05 Planetensystem, Teil 2

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Kapitel III:
Das Planetensystem
1
Tycho Brahe (1546-1601)

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem





Letzter großer Astronom ohne Fernrohr
Außergewöhnlich sorgfältig und
systematischer Beobachter
 erster moderner Wissenschaftler
Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum,
Planeten umkreisen die Sonne
Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre
Er bestimmte die Parallaxe von Kometen  Kometen
ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes
Er beobachtete eine Supernova [“neuer Stern”] im
Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe
messen  Supernova ist Teil der Himmelssphäre
 Seine Beobachtungen erschütterte die
Aristotelische Idee eines ewigen und
unveränderlichen Himmels
2
Johannes Kepler
(1571-1630)

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


Tycho Brahes Nachfolger in Prag
Er fand heraus, dass weder
das Ptolemäische noch das
Brahesche noch das heliozentrische Modell die Beobachtungen mit
hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann.
Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen,
nicht auf Kreisen
3
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Keplers drei Gesetze der
Planetenbewegung
1. Keplersches Gesetz:
Die Planeten umlaufen die Sonne auf
elliptischen Bahnen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht.
4
Ellipsen - Kegelschnitte
=SC/AC = eccentricity
Kegelschnitte

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem



 =0:
0 <  < 1:
 =1:
>1:
Kreis
Ellipse
Parabel
Hyperbel
5
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Keplers drei Gesetze der
Planetenbewegung
2. Keplersches Gesetz:
Der Radiusvektor von der Sonne zum
Planeten überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen
6
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Keplers drei Gesetze der
Planetenbewegung
3. Keplersches Gesetz:
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten
verhalten sich wie die Kuben der großen
Halbachsen
2
1
2
2
3
1
3
2
P
a

P
a
7
3. Keplersches Gesetz

Beispiel:
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem



Abstand der Erde zur Sonne: RE = 1AU
Umlaufzeit: PE = 1a
Umlaufzeit des Mars: PM = 1.88a
 Die große Halbachse der Marsbahn um die
Sonne kann berechnet werden:
3
RM
3
RE

2
PM
2
PE
2/3
 RM = 1.88
AU = 1.52 AU
Immer noch die wichtigste Methode in der
Astronomie, um die Ausdehnung
astronomischer Systeme zu vermessen
8
Weiteres Beispiel
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

1781: Herschel entdeckt Uranus



Abstand Erde zur Sonne: RE = 1AU
Umlaufzeit der Erde: PE = 1a
Über Parallaxen: RU = 19.2 AU

Die Umlaufzeit von Uranus um die Sonne
kann berechnet werden:
3
RM
RE3

PM2
PE2
3/2
 PU = 19.2
yr = 84 yr
9
Galileo Galilei
(1564-1642)
Er war nicht der Erfinder des
Fernrohrs !
 Aber er war der erste, der es gen Himmel
richtete
 Er entwickelte Test für die Aristotelische
Physik und verwarf daraufhin letztere
 Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess
1633
 vom Vatikan rehabilitiert 1980 !
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

10
Beispiel: Fallgesetze
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Fällt ein Hammer schneller als eine
Feder?
Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus
Erde, Feder mehr aus Luft
 Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren
Raum) gleich schnell


Apollo 15: beide fallen gleich schnell
11
Galileis astronomische
Entdeckungen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem






Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der
Erde  keine perfekt Kugelgestalt
Sterne punktartig, Planeten: Sphären
Entdeckung der Phasen der Venus 
Ptolemäischen Weltmodell
Entdeckung der Monde des Jupiter
 Miniatur-Sonnensystem
Entdeckung(?)/Interpretation der
Sonnenflecken  Himmel ist unveränderlich
Milchstraße = Zillionen von Sternen
12
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Die Phasen der Venus
heliozentrisch
geozentrisch
13
Der Prozess des Galileo Galilei
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem






Schwieriger Charakter, sehr arrogantes
Auftreten
Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit.
Herausragender Redner und Lehrer
Er publizierte auf italienisch.
1632 berühmtes Buch “Dialog über die beiden
hauptsächlichen Weltsysteme“. Das
Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio
verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf
Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano
Bruno
14
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Die drei Newtonschen
Bewegungsgesetze
1. Newtonsches Gesetz:
Ein Körper beharrt im Zustand der
Ruhe oder bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit auf einer Geraden,
sofern er nicht einer äußeren Kraft
unterworfen wird.
15
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Die drei Newtonschen
Bewegungsgesetze
2. Newtonsches Gesetz
Die zeitliche Änderung des Impulses
eines Körpers ist proportional der Größe
der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt.
F=ma
16
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Die drei Newtonschen
Bewegungsgesetze
3. Newtonsches Gesetz
Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander
ausüben, sind ihrer Größe nach gleich
und entgegengesetzt gerichtet.
17
Keplers Gesetze und Newtons
Gesetze

Worin besteht der Unterschied ?
Kepler: empirische Gesetze, beschreiben
Zusammenhänge in der Natur
 Newton: Axiome, auf denen das
physikalische Gesamtmodell beruht
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

18
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Das Newtonsche
Gravitationsgesetz
Mm
F  G 2
r
 Gravitationskonstante


schwere und träge Masse



G = 6.6725910-8 dyne cm2 g-2
Trägheit: Resistenz der Masse mT ihren
Bewegungszustand zu ändern ist proportional zu mT
Schwerkraft: die Masse mS übt eine Anziehung aus,
die proportional zu mS ist
beide Massen sind proportional zueinander


Im Experiment: Unterschied kleiner als 10-12
Zur Bequemlichkeit: mT=mS
19
Das Newtonsche
Gravitationsgesetz
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


Warum ein r-2
Gesetz?
Kepler III:
T  kr
2


3
k: eine Konstante
Aus Geometrie
Kreisbahn
4 r
T 
2
v
2 2
2

Zentripetalkraft Fc
v
4 m
Fc  m 
2
r
kr
2

2
Da Fc=FG gilt, muss,
um Kepler III zu
erhalten,
1
FG  2
r
20
Das Newtonsche
Gravitationsgesetz
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Kraft einer Punktmasse i der Masse mi bei
Position ri auf Testteilchen m bei r
 
G mi m  
Fi ( r )    3 ri  r 
ri  r

Kraft eines Systems von N Teilchen
N
 
G mi m  
F ( r )     3 ri  r 
i 1 ri  r

Kontinuumslimit
mi  m  V

 
 ( r)  
3
F ( r )  Gm d r   3 r   r 
r  r
V
21
Das Newtonsche
Gravitationsgesetz
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

 
 ( r)  
3
F ( r )  Gm d r   3 r   r 
r  r
V



Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz,
allerdings gilt für die Gravitation immer  ≥ 0
Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik:
Ladungsneutralität für hinreichend große
Volumina)  zum Teil schwierig korrigierbare
Singularitäten
Deutliche Vereinfachungen für sphärische
Symmetrie
22
Theorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von
der Dicke r und der Masse M übt keinerlei
Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der
Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft
äquivalent zu der einer Punktmasse M am
Schwerpunkt der Schale.
Beweis:



nicht offensichtlich

 (r )  
3
Methode 1: Berechne Integral G d r    3 r   r 
r r
 aufreibend und langweilig
V
 Carrol and Ostlie
Methode 2: etwas Vektoranalysis

23
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Beweis


Kraft auf Teilchen m: F  mG


)  

(
r
Gravitatio nsfeld :
G  G  d 3r   3 r   r 
r  r
V

M 
für Einzel teilchen M : G   G 3 r
r

G

r
V
×
M

n
cos dA  r 2d
d
∂V
  
GM
Gravitatio nsfeld von M in Richtung n: G  n dA   2 cos dA
r
 GM d
24
Beweis

n1
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

G1

r1
 ×
G2 rM
2

n2

G1
dA1 dA2
d1  2  2
r1
r2
 d 2  d

r1
d
V

G2
∂V
×
M

n1
d

 n2
r2
V
∂V
Betrachte zwei gegenüberliegende Punkte auf ∂V
 
 
G1  n1 dA1  G2  n2 dA2
 
 
G1  n1 dA1  G2  n2 dA2
 GMd  GMd
 GMd  GMd
 2GMd
0
25
Beweis

n1
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

G1

r1
 ×
G2 rM
2

n2

G1
dA1 dA2
d1  2  2
r1
r2
 d 2  d

r1
d
V
∂V

G2
×
M

n1
d

 n2
r2
V
∂V
Integriere über Halbkugel
 jeweils gegenüberliegende Paare auf ∂V
 
 dA G  n  G  d M
V
4
 4 GM
 
 dA G1  n1  0
V
26
Beweis
 
 dA G  n 
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
V
-4GM
für M innerhalb von V
0
für M außerhalb von V
unabhängig von der genauen Lage von M
innerhalb/außerhalb von S

Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen:
 
 dA G  n  4G  Mi
i V
V
für Kontinuum:
 


3
3
 dA G  n   d r  G  4G  d r (r )
V
V

   G  4G
V
27
Beweis
Für homogene Kugelschale
mit Radius R, Dicke R und
Masse M=4R2R:
 Integriere über Kugeloberfläche
mit Radius r
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


R
R
r<R
  
2
dA
G

n

G
4

r
0

r
V


G 0 F 0
28
Beweis
R
Für homogene Kugelschale
mit Radius R, Dicke R und
Masse M=4R2R:
 Integriere über Kugeloberfläche
mit Radius r
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


R
r>R
  
2
dA
G

n

G
4

r
 4GM

r
V


GM
GMm 
G  2 F  3 r
r
r
q.e.d
29
Zur Erinnerung:
wesentliche Annahmen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
 r-2-Kraftgesetz
 
 G  n dA  GM d unabhänging von r
 Gilt z.B. nicht für Kernkräfte
Lineare Superposition der Massen
 Zentralkraft
  r

GG

r

sphärische Symmetrie
  
  dA G  n  G 4 r 2
V
30
Newton ⇨ Kepler
I. Motivation
Bereits gezeigt:
r-2-Kraftgesetz  Kepler III (für Kreisbahn)
 Betrachte Kreisbahn, gleichförmige
Bewegung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem




In t überstrichene Fläche:
A dA 1
1
A  2 r vt  

 2 rv
t dt
A
r
v
Drehimpulserhaltung: rv  const.
 Kepler II
aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen?
Kepler I ???
31
Newton ⇨ Kepler
I. Motivation

zeige, dass allgemein gilt
P2  a3
 dA/dt = const.
 Kegelschnitt:
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

a 1   2 
r ( ) 
1   cos 
p

1   cos 
p
32
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Newton ⇨ Kepler
II. Überblick

Zweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem

Aufstellen der Bewegungsgleichung

Lösung der Bewegungsgleichung

Ableitung der Keplerschen Gesetze

Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem
33
Zweikörperproblem ⇨
Einkörperproblem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
r1
1
×
Schwerpunkt
r2
r
2
  
r  r1  r2
Schwerpunkt:




m1r1  m2 r2  0  m1r1   m2 r2
   
m1  
 r1
 r  r1  r2  1 
M: Gesamtmasse
m
2 



m1
m2  m1  m2  

 r1
 F1  m1r1  G 3 
r  
m2 
34
Zweikörperproblem ⇨
Einkörperproblem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
r1
1
×
Schwerpunkt
r2
r
2
  
r  r1  r2
Beschleunigungen:
m1m2
r  G M r
m1  m2   m1m2
M 
1
3 1
m1  m2
r
r  G M r
=-1: reduzierte Masse 
2
3 2
r

r  r  r   GM r   Gm1m2 m1  m2 r  F
1
2
3
3
r
r
m1m2

35
Zweikörperproblem ⇨
Einkörperproblem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Beschleunigung:

G M 

r   3 r
r

Ergebnis
Das gekoppelte Zweikörperproblem reduziert
sich zu der Bewegung einer Testmasse  im
Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im
Schwerpunkt.
M  m1  m2
1
1
1


 m1 m2
36
Bewegungsgleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

In mitbewegten Zylinderkoordinaten
(r,,z)

 dr




v
 rer  r e  zez
dt


 In Zylinderkoordinaten hängen er und e
von der Zeit ab !



e   er



er   e

Beschleunigung

 dv


2 




a
 r  r er  ( r  2r ) e  zez
dt

e

er
37
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Bewegungsgleichung
Fr   r  r
2
F   r  2r   0
3
Fz   z

G M
 2
2
r z
1
2
G M
 2
2
r z
r
r z
2
2
z
r z
2
38
2
Lösung der
Bewegungsgleichung

Gleichung (3)
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


Wähle Anfangsbedingungen so, dass
z  0, z  0  z  0  Bewegung bleibt in


der durch er und e zu t=0 aufgespannten
Ebene
Gleichung (2) × r
d 2
d


r    rv   0
dt
dt
 
 l  rv  r  v  const
r   2rr 
2

Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten
39
Lösung der
Bewegungsgleichung

Gleichung (1)
2
GM
l
r  r   2  r  3
r
r
2
GM l
 r   2  3
r
r
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
2
Gravitationskraft zieht an

mit
d 1 2

 

2 r   rr
dt
Zentrifugalkraft stößt ab
Ziel: Umschreiben
als totales
Differential in r
2

d 1 2
GM l  dr


 2  3 
2 r  

dt
r  dt
 r
40
Lösung der
Bewegungsgleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
 eff
2
 GM l 2 
GM l
   dr  2  3   
 2
r 
r
2r
 r
effektives
Potential
Gravitationspotential
Zentrifugalpotential
d 1 2
d
dr
d


 eff
   eff
2 r  
dt
dr
dt
dt
 Energie
ist erhalten
 12 r2   eff  E  const.
41
Lösung der
Bewegungsgleichung

Anmerkungen
r 0  Zentrifugalpotential wächst schneller
als Gravitationspotential  Objekte fallen
nicht zum Zentrum
 Minimum des
r  0
effektiven Potentials
 r  0
 Kreisbahn
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

42
Lösung der
Bewegungsgleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
1
2
r2   eff
dr
 r 

dt
t
2
G

M

l
 12 r2 
 2 E
r
2r
2GM l 2

 2

r
r
2E
rmax

rmin
dr
2GM l 2

 2

r
r
 const.
2E
43
Lösung der
Bewegungsgleichung
d
l
 2   
dt r
rmin
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
rmax
umax
1
mit u     
r
umin
l
dr
2
r
 const .
2
2 E 2GM l

 2

r
r
du
 const .
2 E 2GM
2

u

u
l 2
l2
44
Lösung der
Bewegungsgleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

dx
a  bx  cx 2


1
b  2cx 

arccos  
2
c
b
 4ac 

2E
2GM
a  2 ; b  2 ; c  1
l
l

Wähle Integrationskonstante so, dass
r = rmin bei  = 0
1
GM
 2
r ( )
l
2


2
El
1  1 

cos

2
2



G
M


45
Ableitung der
Keplerschen Gesetze
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Vergleiche
l2
GM
r ( ) 
2 El 2
1 1
cos 
2
2
G M
mit Gleichung für Kegelschnitt
r ( ) 
p
1   cos 
 Kepler I !!! mit
2
2
l
2
El
p  a(1   2 ) 
;  2  1
GM
G 2 M 2
46
Ableitung der
Keplerschen Gesetze

Überstrichene Fläche
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Kapitel III: Das Planetensystem
r
dF   dr( rd ) 
0

1 2
dF 1 2 d l
r d 
 r
  const .
2
dt 2 dt 2
 Kepler II !!!
Gesamtfläche:
P
P
dF l
lP
F   dt
  dt 
dt 2 0
2
0
l2
1 
GMa
2
Geometrie  F  ab  a 2 1   2
2 F 2a 2 1   2 2a 3 / 2
P 2 4 2
P


 3 
l
l
a
GM
GM
 Kepler III !!!
47
Ableitung der
Keplerschen Gesetze
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Bahnenergie
1 2 1 l 2 GM
E  r   2 
2
2 r
r

im Perizentrum
l2 1
r
; r  0
GM 1  
1 2 G2M 2
G2M 2
2
1      2 1   
 E  l
4
2
l
l
1 G2M 2
1 GM
2

 
1  
2
2
l
2 a
 alle Bahnen der großen Halbachse a haben
48
dieselbe Energie, unabhängig von 
Ableitung der
Keplerschen Gesetze
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Bahnenergie
1 2 1 l 2 GM
E  r   2 
2
2 r
r

im Perizentrum
l2 1
r
; r  0
GM 1  
1 2 G2M 2
G2M 2
2
1      2 1   
 E  l
4
2
l
l
1 G2M 2
1 GM
2

 
1  
2
2
l
2 a
 alle Bahnen der großen Halbachse a haben
49
dieselbe Energie, unabhängig von 
Ableitung der
Keplerschen Gesetze

Bahngeschwindigkeit:
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Über Energieerhaltung
GM 1 2 GM
 v 
a
2
r
2 1
2
 v  GM   
r a
E

Bahnform
E<0, <1: Ellipse
 E=0, =1: Parabel
 E>0, >1: Hyperbel

Coulomb,
Gravitation
anziehend
nur Coulomb,
abstoßend
50
Einkörperproblem ⇨
Zweikörperproblem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
 a 1   2  
r
er
1   cos 
 m2 
 m1 
  m2  
 r  a1  
a; a2  
a
r1  
 m1  m2 
 m1  m2 
 m1  m2 
zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität
 Beispiel Erde-Mond-System:

a=384400 km
 a1=4700km
 a2=379700km

51
N-Körperproblem
allgemein für N>2 nicht streng
mathematisch lösbar
 Interessante Spezialfälle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Librationspunkte (3 Körper)
 Störungsrechnung
 Virialtheorem

52
Störungsrechnung, ein Beispiel
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem


Zweikörperproblem
1 d  1 dr  1
GM
d 2u
GM
2
u  2 ;
 2
  3   2 2 
2
2
r d  r d  r
l r
d
l
1
mit u   u  A cos   B
r
Führe nun eine Störterm der Form
d 2u  l 2  C  2 GM
  2 u  2
2
d
l
 l 
C
 3
r
ein
l2  C
Ansatz u  A cos   B    
l2
a (1   2 )
 Rosettenbahnen,
r
1   cos 
präzessierende Ellipsen
53
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
Störungsrechnung, ein Beispiel
54
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Für das Zweikörperproblem war
GM
E  Ekin  Epot  
2a

für eine Kreisbahn ist somit
1
E  Epot  2 Ekin   Epot
2

für elliptische Bahnen
kinetische und potentielle Energie variieren
 Mittelwerte ?

55
Das Virialtheorem

Mittelwert der potentiellen Energie
1
GM
1
   dt

T 0
r (t )
T
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem
T
Epot
l
1
  2  Epot  
r
T
2
GM
0 d  r( )
1
2
 GMa (1   2 )
0 d 1   cos
2
1
2
mit
0 d 1   cos  1   2
 Gilt im Zeitmittel auch
GM
 Epot  
 2 Ekin
für elliptische Bahnen
a
56
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Allgemein für N Teilchen, definiere
N

  N  
Q :  pi  ri   mi vi  ri
i 1
i 1
N

  N  
 Q   pi  ri   pi  ri
i 1
i 1
d N   d N d 1  2 1 d 2 I
  mi ri  ri   2 mi ri  
dt i 1
dt i 1 dt
2 dt 2
2
mit I :  mi ri Trägheitsmoment
N
i 1
(Achtung, etwas andere
Definition als beim Kreisel)
57
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Allgemein für N Teilchen, definiere
N

  N  
Q :  pi  ri   mi vi  ri
i 1
i 1
N

  N  
 Q   pi  ri   pi  ri
i 1
i 1
  N 1  2
  pi  ri   2 mi vi  2 Ekin
N
i 1
i 1
58
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Allgemein für N Teilchen, definiere
N

  N  
Q :  pi  ri   mi vi  ri
i 1
i 1
N

  N  
 Q   pi  ri   pi  ri
i 1
i 1
 
  Fi  ri
 
(derVirial )   Fij ri
N
N
i 1
N
i 1 j 1


1 N N    1 N N   
  Fij  F ji  ri   Fij  ri  rj 
2 i 1 j 1
2 i 1 j 1
59
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Allgemein für N Teilchen, definiere
N

  N  
Q :  pi  ri   mi vi  ri
i 1
i 1
N

  N  
 Q   pi  ri   pi  ri
i 1
i 1
1 N N Gmi m j   2
     3 ri  rj  Epot
2 i 1 j 1 ri  rj
60
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Allgemein gilt für ein System aus N
Teilchen
2
1d I
 Epot  2 Ekin
2
2 dt
Im stationären Zustand verschwinden die
Zeitableitungen zeitgemittelter globaler
Größen, folglich
T

d d I
d
d 2I 
   dt 2   0
2
dt dt
dt  0 dt 
2
 2 Ekin   Epot
61
Das Virialtheorem
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel III: Das Planetensystem

Für große Teilchenzahlen N ist die
Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer
über verschiedene Ensembles
(Teilbereiche können als unabhängig
voneinander angesehen werden), d.h. es
gilt auch instantan für stationäre Systeme
2 Ekin   Epot
62