Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 2. ¨Ubungsblatt

Dr. M. Weimar
18.04.2016
Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
2. Übungsblatt
Aufgabe 1 (1+(1+1)+(1+1)=5 Punkte)
Das nebenstehende Glücksrad wird einmal gedreht.
a) Geben sie eine geeignete Ergebnismenge Ω an.
b) Wieviele Elemente sind in den Mengen Ω bzw. P(Ω) enthalten?
c) Geben sie alle möglichen Ereignisse an und kennzeichnen sie dabei die
Elementarereignisse.
Aufgabe 2 (2+2+2=6 Punkte)
Zur einmaligen Drehung des nebenstehenden Glücksrads betrachte man die Ereignisse
A := {2, 3} und B := {1, 2}.
Beschreiben sie die sechs Ereignisse A ∪ B, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B und B \ A
a) in Formeln.
b) in Worten.
c) mithilfe von Venn-Diagrammen.
Aufgabe 3 (1+1+2=4 Punkte)
Es sei (Ω, P ) ein beliebiger, endlicher W-Raum. Weiter sei über die Ereignisse A, B ⊆ Ω bekannt, dass
P (A ∩ B) = 1/6, P (A) = 1/3 und P (B) = 1/4 gilt.
Wie groß ist die W-keit, dass
a) B eintritt?
b) A oder B eintritt?
c) B aber nicht A eintritt?
Aufgabe 4 (2+2=4 Punkte)
Für ein m ∈ N \T
{1, 2} seien Mengen A1 , A2 , . . . , Am beliebig gegeben.
a) Folgt aus m
k=1 Ak = ∅ im Allgemeinen, dass die Mengen Ak , k = 1, 2, . . . , m, alle paarweise
disjunkt sind?
b) Gilt die Umkehrung von a)?
Beweisen sie die Gültigkeit ihrer Antworten.
Zusatzaufgabe
Lösen Sie Cheryl’s Birthday Problem (zu finden überall im Netz): Wann hat Cheryl denn nun Geburtstag und warum genau dann? Albert und Bernard kennen die Antwort. Sie auch?
Abgabe (freiwillig, ohne Zusatzaufgabe): In den Tutorien während der 3. Vorlesungswoche (25.–29.04.2016)
Musterlösung zum 2. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
Aufgabe 1.
a) Ω = {w, s, g}
b) |Ω| = 3 und |P(Ω)| = 2|Ω| = 23 = 8
c) ∅, {w}, {s}, {g}, {w, s}, {w, g}, {s, g}, {w, s, g}
Aufgabe 2.
• A ∪ B = {1, 2, 3}, A oder B
• A ∩ B = {2}, A und B
• A ∪ B = A ∩ B = {4}, weder A noch B
• A \ B = {3}, A aber nicht B
• B \ A = {1}, B aber nicht A
(Venn-Diagramme sind offensichtlich, Ω außenrum nicht vergessen!)
Aufgabe 3.
a) P (B) = 1 − P (B) = 1 − 1/4 = 3/4 (nach Satz 5.7)
b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 1/3 + 3/4 − 1/6 = 4/12 + 9/12 − 2/12 = 11/12 (nach
Satz 5.11, den Voraussetzungen und Teil (a))
c) Schreibe B als disjunkte Vereinigung von B \ A mit A ∩ B (Venn-Diagramm zeichnen!). Dann ist
P (B) = P (B \ A) + P (A ∩ B) (nach Additivitätsaxiom Definition 5.1(3)). Also folgt schließlich
P (B \ A) = P (B) − P (A ∩ B) = 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12 (mit Teil (a) und der
Voraussetzung).
Aufgabe 4.
a) Nein. Beweis durch Gegenbeispiel: A1 = A2 = {x} und A3 = {y} (Ak für k > 3 beliebig)
T
b) Ja. Bereits aus A1 ∩ A2 = ∅ folgt ∅ ⊆ m
k=1 Ak ⊆ A1 ∩ A2 = ∅.
Zusatzaufgabe.
In Cheryl’s Birthday Problem geht es um folgende Aufgabe:
Die Lösung ist July 16. Den Weg und die SASMO-Erklärung warum es nicht August 17 ist findet sich
im Netz, z.B. auf https://en.wikipedia.org/wiki/Cheryl’s Birthday
Vorschläge für die Tutorien zum 2. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
Aufgabe 5 (Kütting/Sauer, Sect. 2.5.2, Aufg. 7, S.97)
Zwei Laplace-Würfel werden einmal gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
wenigstens eine der beiden Augenzahlen gerade ist?
LÖSUNG:
0.75, siehe Kütting/Sauer, S.379
Aufgabe 6 (Kütting/Sauer, Sect. 2.5.2, Aufg. 8, S.97)
Aus einer Urne mit einer roten, einer blauen und einer schwarzen Kugel wird dreimal nacheinander
eine Kugel gezogen. Nach jeder Ziehung wird die gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt,
so dass der Urneninhalt vor jeder Ziehung gleich ist. Es bezeichne Kr das Ereignis “Auftreten einer
roten Kugel bei der r-ten Ziehung” (r = 1, 2, 3). Beschreiben Sie mit Hilfe der Ereignisse K1 , K2 , K3
die folgenden Ereignisse:
a) Ereignis A: Ziehung von mindestens einer roten Kugel,
b) Ereignis B: Ziehung von genau einer roten Kugel,
c) Ereignis C: Ziehung von genau drei roten Kugeln.
LÖSUNG:
a) A = K1 ∪ K2 ∪ K3
b) B = [K1 ∩ (K2 ∪ K3 )] ∪ [K1 ∩ K2 ∩ K3 ] ∪ [(K1 ∪ K2 ) ∩ K3 ]
c) C = K1 ∩ K2 ∩ K3
Aufgabe 7 (Kütting/Sauer, Sect. 2.6.5, Aufg. 1, S.119)
Sei (Ω, P ) ein endlicher W-Raum. Zeigen sie, dass folgende Darstellung für beliebige Ereignisse
A, B ⊆ Ω gilt: P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B).
LÖSUNG:
Es ist A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) mit (A ∩ B) ∩ (A ∩ B) = A ∩ (B ∩ B) = A ∩ ∅ = ∅ (wegen Assoziativität;
Venn-Diagramm dazu betrachten!). Die Behauptung folgt dann aus dem Additivitätsaxiom.
Aufgabe 8 (Kütting/Sauer, Sect. 2.6.5, Aufg. 3, S.119)
Seien A, B und C Ereignisse im endlichen W-Raum (Ω, P ).
a) Formulieren sie in Formeln: Das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse A und B zieht das Eintreten des Ereignisses C nach sich.
b) Zeigen oder widerlegen sie mithilfe der in a) getroffenen Annahme, dass P (C) ≥ P (A)+P (B)−1.
LÖSUNG:
a) A ∩ B ⊆ C
b) Wegen a) und Satz 5.7 ist P (C) ≥ P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) (Gleichheit nach Satz
5.11). Außerdem gilt (wieder wegen Satz 5.7): 0 ≤ P (A ∪ B) ≤ 1, d.h. insb. −P (A ∪ B) ≥ −1.
Das beweist die Behauptung.