Klausur Automatisierung vom 28.06.2013

Technische Universität Wien
Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik
SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur
VU Automatisierung
am 28.06.2013
Arbeitszeit: 120 min
Name:
Vorname(n):
Matrikelnummer:
Note:
Aufgabe
erreichbare Punkte
erreichte Punkte
1
10
2
11
3
10
4
9
P
40
Bitte ...
... tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein,
... rechnen Sie die Aufgaben auf separaten Blättern, nicht auf dem Angabeblatt,
... beginnen Sie für eine neue Aufgabe immer auch eine neue Seite,
... geben Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an,
... begründen Sie Ihre Antworten ausführlich und
... kreuzen Sie hier an, an welchem der folgenden Termine Sie nicht zur mündlichen
Prüfung antreten können:
Fr., 5.7.2013
Viel Erfolg!
Mo., 8.7.2013
1. Im folgenden Beispiel soll ein Windrad mit Generator, dargestellt in Abbildung 1,
untersucht werden. Das Windrad besteht aus vier identischen Flügeln mit der Länge
l und der Breite b, deren Anstromwinkel α über den Eingang ζ mit α̇ = ζ cos(ζ)
eingestellt werden kann. Dadurch kann die vom Wind mit der Geschwindigkeit v
angeströmte Fläche mit der Modulationsfunktion k(α) = cos(α) verändert werden.
Auf die Flügelflächen wirkt in Drehrichtung der Windruck pw = cp (α) ρ2 v 2 , der das
Rad antreibt. Hierbei bezeichnet cp (α) den Windbeiwert und ρ die Dichte der Luft.
Das Windrad ist über eine starre Welle mit einem Gleichstromgenerator verbunden,
der das Moment τel = cA ΦiA mit der Maschinenkonstanten cA > 0 und dem magnetischen Fluss Φ > 0 erzeugt. Das gesamte Trägheitsmoment des Windrads samt
Stange und Generator sei Θ. Am Generator liegt die konstante Gleichspannung UN
an. Die induzierte Spannung ergibt sich zu ui = cA Φω mit der Drehwinkelgeschwindigkeit der Maschine ω in rad/s.
b
iA
L
R
l
pw
pw
ui
UN
α
G
Φ
r ω
v
pw
pw
Abbildung 1: Windrad mit Generator.
Lösen Sie die nachfolgenden Teilaufgaben:
h
a) Stellen Sie die Modellgleichungen mit den Zustandsgrößen x = ω, iA , α
der Form
iT
in 5 P.|
ẋ = f (x, u)
y = h(x, u)
h
iT
mit dem Eingang u = v, ζ und dem Ausgang y = iA dar.
Hinweis: Das durch den Winddruck pw erzeugte Drehmoment auf einen Flügel
kann durch Integration über den Hebelarm s
τF =
berechnet werden.
2
Z
s
pw k(α)bs′ ds′
b) Berechnen Sie die Ruhelagen des Systems für eine konstante Windgeschwin- 2 P.|
digkeit vR und mit ζR = 0.
c) Linearisieren Sie das mathematische Modell um die berechnete Ruhelage xR 3 P.|
und stellen Sie das linearisierte System in der Form
∆ẋ = A∆x + B∆u
∆y = C∆x + D∆u
dar. Ist die Ruhelage des linearisierten autonomen Systems asymptotisch stabil? Begründen Sie Ihre Antwort.
3
2. Gegeben ist das autonome System
ẋ = Ax
mit
A=
"
2c
−2
1 2
5 + 3c + 2 c −6
#
.
a) Geben Sie ein Intervall für den konstanten Parameter c ∈ R an, sodass die 2 P.|
Ruhelage xR für jeden Anfangswert x0 ∈ R2 global asymptotisch stabil ist.
b) Bestimmen Sie den Zeitverlauf von x(t) für den Anfangswert x0 ∈ R2 .
Hinweis: Die Eigenvektoren der gegebenen Dynamikmatrix können mit
v1 =
"
1
c+3−I
2
#
und v2 =
"
1
c+3+I
2
4 P.|
#
angenommen werden.
c) Bestimmen Sie den Anfangswert x0 = x(t0 ), t0 = 0, wenn "für die #Konstante 2 P.|
2e−π
c = 1 gilt und zum Zeitpunkt t1 = 21 π der Zustand x(t1 ) =
lautet.
3e−π
d) Schreiben Sie das gegebene System in zeitdiskreter Darstellung mit der Ab- 1 P.|
tastzeit Ta = π an.
e) Bestimmen Sie den Verlauf des Zustands xk für den Anfangswert x0 ∈ R2 .
4
2 P.|
3. Gegeben ist der Regelkreis laut Abbildung 2 mit den Übertragungsfunktionen
G1 =
V
s
G2 =
,
s + 0.5
+ 5s + 8
2s2
mit der Verstärkung V = 20.
u
G1
G2
y
Abbildung 2: Regelkreis.
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.
a) Zeichnen Sie das Bode-Diagramm für die Übertragungsfunktion des offenen 4 P.|
Kreises L. Nutzen Sie hierfür die bereitgestellte Vorlage. Ist der offene Kreis
BIBO-stabil? Beurteilen Sie mit Hilfe des Bode-Diagramms die Stabilität des
geschlossenen Kreises.
Hinweis: log( 45 ) ≈ 0.1
b) Welche der beiden Ortskurven in Abbildung 3 beschreibt den offenen Kreis L? 2 P.|
Begründen Sie ihre Antwort ausführlich.
4
ω = −0
ω = −0
2
Im(L2 (Iω))
Im(L1 (Iω))
4
ω = −∞
ω = +∞
0
ω = +0
−2
2
ω = −∞
ω = +∞
0
−2
ω = +0
−4
−4
−1
0
1
2
−4
Re(L1 (Iω))
−2
0
2
4
Re(L2 (Iω))
Abbildung 3: Ortskurven zu Aufgabe 3.b).
c) Berechnen Sie den Ausgang y(t) des offenen Kreises L für t → ∞ für einen 2 P.|
Impuls am Eingang u = δ(0) sowie für den Einheitssprung u = σ(0).
d) Berechnen Sie die eingeschwungene Lösung y(t) des geschlossenen Kreises T 2 P.|
für den Eingang u(t) = sin(t).
5
4. Gegeben ist das zeitdiskrete System
xk+1
0.3
0 0 0.5




=  1 0 −1.7  xk +  0  uk
0
0 1
2




y = [0, 0, 1]xk .
a) Bestimmen Sie die zeitdiskrete Übertragungsfunktion G(z) des gegebenen Sy- 1 P.|
stems.
b) Zeigen Sie, dass das System vollständig beobachtbar ist.
2 P.|
c) Entwerfen Sie einen vollständigen Luenberger Beobachter für den Zustand x. 3 P.|
Die Eigenwerte der Dynamikmatrix Φe des Fehlersystems ek+1 = Φe ek mit
e = x̂ − x sollen die Werte λ1 = −0.5, λ2 = −0.5 und λ3 = 0.2 annehmen.
d) Untersuchen Sie mit Hilfe des Jury Verfahrens die Stabilität des in Punkt c) 3 P.|
entworfenen Beobachters, wenn sich die Dynamikmatrix des gegebenen Systems
auf
0 0 −0.05
0.1 
Φa = 

 1 0
0 1 1.8

ändert.
6

40
0
−20
−40
−60
0
10−1
10−0
101
102
10−1
10−0
101
102
−45
Phase in Grad
7
Abbildung 4: Vorlage Bode-Diagramm zu Aufgabe 3
Betrag in dB
20
−90
−135
−180
−225
Frequenz in rad/s