Mathematik 2 - Hochschule Augsburg

Mathematik 2
für Wirtschaftsinformatik
Sommersemester 2012
Termine für Übungen: Donnerstag 11:40 Im Raum W3.02 und W3.17,
(Frau Becker, Frau Wegert und Frau Dr. Zerbe)
ab der Woche vom 16.4.2012 findet die 2. Tutoriumsgruppe (Becker, Wegert) immer
mittwochs um 15:40 in W 3.21 statt.
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Mathematik 2: Gliederung
1
Folgen und Reihen
2
Komplexe Zahlen
3
Reelle Funktionen
4
Differenzieren 1
5
Differenzieren 2
6
Integration
7
Zinsen
8
Renten und Tilgung
9
Kursrechnung
10
Lineare Algebra
11
Lineare Programme
6
Integration
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Uneigentliche Integrale
Mehrdimensionale Integrale
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Einleitung
Umkehrung der Fragestellung der Differentialrechnung
Jetzt gesucht:
Funktion, deren Änderungsverhalten bekannt ist
Beispiel:
Bekannt:
Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit der Zeit
Gesucht:
Ort in Abhängigkeit der Zeit
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
Gliederung
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
1
Unbestimmte Integrale
8. Renten und Tilgung
2
Riemannsche Summen und bestimmte Integrale
9. Kursrechnung
3
Uneigentliche Integrale
4
Anmerkungen zu mehrdimensionalen Integralen
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
93
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Stammfunktion
Eine differenzierbare Funktion F : D → R mit D ⊂ R heißt
Stammfunktion der Funktion f : D → R, wenn für alle x ∈ D
gilt
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
F 0 (x) = f(x)
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
Sind F, ^F beliebige Stammfunktionen von f,
gilt für alle x ∈ D:
^F(x) − F(x) = konstant
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
Also: Hat man eine Stammfunktion F gefunden, gilt für alle
anderen Stammfunktionen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
^F(x) = F(x) + c
11. Lineare
Programme
94
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Unbestimmtes Integral
Ist F : D → R eine Stammfunktion von f : D → R,
so heißt
Z
1. Folgen und Reihen
Z
f(x) dx = F 0 (x) dx = F(x) + c
2. Komplexe Zahlen
für beliebiges c ∈ R
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
das unbestimmte Integral der Funktion f.
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
Weitere Bezeichnungen:
x : Integrationsvariable
f(x) : Integrand
c : Integrationskonstante
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
Unbestimmte Integration ist Umkehrung der Differentiation
11. Lineare
Programme
95
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Einige unbestimmte Integrale
Sei f eine reelle Funktion und c ∈ R eine beliebige Konstante. Dann gilt:
Z
a)
f(x) = a (a ∈ R)
⇒
f(x) dx = ax + c
Z
b)
f(x) = xn (n ∈ N, x ∈ R)
f(x) = xm (m = −2, −3, . . . , x 6= 0)
f(x) = xr (r ∈ R, r 6= −1, x > 0)
c)
f(x) = x−1 (x 6= 0)
d)
f(x) = sin x (x ∈ R)
f(x) = cos x (x ∈ R)
e)
f(x) = ex (x ∈ R)
f(x) = ax (a > 0, a 6= 1, x ∈ R)
1
xn+1 + c
n+1
Z
1
⇒ f(x) dx =
xm+1 + c
m+1
Z
1
⇒ f(x) dx =
xr+1 + c
r+1
Z
⇒ f(x) dx = ln |x| + c
Z
⇒ f(x) dx = − cos x + c
Z
⇒ f(x) dx = sin x + c
Z
⇒ f(x) dx = ex + c
Z
1 x
⇒ f(x) dx =
a +c
ln a
⇒
f(x) dx =
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
96
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Rechenregeln
Summen und konstante Faktoren
Für die reellen Funktionen f, g : D → R, D ⊂ R existiere das
unbestimmte Integral. Dann gilt:
Z
a)
Z
Z
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx
Z
b)
Z
af(x) dx = a f(x) dx
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
für alle a ∈ R
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
4. Mehrdimensionale
Integrale
Partielle Integration
7. Zinsen
Für zwei stetig differenzierbare Funktionen f, g : D → R,
D ⊂ R gilt:
Z
Z
0
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
0
f(x)g (x) dx = f(x)g(x) − f (x)g(x) dx
97
Mathematik 2
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Rechenregeln
Substitutionsregel
Die Funktion f : D → R, D ⊂ R besitze eine Stammfunktion
F und
g : D1 → R, D1 ⊂ R, g(D1 ) ⊂ D sei stetig differenzierbar.
Dann existiert die zusammengesetzte Funktion
f ◦ g : D1 → R mit z = f(y) = f(g(x)) = (f ◦ g) (x)
und es gilt mit y = g(x)
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
Z
Z
0
f(g(x))g (x) dx = f(y) dy
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
= F(y) + c = F(g(x)) + c
= (F ◦ g) (x) + c
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
mit c ∈ R beliebig.
98
Mathematik 2
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Riemannsche Summen
Gegeben: Beschränkte und stetige Funktion f : [a, b] → R mit
a < b und f ≥ 0
Unterteilen von [a, b] in
[a, x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xi−1 , xi ], . . . , [xn−1 , b]
1. Folgen und Reihen
mit a = x0 , b = xn
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
In jedem Teilintervall: Wähle Maximum und Minimum:
4. Differenzieren 1
f(ui ) = min {f(x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}
und
5. Differenzieren 2
6. Integration
f(vi ) = max {f(x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} .
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
f(x)
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
f
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
f(vi )
10. Lineare Algebra
f(ui )
a = x0
x1
x2
x3
x4
11. Lineare
Programme
...
xi−1
xi
... b = xn
x
99
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Riemannsche Summen
n
Untere und obere Grenze In
min 5 I 5 Imax für Flächeninhalt unter Kurve mit:
n
n
X
X
f(ui )(xi − xi−1 ), In
f(vi )(xi − xi−1 )
In
max =
min =
i=1
i=1
f(x)
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
f
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
f(vi )
5. Differenzieren 2
f(ui )
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
a = x0
x1
x2
x3
x4
...
xi−1
xi
... b = xn
4. Mehrdimensionale
Integrale
x
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
100
Mathematik 2
Stefan Etschberger
Riemannsche Summen
n
Untere und obere Grenze In
min 5 I 5 Imax für Flächeninhalt unter Kurve mit:
n
n
X
X
f(ui )(xi − xi−1 ), In
f(vi )(xi − xi−1 )
In
max =
min =
i=1
i=1
n
Jetzt: Verfeinerung der Unterteilung von [a, b] ⇒ Folgen (In
min ) und (Imax )
Existieren für n → ∞ die Grenzwerte der beiden Folgen und gilt für den
wahren Flächeninhalt I unter der Kurve
n
lim In
min = lim Imax = I
n→∞
n→∞
dann heißt f Riemann-integrierbar im Intervall [a, b]
Schreibweise:
Zb
I=
f(x) dx
a
Bezeichnungen:
I
x
f(x)
a, b
Bestimmtes Integral von f im Intervall [a, b]
Integrationsvariable
Integrand
Integrationsrenzen
1. Folgen und Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
100
Existenz von bestimmten Integralen
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Gegeben: Reelle Funktion f : [a, b] → R. Dann gilt:
Zb
a) f stetig in [a, b]
⇒
f(x) dx existiert
a
b) f monoton in [a, b] ⇒
Zb
1. Folgen und Reihen
f(x) dx existiert
a
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
1. Unbestimmte Integrale
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale
4. Mehrdimensionale
Integrale
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. Lineare
Programme
101