Zufallsgrößen - minus-p

Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung
Definition: Jede Funktion, die die Ergebnisse eines Zufallsversuches auf die reellen
Zahlen abbildet, heißt Zufallsgröße. X : e i d X(e i )
e i c ✡ und X(e i ) c ‘
Bemerkung: Es wird also verlangt, die Ergebnisse in Zahlen umzuwandeln, damit
man später mit diesen rechnen kann. Ergebnisse wie „blau“ oder „Kopf“ sind
deshalb nicht sinnvoll. Es gibt verschiedene Zufallsgrößen desselben
Zufallsversuches unter verschiedenen Fragestellungen.
Beispiel 1: In einem Ruderboot sitzen die 4 Sportler Anton, Benny, Clemens und
Daniel. Der Trainer legt zufällig die Reihenfolge im Boot fest. Anton und Benny sind
beste Freunde und möchten gern möglichst nah beieinander sitzen.
Wir legen folgende sinnvolle Zufallsgröße fest:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Sportler, die zwischen Anton und
Benny sitzen.
Die Zufallsgröße kann offensichtlich die Werte 0, 1 und 2 annehmen.
X = 0; 1; 2
Beispiel 2: Zwei Mannschaften spielen solange gegeneinander, bis eine Mannschaft
genau 3 Sätze gewonnen hat. Die Mannschaft A gewinnt einen Satz mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,7. Die Mannschaft B gewinnt einen Satz mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,3. Der Hallenbetreiber möchte gern wissen, wie lange ein
Spiel dauert.
Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Sätze, die gespielt wird.
Y = 3; 4; 5
Die Zufallsgröße Z beschreibt die Anzahl der Sätze, die Mannschaft A gewonnen
hat.
Z = 0; 1; 2
Bemerkung: Interessant wird es erst, wenn man die entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten kennt, die den Zufallsgrößen zugeordnet werden. Diese
Zuordnung heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Definition: Die Funktion P, die jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit
zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrscheinschlichkeitsverteilung
der Zufallsgröße X. Man sagt, die Zufallsgröße ist nach P verteilt.
P : x x P(X = x )
x c ‘ und P(X = x ) c [0; 1 ]
Bemerkungen: Die wichtigste graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Histogramm. Das Histogramm ist ein Säulendiagramm mit Balken der
Breite 1. Dann entspricht der Flächeninhalt der Wahrscheinlichkeit.
Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung
Beispiel 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X
Es gibt insgesamt 24 Fälle, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Wir ordnen den 24 Fällen die Werte der Zufallsgröße zu.
(ABCD) 0
(BACD) 0
(CABD) 0
(DABC) 0
(ABDC) 0
(BADC) 0
(CADB) 1
(DACB) 1
(ACBD) 1
(BCAD) 1
(CBAD) 0
(DBAC) 0
(ACDB) 2
(BCDA) 2
(CBDA) 1
(DBCA) 1
(ADBC) 1
(BDAC) 1
(CDAB) 0
(DCAB) 0
(ADCB) 2
(BDCA) 2
(CDBA) 0
(DCBA) 0
Damit ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für X:
X = xi
P(X = x i )
0
12
24
=
1
8
24
1
2
=
2
1
3
4
24
=
1
6
Beispiel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Y
Die Ergebnisse (AAA) und (BBB) werden dem Wert 3 zugeordnet.
Es gilt:
P(Y = 3 ) = 0, 7 3 + 0, 3 3 = 0, 37
Aufgabe: Welche Ergebnisse werden den Werten 4 bzw. 5 zugeordnet?
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und berechnen Sie die restlichen
Wahrscheinlichkeiten und zeichnen Sie ein Histogramm.
Lösung:
Y = yi
3
4
5
P(Y = y i )
0,37
0,3654
0,2646