Analysis und Lineare Algebra für Informatiker Merkblatt 4a Lineare
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Analysis und Lineare Algebra für Informatiker
Merkblatt 4a
Lineare Gleichungen
1. Fragestellung:
BEISPIEL
Gegeben sei ein System von n linearen Gleichungen in m Unbekannten x1 , ..., xm .
(m = 3, n = 3)
6x1 + 2x2 + 4x3 = 1
3x1 + x2 + 2x3
= 2
−3x1 + 7x2 + 2x3 = 3
FRAGEN :
(i) Gibt es eine Lösung?
(ii) Falls ja, wie findet man eine?
(iii) Ist die Lösung eindeutig?
(iv) Falls nein, wie findet man alle Lösungen?
2. Gleichungssystem und Vektorgleichung:
Man kann die linke Seite“ eines Gleichungssy”
stems als lineare Abbildung L : Rm → Rn auffassen.
BEISPIEL
x1
6x1 + 2x2 + 4x3
L x2 = 3x1 + x2 + 2x3
x3
−3x1 + 7x2 + 2x3
Gegeben ~b ∈ Rn (zum Beispiel ~b = (1, 2, 3)T ) sucht man Lösungen,“ d.h. Vektoren ~a = (x1 , x2 , ..., xm )T
”
~a ∈ Rm mit
L~a = ~b.
Die Singulärwertzerlegung deckt die geometrische Struktur von L auf und macht das Finden der
Lösungen und die Beantwortung der Fragen leicht.
3. Die Singulärwertzerlegung:
Die Singulärwertzerlegung von L liefert orthonormale Basen
m
~
{~a1 , ...,~am } von A = R und {b1 , ..., ~bn } von B = Rn und Zahlen σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0
mit
L~a1 = σ1~b1 , ... L~ar = σr~br
und
L~ar+1 = ~0, ... L~am = ~0.
Damit hat man orthonormale Basen in A für den Nullraum N und sein orthogonales Komplement:
N = L(~ar+1 , ...,~am )
N ⊥ = L(~a1 , ...,~ar )
und in B für das Bild LA und sein orthogonales Komplement:
LA = L(~b1 , ..., ~br )
(LA)⊥ = L(~br+1 , ..., ~bn ).
A
~ar
B
N⊥
~br
~a1
LA
~b1
L
~br+1
~bn
~ar+1
~am
(LA)⊥
N
BEISPIEL :
(Fortsetzung)
√
~a1 = (1, 1, 1)T / 3
√
~b1 = (2, 1, 1)T / 6
4. Gibt es eine Lösung?
r=2
√
σ1 = 6 2
√
σ2 = 2 15
√
√
~a2 = (1, −1, 0)T / 2
~a3 = (1, 1, −2)T / 6
√
√
~b2 = (2, 1, −5)T / 30
~b3 = (1, −2, 0)T / 5
Die Gleichung
L~a = ~b
hat eine Lösung ~a genau dann, wenn
~b ∈ LA,
das heißt, genau dann, wenn ~b keine Komponente im orthogonalen Komplement von LA hat:
~b
~
(LA)⊥ = 0.
Um das zu prüfen, projiziert man ~b auf (LA)⊥ mit Hilfe der Basis {~br+1 , ...~bn }:
~b
~
~
(LA)⊥ = βr+1 br+1 + ... + βn bn .
Fazit: L~a = ~b hat genau dann eine Lösung, wenn
βr+1 = ... = βn = 0.
(βi =< ~b, ~bi >)
BEISPIEL :
(Fortsetzung) Hat das Gleichungssystem in (1.) eine Lösung?
~b = (1, 2, 3)T
~b
(LA)⊥
(LA)⊥ = L(~b3 )
−3 ~
~
~
~
~
= β3 b3 = < b, b3 > b3 = √
b3 =
6 0
5
Also gibt es keine Lösung.
Wenn ~b ∈ LA, hat man
5. Die spezielle Lösung
~b = β1~b1 + ... + βr~br
(weil βr+1 = ... = βn = 0). In diesem Fall gibt es Lösungen, vielleicht viele, aber es gibt eine
eindeutige ausgezeichnete Lösung ~a ∗ , die in N ⊥ liegt:
~a ∗ =
BEISPIEL :
βr
β1
~a1 + ... +
~ar
σ1
σr
7→
~b = β1~b1 + ... + βr~br .
(Fortsetzung) Wenn man die rechte Seite in (1.) durch ~b = (2, 1, 3)T ersetzt, gilt
β3 = < ~b, ~b3 >= 0,
also gibt es Lösungen. Wie sieht dann die spezielle Lösung ~a ∗ aus?
−10 ~
~b = β1~b1 + β2~b2 =< ~b, ~b1 > ~b1 + < ~b, ~b2 > ~b2 = √8 ~b1 + √
b2
6
30
~a ∗ =
=
=
=
=
β2
β1
~a1 +
~a2
σ
σ
1 2 8
1
−10
1
√
√ ~a1 + √
√
~a2
6
6 2
30
2 15
−10
8
1
(1, 1, 1)T
1
(1, −1, 0)T
√
√
√
√
√
+ √
6
6 2
3
30
2 15
2
2
−1
(1, 1, 1)T +
(1, −1, 0)T
9
6
1
1
7
18
4
Durch Einsetzen kann man kontrollieren, dass ~a = ~a ∗ tatsächlich eine Lösung ist.
6. Die allgemeine Lösung
meine Lösung ist also
Die Differenz von zwei Lösungen liegt im Nullraum N . Die allge~a = ~a ∗ + ~n
mit
~n ∈ N
oder
~a = ~a ∗ + k1 ~ar+1 + k2 ~ar+2 + ... + km−r ~am .
BEISPIEL :
(Fortsetzung) Der Nullraum N ist
N = L(~a3 ) = L((1, 1, −2)T ).
Die allgemeine Lösung der Gleichung mit ~b = (2, 1, 3)T ist also
1
1
1/18 + k
1
7 + k 1 = 7/18 + k .
~a = ~a ∗ + k ~n =
18
4
−2
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