2. Die Exponentialfunktion

2. Die Exponentialfunktion
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2. Die Exponentialfunktion
Definition der Exponentialfunktion:
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form f (x) = ax mit einer
reellen Zahl a > 0 und a 6= 1. Die Zahl a nennt man auch die Basis der
Exponentialfunktion.
• Die Exponentialfunktion ex ist immer ungleich 0.
• Für x → ∞ geht f (x) → ∞.
• Für x → −∞ geht f (x) → 0.
• Es gilt f (1) = 1
Um mit einer Exponentialfunktion rechnen zu können, sind die Potenzgesetze
In der Mathematik gibt es eine besondere Exponentialfunktion, die natürliche Ex- elementar wichtig: Für alle a, b > 0 und für allex x, y gilt:
ponentialfunktion. Diese besitzt die Eigenschaft, dass die Ableitung dieser Funk• a0 = 1 und a1 = a.
tion wieder die Funktion selbst ist. Die Basis dieser Funktion ist eine irrationale
Zahl und wird die eulersche Zahl e genannt:
ax
• ax · ay = ax+y und y = ax−y
1
1
1
1
a
e=
+ + + + ... = 2, 718281828459... .
a x
0! 1! 2! 3!
ax
x
x
x
•
a
·
b
=
(a
·
b)
und
=
Anhand des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion sieht man einige Eibx
b
genschaften dieser Funktion:
x y
x·y
• (a ) = a
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion Für die Ableitung einer
natürlichen Exponentialfunktion der Form f (x) = ea·x+b , mit beliebigen Zahlen
a 6= 0 und b gilt:
f 0 (x) = a · ea·x+b .
y
8
7
6
Die Ableitung einer natürlichen Exponentialfunktion ist das Produkt aus der
Funktion selbst mit der Ableitung des Exponenten.
5
4
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f (x) = 2 · e3·x−4 .
3
f (x) = 2 · e3x−4
2
f 0 (x) = 2 · e3x−4 · 3 = 6 · e3x−4 .
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f (x) = 2 · esin(x) .
1
-2
-1
O
1
2 x
f (x) = 2 · esin(x)
f 0 (x) = 2 · esin(x) · cos(x) = 2 · cos(x) · esin(x) .
© Marco Johannes Türk
8.10.2014
2. Die Exponentialfunktion
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Die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion Die Stammfunktion einer Exponentialfunktion der Form f (x) = ea·x+b ist die Funktion:
1
F (x) = · ea·x+b .
a
Aufgaben
1. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen
Beispiel: Bestimmen Sie die Stammfunktion der Funktion f (x) = 3 · e2·x+2 .
f (x) = 3 · e2·x+2
1
3
F (x) = 3 · · e2·x+2 = · e2·x+2 .
2
2
2.
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f (x) = 2x .
f (x) = 2x = eln(2)·x
f 0 (x) = ln(2) · eln(2)·x = ln(2) · 2x
b) g(x) = 3 · e−2·x
d) j(x) = 6 · e3·x−3
a) f (x) = 3x
b) j(x) = −2 · 3−3·x−2
a) f (x) = e2·x
c) h(x) = e−2·x+1
b) g(x) = 2 · e3·x
d) j(x) = −3 · e5·x+1
Lösungen
1. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen
f 0 (x) = ln(a) · eln(a)·x = ln(a) · ax .
Die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis.
c) h(x) = −2 · e−6·x+2
3. Geben Sie eine Stammfunktion der Folgenden Funktionen an.
Ableiten allgemeiner Exponentialfunktionen: Um eine Exponentialfunktion
zu einer beliebigen Basis ableiten zu können, müssen diese zur Basis e umgeschrieben werden. Hierzu macht man sich die Eigenschaft a = eln(a) zu nutze. Es gilt:
x
ax = eln(a) = eln(a)·x .
Dann gilt für die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion
f (x) = ax = eln(a)·x :
a) f (x) = e3·x
2.
a) f 0 (x) = 3 · e3·x
c) h0 (x) = 12 · e−6·x+2
b) g 0 (x) = −6 · e−2·x
d) j 0 (x) = 18 · e3·x−3
a) f (x) = ln(3) · 3x
b) j(x) = 6 · ln(3) · 3−3·x−2
3. Geben Sie eine Stammfunktion der Folgenden Funktionen an.
1 2·x
·e
2
2
b) G(x) = · e3·x
3
a) F (x) =
1
c) H(x) = − · e−2·x+1
2
3 5·x+1
d) J(x) = − · e
5
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f (x) = 2x+3 .
f (x) = 2x+3 = eln(2)·(x+3)
f 0 (x) = ln(2) · eln(2)·(x+3) = ln(2) · 2x+3
© Marco Johannes Türk
8.10.2014