Mathematik II Vorlesung 23.05.08 Extremwerte von Funktionen

Mathematik II
Vorlesung 23.05.08
Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Extremwerte, Extremstellen?
f : n ⊃ D → f ∈C2 ( D)
- Ableitungen von f lokale Extremstellen
- Methoden zur Bestimmung globaler Extremwerte
1) Lokale Extremwerte
Def:
x0 ∈ D heißt lokales Maximum einer Funktion f : n ⊃ D → ,
wenn eine Umgebung h von x0 existiert, so dass
f ( x ) ≤ f ( x0 )
∀x ∈ U
f ( x ) ≥ f ( x0 )
∀x ∈ U
x0 ∈ D heißt streng lokales Maximum, wenn
f ( x ) < f ( x0 )
∀x ∈ U , x ≠ x0
Alternative Begriffe:
„relativ“ statt „lokal“, „strikt“ statt „streng“.
Satz:
Notwendiges Kriterium für eine lokale Extremstelle,
f : n ⊃ D → , x0 ∈ D innerer Punkt.
Wenn x0 lokale Extremstelle von f ist, dann ist ( Df ) x = 0 ,
0
f x j ( x0 ) = 0
d.h.
∀j = 1,..., n
Beweis:
+ tej ) ) = h ( t ) haben in t=0 lokale Extremstelle,
h ' ( 0 ) = 0 = fx j ( x0 )
f
( ( x
0
Definition:
Wenn
heißt
x0
f ∈ C1 ( D ) , x0 ∈ D,
innerer Punkt und ( Df ) x
= 0,
0
dann
kritischer Punkt (stationärer Punkt).
3 grundlegende Beispiele:
f , g , h : 2 → ,
f ( x, y ) = x 2 + y 2 ≥ 0,
f ( 0, 0 ) = 0
g ( x, y ) = − x 2 − y 2 ≤ 0,
g ( 0, 0 ) = 0
h ( x, y ) = xy, h ( x, y = x ) = x 2 ≥ 0,
lokales Min in 0
lokales Max in 0
in 0 kein lokales Extremum
h ( x, y = − x ) = − x 2 ≤ 0
D f = ( 2 x, 2 y ) = ( 0, 0 )
⇔
x= y=0
Dg = ( −2 x, −2 y ) = ( 0, 0 )
⇔
x= y=0
D f = ( y, x ) = ( 0, 0 )
⇔
x= y=0
f , g , h haben genau einen kritischen Punkt , x0 = 0
 f xx ( x0 ) f xy ( x0 )   2 0 
Symmetrisch und positive Determinante
 = 


f
x
f
x
0
2
(
)
(
)
yx
0
yy
0




 g xx ( x0 ) g xy ( x0 )   −2 0 
 = 


 g yx ( x0 ) g yy ( x0 )   0 −2 
 hxx ( x0 )

 hyx ( x0 )
 −λ
det 
 1
hxy ( x0 )   0 1 
=
hyy ( x0 )   1 0 
Symmetrisch und positive Determinante
Symmetrisch
1 
2
 = λ − 1 = ( λ − 1)( λ + 1)
−λ 
EW = 1 pos /1neg
Definition:
f ∈C2 ( D),
x0 ∈ D
D ⊂ n ,
Die Matrix der partiellen Ableitungen 2.Ordnung
 f x x ( x0 ) ... f x x ( x0 ) 
2
 ∂ f 


=  ...
...
... 
( x0 ) 

 ∂xi ∂x j
i , j =1,...,n  f ( x ) ... f ( x ) 
x x
0 
 xx 0
1 1
1 n
n 1
n n
heißt Hesse-Matrix von f im Punkt x0 .
f
x0
ein lokales Maximum, v∈ n
f ( x0 + tv ) = h ( t )
hat lokales Maximum in t=0
0 > h '' ( t ) = ( vT H f v ) x
h ' ( t ) = 0,
∀v
0
Definition: Eine symmetrische (n,n) Matrix (quadratisch) heißt:
- positiv Definit
⇔
vT H v > 0
∀v ∈ n ,
- negativ Definit
⇔
vT H v < 0
∀v ∈ n ,
- pos/neg semidefinit
⇔
∀≠0
∀≠0
vT H v ≥ 0 ( ≤ 0 ) ∀v ∈ n
- indefinit sonst
Kriterium für Definitheit
Satz:
Es sei H eine Symmetrische (n,n) –Matrix
- H ist positiv Definit
⇔
H hat nur positive Eigenwerte
- H ist negativ Definit
⇔
H hat nur negative Eigenwerte
- H ist indefinit
⇔
H hat nur positive und negative Eigenwerte
- H ist positiv semidefinit
⇔
Alle Eigenwerte ≥ 0 und mindestens einer
=0
Hinreichendes Kriterium für Extremstelle
Satz:
n ⊃ D ∈ x0
H f ( x0 )
f ∈C2 ( D),
Wenn
kritischer Punkt
x0 lok. (Streng) Minimum
negativ Definit, dann ist x0 Strenges lokales Maximum
indefinit, dann ist x0 keine Extremstelle
- positiv Definit, dann ist
-
Beweis:
Taylorentwicklung + Abschätzung
Beispiele für Semidefine Hesse-Matrizen in Kritischen Punkten:
f , g , h : 2 → f ( x, y ) = x 2
g ( x, y ) = x 2 + y 3
h ( x, y ) = x 2 + y 4
T
D f ( 2 x, 0 )
→ kritische Punkte
Dg ( 2 x,3 y 2 )
→ kritische Punkte
( 0, y )
T
( 0, 0 )
D f ( 2 x, 4 y 3 )
→ kritische Punkte
( 0, 0 )
 2 0
Hf 

 0 0
2 0 
Hg 

0 6y
T
positiv Semidefinit
⇒
 2 0
H g ( 0, 0 ) = 

 0 0
positiv Semidefinit
0 
2
Hh 
⇒
2
 0 12 y 
⇒
 2 0
H h ( 0, 0 ) = 

0 0
positiv Semidefinit
⇒
- f hat lok. Min., nicht Streng
- g hat kein lokales Extremum
- h hat lok. Min., Streng
Satz:
Kriterium für Definitheit mit Hilfe von
Hauptunterdeterminanten
H = ( hij )
i , j =1,.., n
H m = ( hij )
i , j =1,.., m
Symmetrisch,
m − te Hauptuntermatrix






- H ist positiv Definit
⇔
det
- H ist negativ Definit
⇔
m
( −1) det H m > 0
- H ist positiv semidefinit
⇔
det
- H ist negativ semidefinit
⇔
m
( −1) det H m ≥ 0 und
- Sonst ist H indefinit
Hm > 0
H m ≥ 0 und
∀m = 1,..., n
∀m = 1,..., n
det H = 0
det H = 0
Beispiel:
f ( x, y, z ) = x 2 + xz + yz ,
f : 3 → D f ( 2 x + z , z , x + y ) = ( 0, 0, 0 ) ⇔
2 0

Hf  0 0
1 1

1

1
0 
⇒ f hat in 0 kein
z = 0, x = 0, y = 0
det H1 = 2 > 0
det H 2 = 0
det H 3 = det H = −2 < 0 ⇒ H f ist in definit
Extremum.
2) globale Extremwerte
a) beschränkte Funktionen
2
f ( x, y, z ) = cos ( x + y ) e − z ,
(
D f = − sin ( x + y )
− z2
f : 3 → , − sin ( x + y )
2
e− z > 0 ⇒ D f = 0 ⇔
− z2
, −2 z cos ( x + y ) e − z
x + y = kπ
2
)
k ∈ , z = 0
T
f hat kritische Punkte ( x, kπ − x, 0 ) k ∈  − cos ( x + y ) e − z

2
H f =  − cos ( x + y ) e − z

2
 2 z sin ( x + y ) e − z

 ( −1)k +1

k +1
H f ( x, 2π , 0 ) =  ( −1)

 0

−1
k +1
det H1 = ( −1) = 
1
2
− cos ( x + y ) e − z
2
− cos ( x + y ) e − z
2
2 z sin ( x + y ) e − z
2
2 z sin ( x + y ) e − z 

2
2 z sin ( x + y ) e − z 
2 
4 z 2 cos ( x + y ) e − z 

0

0

0
0

k gerade
k ungerade
k +1
( −1)
k +1
( −1)
det H 2 = 0
det H 3 = 0
f hat kritische lokale / globale Extremwerte
2
0 < e− z < 1
−1 ≤ cos ( x + y ) ≤ 1
−1 ≤ f ( x , y , z ) ≤ 1
f ( x, kπ − x, 0 ) = ( −1)
k +1
" = " obere bzw. untere Schranke
2
b) konvexe/konkave Funktionen
Wenn
f ∈ C 2 ( n ) , x0
kritischer Punkt, lokales Minimum,
H f ( x0 ) positiv Definit ∀x ∈ n , dann ist f ( x0 ) globales Minimum
konkav
x0
Ähnlich:
lokales Maximum und
H f ( x0 ) negativ Definit ∀x ∈ n , dann ist x0 globales Maximum
konvex
c) lokale aber nicht globalen Extremwerte
3
f ( x, y ) = ( x + y ) − 12 xy
f : 2 → ,
(
2
2
D f = 3 ( x + y ) − 12 y,3 ( x + y ) − 12 x
)
2
D f ( 0, 0 )
x = y, 3 ( 2 x ) − 12 x = 0
x 2 = x,
x =1
T
2 kritische Punkte ( 0, 0 ) ,
0x = 0
T
(1,1)
6 ( x + y ) − 12 
,
6( x + y) 
 6( x + y)
Hf =
 6 ( x + y ) − 12
−12 
 0
H f ( 0, 0 ) = 

 −12 0 
det H1 = 0
det H 2 = −144
2
( −1) det
H f ( 0, 0 )
H 2 = −144 < 0
ist indefinit → Sattelpunkt , kein Extremum
 12 0 
H f (1,1) = 
 positiv Definit ⇒ lokales Maximum
 0 12 
Lokales Minimum ist kein globales Minimum
f ( x, 0 ) = x 2
lim f ( x, 0 ) = ∞
x →∞
lim f ( x, 0 ) = −∞
x →−∞