⋅R P= U2 R Einheit Watt 1. Dez 11 13 / 29 Widerstand R, Ohmsches Gesetz I R ohmscher Widerstand U elektrische Spannung I elektrischer Strom R= R U I U = R ⋅I U [R] = Ω = V A I in mA 120 Ω Einheit Ohm 100 80 R1 = 47Ω R2 = 100Ω Lampe 60 40 Für R1 und R2 gilt: R= Konstant R1 und R2 sind lineare Widerstände. Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand. 20 0 0 1 2 3 4 5 6 U in V Leitungswiderstand l Leiterlänge in m A Leiterquerschnitt in mm2 ϱ spezifischer Widerstand Spezifischer Widerstand in R= Material ϱ⋅ l l = A γ⋅ A Kupfer 0,0178 in Ω·mm /m Stahl 0,13 spezifischer Leitwert Aluminium 0,028 Gold 0,0244 Kohle 40 2 γ 2 ∗mm m in m/Ω·mm2 (auch χ ) Widerstand und Temperatur ∆R = Widerstandsänderung in Ω α = Temperaturbeiwert RK = Kaltwiderstand RW = Warmwiderstand ∆ϑ = Temperaturänderung in K Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt R = ⋅ ⋅R K RW = RK R 1. Dez 11 14 / 29 Reihenschaltung U Gesamtspannung U1, U2, U3 Teilspannungen R Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände I Iges = I1 = I2 = I3 R1 U1 Uges = U1 + U2 + U3 Uges R2 U2 Rges = R1 + R2 + R3 Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I U3 R3 Pges = P1 + P2 + P3 Grafische Ermittlung der Größen I I R1 R2=12V/1,2A = 10Ω 0,5A R1=12V/0,5A = 24Ω U1 Uges R2 I 1,2A 1,2A → 0,5A U U2 R2=12V/1,2A = 10Ω R1=12V/0,5A = 24Ω 0,35A U 12V 12V U1=8,47V U2=3,53V Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle I Laststrom Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle R1 Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen U0 Leerlauf-Spannung U1 Ri U 0 Ersatzschaltbild Akku I U 1 I U0 LeerlaufSpannung R1 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt ΔI I Ik KurzsschlussStrom Verbraucher U0 I= R i +R 1 Leistungsanpassung ΔU R i=∣ Δ U (U2−U1) ∣=∣ ∣ ΔI (I2−I1 ) R1 erhält die maximale Leistung bei R1 = Ri 1. Dez 11 15 / 29 Parallelschaltung Iges Gesamtstrom I1, I2, I3 Teilströme Rges Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände Iges U Uges = U1 = U2 = U3 I1 I2 I3 R1 R2 R3 Iges = I1 + I2 + I3 1 1 1 1 = + + Rges R1 R2 R3 An jedem Widerstand liegt die selbe Spannung U Pges = P1 + P2 + P3 Knoten- und Maschenregel Knotenregel I1 Maschenregel I2 R1 I3 U1 Maschen umlauf Uges I1 +I2 +I3 = 0 R2 U3 R3 U2 U1 + U2 + U3 + U4 = 0 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 16 / 29 Spannungsteiler unbelastet (Reihenschaltung) belastet (Gruppenschaltung) Iges I R1 R1 U1 Uges IL I2 = Iq Uges R2 U2 = U1 R2 U2 R2 ⋅ Uges R1 + R 2 U2 = R2L ⋅Uges R 1 + R 2L U2 RL R 2L = Iq Querstrom RL Lastwiderstand R2L Ersatzwiderstand für R2 und RL R 2 ⋅ RL R 2 + RL Brückenschaltung I ges I 12 U1 I 34 UAB = φA - φB U3 R1 UAB = U2 − U4 R3 wenn: UAB = 0 (Abgleich) U A φA U2 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt R2 U AB B φB U4 ⇒ R1 R 3 = R2 R4 R4 1. Dez 11 17 / 29 Dioden und LEDs Anode Stromfluss in Durchlassrichtung Anode Diode Kathode Merkregel: Kathode = Kennzeichnung LED Kathode Kathode Merkregel: Kathode = Kurzes Bein = Kante Kennlinien Diode und LEDs I in mA 20 18 16 14 Silizium-Diode LED, grün LED, w eiß LED, rot LED, blau 12 10 8 6 4 2 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 U in V Arbeitspunkt und Arbeitsgerade IG I in mA Arbeitspunkt und Arbeitsgerade 20 18 R G UR UG 16 14 12 UD LED, rot Widerstandsgerade Lineare Regression für Widerstandsgerade AP 10 8 6 f(x) = -3,07x + 15,36 4 2 ΔU R =∣ ∣ ΔI 0 0,0 0,5 1,0 1,5 (Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 U in V vergl. Reihenschaltung 1. Dez 11 18 / 29 Solarzelle Kennlinie R I I I E = konst. U AP1 P1 k I(U) MPP Pmax R AP2 0 P2 E Bestrahlungsstärke (Strahlungsstromdichte) U Spannung an der Solarzelle I Laststrom U0 Leerlaufspannung IK Kurzschlussstrom E2 AP1 Arbeitspunkt 1 E3 P1 Leistung im Arbeitspunkt 1 AP2 Arbeitspunkt 2 P1 Leistung im Arbeitspunkt 2 MPP Maximum Power Point Pmax Leistung im MPP U0 0 U L I E1 E4 0 E5 = 0 0 U E 5<E 4 <E 3<E 2< E 1 Ersatzschaltbild ideale Solarzelle U Spannung an der Solarzelle I Laststrom Iph Photostrom ID Diodenstrom R Lastwiderstand I I ph ID U R Ersatzschaltbild reale Solarzelle U Spannung an der Solarzelle I Laststrom Iph Photostrom ID Diodenstrom RP Parallelwiderstand RS Serienwiderstand R Lastwiderstand Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt RS I ph I ID RP U R 1. Dez 11 19 / 29 Spule Das Material in dem die magnetischen Feldlinien verlaufen, beeinflusst die Induktivität. A = vom Feld durchsetzte Fläche (Spulenquerschnitt) Vs µ 0 1,257 ⋅ 10 − 6 Feldkonstante des magnetischen Feldes Am I + _ µ r Permeabilitätszahl µ r (Eisen) 200...6000 µ r (Elektroblech) 500...7000 µ r (Supermalloy)100 000... L ≈ µ 0 ⋅ µ r ⋅ N2 ⋅ Die Permeabilitätszahl steigt zunächst mit zunehmender Feldstärke und und nimmt bei hohen Feldstärken wieder ab. Reihenschaltung von Spulen L1 Parallelschaltung von Spulen L2 L3 L1 L = L1 + L2 + L3 A l L2 L3 1 1 1 1 = + + L L1 L2 L3 V⋅ s [L] = = 1H(Henry) A Spule an Rechtechspannung L1 V1 G 20mH URecht U in V R1 Impulszeit ti > URecht 10 τ 100 UR 6,3 10V UL t 0 0 τ = L R U in V 10 τ≙ Zeitkonstante des RL-Gliedes ΔI UL = L ⋅ Δt Impulszeit ti << 0,2ms 2ms 1ms URecht τ eingeschwungener Zustand! UL t 0 1ms Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt +40µs +80µs +120µs 1. Dez 11 20 / 29 Kondensator Die einfachste Form bildet sich zwischen zwei parallelen Platten E d E +Q = elektrische Feldstärke = Plattenabstand Die Kapazität eines Kondensators beschreibt den Zusammenhang zwischen gespeicherter Ladung Q und der Spannung U C d = Kapazität Das Material zwischen den Platten beeinflusst die Kapazität. C= Q U -Q [C] = U = E⋅ d A⋅s = 1F (Farad) V ε r = 27 Tantal A = Plattenfläche einer Platte As ε 0 = 0, 885 ⋅ 10 − 11 Feldkonstante des el. Feldes V ε r relative Dielektrizitätszahl ε r (Luft) ≈ 1 ε r (dest. Wasser) ≈ 80 εr = 1 Luft C = ε0 ⋅ εr ⋅ ε r (Tantal) ≈ 27 Reihenschaltung von Kondensatoren C1 C2 Parallelschaltung von Kondensatoren C3 C1 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt A d C2 C3 C = C1 + C2 + C3 1. Dez 11 21 / 29 Ladungsvorgang beim Kondensator Entladevorgang Kondensator R1 V1 uc(t) in V, i(t) in mA 1K + G U 1µF C1 10V τ = R ⋅C τ≙ Zeitkonstante des RC-Gliedes IC = C ⋅ Δ UC Δt Uc R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 uC (t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 1 2 3 4 5 Zeit in ms Formeln Aufladung: Aufladevorgang Kondensator t − uR (t) = U ⋅ e τ uc(t) in V, i(t) in mA t uC (t) = U ⋅ (1 − e τ ) − t U − τ i(t) = ⋅ e R Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 uC(t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 1 2 3 4 5 Zeit in ms 1. Dez 11 22 / 29 Dreiphasiger Wechselstrom 120 ° U2 R1 Generator U2 U1 f ,t R2 0° U 1 R3 U3 unverkettetes Dreiphasensystem Das unverkettete Dreiphasensystem benötigt für die Energieübertragung bis zum Verbraucher 6 Leitungen U3 240° Sternschaltung: Dreieckschaltung: Verschalten (verketten) von Generator oder Verbraucher im Stern Verschalten (verketten) von Generator oder Verbraucher im Dreieck L2 U 12 R2 U 1N L1 I2 I2 N U2 N I2 I1 N L1 IN I1N R 1 R3 U3 I 3N U 3N Mittelspannung 1 I3 L3 I31 Transformator L3 230 V / 400 V Transformator 3 I3 Niederspannungsübertragung 110 / 220 / 380 KV 4 R2 U 23 In Dreieckschaltung werden vom Generator bis zum Verbraucher 3 Leitungen benötigt Hochspannungsübertragung 10 / 20 KV I23 R1 I12 R3 In Sternschaltung werden vom Generator bis zum Verbraucher 4 Leitungen benötigt Generator I1 L2 Verbraucher 4 Transformator Generator 3 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 23 / 29 Symmetrisches Dreiphasensystem U 12 U 12 I2 R1 U 31 U 1N R3 L3 N U 2N I3 R2 U 1N U3 I23 U 23 L1 N 1 U 3N L2 U2 I12 U 23 I1 L2 Dreieckschaltung N L1 Sternschaltung I31 L3 I1N I2N I3N U 3N R 1 R2 R3 Schaltungstechnische Verkettung der Spannungen IN U1N = U2N = U3N = U 3 Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt = 230V U12 = U23 = U31 = U = 400V 1. Dez 11 24 / 29 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra NOT (Negation) A 1 Y auch zulässig: Y Y Y Y Y = = = = = !A Y Y Y Y = = = = A&B A AND B A●B A∧ B B X 0 1 A 0 X 1 Y 0 0 1 Y Y Y Y = = = = !(A & B) NOT(A AND B) /(A ● B) A∧ B B 0 X 1 A X 0 1 Y 1 1 0 Y Y Y Y = = = = A+B A OR B A + B (nicht in ABEL) A∨ B B 0 X 1 A 0 1 X Y 0 1 1 Y Y Y Y = = = = !(A + B) NOT (A AND B) /(A + B) A∨ B B 0 X 1 A 0 1 X Y 1 0 0 Y Y Y Y = = = = A$B A XOR B A/B + /AB A⊕ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 Y Y Y Y = = = = A !$ B A XNOR B AB + /A/B A⊕ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 0 0 1 NOT A /A A ¬A A 0 1 Y 1 0 Negation / Complement AND (Konjunktion) A & B Y NAND A & B Y Eine UND Verknüpfung ist dann (und nur dann) high, wenn alle Eingänge high sind. OR (Disjunktion) A 1 Y B NOR A 1 Y B XOR (Antivalenz) A B =1 Y XNOR (Äquivalenz) A B = Y UND / ODER / NAND / NOR XOR und NXOR Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt Eine ODER Verknüpfung ist dann (und nur dann) low, wenn alle Eingänge low sind Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben. ... nur 2 Eingänge. 1. Dez 11 25 / 29 Verknüpfungsregeln der Digitaltechnik (UND ≙ Vertauschbarkeit (Kommutatives Gesetz) A●B●C A+B+C ● / ODER ≙ + ) =A●C●B = C ● A ● B = ... = A + C + B = C + A + B = ... die Reihenfolge ist beliebig! A ● (B ● C) A + (B + C) = (A ● C) ● B = C ● A ● B = ... = (A + C) + B = C + A + B = ... Vereinigung (Assoziatives Gesetz / Verbindung) Größen, die durch gleiche Operation verknüpft sind können durch Klammern beliebig zusammengefasst werden Eine gemeinsame Variable kann ausgeklammert werden (sowohl bei AND als auch bei OR) Verteilung, Auflösung (Distributives Gesetz) (A ● B) + (A ● C) = A ● (B + C) AND vor OR Wenn keine Klammern gesetzt sind, gilt: (A ● B) + (A ● C) = A●B + A●C A + A ⋅B = A A ⋅ (A + B) = A Absorptionsgesetze A ⋅ (A + B) = A ⋅ B A + ( A ⋅ B) = A + B (A ⋅ B)+(A ⋅ B) = A (A + B) ⋅ (A + B) = A Sind keine Klammern gesetzt gilt folgende Reihenfolge: Priorität (Reihenfolge der Verknüpfungen)) 1. Negation (NOT) 2. Konjunktion (AND) 3. Disjunktion (OR) Negationsregel (de Morgan) Eine NAND-Verknüpfung kann durch eine OR-Verknüpfung ersetzt werden, wenn alle Eingänge negiert werden. A ⋅ B ⋅ C=A + B + C A + B + C=A ⋅ B ⋅ C Dasselbe gilt entsprechend für NOR Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 26 / 29 Codes und Codierer Dual- Code (8-4-2-1-Code) Gray- Code Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 keine Gewichtung HEX D C B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 A 1 1 1 1 B 1 1 1 0 C 1 0 1 0 D 1 0 1 1 E 1 0 0 1 F 1 0 0 0 Spezielle Umcodierer G0 B G1 C G2 D G3 Dez. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 Ziffern > 9 sind nicht definiert Umcodierer mit 7-Segmentanzeige BCD / dez. BCD / Gray A BCD- Codes / 4-Bit Codes A B C D BCD / 7-Seg. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D a b c d e f g DPY a f g b c e d dp Speicher RS-Flipflop Reset R Q Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm) Set S R Zustandsfolgetabelle S 0 0 0 0 1 1 1 R 0 0 1 1 0 0 1 Qn 0 1 0 1 0 1 ? Qn+1 0 1 0 0 1 1 ? S speichern Reset (R) Q t Set (S) irregulär Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 27 / 29 Zehnerpotenzen Symbol Name Wert P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million k Kilo 103 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert da Deka 101 10 Zehn 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel μ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel f Femto 10−15 0,000.000.000.000.001 Billiardstel Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 28 / 29 4 Umweltlabor Teilchenzahl n NA NX = n X⋅ NA Stoffmenge einer Stoffportion X in mol Avogadrokonstante in mol-1 N A = 6⋅10−23 mol−1 molare Masse m Masse einer Stoffportion X in g m X MX = n X molares Volumen Vm,n Vm = molares Volumen bei Normbedingungen L V m,n =22,41 mol Normbedingungen: 0 = 0° C = 273,15 K V X n X p0 = 1013,25 mbar Zusammensetzung von Lösungen und Stoffgemischen Massenkonzentration in g l X= mX V Lsg Stoffmengenkonzentration in mol l c X= n X VLsg V(Lsg) … Volumen Lösung Umrechnung: = c∗M Massenanteil w X= m X mXmLm m(X) … Masse gelöste Substanz m(Lm) … Masse Lösemittel Volumenanteil X= V X V XV Lm V(X) … Volumen gelöste Substanz V(Lm) …Volumen Lösemittel Löslichkeit mmax(X): max. Masse, die sich löst L X , = mmax X V Lm Dichte ϱ= m V Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt 1. Dez 11 29 / 29 pH-Wert c(H+) … Stoffmengenkonzentration in + mol l pH=- log c ( H ) + c (H ) = 10 −pH Leitfähigkeit l l = ⋅I = U ⋅A R⋅ A Spezifische Leitfähigkeit in 1 cm S = = ⋅cm ⋅cm2 cm l U I A R Abstand der Elektroden in cm gemessene Spannung in V gemessener Strom in A Elektrodenfläche in in cm² gemessener Widerstand in Ω E ε c d Extinktion (dimensionslos) molarer Extinktionskoeffizient in mol Stoffmengenkonzentration in L Schichtdicke in cm Extinktion E=⋅c⋅d L cm⋅mol Fehlerfortpflanzung Messwert x = x0± Δ x mit Δ x = Messunsicherheit x = Messwert Fehlerfortpflanzung bei Produkt- oder Quotientenbildung mehrerer Messwerte Regel: Addition der relativen Fehler berechnete Größe: y = x1∗ Resultierender relativer Fehler: Formelsammlung_TGU_01_12_11.odt x2 x3 Δ x1 Δ x 2 Δ x3 Δy = ∗ ∗ y x1 x2 x3 1. Dez 11