Nachholtutorium B: 1-, 2-dim. Integrale, Satz v. Stokes Aufgaben

Fakultät für Physik
Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer
T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/12t0/
Nachholtutorium B: 1-, 2-dim. Integrale, Satz v. Stokes
Aufgaben
21-27.04.2013
Aufgabe 1. Satz von Stokes – Halbkugel
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇ × u des Vektorfelds
 2 
y

z2  .
u=
x2
(b) Berechnen Sie in Kugelkoordinaten das Flächenintegral
ˆ
F = (∇ × u) · dS
(1)
S
R
über die Oberfläche der Halbkugel S = {(x, y, z) ∈ 3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≥ 0} mit
Radius R, durch explizite Integration über die Fläche (d.h., ohne den Satz von Stokes zu
verwenden).
Hinweis: Machen Sie als Erstes eine Skizze der Halbkugel!
(c) Berechnen Sie nun für das Vektorfeld u wieder das Integral F von Gl. (1), diesmal indem
Sie es mit dem Satz von Stokes in ein Kurvenintegral überführen und letzteres berechnen.
Aufgabe 2. Kurvenintegrale I
Gegeben sei das Vektorfeld


2xy
u =  x2 + z 
y
(2)
sowie die Raumkurve
π
γ : [0, ] → R3
2
t 7→ r(t) = (R cos(t), R sin(t), R2 )
´
(a) Berechnen Sie das Kurvenintegral γ u · dr.
1
(3)
(b) Konstruieren Sie ein Potential φ zu u (also ∇φ = u) und überprüfen Sie damit das
Ergebnis aus Teilaufgabe (a).
´
Hinweis: Sie dürfen das Integral cos x sin2 x dx = 31 sin3 x verwenden.
Aufgabe 3. Flächenintegrale
(a) Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel mit Radius r.
(b) Welchen Radius muss ein Kegel haben, damit seine Mantelfläche genauso grosz wie die
Kugeloberfläche aus Teilaufgabe (a) ist? Die Höhe des Kegels soll gleich seinem Durchmesser sein.
Aufgabe 4. Satz von Stokes I
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇ × u des Vektorfelds


(y + z)2
u =  z2 
(x + z)2
(4)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
ˆ
(∇ × u) · dS
(5)
S
über die Zylindermantelfäche S = {(x, y, z) ∈
explizite Integration über die Fläche.
R3
: x2 + y 2 = R2 , 0 ≤ z ≤ R} durch
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und Letzteres berechnen.
Aufgabe 5. Satz von Stokes II
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇ × u des Vektorfelds


zy
u = −zx
0
(6)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
ˆ
(∇ × u) · dS
(7)
S
über die Rotationsfläche S = {(x, y, z) ∈
Integration ber die Fläche.
R3
: x2 + y 2 = e−2z , z ≥ 0} durch explizite
(c) Überprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie den Satz von Stokes anwenden. Hinweis: Versuchen Sie zuerst die Fläche zu skizzieren!
2
Aufgabe 6. Kurvenintegrale II
Gegeben sei das Coulomb-Potential einer Punktladung Q:
φ(r) =
1 Q
4π0 r
Hierbei ist r der Betrag des Ortsvektors r (r = |r| =
(8)
p
x2 + y 2 + z 2 ).
(a) Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld E = −∇φ.
(b) Berechnen Sie die Arbeit, die nötig ist, um eine Ladung q vom Punkt (2,0,0) zum Punkt
(1,0,0) zu verschieben.
Hinweis: Durch Verwendung geeigneter Koordinaten lässt sich viel Arbeit sparen.
Aufgabe 7. Kurvenintegrale III
Gegeben sei das Vektorfeld


zx
u =  x2 
y
Berechnen Sie das Kurvenintegral
´
C
(9)
u · dr, wobei
(a) C die Verbindungsstrecke von (0,0,1) und (2,4,1) ist.
(b) C von (0,0,1) bis (2,4,1) geht und einem Parabelbogen folgt, der durch den Punkt (1,1,1)
geht.
(c) Ist das Vektorfeld u konservativ?
Hinweis: Überlegen Sie sich jeweils zunächst eine geeignete Parametrisierung der Kurve.
Aufgabe 8. Kurvenintegrale IV
Gegeben sei das Vektorfeld


x/z
u = y/z 
z
(10)
´
Berechnen Sie das Kurvenintegral u · dr, wobei folgender Integrationsweg verwendet werden
soll:


cos(2πt)
r(t) = ln(1 + t)  sin(2πt) 
t ∈ [0, 1]
(11)
1
Aufgabe 9. Satz von Stokes III
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇ × u des Vektorfelds


z
u = x − z 
y−x
3
(12)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
ˆ
(∇ × u) · dS
(13)
S
über den Kegelmantel S = {(x, y, z) ∈
Integration über die Fläche.
R3
: x2 + y 2 = 4z 2 , 0 ≤ z ≤ 1} durch explizite
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und Letzteres berechnen.
Aufgabe 10. Satz von Stokes IV
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇ × u des Vektorfelds
 
xz

u = yx
zy
(14)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
ˆ
~
(∇ × u) · dS
(15)
S
über die Fläche S = {(x, y, z) ∈
Integration ber die Fläche.
R3
: x2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0, z ≥ 0} durch explizite
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und Letzteres berechnen.
Aufgabe 11. Satz von Stokes V
Gegeben sei das Vektorfeld


xz
B =  yz 
−z 2
(16)
sowie die folgende Fläche:
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +
´
(a) Berechnen Sie das Flussintegral B · dS
y2
+ z = 1, 0 ≤ z ≤ 1}
4
(17)
S
(b) Versuchen Sie zu B ein Vektorpotential zu finden (also ein Vektorfeld A mit ∇ × A = B)
und benutzen Sie den Satz von Stokes, um das Ergebnis aus (a) zu überprüfen.
Aufgabe 12. Flussintegral eines Vektorfeldes in krummlinigen Koordinaten
4
Betrachten Sie folgendes Vektorfeld in Kugelkoordinaten:
τ
cos (θ) cos (2ϕ) eθ
r2
´
Berechnen Sie explizit den Fluss Φ = S dS · B von B = ∇ × A durch die Fläche x2 +
y 2 + z 2 = R, z > R2 . (Die Orientierung der Fläche sei durch die Vorgabe festgelegt, dass der
Normalvektor für jedes Flächenelement δS nach oben zeige, d.h. eine positive z -Komponente
habe.)
Hinweis: Für ein Vektorfeld in Kugelkoordinaten,
A=
A (r, θ, ϕ) = Ar (r, θ, ϕ) er + Aθ (r, θ, ϕ) eθ + Aϕ (r, θ, ϕ) eϕ
berechnet sich die Rotation wie folgt:
1
1
1
1
[∂θ (Aϕ sin (θ)) − ∂ϕ Aθ ] er +
∂ϕ Ar − ∂r (rAϕ ) eθ + [∂r (rAθ ) − ∂θ Ar ] eϕ
∇×A =
r sin (θ)
r sin (θ)
r
r
Verwenden Sie anschlieszend den Satz von Stokes um den Fluss durch ein Linienintegral
auszudrücken, und berechnen Sie dieses ebenfalls explizit.
5