Höhere Mathematik I

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. P. Gritzmann
Wintersemester 2005/06
Blatt 4
Höhere Mathematik I
(Elektro - und Informationstechnik)
Zentralübung:
Z 4.1
1) Gegeben seien die folgenden Zahlen im Hexadezimalsystem:
a) (F 3D8A)16
b) (AAAAAD)16
Bestimmen Sie die Darstellung dieser Zahlen im Dezimalsystem.
2) Gegeben seien die folgenden Zahlen in Dezimaldarstellung:
a) (6999)10
b) (4442)10
Bestimmen Sie die Darstellung dieser Zahlen im Hexadezimalsystem.
Z 4.2
Zeigen Sie, daß für x ∈ R, x ≥ −1, und n ∈ N gilt:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
(Dies ist die sogenannte Bernoulli-Ungleichung).
Z 4.3
Seien a1 , . . . , an ∈ R. Welche der folgenden Summen sind gleich?
Pn
a)
k=1 ak
Pn−1
b)
s=0 as+1
Pn+1
c)
j=2 aj−1
P
d) a1 + n−2
k=0 an−k
Z 4.4
Welche der folgenden Gleichungen sind gültig und welche sind falsch?
P10 4 P10 4
a)
n=0 n =
n=1 n
P10
P9
2
2
b)
n=1 (n + 1) =
n=0 n
P10 3
P10 P10 2 c)
k=1 k =
k=1 k ·
k=1 k
Z 4.5
Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form α + iβ, α, β ∈ R, dar:
P1000 k
a)
k=2 i
1+i 1000
b) 1−i
Z 4.6
Zeigen Sie, daß sich die komplexen Zahlen C nicht anordnen lassen. D.h., zeigen Sie,
daß man keine Ordnungsrelation < auf der Menge C finden kann, die den gleichen
Rechenregeln bezüglich Addition und Multiplikation genügt wie die Anordnung der
reellen Zahlen R.
Bitte wenden!
Tutor- und Hausaufgaben:
T 4.1
1) Gegeben seien die folgenden Zahlen im Hexadezimalsystem:
a) (BF F A)16
b) (1D1DD)16
Bestimmen Sie die Darstellung dieser Zahlen im Dezimalsystem.
2) Gegeben seien die folgenden Zahlen in Dezimaldarstellung:
a) (1010)10
b) (777)10
Bestimmen Sie die Darstellung dieser Zahlen im Hexadezimalsystem.
T 4.2
1) Gegeben seien die folgenden Zahlen im Dualsystem:
a) (1 1000 1010)2
b) (1111 0011)2
Bestimmen Sie die Darstellung dieser Zahlen im Dezimalsystem.
2) Gegeben seien die folgenden Zahlen in Dezimaldarstellung:
a) (1010)10
b) (777)10
Bestimmen Sie die Darstellung dieser Zahlen im Dualsystem.
P
T 4.3 In der Vorlesung wurde der Satz angegeben, daß jedes Polynom p(x) = nk=0 ak xk ,
n ∈ N, ak ∈ C, mit an 6= 0 eine Nullstelle x1 ∈ C besitzt. Zeigen Sie unter Verwendung
dieses Satzes, daß sich das Polynom p(x) dann schreiben läßt in der Form
p(x) = an (x − x1 ) · . . . · (x − xn )
für gewisse x2 , . . . , xn ∈ C. (Man sagt, das Polynom p(x) zerfällt über C in Linear”
faktoren“.)
T 4.4 Welche der folgenden Gleichungen sind gültig und welche sind falsch?
P10
a)
n=0 2 = 20
P10
P10
b)
n=0 (2 + n) = 2 +
n=0 n
P10 3
P10 3
c)
k=1 k =
k=1 k
T 4.5 Zeigen Sie, daß für a1 , a2 , . . . an ∈ R gilt
n
n
X
X
ak ≤
|ak |
k=1
Pn
k=1
k = 18 (2n + 1)2 “ für n ∈ N.
” k=1
a) Zeigen Sie, daß A(n + 1) gilt, wenn A(n) gilt.
T 4.6 Sei A(n) die Aussage
b) Gilt A(n) für alle n ∈ N?