Skript zur Vorlesung Halbleiterphysik mit Bauelementanwendungen

Skript zur Vorlesung
Halbleiterphysik mit Bauelementanwendungen
Modul 13439
U. Wulf
Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg
2. Februar 2017
Inhaltsverzeichnis
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Die effektive Masse und die mesoskopische Beschreibung von Halbleitersystemen
4.1 Effektiver Massentensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Mesoskopische Beschreibung von Halbleitersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Die MOS-Struktur als Beispiel für ein Halbleitersystem . . . . . . . . . . .
4.2.2 Schrödinger Gleichung in Effektive-Massen-Näherung, Enveloppenfunktion .
4.3 Quantentrog in einer GaAs-Heterostruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 LEDs und Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ladungsträgerdichte im Halbleiter, thermisches Gleichgewicht
5.1 Der intrinsische Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ladungsträgerkonzentrationen im dotierten Halbleiter . . . .
5.2.1 Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Besetzung der Störstellenniveaus . . . . . . . . . . .
5.3 Anwendung: Der n-dotierte HL . . . . . . . . . . . . . . . .
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Der pn-Übergang im Gleichgewicht: Potenziale und Bandstruktur
6.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Die isolierten Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Der Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Lokale Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Näherung des abrupten pn-Übergangs . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Berechnung der Verarmungsschicht und Sperrspannung
6.3 Sperrschichten im belasteten (bespannten) pn-Übergang . . . .
6.4 Kapazitätsdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Esaki-Diode (Tunneldiode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Die MOS-Struktur und der MOS-Kondensator
7.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Energiediagramm einer idealen MOS-Struktur . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Quantitative Beschreibung der Ladungen an der Oxid-Isolator Grenzfläche
7.4 Kleinsignalkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Quantenbeschreibung der MOS-Struktur
8.1 Hierarchie der Näherungen für Bauelemente . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Semiklassische Näherung, Drift-Diffusionsmodell . . . . .
8.1.2 Mesoskopische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Atomare Beschreibung, Tight-binding -Näherung . . . . . .
8.2 Enveloppen-Näherung für die MOS-Struktur: Subbandquantisierung
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Hartree-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analytische Beschreibung der Inversionselektronenschicht . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Sub-Threshold- und Threshold Potenzial in Verarmungsnäherung . . . .
8.4.2 Dreieckspotenzialnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inversionselektronengas im Quantenlimes: Das zweidimensionale Elektronengas
The modulation doped GaAs/Al xGa1−x As heterostructure . . . . . . . . . . . .
Der ganzzahlige Quanten-Hall Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantenmechanik von Randzuständen im starken Magnetfeld . . . . . . . . . . .
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Halbleiter im semiklassischen Nichtgleichgewicht: Driftstrom, Diffusionsstrom und Halbleitergleichungen
9.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Teilchendichte im Phasenraum und verallgemeinerte Fermiverteilung mit quasi-Fermienergien
9.3 Ladungsträger als quantenmechanische Wellenpakete mit semiklassischer Dynamik . . . .
9.4 Stromdichte und Kontinuitätsgleichung in Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Ortsraumgrößen durch Phasenraumdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Die Boltzmanngleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Linearisierte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung: Drift- und Diffusionstrom .
9.8 Die Halbleitergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.1 Gleichungen für den Strom als Gradient des elektrochemischen Potenzials . . . . .
9.8.2 Gleichungen für die Ladungsträgerdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.3 Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.4 Kontinuitätsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.5 Zusammenfassung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Anhang 1: Semiklassische Geschwindigkeit von Wellenpaketen . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Anhang 2: Semiklassische Beschleunigung von Wellenpaketen . . . . . . . . . . . . . . .
10 Der pn-Übergang im Nichtgleichgewicht: pn-Diode, Solarzelle und Bipolartransistor
10.1 Die pn-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Die Solarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Aufbau und prinzipielle Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Der Bipolartransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Allgemeine Beschreibung und Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Lösung der Grundgleichungen nach Ebers und Moll . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Diskussion der Gleichungen nach Ebers und Moll . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Der MOS-Feldeffekttransistor (MOSFET)
12.1 Zusammenfassung MOS-Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Der MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 CMOS-Inverter und CMOS-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 FinFETs, SOIFETs und molekulare Transistoren für zukünftige hochintegrierte Schaltungen
12.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Tunnelströme und mangelnder Durchgriff der Gateelektrode . . . . . . . . . . . .
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13 Übungen zu 2. Der Festkörperkristall
13.1 Das 2d-hexagonale Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Das fcc- und das bcc-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Reziprokes Gitter von fcc- und bcc-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Tetraedrische Ordnung im Diamantgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Hexagonal dichteste Kugelpackung und Wurtzitstruktur . . . . . . . . . . .
13.6 Kristallstruktur von Graphen: 2d-hexagonales Gitter mit zweiatomiger Basis
13.7 Ebene Gitterwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Übungen zu 3. Bandstruktur im periodischen Festkörperpotenzial
14.1 Zum Kronig-Penney Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Das eindimensionale Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Die Blochfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.3 Die Bandmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.4 Empty lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.5 Schwache Potenzialmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 k-Raumvolumen der primitiven Einheitszelle des reziproken Gitters . . . . . . . . . . . .
14.3 Erlaubte Zustände und energieabhängige Zustandsdichte im freien 2d-Elektronengas bei
festen Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Fermienergie und chemisches Potenzial in freien Elektronengas . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Symmetrietransformationen des Gitters und Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.1 Lösung Teilaufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2 Lösung Teilaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.3 Lösung Teilaufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.4 Lösung Teilaufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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144
145
145
15 Übungen zu 4. Die effektive Masse und die mesoskopische Beschreibung von Halbleiterstrukturen
146
15.1 Valenzbandstruktur von Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
15.2 Effektiver Massentensor von Germanium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
15.3 Stromdichte und Enveloppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
15.4 Optische Übergangsmatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.5 Breite der Enveloppenfunktion im Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
16 Übungen zu 5. Der Halbleiter im thermischen Gleichgewicht
16.1 Großkanonische Zustandswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Besetzung von Störstellenniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Berechnung des chemischen Potenzials im n-dotierten Halbleiter . . . . . . . . . .
16.4 Numerische Ladungsträgerkonzentrationen im n-Halbleiter . . . . . . . . . . . . .
16.5 Numerische Ladungsträgerkonzentrationen im p-Halbleiter . . . . . . . . . . . . .
16.6 Literaturdaten für effektive Massen und effektive Bandzustandsdichten in Silizium .
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17 Übungen zu 6. Der p-n-Übergang im Gleichgewicht
162
17.1 Ladungsträgerkonzentrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
17.2 Greensche Funktion der Poissongleichung mit Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 164
18 Übungen zu 7. Der MOS-Kondensator
168
18.1 Herleitung der Halbleiterkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
18.2 Gesamtkapazität versus Gatespannung bei Verarmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4
19 Übungen zu 8. Quantenbeschreibung der MOS-Struktur
19.1 Berechung der Subbandbesetzungszahl . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Das Oberflächenpotenzial und Kapazitäten in Verarmungsnäherung
19.2.1 Subthesholdspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Elektrisches Feld an der Grenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Das Potenzial ohne Inversionselektronen in Verarmungsnäherung . .
19.5 Stromdichteerwartungswert eines Elektrons in einem Skipping Orbit
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20 Übungen zu 9. Die Drift-Diffusionsgleichungen
20.1 Quasi-Fermienergien in einem n-dotierten Halbleiter . . . . .
20.2 Freies Gauss-Wellenpaket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Vereinfachte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung
20.4 Berechnung Diffusionstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21 Übungen zu 10. Der p-n-Übergang im Nichtgleichgewcht
185
21.1 Elektrochemisches Potenzial der Majoritäts- und der Minoritätsträger im p-Bahngebiet . . 185
22 Übungen zu 11. Der MOS-Feldeffekttransistor (MOSFET)
186
22.1 Berechnung der Einsatzspannung VT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Kapitel 4
Die effektive Masse und die
mesoskopische Beschreibung von
Halbleitersystemen
4.1
Effektiver Massentensor
Die Bandstruktur der entscheidenden, die Bandlücke umgebenden Zustände in GaAs ist in der folgenden
Abbildung schematisch widergegeben.
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung der bandkantennahen Zustände im direkten Halbleiter GaAs.
In GaAs liegt das ’valley’ dieser Zustände sowohl im Leitungsband als auch im Valenzband um den ΓPunkt, d. h. im Zentrum der ersten Brillouinzone bei ~k = 0. Wir setzen diesen Fall zunächst voraus, die
Verallgemeinerung erfolgt in der späteren Diskussion des Leitungsbandes in Silizium. Wir können dann bis
zweiter Ordnung in k schreiben
!
2 X
X ∂2 E(~k)
1
~
1
|~ ki k j =
ki k j ,
E(~k) = E +
2 i j ∂ki ∂k j k=0
2 ij m ij
0
1
(4.1)
2
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
mit dem nichtdiagonalen effektiven Massentensor
1
m
!
≡
ij
1 ∂2 E(~k)
|~ .
~2 ∂ki ∂k j k=0
(4.2)
Hierbei wurde der Bandindex n fortgelassen. Im zweiten Schritt wurde der Energienullpunkt so gewählt,
dass der Boden des betrachteten Bandes bei Null liegt, E 0 = 0. Der lineare Term in der Taylorentwicklung
mit ∇~k E(~k)|~k=0 entfällt wegen der Extremalbedingung. Da Gl. (8.3) in jedem gedrehten Orthogonalsystem
gilt, ist die zweifach indizierte Größe m1 ein Tensor. Für ein freies nichtrelativistisches Teilchen der Masse
P
m0 erhalten wir mit k2 = i ki2
~2 X 1 2 ~2 X δi j
E(~k) =
k =
ki k j .
2 i m0 i
2 i j m0
(4.3)
Es folgt aus einem Vergleich mit Gl. (8.3)
1
m
!
=
ij
1
δi j .
m0
(4.4)
Für GaAs ergibt sich aus Experimenten und Bandstrukturberechnungen ebenfalls ein diagonaler isotroper
effektiver Massentensor im Leitungsband,
!
1
1
= δi j ,
(4.5)
m ij m
wobei jedoch das Festkörperpotenzial zu einer veränderten effektiven Masse m = 0.063m0 führt. Man erhält
für die drei Valenzbänder drei isotrope effektive Massentensoren mit negativer effektiver Masse, entsprechend der Krümmung nach unten:
mlh = −0.08m0
mhh = −0.53m0
m so = −0.15m0
leichte Löcher
schwere Löcher
Spin-Bahn-abgespaltene Löcher.
Visualisierung von Gl. (4.3) durch Konstant-Energie-Ellipsoide führt auf
!
~2 X 1
= const. = E(~k) =
ki k j
2 ij m ij
(4.6)
(Allgemeine Definition eines Ellipsoids: s. http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid). Für das isotrope Leitungsband von GaAs setzen wir Gl. (4.5) in (4.6) ein und erhalten = ~k2 /2m. Der p
Konstant-EnergieEllipsoid ist daher die in Abb. 4.2 gezeigte Oberfläche einer Kugel mit dem Radius k = 2m/~2 .
Für Silizium liegen sechs äquivalente Ellipsoide (’valleys’) im Leitungsband vor. Die Zentren der Ellipsoide
liegen auf den kartesischen Koordinatenachsen in positiver und negativer Richtung, z. B. bei ~k0 ∼ 0.85 2π
ex .
a~
Jedes Ellipsoid weist eine zweifach entartete leichte Masse m⊥ = 0.19m0 und eine einfach entartete schwere
Masse mk = 0.9m0 auf. In Abb. 4.2 steht [100] für die x-Richtung, [010] für die y-Richtung und [001] für
die z-Richtung. Es gilt für das valley mit dem Zentrum ~k0 = 0.85 2π
ex
a~
1

!
0 
 mk 0

1

=  0 m1⊥ 0  ,
(4.7)
m ij 

0
0 m1⊥
4.1. EFFEKTIVER MASSENTENSOR
3
Abbildung 4.2: a) Konstant-Energie-Ellipsoide und valley-Entartung in Ge, Si und GaAs (nach ??) b)
e x . Die Orientierung der Hauptachsen ist gegeben durch
Konstant-Energie-Ellipsoid in Si mit ~k0 = 0.85 2π
a~
die orthonormalen Einheitsvektoren ~nλ λ = 1, 2, 3, mit ~n1 = ~e x , ~n2 = ~ey und ~n3 = ~ez . Die Eigenwerte entlang
dieser Hauptachsen sind gemäß Gl. (4.11) gegeben durch m−1
λ . Die halbe Länge Kλ der Hauptträgheitsachsen des Ellipsoids berechnet sich nach Gl. (4.15).
wobei die xx-Komponente der Matrix links oben steht. Es gilt dann mit Gl. (4.6)


κy2
κz2 
~2  κ2x
=
+
+

 ,
2  mk m⊥ m⊥ 
(4.8)
wobei wir wegen der Verschiebung des Ellipsoidzentrums im k-Raum definieren ~κ = ~k−~k0 . Diese Gleichung
definiert die drei Hauptachsen des Ellipsoids, die entlang der Einheitsvektoren ~n1 = ~e x , ~n2 = ~ey und ~n3 = ~ez
liegen. Die halbe Länge K1 der ersten Hauptachse entlang ~n1 ist gegeben durch Gl. (4.8) mit den Setzungen
κz = κy = 0 und K1 = κ x
p
2mk K1 =
.
(4.9)
~
Die halbe Länge der zweiten und dritten Hauptachse entlang ~n2 und ~n3 ist analog
√
2m⊥ K2 = K3 =
.
(4.10)
~
In Germanium ist der effektive Massentensor im x − y − z-System nichtdiagonal. Nach Konstruktion (4.2)
ist er jedoch in jedem Fall reell und symmetrisch. Es gibt daher für (1/m) drei reelle Eigenwerte 1/mλ und
4
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
drei orthonormale Eigenvektoren ~nλ mit λ = 1 . . . , mit als Lösung des Eigenwerproblems
" !
#
1
1
~nλ = 0.
− (E)
m
mλ
(4.11)
Hier ist (E) die Einheitsmatrix. Es wird zunächst mit ~k → ~κ die Bilinearform in Gl. (8.3) darstellungsfrei in
Vektornotation geschrieben,
!
!
~2 T 1
~2 X 1
~
~κ.
κi κ j = ~κ
(4.12)
E(k) =
2 ij m ij
2
m
Hier entwickeln wir ~κ in das Basissystem der ~nλ ,
~κ =
X
κλ0 ~nλ
(4.13)
λ
und erhalten nach Einsetzen in (4.12)
E(~k) =
!
~2 X 0 0
1
~2 X 1 0 0
~nλ0 =
κλ0 κλ~nλ
κ 0 κ ~nλ~nλ0
2 λλ0
m
2 λλ0 mλ0 λ λ |{z}
δλλ0
=
~ X 1 0 0 ~2 (κ10 )2 ~2 (κ20 )2 ~2 (κ0 )23
κ κ =
+
+
.
2 λ mλ0 λ λ
2 m1
2 m2
2 m3
2
(4.14)
Im gestrichenen Hauptachsensystem wird die Hauptachsen-Darstellung (4.8) zurückgewonnen, die ~nλ weisen also in Richtung der Hauptachsen. Die Gleichungen (4.9) und (4.10) zur Bestimmung der Hauptachsenlänge Kλ lassen sich daher verallgemeinern zu
√
2mλ Kλ =
mit
λ = 1, 2, 3.
(4.15)
~
Für den in Abb. 4.2 (a) in Magenta gekennzeichneten Konstant-Energie-Ellipsoid von
√ Germanium weist
die Hauptachse mit der größten effektiven Masse m1 = mk in die Richtung ~n1 = (1/ 3)(1, 1, 1). Die dazu
senkrechten Hauptachsen ~n2 und ~n2 sind wie beim Si entartet und haben die keinere Masse m2 = m3 = m⊥ .
Das Volumen eines Ellipsoids im k-Raum ist
Vk =
4π
4π (2)3/2
K1 K2 K3 =
(m1 m2 m3 )1/2 ,
3
3 ~3 | {z }
(4.16)
(m∗ )3
mit der produktgemittelten Bandmasse m∗ = (m1 m2 m3 )1/3 . Die Anzahl der Zustände im Ellipsoid inklusive
des zusätzlichen Spin-Freiheitsgrads ist
Z
X
V
V 4π (2)3/2 ∗ 3/2
3
N() = 2
→2
d
k
=
2
(m ) .
(4.17)
(2π)3 V~k
(2π)3 3 ~3
~k∈V~
k
Wir definieren dann die Zustandsdichte im Leitungsband durch
√
Nv dN
2(m∗ )3/2 1/2
= Nv
D() =
,
V d
π2 ~3
(4.18)
wobei Nv die Anzahl der äquivalenten valleys ist. Nach Ersetzung der Bandmasse m∗ durch die freie Elektronenmasse und nach Vernachlässigung der Valleyentartung geht die Zustandsdichte für das Elektronengas
im Festkörper (4.18) über in die Zustandsdichte des freien Elektronengases (??), Abschnitt 3.7.
4.2. MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG VON HALBLEITERSYSTEMEN
4.2
5
Mesoskopische Beschreibung von Halbleitersystemen
Halbleitersysteme weisen unterschiedliche Materialkomponenten (neben Halbleitern auch Metalle und Isolatoren etc.) oder extern angelegte Felder auf. Durch Kontaktphänomene beim Aufeinandertreffen unterschiedlicher Materialien oder durch Anlegen externer Spannungen entstehen nichtperiodische Potenziale
U(~r). Diese führen zu einem neuen Term in der Schrödinger Gleichung




 ~2

− ∆ + V(~r) +U(~r) − E  ψ = 0,
(4.19)
 2m

{z
}
|

H0
~ = V(~r). Durch die Anwesenheit des nichtperiodischen
mit dem periodischen Kristallpotenzial V(~r + R)
Potenzials U(~r) bricht die Blochtheorie zunächst zusammen. Durch die mesoskopische Näherung, in der
vorausgesetzt wird, dass U(~r) auf der Skala des Kristallgitters langsam veränderlich ist, lassen sich jedoch in
einer quantenmechanischen Beschreibung Ergebnisse der Blochtheorie wiederverwenden. Die Darstellung
der mesoskopischen Näherung in diesem Abschnitt folgt Kapitel 105 im dritten Band von Ref. [1].
6
4.2.1
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
Die MOS-Struktur als Beispiel für ein Halbleitersystem
In der folgenden Abbildung stellen wir eine p − S i/S iO2 -MOS-Struktur dar. Die Abkürzung MOS steht
für Metal-Oxyde-Semiconductor. Der Halbleiter ist schwach p-dotiert. Häufig wird an Stelle von MOS
allgemeiner die Bezeichnung MIS (Metal-Insulator-Semiconductor) verwendet. Wie in Abb. 7.20 dargestellt, entsteht an der Trennfläche zwischen Halbleiter und Oxid ein Sprung in der Leitungsbandkante um
∆E = E LS iO2 − E LS i , wobei E LS iO2 und E LS i die Leitungbandkanten in den isolierten Stoffen sind. Durch Anlegen einer positiven Spannung UG an der Gate-Metallisierung wird ein nichtperiodisches Potenzial U(~r)
induziert, durch welches die Elektronen im Halbleiter in Richtung des Oxids gezogen werden. Sie können
auf Grund des Bandkantensprungs jedoch nicht in den Isolator eindringen. Es bildet sich die in Abb. (7.20)
dargestellte ’Potenzialtasche’, an der Grenzfläche zwischen p − S i und S iO2 . Ist die angelegte Spannung
ausreichend groß, entsteht in dieser Potenzialsenke eine dünne Schicht von ’Inversionselektronen’, die in
der Elektronik eine wichtige Rolle spielt.
Abbildung 4.3: (a) Aufbau einer p-MOS-Struktur. (b) Durchgezogene blaue Linie die mesoskopische Lage
der Leitungsbandkante φ(z) nach Gl. (4.20) und in Grün das gemittelte elektrostatische Potenzial U(z) mit
Randbedingung U(z → ∞) = 0 (s. Erdung des back-gate Kontaktes in (a)). Durch den Leitungsbandkantensprung an der Trennfläche zum Oxyd spalten φ(z) und U(z) für z ≤ 0 auf. Bei z = −D entsteht eine
dünne Schicht von Oberflächenladungen in der Gatemetallisierung. Diese ruft die Unstetigkeit im elektrischen Feld dU/dz an diesem Ort hervor. Für z > 0 bildet sich im Silizium in Nahe der Trennfläche eine
’Potenzialtasche’ aus, in der sich das Inversionselektronengas sammelt (rot).
Das induzierte nichtperiodische Potenzial U(~r) kann auf der Kristallgitterskala gemittelt werden. Hierdurch
entsteht ein langsam veränderliches, nur von z-abhängiges elektrostatisches Potenzial U(z), wobei das Koordinatensystem in Abb. 7.20 festgelegt ist. Wir definieren die z-abhängige Lage der Leitungsbandkanten
E L (z) in den isolierten Materialien,


E m für z < −D


 S iOL2
E L (z) = 
(4.20)
E
für −D < z < 0


 LE S i für z > 0.
L
Hier ist
E Lm
die Leitungsbandkante im Metall und D ist die Oxidbreite. Unter Berücksichtigung des langsam
4.2. MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG VON HALBLEITERSYSTEMEN
7
vern̈derlichen Potenzials U(z) definieren wir als mesoskopische Lage der Leitungsbandkante
φ(z) = E L (z) + U(z).
(4.21)
Dieses ist zunächst nur eine reine Definition, denn die Blochtheorie (und damit das Konzept des Leitungsbandes) bricht in Gegenwart von U(z) zusammen, wie bereits erwähnt.
4.2.2
Schrödinger Gleichung in Effektive-Massen-Näherung, Enveloppenfunktion
Zur Beschreibung der Wirkung langsam veränderlicher Potenziale U(~r) vereinfachen wir Gl. (4.19) unter
Verwendung des Effektivmassentensors. Wir betrachten hierzu die Blochfunktionen ψ~k im isolierten Wirtsfestkörper mit
" 2
#
~
− ∆ + V(~r) − (~k) ψ~k = 0,
(4.22)
2m
zu einem festen Bandindex n, den wir fortlassen. Für die Dispersion der ’ungestörten’ Blochzustände ψ~k in
(4.22) verwenden wir die Bezeichnung (~k), weil E schon für die Gesamtenergie des ’gestörten’ Systems in
(4.19) reserviert ist. Aufgrund der schwachen räumlichen Veränderlichkeit des Potenzials U lässt sich die
Bandkopplung vernachlässigen. Dann lassen sich die Lösungen von (4.19) allein aus Blochzuständen des
gegebenen Blochbandes aufbauen,
X
X
c(~k) exp (i~k~r)u~k (~r).
(4.23)
c(~k)ψ~k (~r) =
ψ=
~k
~k
Einsetzen von Gl. (4.23) in Gl. (4.19) führt auf
#
" 2
X
~
c(~k) − ∆ + V(~r) + U(~r) − E ψ~k (~r) = 0
2m
~k
X
h
i
⇔
c(~k) (~k) + U(~r) − E ψ~k (~r) = 0.
(4.24)
~k
~ (~k) = (~k + G)
~ (sieDie Bandstruktur (~k) ist im ~k-Raum periodisch in den reziproken Gittervektoren G,
~
~
he Ende letztes Kapitel über Bandstrukturen). Die Funktion (k) kann also nach den Vektoren des zu G
~
reziproken Gitters R entwickelt werden
Z
X
1
~~
~~
(~k) =
R~ eiRk
mit
R~ =
d3 k(~k)e−iRk .
(4.25)
V1.BZ 1.BZ
~
R
~iR
~ j = 2πδi j für alle i, j ist das reziproke Gitter von G
~ das direkte Gitter R
~ und das
Wegen der Relation G
~
~
reziproke Gitter von R ist G. Wir definieren formal einen Operator (−i∇), indem in der Funktion (~k) die
Variable ~k durch den Operator −i∇ ersetzt wird. Die Wirkung von (−i∇) auf eine beliebige Funktion f (~r)
ist
#
X
X "
1 ~ 2
~
R∇
~
(−i∇) f (~r) =
R~ e f (~r) =
R~ 1 + R∇ + (R∇) + . . . f (~r)
2
~
~
R
R
X
~
=
R~ f (~r + R).
(4.26)
~
R
Die Blochfunktionen sind Eigenfunktionen des Operators (−i∇),
X
X
~~
~ =
(−i∇)ψ~k (~r) =
R~ ψ~k (~r + R)
R~ eiRk ψ~k (~r) = (~k)ψ~k (~r).
~
R
~
R
(4.27)
8
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
Einsetzen dieses Resultats in Gl. (4.24) bringt
X
X
h
i
0 =
c(~k) (~k) + U(~r) − E ψ~k (~r) =
c(~k) (−i∇) + U(~r) − E ψ~k (~r)
~k
=
~k
X ~
c(k)ψ~k (~r)
(−i∇) + U(~r) − E
~
|k
⇔
{z
ψ(~r)
}
(−i∇) + U(~r) − E ψ(~r) = 0.
(4.28)
Das örtlich schwach veränderliche Potential U(~r) erzeugt örtlich schwach veränderliche Strukturen in den
Wellenfunktionen. Daher ist die Ausdehnung der c(~k) im reziproken ~k-Raum klein gegen die 1.Bz (ohne
U(~r) lägen δ-Funktionen im ~k-Raum vor). Also tragen in Gl. (4.23) nur Wellenfunktionen in einem schmalen
~k-Bereich bei, der um ~k0 herum liege. Wir nähern wegen der Schmalheit des ~k-Bereichs
Dann können wir schreiben
ψ=
X
u~k (~r) ∼ u~k0 (~r) ≡ u0 (~r).
(4.29)
c(~k) exp (i~k~r)u0 (~r) = u0 (~r)F(~r),
(4.30)
~k
mit der Enveloppenfunktion
F(~r) =
X
c(~k) exp (i~k~r).
(4.31)
~k
In Gl. (4.26) setzen wir f (~r) = ψ(~r) = u0 (~r)F(~r), sodass
(−i∇)ψ(~r) = (−i∇)u0 (~r)F(~r) =
X
~
R
= u0 (~r)
X
~ F(~r + R)
~
R~ u0 (~r + R)
| {z }
=u0 (~r)
~ = u0 (~r)(−i∇)F(~r).
R~ F(~r + R)
(4.32)
~
R
Wir setzen dieses Ergebnis sowie Gl. (8.2) auf der linken Seite in Gl. (4.28) ein, teilen durch u0 (~r) und
erhalten
(−i∇) + U(~r) − E F(~r) = 0.
(4.33)
Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass ein valley mit dem Zentrum ~k = 0 vorliege und auch ~k0 ∼
0. Die Forurierzerlegung (4.31) von F(~r) enthält dann nur kleine Wellenvektoren und ist daher auf der
Kristallgitterskala langsam veränderlich. (Bei einem valley mit dem Zentrum ~k = ~q0 und ~k0 ∼ ~q0 ist in
Gleichungen (4.23) - (4.31) der Wellenvektor ~k durch ~κ = ~k − ~q0 zu ersetzen.) Wegen der langsamen
Veränderlichkeit von F(~r) können wir in Gl. (4.33) die Potenzreihe von (−i∇) nach dem zweiten Term
abbrechen,
!
X ~2 1 !
~2 X 1
∂ ∂
(~k) ∼ E 0 +
ki k j →~k→−i∇ (−i∇) ∼ E 0 −
.
(4.34)
2
m
2
m
∂x
i ∂x j
ij
ij
ij
ij
Schließlich resultiert die gesuchte Schrödingergleichung in Enveloppen-Näherung


 2 X

!

 ~
1
∂ ∂
0
−
+ E (~r) + U(~r) −E  F(~r) = 0.
|
{z
}
m i j ∂xi ∂x j
 2

ij
φ(~r)
(4.35)
4.2. MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG VON HALBLEITERSYSTEMEN
9
Hier ist E 0 (~r) die Lage des Extremums des betrachteten Bandes im Material am Orte ~r. Treffen unterschiedliche Materialien aufeinander, macht E 0 einen Sprung. Ein solcher Sprung tritt in der MOS-Struktur
in Abbildung 7.20 im Leitungsband an der S i/S iO2 -Grenzfläche auf. es ist E 0 (~r) → E LS i für z > 0 und
E 0 (~r) → E LS iO2 für z < 0 (s. Gl. (4.20)). Gleichung (4.35) zeigt, dass ein Bandkantensprung ein Sprung im
mesoskopischen Potenzial
φ(~r) = E 0 (~r) + U(~r)
(4.36)
bedeutet. Durch Abstimmung der ortsabhängigen Materialkomposition des Halbleitersystems kann man
also das mesoskopische Potential φ(~r) kontrollieren. Diese Technik wird ’band gap engineering’ genannt.
Dargestellt ist in Abbildung 7.20 die Enveloppenfunktion mit der niedrigsten Energie. Im Falle von GaAs
liegt sowohl im Leitunsgband als auch im Valenzband ein isotroper effektiver Massentensor vor, (1/m)i j =
δi j /m∗ (s. Gln (4.5) und (4.1)), Dann wird aus (4.35)
#
"
~2
(4.37)
− ∗ ∆ + φ(~r) − E F(~r) = 0.
2m
Dieses hat direkt die Form einer Schrödingergleichung für ein Teilchen der Bandmasse m∗ , welches sich
im Potenzial φ(~r) bewegt. Für gewöhnlich wird für die Enveloppenfunktion F die Schreibweise ψ gewählt,
die eigentlich der mikroskopischen Wellenfunktion vorbehalten ist. Die Annahme einer kohärenten Enveloppenfunktion bedeutet, dass das System als ein mesoskopisches System behandelt wird. Typische Längen
mesoskopischer Systeme liegen im Bereich von einigen Nanometern bis hin zu ungefähr hundert Nanometern. Dieser Bereich ist für die moderne Elektronik wichtig. Die genannten Längen sind groß gegen
die atomare Skala aber klein gegen makroskopische Abmessungen, die wir im Bereich oberhalb von Mikrometern ansiedeln. Es entstehen dann auch bei Zimmertemperaturen messbare sogenannte geometrische
Quanteneffekte, die aus dem ’confinement’ (Eingrenzung) der Elektronenenveloppenfunktion im Nanometerbereich herrühren. Für die betrachtete MOS-Struktur ist dies die Niveauquantisierung im Potential U(z).
In Abbildung 7.20 ist hierbei nur das unterste Niveau E0 dargestellt. Dieses definiert das besonders wichtige unterste elektrische Subband. Bricht die Enveloppennäherung bei noch kleineren Strukturen zusammen,
muss atomar gerechnet werden. Solche Rechnungen können z. B. im Tight-Binding-Formalismus durchgeführt werden, den wir im nächsten Semester in der Festkörpertheorie behandeln.
Zur weiteren Interpretation der Enveloppenfunktion betrachten wir die Teilchendichte n im Zustand ψ
n(~r) ≡ |ψ(~r)|2 = |F(~r)|2 |u0 (~r)|2 .
(4.38)
Es folgt die Definition der über eine primitive Einheitszelle mit dem Volumen Vc gemittelten Teilchendichte
Z
Z
1
1
d3 r0 |F(~r0 )|2 |u0 (~r0 )|2 ∼ |F(~r)|2
d3 r0 |u0 (~r0 )|2 = |F(~r)|2 .
(4.39)
n̄(~r) ≡
Vc Vc
Vc Vc
|
{z
}
Vc
In den Übungen zeigen wir, dass für die über Vc gemittelte Teilchensstromdichte gilt
~¯j(~r) = ~ F(~r)∇F ∗ (~r) − F ∗ (~r)∇F(~r) .
2im
(4.40)
10
4.3
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
Quantentrog in einer GaAs-Heterostruktur
Ein Bandkantensprung wird in der GaAs − Al xGa1−x As-Heterostruktur benutzt, um einen Quantentrog zu
erzeugen: Im Al xGa1−x As wurde ein Anteil x von Galliumatomen des GaAs durch elektronenstrukturglei-
Abbildung 4.4: Quantentrog in einer GaAs-Heterostruktur. Magenta: Lage der Leitungsbandkanten E L (z) (s.
Gl. (4.41)) und im Valenzband E L (z) (s. Gl. (4.42)) identisch mit dem mesoskopischen Potenzialen φL (z) und
φV (z) bei U = 0. Rot gestrichelt: Enveloppenfunktion des im Quantentrog gebundenen Elektronenzustandes
mit der niedrigsten Energie E0 .
che Aluminiumatome ersetzt. Der entstehende Halbleiter hat eine von x abhängige größere Bandlücke als
GaAs. Ein wesentlicher Vorteil des GaAs-Al xGa1−x As Materialsystems ist die ideale Gitteranpassung, d. h.
GaAs und Al xGa1−x As können nahezu ohne Gitterverspannungen zusammengebracht werden. Daher lässt
sich Al xGa1−x As epitaktisch auf das GaAs-Substrat wachsen. Bei nicht zu großem x bleibt Al xGa1−x As
ein direkter Halbleiter am Γ-Punkt. Die größere Bandlücke in Al xGa1−x As verursacht einen Sprung in der
Bandkante zwischen GaAs und Al xGa1−x As sowohl im Leitungsband als auch im Valenzband (s. Abb. 4.4).
Wie in (4.20) führt Gl. (4.36) auf eine z-abhängige Lage der Leitungsbandkanten E L (z) in den isolierten
Materialien,
( AlGaAs
EL
für z < 0 und z > d
0
E (~r) → E L (z) =
(4.41)
E GaAs
für
0 < z < d.
L
Im Valenzband ergibt sich
(
E (~r) → EV (x) =
0
EVAlGaAs
EVGaAs
für z < 0 und z > d
für 0 < z < d.
(4.42)
Wir vernachlässigen die Ladungen im System und setzen U(~r) = 0. Dann ist gemäß (4.36)
φ(~r) = E 0 (~r) + U(~r) → φL (z) = E L (z)
(4.43)
4.3. QUANTENTROG IN EINER GAAS-HETEROSTRUKTUR
11
und φV (z) = EV (z) im Valenzband. Wie aus Abb. 4.4 hervorgeht, entspricht das mesoskopische Leitungsbandpotenzial φL (z) einem Quantentrog während das mesoskopische Valenzbandpotenzial eine abstoßenden Potenzialschwelle darstellt (’Antitrog’). Mit diesem mesoskopischen Potenzial wird Gl. (4.37) für das
Leitungsband zu
"
#
~2
−
∆ + φL (z) − E F L (~r) = 0
(4.44)
2mL
mit der effektiven Masse m∗ = mL im Leitungsband, welche als identisch in GaAs und AlGaAs angenommen wird. Die Homogenität von φL in transversaler Richtung führt auf den Ansatz
F L (~r) = F L (z) exp (i~k⊥~r⊥ )
mit der transversalen Wellenzahl ~k⊥ = (ky , kz ) und ~r⊥ = (y, z). Einsetzen in (4.44) liefert
#
" 2 2
~ d
0
+ φL (z) − E F L (z) = 0,
−
2m dz2
(4.45)
(4.46)
mit der longitudinalen Energie
~2 2
k .
(4.47)
2mL ⊥
Dieses ist das aus der elementaren Quantenmechanik bekannte eindimensionale Teilchen im Trogpotenzial.
Bei ausreichender Trogbreite existiert eine Reihe gebundener Zustände, die exponentiell in die Al xGa1−x AsBarriere eindringen (s. Abb. 4.4). In der Näherung eines unendlich hohen Potentialtopfes, E LAlGaAs →
∞, verschwindet die Wellenfunktion in der Al xGa1−x As-Barriere, was zu den Randbedingungen F L (0) =
F L (d) = 0 führt. Die mit diesen Randbedingungen verträglichen Enveloppenfunktionen lauten
r
π 2
F L (z) =
sin j z
mit
j = 1, 2, 3 . . .
(4.48)
d
d
E0 = E −
mit den diskreten Subbandenergien
E0 = E j =
~2 jπ 2
+ E GaAs
.
L
2mL d
(4.49)
Aus (4.47) folgt
~2 2
k ,
(4.50)
2mL ⊥
d. h. in der Näherung des unendlich hohen Trogs baut sich auf jeder Subbandenergie E j ein zweidimensionales Band mit den 2d-Wellenvektoren ~k⊥ auf.
Wir betrachten nun eines der drei isotropen Lochbänder in GaAs mit einer in der gesamten Struktur konstanten Masse (1/m)i j = δi j /mV , mV < 0. Analog zum Fall des Leitungsbandes lässt sich die Bestimmungsgleichung für die Valenzbandenveloppenfunktion
"
#
~2 d2
0
−
FV (z) = 0
(4.51)
+
φ
(z)
−
E
V
2mV dz2
E = Ej +
aufstellen. Im Gegensatz zum Leitungsbandpotenzial ist das Valenzbandpotenzial ein Antitrogpotenzial,
entsprechend einer Potenzialbarriere im GaAs. Auf der anderen Seite hat Gl. (4.52) nicht die Form einer
Schrödingergleichung, weil die Lochmasse negativ ist. Um Gl. (4.52) in die Form einer Schrödingergleichung zu bringen, multiplizieren wir mit -1,
#
"
~2 d 2
v
0
−
−
φ
(z)
−
E
(4.52)
V
h F (z) = 0,
2|mv | dz2
12
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
Abbildung 4.5: Gemessene optische Übergänge zwischen gebundenen Elektronen- und Lochzuständen.
mit dem Eigenwert Eh0 = −E 0 . Es ist unmittelbar ersichtlich, dass nun eine Schrödingergleichung im Trogpotenzial −φV (z) resultiert. Die unterschiedlichen Lochmassen führen somit zu einer Reihe gebundener
Valenzbandzustände im GaAs (s. Abb. 4.5).
Im Wesentlichen wird die Frequenz der emittierten Strahlung durch die Bandlücke bestimmt. Durch das
Trog-Einschlusspotenzial ergibt sich eine leichte Blauverschiebung, d. h. die Photonenenergien sind größer
als die Bandlücke.
4.4. LEDS UND LASER
4.4
13
LEDs und Laser
In einer Leuchtdiode oder einem Halbleiterlaser (s. Abb. 4.6) werden die AlGaAs Schichten mit der großen
Bandlücke auf der einen Seite n-dotiert und auf der anderen Seite p-dotiert. Hierdurch entsteht auf beiden
Seiten ein hochleitender Kontakt zum Quantentrog in dem von der n-Seite aus Elektronen injiziert werden und von der p-Seite aus Löcher. Das entstehende Bauelement weist die Form eines pn-Übergangs mit
einer dazwischenliegenden intrinsischen, aktiven Quantentrogschicht auf. Da mit der hohen Dotierung in
den Kontakten starke Streuung, insbesondere inelastische Streuung, verbunden ist verlieren die Wellenfunktionen dort ihre Kohärenz. Nur innerhalb des Quantentrogs bestehen also die mesoskopischen Wellenfunktionen, deren Kohärenz nach Eintritt in die Kontakte gebrochen wird. Durch den Quantentrog werden
Elektronen und Löcher in einem sehr enges Gebiet zusammengedrängt, was die Rekombinationsrate erhöht.
In Abb. 4.6 (b) ist eine einfache Leuchtdiode gezeigt, wie sie in LEDs verwendet wird. Sie besteht lediglich
aus einem pn-Übergang ohne intrinsischen Quantentrog. Die unterschiedlichen Farben werden durch unterschiedliche Wirtshalbleiter erzeugt, die eine geeignete Bandlückenenergie haben. Z. B. kann die Farbe Rot
durch AlGaAs erzeugt werden und Blau durch InGaN. Ultraviolettes Licht kann z. B. in AlGaN erzeugt
werden. Durch Kombination mit einem photolumineszierenden Farbstoff, auch als Leuchtstoff bezeichnet,
kann das ultraviolette Licht in weißes Licht in Lumineszenz konvertiert werden.
In einer Laserdiode reflektieren zusätzliche Spiegel das in einem Quantentrog erzeugte Licht zur Erzeugung einer kohärenten Strahlung. Überschreitet der Pumpstrom in der Laserdiode einen Schwellwert wird
Laserlicht emittiert.
14
KAPITEL 4. EFFEKTIVE MASSE UND MESOSKOPISCHE BESCHREIBUNG
Abbildung 4.6: (a) p-i-n Quantentrogheterostruktur zur Realisierung eines Halbleiterlasers (’quantum well
laser’). Beim Anlegen einer Spannung entsteht eine Inversion der Besetzung der Elektronenzustände im
Leitungs- und im Valenzband. (b) infache Leuchtdiode (LED, light-emitting diode) ohne Quantentrog.
Kapitel 5
Ladungsträgerdichte im Halbleiter,
thermisches Gleichgewicht
5.1
Der intrinsische Halbleiter
Abbildung 5.1: Schematisch: (a) Die Zustandsdichte und (b) die Fermiverteilung für einen intrinsischen
Halbleiter. Im Leitungsband sind nur die Zustände in der Nähe durch den Hochenergieausläufer der Fermiverteilung besetzt.
Intrinsischer Halbleiter = Halbleiter ohne Verunreinigungen. Im thermischen Gleichgewicht ist die Besetzung der Zustände durch die Fermiverteilung
1
f (E − µ) =
(5.1)
E−µ
exp( kB T ) + 1
gegeben. Für die Anzahl der Elektronen im Leitungsband pro Volumen (valley-Entartung NvL ) erhalten wir
somit
15
16KAPITEL 5. LADUNGSTRÄGERDICHTE IM HALBLEITER, THERMISCHES GLEICHGEWICHT
n
=
∞
Z
De (E) f (E − µ)dE
EL
=
NvL 2m∗e
2π2 ~2
! 32 Z
∞
1
1
(E − E L ) 2
EL
exp( E−µ
kB T ) + 1
dE
(s. Abb. 5.1).
Wir nähern für E − µ >> kB T , d. h. für den Hochenergieausläufer der Fermiverteilung
!
1
E−µ
f (E, µ) =
≈
exp
−
kB T
exp( E−µ ) + 1
(5.2)
(5.3)
kB T
(nichtentartetes Elektronengas,klassischer Grenzfall, Boltzmannstatistik). Dann ist
n
=
NvL 2m∗e
2π2 ~2
=
NvL
2π2
! 32
EL − µ
exp −
kB T
!Z
∞
!#
"
E − EL
dE
(E − E L ) exp −
kB T
EL
!3
!
Z ∞
2m∗e 2
1
3
EL − µ
2
exp −
duu 2 exp(−u) .
(kB T ) ·
kB T
~2
|0
{z
}
1
2
=Γ(3/2)=
Also gilt
!
EL − µ
n = NL exp −
,
kB T
√
π
2
(5.4)
mit der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbandes
NL = 2NvL
m∗e kB T
2π~2
! 32
.
(5.5)
Analog folgt für die Anzahl p der Löcher pro Volumen
p = NV exp −
!
µ − EV
,
kB T
(5.6)
mit der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbandes
NV =
2NvV
m∗h kB T
2π~2
! 32
,
(5.7)
!
Eg
,
kB T
(5.8)
mit der valley-Entartung im Valenzband NvV . Wir finden
n · p = NL NV exp −
unabhängig vom chemischen Potential und damit unabghängig von der Dotierung. Wegen Eg kB T ist der
Faktor exp[−(Eg /(kB T )] sehr klein. Im intrinsischen Fall gilt aus Gründen der Ladungsneutralität ni = pi
und daraus resultierend
!
p
Eg
ni = pi = NL NV exp −
.
(5.9)
2kB T
5.1. LADUNGSTRÄGERKONZENTRATIONEN IM INTRINSISCHEN HALBLEITER
17
Aus Gln. (20.28) und (20.29) folgt unabhängig von der Dotierung die Identität
np = n2i .
(5.10)
Die Gl. (20.29) bedeutet eine extrem niedrige Ladungsträgerdichte. Daher ist ein intrinsischer Halbleiter ein
sehr schlechter Leiter. In einem dotierten Halbleiter gilt immer noch (5.10), aber das chemische Potenzial
verändert sich sodass z. B. bei n-Dotierung n p. Dann kann (20.28) bei einem schon beträchtlichen Wert
von n erfüllt werden.
Wegen der Ladungsneutralität n = p gilt im intrinsischen Halbleiter mit µ ≡ µi und den Gln. (9.13) und
(5.6)
!
!
µi − E V
E L − µi
NL exp −
= NV exp −
,
(5.11)
kB T
kB T
sodass
!
!
2µi
NV
E L + EV
exp
=
.
exp
kB T
NL
kB T
(5.12)
!
E L + EV kB T
NV
+
ln
.
2
2
NL
(5.13)
Es folgt
µi (T ) =
Bei T = 0 befindet sich das chemische Potenzial daher in der Mitte der Bandlücke.
18KAPITEL 5. LADUNGSTRÄGERDICHTE IM HALBLEITER, THERMISCHES GLEICHGEWICHT
5.2
5.2.1
Ladungsträgerkonzentrationen im dotierten Halbleiter
Dotierung
Dotierung ist das Einbringen von elektrisch aktiven Verunreinigungen in den intrinsischen Halbleiter. Dadurch wird die Leitfähigkeit schlagartig verbessert. Es gibt zwei Dotierungstypen:
Donatoren neigen dazu, ein Elektron in das Leitungsband abzugeben, wobei ein positiv geladener Ionenrumpf zurückbleibt. Die Aktivierungsenergie für diesen Prozess ist von der Größenordnung der thermischen
Energie bei Zimmertemperatur, KB T ∼ 25meV bei T = 273K. Sie ist daher bedeutend kleiner als die
Breite der Energielücke Eg ∼ 1eV. Beispiele sind substitutionelle Gruppen fünfwertiger Atome P, As und
S b in Silizium. Die Dichte der Donatoren wird mit ND bezeichnet.
Akzeptoren neigen dazu, ein Elektron vom Valenzband des HL aufzunehmen. Es entsteht ein negativ geladenes Ion und ein positives Lochgas. Aktivierungsenergien sind wie bei Donatoren von der Größenordnung der Zimmertemperatur. Akzeptoren sind typischerweise Mitglieder der Gruppe III im Periodensystem:
B, Al, Ga, In. Die Dichte der Akzeptoren wird mit NA bezeichnet:
ND NA : n-dotierter HL,
NA ND : p-dotierter HL.
Beispiel: Arsen in Germanium
Abbildung 5.2: Schematische Darstellung (a) des zusätzlichen durch einen Donatoren eingebrachte atomaren Niveaus und (b) der Zustandsdichte bei Einbringung eines Donatorniveaus bei E D und eines Akzeptorniveaus bei E A . Bei ausschließlicher n-Dotierung (Bsp: As-dotiertes Ge in (a)): Bei T = 0 sind alle
zusätzlichen Störstellenniveaus bei E D vollständig besetzt. Bei endlichen Temperaturen wird ein Teil dieser
Elektronen in das Leitungsband angeregt.
Bei endlichen Temperaturen gibt ein Teil der As-Atome ihr extra Elektron an das Leitungsband ab.
5.2. LADUNGSTRÄGERKONZENTRATIONEN IM DOTIERTEN HALBLEITER
19
Die Einbringung von Verunreinigung führt zu zusätzlichen Elektronenzuständen in der Bandlücke, die auf
deren aktive atomare Orbitale zurückgehen. Die Zustandsdichte ändert sich daher, wie in Abb. 5.2 (b) dargestellt, durch zusätzliche Peaks bei den Energien E D der atomaren Donatororbitale mit Elektronenbesetzung
bzw. E A der atomaren Akzeptororbitale ohne Elektronenbesetzung. Diese Störstellenniveaus werden als untereinander nicht wechselwirkend und auch nicht wechselwirkend mit den restlichen Elektronenzuständen
z. B. in Leitungs- und Valenzband angesehen.
20KAPITEL 5. LADUNGSTRÄGERDICHTE IM HALBLEITER, THERMISCHES GLEICHGEWICHT
5.2.2
Besetzung der Störstellenniveaus
Abbildung 5.3: Schematische Darstellung a) Positives Donatorion nach Elektronenabgabe in das Leitungsband. Die Energie dieses Zustandes wird gleich Null gesetzt. Es existieren nur Elektronenpaare, der
Spin kann nicht umgepolt werden. b) Neutraler Donator. Das einfach besetzte Donatorniveau (gestrichelt,
Magenta) mit Energie E D kann mit Spin up und Spin down besetzt werden
Annahme: Es liegt ein nicht mit den restlichen Elektronenzuständen wechselwirkendes Subsystem von N
voneinander unabhängigen Störstellen i = 1 . . . N vor. Diese Störstellenniveaus befinden sich im Kontakt
mit einem Teilchenreservoir mit dem chemischen Potenzial µ. Wie in Abb. 3 dargestellt, kann der einzelne
Donator drei Zustände k = 1, 2, 3 annehmen, wobei nk die Anzahl der Elektronen in diesem Zustand sei.
Diese Störstellenzustände sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
k=1
k=2
k=3
nk = n1 = 0
nk = n2 = 1
nk = n3 = 1
Donatorniveau 0-fach besetzt
Donatorniveau 1-fach besetzt ↑
Donatorniveau 1-fach besetzt ↓
Ek=1 ≡ 0 Definition Energienull
Ek=2 = E D
Ek=3 = E D
Tabelle 5.1: Die drei relevanten Zustände eines einzelnen Donatoratoms.
Eine doppelte Elektronenbesetzung des Donators würde zu einer hohen Abstoßungsenergie führen. Die
Mikrozustände r des Ensembles von N unabhängigen Donatoratoms sind N-Tupel r = {k1 , k2 , . . . , kN } mit
PN
ki ∈ {1, 2, 3}. Die Anzahl der Teilchen im Mikrozustand lässt sich dann schreiben als Nr = i=1
nki und die
PN
PN
Energie als Er = i=1 nki Eki = i=1 nki E D und daher
Er − Nr µ =
N
X
nki (E D − µ).
(5.14)
i=1
In der Tabelle 5.2 ist ein Beispiel für einen Mikrozustand in einem Spielzeugsystem von N = 4 Störstellenniveaus angegeben:
Im großkanonischen Ensemble gilt für die Wahrscheinlichkeit eines solchen Mikrozustandes
Pr =
e−β(Er −Nr µ)
,
Y
(5.15)
5.2. LADUNGSTRÄGERKONZENTRATIONEN IM DOTIERTEN HALBLEITER
Größe
ki
nki
Eki
i=1
1
0
0
i=2
2
1
ED
i=3
1
0
0
21
i=4
3
1
ED
Tabelle 5.2: Beispiel: Mikrozustand r von N = 4 Störstellenniveaus: i = 1 ionisierter Donator, i = 2
neutraler Donator Spin up, i = 3 ionisierter Donator, i = 4 neutraler Donator Spin down. Es gilt Nr = 2 und
Er = 2E D .
mit β = 1/(kB T ). Für die großkanonische Zustandssumme schreiben wir
Y
=
X
3
X
k1 ,k2 ,...,kN−1 =1
=
e−β
PN
i=1
nki (E D −µ)
3
X
3
X
=
e−β
PN
i=1
nki (E D −µ)
k1 ,k2 ,...,kN =1
r={k1 ,k2 ,...,kN }
r
=
X
e−β(Er −Nr µ) =
 3

 X

PN−1
−β i=1
nki (E D −µ) 
−βn
(E
−µ)


k
D

e
e N

kN =1
e−β
PN−1
i=1
nki (E D −µ)
k1 ,k2 ,...,kN−1 =1
(1 + 2e−β(E D −µ) = yN
|
{z
}
y
mit
y = 1 + 2e−β(E D −µ) .
(5.16)
Wie für ein nichtwechselwirkendes System zu erwarten, läßt sich die großkanonische Zustandssumme somit
faktorisieren in ein Produkt von Einteilchenzustandssummen. Die Störstellen können einzeln behandelt
werden. Für einen Mikrozustand r ergibt sich die Besetzungswahrscheinlichkeit
PN
QN −βnk (E D −µ) Y
N
i
e−β(Er −Nr µ) e−β i=1 nki (E D −µ)
i=1 e
=
=
=
pki
(5.17)
Pr =
Y
yN
yN
i=1
Die Wahrscheinlichkeit des Mikrozustands läßt sich also also interpretieren durch ein Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten
e−βnk (ED −µ)
e−βnk (E D −µ)
pk = P −βn (E −µ) =
(5.18)
k
D
y
ke
eine betrachtete Störstelle im Niveau k zu finden. Da in der Formel für pk nur die Energiedifferenz E D − µ
vorkommt, ist das Ergebnis von der speziellen Wahl des Energienullpunkts in Tabelle 5.1 unabhängig. Die
Wahrscheinlichkeit einer einfachen Besetzung eines Donatorzustandes mit entweder Spin up p↑ (k = 2)
oder Spin down p↓ (k = 3) ist dann
pD = p2 + p3 =
2e−β(E D −µ)
1
=
.
1 + 2e−β(E D −µ) 1 + 12 eβ(E D −µ)
(5.19)
Abgesehen vom Faktor 1/2 hat dieser Ausdruck die Form einer Fermiverteilung. Die Wahrscheinlichkeit
eines ionisierten Donors ist
1
pD+ = p1 =
= 1 − pD .
(5.20)
1 + 2e−β(E D −µ)
Die Annahme von ND unabhängigen Donatoren führt auf die Anzahl der ionisierten Akzeptoren
ND+ =
ND
.
1 + 2e−β(E D −µ)
(5.21)
22KAPITEL 5. LADUNGSTRÄGERDICHTE IM HALBLEITER, THERMISCHES GLEICHGEWICHT
Wie in Abb. 5.2.2 gezeigt, kann der einzelne Akzeptor ebenfalls drei Zustände k = 1, 2, 3 annehmen:
Abbildung 5.4: Schematische Darstellung a) Neutraler Akzeptor mit unbesetztem zweiten Akzeptorniveau
(gestrichelt, magenta). Da das ungepaarte Elektron Spin up oder Spin down haben kann, ist der unbesetzte
Zustand zweifach entartet. b) Das zweite Akzeptorniveau mit der Energie E A ist besetzt. Es entsteht ein
negativ geladenes Akzeptorion.
Es gilt für diese Akzeptorniveaus:
k=1
k = 2:
k = 3:
Zweites Akzeptorniveau 0-fach besetzt, Spin up für ungepaartes Elektron
Zweites Akzeptorniveau 0-fach besetzt, Spin down für ungepaartes Elektron
Zweites Akzeptorniveau einfach besetzt, Spin ist Null
nk=1 = 0
n2 = 0
n3 = 1
Ek=1 ≡ 0
E2 = 0
E3 = E A
Tabelle 5.3: Relevante Zustände eines Akzeptors.
Die Einteilchen-Zustandssumme y ist in diesem Fall an Stelle von Gl. (5.16)
y=
3
X
e−βnk (E A −µ) = 2 + e−β(E A −µ) .
(5.22)
k=1
Die Wahrscheinlichkeit für ein negativ geladenes Akzeptorion ist daher
e−β(E A −µ)
1
=
,
(5.23)
2 + e−β(E A −µ) 1 + 2eβ(E A −µ)
d. h. wieder eine ’missglückte’ Fermiverteilung. Die Anzahl der negativ geladenen Akzeptoren ist somit
p A− = p 3 =
NA− = NA
1
.
1 + 2eβ(E A −µ)
(5.24)
Wir setzen an für die Gesamtladungsdichte
q[p + ND+ − (n + NA− )]
ND
NA
= q NV e−β(µ−EV ) +
− NL eβ(µ−E L ) −
,
−β(E
−µ)
β(E
−µ)
D
1 + 2e
1 + 2e A
mit der Elementarladung q.
Auf Grund der Ladungsneutralität im isolierten Volumenhalbleiter gilt
ρ =
ρ = 0.
Das chemische Potenzial µ wird so gewählt, dass diese Bedingung erfüllt ist.
(5.25)
(5.26)
5.3. ANWENDUNG: DER N-DOTIERTE HL
5.3
23
Anwendung: Der n-dotierte HL
Wir idealisieren NA = 0, sodass auch NA− = 0
n = ND+ + p
⇒
(5.27)
Weiterhin machen wir die im Nachhinein verifizierbare, realistische Annahme n ∼ ND+ ni > p (Die
Elektronen in LB stammen von Donatoren, µ > µi ). Somit kann auch p vernachlässigt werden und (5.27)
wird zu n = ND+ . In Übung ?? wird gezeigt, dass aus dieser Bedingung das chemische Potenzial berechnet
werden kann. Hier gehen wir einen geringfügig anderen Weg und schreiben mit (5.21)
ND
.
1 + 2e−β(E D −µ)
n = ND+ =
(5.28)
Nach Gl. (9.13) kann das chemische Potenzial eliminiert werden,
n
n = NL exp β(µ − E L ) ⇒ exp (βµ) =
exp (βE L ) .
NL
(5.29)
Einsetzen in (5.28) führt auf
n = ND
1
1+
2n βEd
NL e
,
(5.30)
mit Ed = E L − E D . Es resultiert eine quadratische Gleichung in n
!
Ed
2
exp
n2 + n = ND .
NL
kB T
(5.31)
Diese wird in den Übungen exakt gelöst. Hier untersuchen wir nur die folgenden wichtigen Grenzfälle, die
in Abb. 5.5 illustriert sind:
1. Störstellenreserve, tiefe Temperaturen kB T Ed (braune Linien in Abb. 5.5):
Es dominiert Gl. (5.31) der Term mit n2 , sodass
r
n=
!
ND NL
Ed
exp −
.
2
2kB T
(5.32)
Da Ed kB T ist dieser Ausdruck exponentiell klein und es gibt noch viele nichtionisierte Donatoren.
Daher wird dieses Regime Störstellenreserve genannt. Es gilt
ln (n) = −
ND
Ed 1
+ ln
+A
2kB T
2
(5.33)
Dies erklärt den linearen Abfall von ln (n) mit 1/T in Abb. 5.5 (b) sowie den Anstieg von ln (n) mit
ln ND /2 bei konstanter Temperatur.
Es existiert eine strukturelle Ähnlichkeit zum Ausdruck
ni = pi =
p
NV NL exp −
Eg
2kB T
!
(5.34)
Ein Vergleich zwischen Gl. (5.32) und (5.34) zeigt, dass auf Grund Ed Eg durch Dotierung die
Konzentration der freien Ladungsträger und daher die Leitfähigkeit exponentiell erhöht wird. dies
wird ebenfalls in Abb. 5.5 (b) gefunden.
24KAPITEL 5. LADUNGSTRÄGERDICHTE IM HALBLEITER, THERMISCHES GLEICHGEWICHT
2. Erschöpfung, Ed kB T Eg :
Wir schreiben Gl. (5.31) um,
2
ND 2kEdT 2
e B n̂ + n̂ = 1
NL
(5.35)
mit n̂ = n/ND . Es folgt bei mäßiger Dotierung ND NL
n ∼ ND
(5.36)
→ Fast alle Donatoren sind ionisiert (Erschöpfungszustand).
Für Si mit 3·1014 cm−3 Phosphor Donatoren: bei 450K−500K alle Donatoren ionisieren (Erschöpfungszustand).
3. Intrinsisches Regime, kB T Eg :
Thermische Anregungen zwischen Valenz- und Leitungsband, bei sehr hohen Temperaturen Elektronen von Donatoren vernachlässigbar. Dann geht (5.27) nicht in (5.28) über sondern in n = p, was
einem intrinsischen HL entspricht, sodass nach (??)
!
p
Eg
Eg 1
n ∼ ni = NV NL exp −
→ ln (n) = −
+ const
(5.37)
2kB T
2kB T
Es folgt ein Abfallen von ln (n) mit 1/(kB T ) mit einer Steigung Eg /(2kB ), die deutlich größer ist als
diejenige in der Störstellenreserve Ed /(2kB ).
Im später behandelten Drift-Diffusionsmodell werden wir zeigen, dass die Leitfähigkeit im homogenen
Halbleiter und im schwachen äußeren elektrischen Feld gegeben ist durch
σ=
1
= enµ.
ρ
(5.38)
Hier ist ρ der in Abb. 1.3 definierte spezifische Widerstand und µ ist die Beweglichkeit der Elektronen. In
Abb. 5.5 ist verdeutlicht, dass die Ausdrücke (5.32), (10.17) und (5.37) mit Gl. (5.38) eine unmittelbare
Erklärung für die Experimente zum spezifischen Widerstand in Abb. 1.1 liefern.
5.3. ANWENDUNG: DER N-DOTIERTE HL
25
Abbildung 5.5: (a) Schematische Darstellung der Ladungsträgerkonzentration in Gln. (5.32) und (??). (b)
In Einleitung beschriebene Experimente zum spezifischen Widerstand von Ge nach H. J. Fritzsche, J. Phys.
Solids 6, 69 (1958).
Kapitel 6
Der pn-Übergang im Gleichgewicht:
Potenziale und Bandstruktur
6.1
Allgemeine Formulierung
Ein pn-Übergang besteht aus einer p-dotierten und einer n-dotierten Halbleiterschicht, die aneinander grenzen. Beide Dotierungen sind etwa gleich stark. Es folgt eine Beschreibung im Detail.
6.1.1
Die isolierten Halbleiter
Wir nehmen an, dass der Wirtshalbleiter auf beiden Seiten der Gleiche ist. Weiterhin setzen wir für die
isolierten Halbleiter die folgenden Energie-Diagramme voraus:
Abbildung 6.1: Energiediagramm der isolierten Halbleiter.
Die Lage der Bandkanten EV und E L sei unabhängig von der Dotierung. Sie wird vom Vakuumniveau
aus gemessen. Das Vakuumniveau ist die Energie eines ruhenden Elektrons im feldfreien Raum, d. h. weit
außerhalb des Festkörpers. Schaltungstechnisch gesehen kann das Vakuumniveau mit der Erde identifiziert werden. Der Energieunterschied zwischen Vakuumniveau und Leitungsbandkante ist die Elektronen26
6.1. ALLGEMEINE FORMULIERUNG
27
Affinität des Halbleiters. Das chemische Potenzial im n-dotierten Teil µn ist höher als dasjenige im pdotierten Teil µ p . Es lässt sich daher ein sogenanntes ’built-in’ Potenzial eVbi mit
eVbi = µn − µ p > 0
definieren.
(6.1)
28KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR
6.1.2
Der Kontakt
Bei Kontakt wandern zum Ausgleich der chemischen Potenziale Elektronen vom n-Bereich in den pBereich. Dort rekombinieren sie mit den vorhandenen Löchern. Es entsteht eine Raumladungsschicht ρ(x),
die im Wesentlichen auf der n-Seite aus zurückgebliebenen positiven Donatorionen und auf der p-Seite aus
negativen Akzeptorionen besteht. Die Raumladungszone wird auch Verarmungszone genannt, denn auf der
n-Seite fehlen durch den Elektronenwanderungsprozess die Elektronen und auf der p-Seite die Löcher als
freie Ladungsträger.
Abbildung 6.2: Verarmungsschicht in einem pn-Übergang.
Die Raumladung erzeugt ein Coulombpotenzial V(x), das durch die Poisson-Gleichung beschrieben wird
1
∂2 V(x)
= − ρ(x).
0 ∂x2
(6.2)
Die Raumladungsschicht befindet sich zwischen −x p auf der p-Seite und xn auf der n-Seite. Für x ≤ xn
und x ≥ x p verschwinde die Raumladungsdichte und nach Gl. (6.2) ist das elektrostatische Potenzial dort
krümmungsfrei und damit konstant. Wir setzen voraus, dass die p-Seite geerdet ist und wählen daher die
Randbedingung
V(x ≤ −x p ) = 0 = Ψ(x ≤ −x p ),
(6.3)
d. h. der p-dotierte Halbleiter bleibt in seinem Inneren wegen seiner Erdung bei Kontakt unverändert. Die
Energie pro Elektron im elektrostatischen Potenzial ist Ψ = −eV(x), mit der Elementarladung e, sodass mit
Gl. (6.2)
e
∂2 Ψ(x)
=
ρ(x).
(6.4)
0 ∂x2
6.1. ALLGEMEINE FORMULIERUNG
29
Wir werden zeigen, dass im Gleichgewicht eine zweite Randbedingung
Ψ(x ≥ xn ) = −eVbi ,
(6.5)
gelten muss d. h. die Absenkung der elektrostatischen Energie auf der n-Seite gleicht das dortige höhere
chemische Potenzial im kontaktfreien Fall (s. Gl. (6.1)) aus. Die beiden Randbedingungen Ψ(x ≤ xn ) = 0
und Ψ(x ≥ x p ) = −eVbi sowie die Poissongleichung (6.4) legen bei gegebener Raumladung Ψ eindeutig
fest.
30KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR
Abbildung 6.3: Einteilung der Verarmungszone in Systemwürfel.
6.1.3
Lokale Gleichgewichte
Man stellt sich den Festkörper aus lauter kleinen, lokal homogenen Würfeln (’Systemwürfel’) zusammengesetzt vor. In jedem dieser Würfel wird die potenzielle Energie des Elektrons −eV(x) als konstant vorausgesetzt, sodass sie als additive Konstante zu sämtlichen elektronischen Eigenzustandsenergien hinzukommt.
Für die Bandkanten gilt insbesondere
E L/V (x) = E L/V − eV(x) = E L/V + Ψ(x).
(6.6)
Wie aus obiger Abbildung hervorgeht, entsteht außerhalb der Verarmungszone im p-Bereich Ψ(x < −x p ) =
0 ein gegenüber den Anfangsbedingungen unveränderter p-dotierter (Volumen-)Halbleiter. Im n-Bereich
Ψ(x > xn ) = −eVbi entsteht ein um den Betrag eVbi abgesenkter aber ansonsten unveränderter n-Halbleiter.
Wir definieren das elektrochemische Potenzial
(
µ p für x ≤ −x p
φ = µ(x) + Ψ(x),
µ(x) =
(6.7)
µn für x ≥ xn ,
wobei µ(x) dass lokale chemische Potenzial ohne elektrostatisches Potenzial ist. Das elektrochemische Potenzial ist die Energie, mit der man ein Teilchen unter Beibehaltung des Gleichgewichts in Gegenwart des
elektrostatischen Feldes entfernen oder hinzufügen kann. Es besteht aus dem lokalen chemischen Potenzial
µ ohne elektrostatische Energie plus der elektrostatischen Energie. Sind zwei Systeme im Gleichgewicht,
muss φ identisch sein, d. h. es muss in jedem Systemwürfel denselben Wert haben. Im Inneren des pHalbleiters erhält man mit Ψ(x ≤ x p ) = 0
φ(x < −x p ) = µ p .
(6.8)
6.1. ALLGEMEINE FORMULIERUNG
31
Abbildung 6.4: Skizze zur Besetzung der Donator- und Akzeptorniveaus
Im Inneren des n-Halbleiters ist Ψ(x ≥ xn ) = −eVbi und (6.1) daher
φ(x > xn ) = µn − eVbi = (µ p + eVbi ) − eVbi = µ p .
(6.9)
Das elektrochemische Potenzial ist also im Inneren der p- und der n-Seite tatsächliech identisch. Den Wert
für φ = µ p fordern wir für alle Systemwürfel (s. Abb. (6.3)). In Gegenwart eines elektrostatischen Potenzials
ist in der Fermifunktion die Ersetzung µ → φ = µ p vorzunehmen,
f (E, µ) → f (E, φ) =
exp
1
E−φ kB T
+1
.
(6.10)
Weiterhin liegt in jedem Systemwürfel bei gegebener Energie eine andere Zustandsdichte vor, z. B. für das
Leitungsband
√
2(m∗ )3/2
D(E) = Nv
(E − E L )1/2 Θ(E − E L )
π2 ~3
√
2(m∗ )3/2
[E − E L (x)]1/2 Θ[E − E L (x)].
(6.11)
→ D(E, x) = Nv
π2 ~3
Unter Annahme der Boltzmannverteilung folgen wieder die freien Ladungsträgerdichten in den Systemwürfeln
aus
!
Z ∞
Z ∞
φ−E
n(x) =
dED(E, x) f (E, φ) ∼
dED(E, x) exp
kB T
E L (x)
E L (x)
"
#
"
#
E L (x) − φ
E L + Ψ(x) − φ
= NL exp −
= NL exp −
.
(6.12)
kB T
kB T
Der letzte Schritt wird in den Übungen gezeigt. Analog gilt
"
#
"
#
φ − EV (x)
φ − EV − Ψ(x)
p(x) = NV exp −
= NV exp −
.
kB T
kB T
(6.13)
Für die Störstellenniveaus ergibt sich bei ortsabhängiger Dotierungsdichte ND (x) = Θ(x)ND der Donatoren
ND+ (x) = ND (x)
1
1+
2e−β(E D (x)−φ)
= Θ(x)ND
1
1+
2e−β(E D +Ψ(x)−φ)
(6.14)
32KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR
und für die Akzeptoren
NA− (x) = NA Θ(−x)
1
.
1+
Die Gleichungen (17.3), (6.13), (6.14) und (6.15) bilden mit φ = µ p , der Poissongleichung
2eβ(E A +Ψ(x)−φ)
e
∂2 Ψ(x)
e2
=
ρ(x)
=
[p(x) + ND+ (x) − n(x) − NA− (x)]
0 0 ∂x2
(6.15)
(6.16)
und den Randbedingungen
Ψ(x ≤ −x p ) = 0
und
Ψ(x ≥ xn ) = −eVbi
(6.17)
ein eindeutiges, selbstkonsistent zu lösendes Problem zur Bestimmung von Ψ(x) und damit von allen anderen Größen.
6.2. NÄHERUNG DES ABRUPTEN PN-ÜBERGANGS
33
Abbildung 6.5: Abrupter pn-Übergang. Die Ladungsdichte ist ähnlich wie in Abb. 17.1, jedoch als stückweise konstant idealisiert.
6.2
6.2.1
Näherung des abrupten pn-Übergangs
Berechnung der Verarmungsschicht und Sperrspannung
Um analytische Näherungen für die Lösung des genannten Selbstkonsistenzproblems zu ermöglichen,
führen wir die Idealisierung des abrupten Überganges ein: Der Verarmungszone = Raumladungsbereich
dehne sich von −x p bis +xn aus. Man nimmt an, dass im n-Teil der Verarmungszone sämtliche Donatoren
ionisiert sind, ND = ND+ = n und dass im p-Teil sämtliche Akzeptoren, NA = NA− = p. Bei Kontakt fließen
aus dem n−dotierten Halbleiter im Bereich 0 < x ≤ xn sämtliche Leitungselektronen ab und hinterlassen
vollständig ionisierte positive Donatoren (im n-dotierten Halbleiter wird p vernachlässigt). Im p-Material
rekombinieren sie im Gebiet −x p < x ≤ 0 mit sämtlichen Löchern und hinterlassen als Raumladung die
negativen Akzeptoren. Es ergibt sich
ρ(0 ≤ x ≤ xn ) = eND
(6.18)
sowie
ρ(−x p ≤ x ≤ 0) = −eNA
(6.19)
(siehe Abbildung). Im p-Gebiet machen wir für die Lösung der Poisson-Gleichung den Ansatz
Ψ(x) = −
e2 NA
(x + x p )2 ,
0 2
−x p < x < 0,
(6.20)
und Ψ(x ≤ −x p ) = 0. Dieser stetig differenzierbare Ansatz erfüllt die Poissongleichung
∂2 Ψ(x)
e
=
(−eNA )
2
0 ∂x
(6.21)
mit der Randbedingung Ψ(x < −x p ) = 0 (s. Gl. (6.3)).
Im n-Gebiet
Ψ(x) =
e2 ND
(x − xn )2 − eVbi ,
0 2
0 < x < xn .
(6.22)
34KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR
erfüllt die Poissongleichung und die Randbedingung (6.17).
Aus der Stetigkeit von Ψ und dΨ
dx bei x = 0 folgen
e2
e2
NA x2p +
ND xn2 = 2eVbi
0
0
(6.23)
N A · x p = N D · xn .
(6.24)
e2 2
NA
x p NA (1 +
) = 2eVbi .
0
ND
(6.25)
und
Sodann
Damit können wir die Breite des pn-Übergangs berechnen,
s
r
0 2Vbi
ND
xp =
e
NA ND + NA2
und
r
xn =
0 2Vbi
e
s
NA
.
NA ND + ND2
(6.26)
(6.27)
Für den Betrag der Gesamtflächenladungsdichte Q auf jeder Hälfte des pn-Übergangs ergibt sich
Q = eNA x p = eND xn .
(6.28)
6.3. SPERRSCHICHTEN IM BELASTETEN (BESPANNTEN) PN-ÜBERGANG
6.3
35
Sperrschichten im belasteten (bespannten) pn-Übergang
Legt man eine Spannung an den pn-Übergang, vergrößert sich die Verarmungszone in Sperrpolung, in
Durchlasspolung verkleinert sich die Verarmungszone (s. Abbn. 6.6 (b) und (c)) . Darüber hinaus fließt ein
Strom, der in Durchlassrichtung exponentiell mit der Spannung anwächst. In diesem Kapitel wird zunächst
eine vereinfachte Theorie des belasteten pn-Überganges im Rahmen des Gleichgewichtsformalismusses
dargelegt. In dieser Theorie kann die Veränderung der Verarmungszonengröße beschrieben werden, nicht
jedoch der auftretende Strom. Hierzu ist eine später erfolgende verbesserte Diskussion im Rahmen der
Nichtgleichgewichtstheorie notwendig.
Wir betrachten zunächst einen pn-Übergang mit einer in Durchlassrichtung angelegten Spannung (s. Abb.
6.6). Der Pluspol der Spannungsquelle ist mit der geerdeten p-dotierten Seite verbunden und der Minuspol
der Batterie mit der n-dotierten Seite. Wie in Abb. 6.6 (c) dargestellt, ist dann die Spannungsdifferenz V > 0
in Pfeilrichtung, d. h. von n-Seite zu p-Seite positiv. Infolgedessen wird die Energie des Elektrons auf der
n-Seite um die Energie U = eV > 0 erhöht. Es folgen die veränderten Randbedingungen
Ψ(x ≤ −x p ) = 0
und
Ψ(x ≥ xn ) = −eVbi + U ≡ −e(Vbi − V).
(6.29)
Es ist unmittelbar ersichtlich, dass durch eine angelegte Spannung in Durchlassrichtung die Potenzialstufe
verkleinert wird. Auf Grund der Verkleinerung der Potenzialstufe durch die angelegte Spannung in Durch-
Abbildung 6.6: a) Der pn-Übergang ohne Spannung, b) der pn-Übergang bei Durchlasspolung, c) Schaltkreis mit angelegter Spannung V, die in Pfeilrichtung positiv ist. d) Im Schaltsymbol der Diode weist
der Pfeil immer in Richtung der durchgelassenen technischen Stromrichtung, nämlich von der p-Seite zur
n-Seite (de facto fließen die Elektronen natürlich anders herum). Achtung! Bei Vorwärtspolung muss unbedingt zur Strombegrenzung ein Widerstand in Reihe liegen. Ansonsten wird die Diode zerstört.
lassrichtung schrumpft die Breite der Sperrschicht: Setzen wir unserem Ansatz (6.22) enes abrupten Über-
36KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR
gangs für das Potenzial auf der n-Seite Vbi → Vbi − V ergibt sich
s
r
0 2(Vbi − V)
ND
x p (V) =
e
NA ND + NA2
und
r
xn (V) =
0 2(Vbi − V)
e
s
NA
.
NA ND + ND2
(6.30)
(6.31)
Analog führt die Sperrpolung V → −V zu einer wachsenden Breite der Sperrschicht.
6.4
Kapazitätsdioden
Die Kapazitätsdiode (auch Varactor genannt) ist ein in Sperrichtung betriebener Übergang. Es liegt eine
strukturelle Ähnlichkeit zu einem Plattenkondensator vor: Zum Einen ist wegen der Sperrpolung der Strom
durch das Bauelement vernachlässigbar. Zum Anderen existiert wie im Plattenkondensator eine Aufteilung
der Raumladungszone in eine Hälfte mit positiver Flächenladungsdichte (auf der n-dotierten Seite) und eine
Hälfte mit negativer Flächenladungsdichte (auf der p-dotierten Seite). Der Betrag Q einer solchen ’Flächenladungsdichte’ lässt sich mit Gln. (6.28) und (6.31) berechnen. Da die Breite der Verarmungsschicht und
damit die effektive Plattenladung mit der angelegten Spannung nichtlinear wächst, ergibt sich eine spannungsabhägige differenzielle Kapazität der Form
C=
dQ
= C(V).
dV
(6.32)
Es steht somit eine mit V elektrisch steuerbare differenzielle Kapazität zur Verfügung. Die Kapazitätsdiode
wird zur Abstimmung von Schwingkreisen in Filtern und Oszillatorschaltungen verwendet (z. B. automatischen Feinabstimmung (AFC) in Radios, Fernsehempfängern oder FM-Sendern) und ersetzt dort Drehkondensatoren oder veränderbare Induktivitäten (Variometer). Durch geeignete Dotierung können Kapazitäten
im Bereich von 3 pF bis 300 pF erreicht werden. In unserem Modell eines abrupten Übergangs erhalten wir
Abbildung 6.7: Kapazitätsdioden-Kennlinie (6.34), die Kapazität skaliert mit der Diodenfläche.
aus Gln. (6.28) und (6.31)
r
Q(V) = eND
0 2(Vbi + V)
e
s
NA
.
NA ND + ND2
(6.33)
6.5. ESAKI-DIODE (TUNNELDIODE)
37
Hiermit ergibt sich die Sperrschichtkapazität
r
r
C(0)
0
NA ND
C=e
(Vbi + V)−1/2 = √
e
NA + ND
1 + V/Vbi
mit
r
C(0) =
0
e2
r
NA ND −1/2
V
.
NA + ND bi
(6.34)
(6.35)
Dieser Ausdruck ist in qualitativer Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen.
6.5
Esaki-Diode (Tunneldiode)
Bei extrem starker Dotierung wird die Sperrschicht nach Gln (6.30) und (6.31) immer enger. Zudem entartet das Elektronengas auf beiden Seiten: Die Fermi-Energie gerät über die Bandkante und das Teilchengas
nimmt einen metallischen Charakter an. Wegen der Nähe der Verunreinigungen zueinander, wird der Überlapp der Störstellenwellenfunktionen immmer größer, die Beweglichkeit und damit die Abschirmung der
Störstellenpotenziale wächst und es findet ab einem Dotierungsgrad ein Metall-Isolator-Übergang statt. Die
Fermi-Energien berechnen sich dann wir in einem freien Gas mit der gegebenen Bandmasse. Wegen der
guten Abschirmung der Störstellenpotentiale verschwindet die Streuung und der Elektronentransport tritt
in das ballistische Regime ein. Hier nehmen die Elektronen im ganzen Bauelement kohärente Zustände ein.
Im Gegensatz dazu, im Isolatorregime, wird die Phase der Wellenfunktionen durch inelastische Stöße auf
sehr kurzen Längen gebrochen. Der Transport hat daher einen diffusiven Anteil und eine Driftkomponente.
Dieser drift-diffusive Transport unterscheidet sich physikalisch erheblich vom ballistischen Transport.
Als eine solche Struktur hat L.Esaki 1957 die Esakidiode (Tunneldiode) erfunden. Für die Entdeckung des
in diesen Bauelementen vorkommenden quantenmechanischen Tunneleffekts, der durch die niedrige Breite
der Sperrschicht von 10nm ermöglicht wird, bekam Esaki 1973 Nobelpreis. Die Esaki-Diode wird damit als
erstes Quantenbauelement angesehen. Wichtig ist der in der Esakidiode auftretende negative differenzielle
Widerstand. Tunneldioden werden gewöhlich aus Germanium hergestellt, können aber auch aus Galliumarsenid oder Silizium bestehen. Sie finden Verwendung als Oszillatoren, Verstärker, Frequenzwandler und
Detektoren.
38KAPITEL 6. DER PN-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT: POTENZIALE UND BANDSTRUKTUR
Abbildung 6.8: Schmaler pn-Übergang zwischen entartetem Elektronen- und Lochgas.
6.5. ESAKI-DIODE (TUNNELDIODE)
39
Abbildung 6.9: Kennlinienbereiche der Esakidiode: Erklärung des negativen differenziellen Widerstands.
Kapitel 7
Die MOS-Struktur und der
MOS-Kondensator
7.1
Aufbau
Abbildung 7.1: (a) Ein MOS-Kondensator mit positiver Spannung. (b) Planarer n-Kanal Feldeffekttransistor
mit high-k-Dielektrikum als Isolator, s. R. Suri: http://www4.ncsu.edu/ rsuri/
Die MOS-Struktur (MOS = metal-oxide-semiconductor) wurde zuerst im Jahre 1959 von Moll, Pfann und
Garret vorgeschlagen: Auf einem Halbleitersubstrat, für gewöhnlich Silizium, wird ein stark isolierendes
Oxid, für gewöhnlich Siliziumdioxid, aufgebracht und darauf ein metallisches Top Gate (s. Abb. 7.1 (a)).
Das Halbleitersubstrat ist dotiert, wobei in diesem Kapitel der Fall der p-Dotierung behandelt wird. Der
Fall der n-Dotierung verläuft analog. Der MOS-Kondensator entsteht aus der MOS-Struktur durch Anlegen
einer Spannung U zwischen dem Top Gate und einem zusätzlich auf der Substratrückseite angebrachten
Back Gate. Ist diese Gatespannung positiv und ausreichend groß, bildet sich an der Trennfläche zwischen
40
7.1. AUFBAU
41
dem isolierenden Oxid und dem Halbleiter eine Schicht von sogenannten Inversionselektronen. Diese Inversionselektronenschicht ist der Leitungskanal des in Abb. 7.1 (b) Feldeffekttransistors. Der Leitungskanal
trägt den Drainstrom zwischen Source- und Drainkontakt, welcher durch die Gatespannung gesteuert werden kann.
In Feldeffekttransistoren der neuesten Generation wird an Stelle von S iO2 das sogenannte high−k dielectric
H f O2 mit einer besonders hohen Dielektrizitätskonstanten verwendet. Wie an Hand von Gln. (7.29) und
(7.30) diskutiert, ermöglichen high − k dielectrics die Verwendung von breiteren Oxidschichten bei sonst
vergleichbaren elektrostatischen Eigenschaften des MOS-Kondensators. Dieses vermindert die bei sehr
kleinen Transistoren auftretenden schd̈lichen Tunnelströme vom Top Gate in den Kanal hinein.
42
KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR
7.2
Energiediagramm einer idealen MOS-Struktur
Die Abbildung 7.2 enthält die Energiediagramme der isolierten Systemkomponenten - Metall, Oxid und
p-dotierter Halbleiter. Hier ist χ die Elektronenaffinität des Halbleiters und Φm die Austrittsarbeit des Aluminium Top Gates.
Abbildung 7.2: Energiediagramm des isolierten Systemkomponenten - Al, S iO2 und p − S i - mit dem
Vakuumniveau als gemeinsamer Referenz (s. [2]).
Eine ideale MOS-Struktur wird wie folgt definiert:
1 Die Austrittsarbeiten der Top-Gate Metallisierung Φm und des Halbleiters werden als identisch angenommen. Es fließt daher keine Ladung, wenn der Kontakt zwischen diesen Materialien hergestellt
wird.
2 Unabhängig von der Bespannung der MOS-Struktur können nur Ladungen im Halbleiter oder in eine
Oberflächeladungsschicht an der Metall-Isolatorgrenze existieren.
3 Der Widerstand des Isolators ist so groß, dass unabhängig von der angelegten Spannung U kein
Gleichstrom fließt.
4 Die Dielektrizitätskonstante im Halbleiter und im Isolator wird gleich κ gesetzt.
7.2. ENERGIEDIAGRAMM EINER IDEALEN MOS-STRUKTUR
43
The energy band diagram when the materials are in contact and under no applied bias (U = 0) is shown
in Fig. 7.3 for a p-type semiconductor. Because of conditions 1-3 the energy-band diagram of the insulated
p-semiconductor results and we can choose in Eq. (2) of the previous chapter for the elecrostatic energy
V(x) = 0.
Abbildung 7.3: Energy-band diagram of an ideal MOS at U = 0 (flat band) for a p-type semiconductor.
The band discontinuity in the conduction band (red) is equivalent to a nearly perfect tunneling barrier in the
conduction band. For the holes band there is an equivalent discontinuity in the valence band leading to qn
nearly perfect tunneling barrier as well.
As we have shown in the chapter about the effective mass approximation the discontinuities in the conduction band are equivalent to a potential for the electrons in the conduction band that varies in space. The
big jump big between E Lox and E L means a nearly ideal repulsive potential barrier. Because of the negative
effective mass in the valence band the big drop between Evox and Ev means a nearly ideal repulsive potential
barrier for the electrons in the valence band as well.
We now consider an ideal MOS diode with the gate electrode biased with a positive or negative voltage while
the p-semiconductor is grounded as shown in Fig. (7.1). In principle, when a bias is applied the equillibrium
theory we have derived is not applicable any more, there cannot be a constant electrochemical potential in
the hole device. Because there is now particle exchange across the barrier the drop of the electrochemical
potential, which is identical with the applied voltage times the elementary charge, is assumed to occur solely
over the oxide. In the grounded p-semicontor we set the electrochemical potential as equal to the chemical
potential µ p of the host material,
φ(x > 0) = µ p ≡ φ
(7.1)
44
KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR
Four regimes of appied voltage can be distinguished which are illustrated in Fig. 7.4 for a p-type semiconductor:
Abbildung 7.4: Energiediagramme eines idealen MOS-Kondensators (a) Flachband, wenn U = 0, (b) in
Akkumulation für negative Spannung, (c) Verarmung bei schwacher positiver Spannung, wenn das elektrochemische Potenzial an der Grenzfläche in der Lückenmitte liegt und (d) Inversion, wenn die Substratsminoritätsträger an der Grenzfläche die Majoritätsträger stellen.
1. Flat band, U = 0: Because the electrochemical potential in the metal and in the p-type semiconductor
are assumed to be equal no charge flow occurs upon contact. Then in the semiconductor no space
charge builts up, ρ(x > 0) = 0, and because of Poisson’s equation
e
∂2 Ψ(x)
=
ρ(x) = 0
0 κ
∂x2
⇒
Ψ(x) = −eV(x) = 0
(7.2)
is constant. Here κ is the dielectric constand of the semiconductor which is taken to be equal for the
insulator for simplicity. Since Ψ = 0 there is no bending of the energy levels, i. e. EV (x) = EV . We
obtain
µ −E
φ−E
− V
− p V
(7.3)
p = NV e kB T = NV e kB T = p0 ,
where p0 ist the hole density in the isolated p-semiconductor. Analogeously one obtains n(x) = n0 .
2. Accumalation: Applying a negative voltage (U < 0, definition of the polarization s. Fig. 7.1) means
lowering the electrostatic potential V(x) and the potential energy for positive charges at the interface.
In consequence one finds an accumulation of the majority carriers (holes) in the p-semiconductor.
7.3. QUANTITATIVE BESCHREIBUNG DER LADUNGEN AN DER OXID-ISOLATOR GRENZFLÄCHE45
The energy −eV(x) of a negative charge is raised, so that Ψ(x) = −eV(x) bends upward. For an ideal
MOS diode no current flows in the structure, so the electrochemical potential remains constant in the
semiconductor and still φ = µ p . With EV (x) = EV + Ψ(x) the accumulation of the holes can now be
calculated from
µ −E
φ−E (x)
Ψ(x)
− V
− p V Ψ(x)
p(x) = NV e kB T = NV e kB T e kB T = p0 e kB T .
(7.4)
3. Depletion: When a small positive voltage (U > 0) is applied, the bands bend downward, and the
majority carriers are depleted (Fig. 7.4 (c)). At the depletion voltage we have at the interface at x = 0
the relation
Ψ s = Ψ(0) ≥ −(µi − µ p ) ≡ −ΨB ,
(7.5)
where µi is the chemical potential of the isolated intrinsic semiconductor. It follows with (7.4) that
−
p(0) = NV e
µ p −EV
kB T
Ψ(0)
e kB T = NV e
−
µ p −EV
kB T
e
−µi −µ p
kB T
−
NV e
µi −EV
kB T
= pi = ni
(7.6)
Since ni is very small the interface is ’depleted’ of mobile charge carriers.
4. Inversion: When a large positive voltage is applied the energy bands bend even more downward so
that φ − Ψ s kB T . From
−
n(x) = NL e
E L (x)−φ
kB T
−
= NL e
E L −µ p
kB T
− Ψ(x)
k T
e
B
= n0 e
− Ψ(x)
k T
B
(7.7)
and pn = n2i it results that at the interface n(0) p(0). One thus obtains an inversion of the majority
charge carriers with respect to the p-type host material were p0 n0 .
7.3
Quantitative Beschreibung der Ladungen an der Oxid-Isolator
Grenzfläche
Die Biegung der Bänder ergibt sich aus dem elektrostatischem Potenzial, welches durch die Poissongleichung bestimmt ist. Wie im letzten Kapitel über den pn-Übergang schreiben wir die Poissongleichung unter
Verwendung der potenziellen Energie Ψ der Elektronen im elektrischen Feld als
d2 Ψ(x)
e2 +
=
N (x) − NA− (x) + p(x) − n(x) .
2
0 κ D
dx
(7.8)
Weiterhin sind ND+ und NA− die Dichten der ionisierten Donatoren und Akzeptoren. Im p-dotierte Halbleiter
ist ND = ND+ = 0. Für die Konzentration der ionisierten Akzeptoren gilt
N A− = N A
1
−
1 + 2e
φ−E A (x)
kB T
.
(7.9)
Da in Depletion und Inversion E A (x) mit negativem Ψ erniedrigt wird, bedeutet Gl. (7.9), dass in diesem
Regimen nahezu vollständige Ionisierung annehmen können, NA− (x) ∼ NA . Im Fall der Akkumulation gilt
NA− (x) ∼ NA nicht, aber dieser Fehler ist unwichtig, weil bei Akkumulation p >> NA , n. Schließlich können
wir schreiben
d2 Ψ(x)
e2 =
−NA + p(x) − n(x) .
(7.10)
0 κ
dx2
Im Inneren des Halbleiters, weit von der Grenzfläche, bleibt wegen der Erdung das p-Halbleitersubstrat
unverändert erhalten und es folgt aus der dortigen Ladungsneutralität
NA− = p0 − n0 ∼ NA ,
(7.11)
46
KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR
wobei p0 Lochdichte des isolierten p-Substrats ist und n0 seine Elektronendichte. Einsetzen von (7.11) in
(19.27) liefert
d2 Ψ(x)
e2 =
p(x) − p0 − (n(x) − n0 ) .
(7.12)
2
0 κ
dx
Mit Gleichungen (7.4) und (8.1) wird Gl. (19.27) zu
"
!
!
!
!#
e2
Ψ(x)
Ψ(x)
d2 Ψ(x)
=
p
exp
−
1
−
n
exp
−
−
1
0
0
0 κ
kB T
kB T
dx2

!
!
!
!
2
2 
n

e 
Ψ(x)
Ψ(x)
NA exp
=
− 1 − i exp −
− 1  .
0 κ
kB T
NA
kB T
(7.13)
Im letzten Schritt wurde p0 ∼ NA und n0 = n2i /p0 ∼ n2i /NA genähert.
Wir multiplizieren beide Seiten von (7.13) mit dΨ(x)/dx und verwenden für den den blauen Term die
Identität

!2 
dΨ(x) d2 Ψ(x) 1 d  dΨ(x) 
=


dx
2 dx  dx
dx2
sowie für den grünen Term die Identität
"
#
"
#
"
#
d
Ψ(x)
d
Ψ(x)
Ψ(x) exp
= kB T
exp
.
dx
kB T
dx
kB T
Die Gleichung (7.13) lässt sich damit umformen zu

!2 
1 d  dΨ(x) 
(7.14)


2 dx  dx


"
!#
"
!#
n2i dΨ(x) 
d
e2 
Ψ(x)
d
Ψ(x)
dΨ(x) n2i


N
k
T
=
exp
−
N
+
k
T
exp
−
+
 A B
.
A
B
0 κ 
dx
kB T
dx
NA
dx
kB T
NA dx 
Es wird anschließend über x von Null bis Unendlich integriert mit dem Ergebnis
!2 ∞
1 dΨ(x) 2 dx
0
∞
!∞
!∞
∞
2
h
n2i
n2i 1
i
e
Ψ(x) Ψ(x) 1
=
NA kB T exp
Ψ(x) + 2 exp −
Ψ(x) .
−
+ 2
0 κ
kB T 0
kB T
kB T 0
NA
NA k B T
0
0
(7.15)
Aufgrund der Randbedingungen
Ψ(x → ∞) = 0
erhält man
(Ψ0s )2
und
Ψ0 (x → ∞) = 0

!
!
n2i − Ψs

e2 2NA kB T  kΨsT
Ψs
Ψs
kB T
B

=
−1 + 2 e
+
− 1  ,
e −
0 κ
kB T
kB T
NA
mit Ψ s = Ψ(x = 0) und Ψ0s = (dΨ(x)/dx)| x=0 .
(7.16)
(7.17)
7.3. LADUNGEN AN DER OXID-ISOLATOR GRENZFLÄCHE
47
We now evaluate the total charge Q in the host p-semiconductor in the cubic integration volume V as
sketched in figure 7.5 (a). From Poisson’s equation one finds
Abbildung 7.5: (a) In Grün das kubische Volumen V für die Integration in Gl. (19.29). Die Gegenladung
−Q befindet sich in einer Deltaschicht an der Grenzfläche zwischen Metall und Isolator (blaues Gebiet).
Bei x = xb wird das p-Halbleitersubstrat erreicht, sodass das elektrische Feld verschwindet. (b) In Magenta
das kubische Volumen V 0 für den Gausschen Satz in Gl. (7.28).
Q=
Z
d3 rρ(x) =
V
0 κ
lim
e Lx →∞
Z
|0
Ly
Z ∞ 2
Z Lz Z L x
0 κ
d
d2
A
Ψ(x).
dy
dz
dx 2 Ψ(x) =
2
e
dx
dx
0
{z 0 } 0
(7.18)
A
We now calculate total charge per area A in the y − z-direction
"
#∞
Z
Q 0 κ ∞ d2
0 κ d
0 κ
QA =
=
Ψ(x) =
Ψ(x) = − Ψ0s .
A
e 0 dx2
e dx
e
0
(7.19)
Then Eq. (7.17) yields

1/2



!
!
2
p
 Ψs

n
Ψs
Ψs
− Ψs
QA = ∓ 2NA 0 κkB T  e kB T −
− 1 + i2 e kB T +
− 1  .
k
T
k
T


N
B
B
{z
} |A
|
{z
}
from holes
from electrons
For Ψ s > 0 the +-sign holds and for Ψ s < 0 the − sign.
(7.20)
48
KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR
A typical variation of the space-charge density q as a function of the surface potential Ψ s is shown in Fig.
7.6.
Abbildung 7.6: Abhängigkeit der Ladungsträgerdichte von Ψ s für einen p-Halbleiter (s. [2])
a) Flat band configuration, QA = 0,
Ψs = 0
d2 Ψ
dx2
= 0
no band bending in the idealized MOS-system at
b) Accumulation
For T = 300K, kB T = 0.025eV, so that for Ψ s = 0.1eV, exp kΨB Ts = exp (4) ≈ 50. Because n2i /NA2 1 only the first bracket on the right hand side of Eq. (7.20) remains, and the dominant term is the
exponential function:
!
Ψs
QA ∝ exp
.
(7.21)
2kB T
c) Depletion: kB T . −Ψ s . 2ΨB see Eq. (7.5)
n2
The electron concentration is still very small, so that we can neglect all terms with Ni2 . Since Ψ s < 0
A
the dominant term in depletion comes from the second term in the first bracket on the right hand side
of Eq. (7.20) for |Ψ s | > kB T leading to
p
|QA | ∝ Ψ s
(7.22)
d) Inversion: −Ψ s & 2ΨB
The electron concentration in channel becomes large and dominant
!
|Ψ s |
.
|QA | ∝ exp
2kB T
(7.23)
7.4. KLEINSIGNALKAPAZITÄT
7.4
49
Kleinsignalkapazität
Mit Gl. (21) kann formal eine Kleinsgnalkapazität des Halbleiters
Ψs
CH =
dQA
=
dΨ s
r
N A 0 κ
2kB T Ψs
e kB T
e kB T − 1 +
− kΨB Ts − 1 +
n2i
NA2
n2i
NA2
−Ψs
−e kB T + 1
Ψs
1/2 .
−
e kB T + kΨB Ts − 1
(7.24)
definiert werden.Dies ist jedoch nicht die gemessene Kapazität
C = dQA /dU,
(7.25)
wobei U die gesamte angelegte Spannung ist (s. Abb. 7.1). Die Gesamtspannung an dem MOS-Kondensator
zerfällt in zwei Teile,
U = Uo + Ψ s .
(7.26)
Hier ist Uo is die über der Isolatorbarriere der Breite d abfallende Spannung
Uo = eEo d = e
QA
d.
0 κ
(7.27)
Abbildung 7.7: Die gesamte angelegte Spannung U fält ab über den Isolator, Uo , und über den Halbleiter,
Ψ s . Hier ist qualitativ ein Isolator mit großer Dielektrizitätskonstante (’high-k’) betrachtet. Innerhalb der
Isolatorbarriere ist das elektrische Feld Eo gemäß Gl. (7.28) klein und das Potenzial fällt nur langsam ab.
Das konstante elektrische Feld Eo kann mit dem Gaußschen Satz berechnet werden,
Z
QA
Q
=
d f~E~ = AEo
⇒
Eo =
.
0 κ
0 κ
∂V 0
(7.28)
Hier ist V 0 das in Abb. 7.5 (b) gezeigte Integrationsvolumen mit der Oberfläche ∂V 0 . Mit der Definition der
messbaren Gesamtkapazität der MOS-Struktur (7.25) setzen wir dann an
1
dU
dUo dΨ s
1
1
=
=
+
=
+
,
C dQA dQA dQA C0 C H
(7.29)
50
KAPITEL 7. DIE MOS-STRUKTUR UND DER MOS-KONDENSATOR
mit der Isolatorkapazität
C0 =
dQA 0 κ
=
,
dUo
ed
(7.30)
welche einem einfachen Plattenkondensator entspricht. Die Gleichung (24) hat die Form eine Reihenkapazität. Es hängt hier nur C0 = C0 (κ/d), nicht aber C H von den Eigenschaften der Isolatorbarriere ab. Die
Ladungs- und Spannungsverhältnisse können daher bei alleiniger Veränderung der Barriere konstant gehalten werden, wenn C0 konstant und damit κ/d erhalten bleibt. Beim Übergang zu 0 high − k0 -Materialien, d.
h. zu Materialien mit großem κ, kann daher die Oxiddicke d entsprechend vergrößert werden, ohne dass
C0 sich ändert. Dadurch lassen sich die abträglichen Tunnelströme vom Gatekontakt in den Leitungskanal
deutlich reduzieren.
In Gl. (7.29) wird C H benötigt, welches in (18.1) nur als Funktion von Ψ s vorliegt, C H = C H (Ψ s ). Für die
Konstruktion der C − U-Kurve ausgehend von Gl. (7.29) wird in Gl. (18.1) die Relation Ψ s (U) gebraucht,
sodass wir schreiben können C H = C H [Ψ s (U)] ≡ C H (U). Die Relation Ψ s (U) ergibt sich numerisch aus der
Inversion der Beziehung U(Ψ s ). Die Relation U(Ψ s ) wiederum folgt aus Gln. (7.26), (7.27) und (7.20),
U
=
=
ed
QA + Ψ s
0 κ

!
!1/2
n2i − Ψs
 Ψs

ed p
Ψs
Ψs
k
T
k
T
∓
2NA 0 κkB T  e B −
−1 + 2 e B +
− 1  + Ψ s .
0 κ
kB T
kB T
NA
Uo + Ψ s =
(7.31)
Diese Gleichung wird explizit in Übung 18.2 im Verarmungslimes ausgewertet. Hier diskutieren wir die
numerischen Ergebnisse, die dem Niedrigfrequenzfall (5-100Hz) in Abb. 7.8 entsprechen.
• for negative voltages, U < 0, ⇒ accumulation ⇒ QA ∼ exp( kΨB Ts ) ⇒ C s ∼ exp( kΨB Ts ) 1 ⇒ 1/C '
1/Cox ⇒ C = Cox .
• for less negative gate voltages and for small positive gate voltages ⇒ a depletion region which acts
as a dielectric in series with the insulator is formed near the semiconductor surface.
• The capacitance goes through a minimum and increases again as the inversion layer of electrons
forms at the surface.
• for large positive gate voltage, U > 0, when the inversion layer is formed, ⇒ QA ∼ exp( k|ΨB Ts | ) ⇒
CS i ∼ exp( k|ΨB Ts | ) 1 ⇒ 1/C ' 1/Cox ⇒ C = Cox .
7.4. KLEINSIGNALKAPAZITÄT
51
Abbildung 7.8: (a) Flächeladungsdichte QA versus −Ψ s in halblogarithmischer Auftragung aus Abb. 7.6.
(b) C-U-Kurve eines idealen MOS-Kondensators (a) kleine Frequenz, (b) hohe Frequenz und (c) tiefe Verarmungsbedingungen nach [2]. Wegen der unterschiedlichen Austrittsarbeiten von Φm im Gatemetall und
von φ im Halbleitersubstrat tritt der Flachbandfall bei eU F = qΦm − φ auf.
Kapitel 8
Quantenbeschreibung der
MOS-Struktur
8.1
8.1.1
Hierarchie der Näherungen für Bauelemente
Semiklassische Näherung, Drift-Diffusionsmodell
Im vorherigen Kapitel haben wir die MOS-Struktur in der relativ groben semiklassischen Näherung behandelt. In semiklassischer Näherung setzen wir voraus, dass das Festkörpersystem in kleine Zellen einteilbar
ist, die jede für sich als kleiner Festkörper behandelt werden kann. Innerhalb einer bei x gelegenen Zelle
wird das elektrostatische Potenzial V(x) als konstant angesehen. Wir definieren dann die Funktion der potenziellen Energie Ψ(x) = −eV(x) der Elektronen und das elektrochemische Potenzial φ = µ + Ψ(x) und
schreiben für die Elektronendichte im lokalen Gleichgewicht
n(~r) = NL e
−
E L (~r)−φ
kB T
−
= NL e
E L −µ
kB T
− kΨ(~rT)
e
B
= n0 e
− kΨ(~rT)
B
,
(8.1)
unter der im vorherigen Kapitel eingeführte Annahme V(~r ∈ Substrat) = 0 und φ(~r ∈ Substrat) = µ, wobei
das Substrat der geerdete feldfreie Halbleiter ist.
8.1.2
Mesoskopische Beschreibung
Es erweist sich, dass eine semiklassische Beschreibung nur für typische Strukturlängen oberhalb von typischerweise hundert Nanometern gültig ist. Die Inversionselektronenschichten in MOS-Systemen weisen
jedoch eine deutlich kleinere Abmessung von etwa zehn Nanometern auf. Dieses entspricht maximal hundert Atomlagen. Eine so geringe Anzahl von Atomen kann nicht eingeteilt werden in Zellen, von denen
wir annehmen, dass die Bandstruktur des Volumenhalbleiters ausgebildet ist. Es sind daher Korrekturen zu
erwarten, die wir in der nächstbesseren Näherung der Enveloppenfunktionen behandeln wollen. Wie bereits
diskutiert, wird in dieser Näherung für die mikroskopische Einteilchen-Wellenfunktion ψ(~r) der Ansatz
ψ(~r) = u0 (~r)F(~r),
(8.2)
eingeführt. Hier ist u0 (~r) die gitterperiodische Funktion im Zentrum des relevanten Konstantenergieellipsoids (’valleys’, das Blochband n wird als gegeben vorausgesetzt). Für die auf der Skala von einigen zehn
Nanometern veränderliche Enveloppenfunktion F(~r) (Hüllfunktion) haben wir eine effektive Schrödingergleichung hergeleitet
"
#
~2
− ∗ ∆ + E0 + U(~r) F(~r) = EF(~r).
(8.3)
2m
52
8.2. ENVELOPPEN-NÄHERUNG FÜR DIE MOS-STRUKTUR: SUBBANDQUANTISIERUNG
53
Hier nehmen wir eine isotrope effektive Masse m∗ an, E0 ist die Energie des Bodens des betrachteten valleys
im Substrat und
U(~r) = −eV(~r)
entsprechend Ψ(~r) in der semiklassischen Näherung.
(8.4)
Stoßen zwei Materialien aufeinander, macht E0 einen Sprung und wird ortsabhängig, E0 = E0 (~r). Ein
solcher Sprung tritt im Potential der MOS-Struktur in Abbildung ?? an der p − S i/S iO2 Grenzfläche auf.
Gleichung (8.3) zeigt, dass ein Bandkantensprung wie ein Potentialsprung wirkt. Systeme, in denen die
Enveloppenfunktionsnäherung gültig ist, werden auch als mesoskopische Systeme bezeichnet. Verglichen
mit der semiklassischen Näherung treten hier zusätzliche Quanteneffekte auf, die man auch als geometrische
Quanteneffekte bezeichnet. In der MOS-Struktur ist dies die Subbandquantisierung, die wir im Folgenden
behandeln werden.
8.1.3
Atomare Beschreibung, Tight-binding -Näherung
Unterhalb von typischerweise zehn Nanometern bricht die Enveloppennäherung zusammen und die Wellenfunktion muss auf atomarer Ebene berechnet werden. Dies kann sehr gut in der Tight-binding -Näherung
geschehen, die in der Vorlesung ’Festkörpertheorie’ behandelt wird. Systeme auf dieser Längenskala sind
molekularelektronische Systeme.
8.2
Enveloppen-Näherung für die MOS-Struktur: Subbandquantisierung
In diesem Kapitel legen wir die Wachstumsrichtung der p-MOS Struktur in z-Richtung, wobei z = 0 die
Grenzfläche zwischen Oxyd und p-Halbleiter angibt (s. Abb. 8.1). Da unser Interesse den Inversionselektronen gilt, schreiben wir Gl. (8.3) in der Form
#
" 2
~
(8.5)
− ∆ + E L + U(z) − E F(~r) = 0,
2m
wobei E L die Leitungsbandkante des wie im vorherigen Kapitel geerdeten p-Halbleitersubstrats bezeichnet
und m die effektive Leitungsbandmassse. Die Oxydbarriere wird als unendlich hoch genähert, E L (z ≤ 0) =
∞, was zur Setzung
F(x, y, z ≤ 0) = 0
(8.6)
führt. Bei der Berechnung der Wellenfunktionen können wir uns daher auf den Bereich des p-Halbleiters
beschränken. Die Translationsinvarianz in x, y-Richtung führt auf den Ansatz
ei(kx x+ky y)
F(~r) = p
ξ j (z).
L x Ly
Nach Einsetzen in Gl. (8.5) erhält man
" 2 # i(kx x+ky y)
~2 d2
~
e
2
2
k + ky −
+ E L + U(z) − E p
ξ(z) = 0.
2m x
2m dz2
L x Ly
Division durch die transversale ebene Welle bringt die Eigenwertgleichung
" 2 2
#
~ d
−
+
E
+
U(z)
−
L
j ξ j (z) = 0
2m dz2
(8.7)
(8.8)
(8.9)
54
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.1: (a) Bänderschema einer idealen MOS-Struktur mit einem p-dotierten Substrathalbleiter
für starke Inversion. In Gegensatz zur Behandlung der Inversionselektronen im semiklassischen Modell (s.
Abb. 7.4 (d)) liegt die Leitungsbandkante an der Grenzfläche unterhalb des chemischen Potenzials. Die
Inversionselektronendichte ist also groß. Da die Dicke der Inversionsschicht klein. Es wird vorausgesetzt,
dass der Rückkontakt geerdet ist, U(z > zd ) ∼ 0. (b) Die elektrostatische Energie der Elektronen U(z). (c)
Die Dichte der ionisierten Akzeptoren NA− (z) in Verarmungsnäherung (s. Abschnitt (8.4).
8.3. HARTREE-NÄHERUNG
55
mit der Energie in z-Richtung
~2 2
(k + ky2 ).
(8.10)
2m∗ x
Gleichung (8.9) entspricht mit der in Effektivmassennäherung üblichen Ersetzung φ(z) = E L + U(z) (s. Gl.
(4.21) der Gleichung (2) in Ref. [3]. Die Randbedingung (8.6) führt in (8.9) auf
=E−
ξ(0) = 0.
(8.11)
Die Gleichung (8.8) hat für > E L , d. h. im klassisch freien Bereich ein Kontinuum von Lösungen. Im
klassisch gebundenen Gebiet < E L liegen diskrete Lösungen j vor. Die dazugehörigen Eigenfunktionen
ξ j können reell und normiert gewählt werden,
Z ∞
dz|ξ j (z)|2 = 1.
(8.12)
0
Die Quantenzahl j wird als Subbandindex bezeichnet. Da E L − µ kB T ist die Besetzung der Kontinuumslösungen sehr klein, welche daher vernachlässigbar sind. Wir erhalten also die durch die Quantenzahlen
λ = ( j, k x , ky ) festgelegten Eigenzustände
ei(kx x+ky y)
ξ j (z),
Fλ (~r) = p
L x Ly
mit den Eigenenergien
Eλ = j +
λ → { j, k x , ky }
(8.13)
~2 (k2x + ky2 )
.
(8.14)
2m
Es wird nun als j-tes Subband die Gesamtheit aller Quantenzustände (8.13) mit festem j aber verschiedenem
k x und ky bezeichnet. Die Größe j ist der Boden (minimale Energie) dieses zweidimensionalen Subbandes
und wird daher auch Subbandenergie genannt. Die Funktionen ξ j sind die Subbandfunktionen.
8.3
Hartree-Näherung
Zur Berechnung der Subbandenergien und -funktionen wenden wir die im Kapitel ’Elektronenzustände
im periodischen Potenzial’ beschriebene Hartree-Näherung an: Für das elektrostatische Potenzial gilt die
Poisson-Gleichung, aus der für die potenzielle Energie der Elektronen U(z) = −eV(z)
e
e2 −
d2 U
=
ρ(z) =
−NA (z) + p(z) − n(z)
2
0 s
0 s
dz
(8.15)
folgt. Die Randbedingungen lauten
U(z → ∞) = 0
wobei
Ns =
Z
und
U(−d) = −UG ,
∞
dzn(z)
und
Ndepl =
0
Z
0
(8.16)
∞
dz[NA− (z) − p(z)].
(8.17)
Die Bedingung für U 0 (0) folgt aus Gl. (7.28), Ei = Q s /(i ) und d = E = di = i Ei , wobei die mit i
indizierten Größen sich auf den Gateisolator beziehen. Bei Inversion können wir im Prinzip für NA− (z) und
p(z) unsere semiklassischen Ergebnisse (6.15) und (6.13) verwenden,
NA− (z) = NA
1
1+
2eβ(E A +U(z)−µ)
(8.18)
56
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
und
"
#
µ − EV − U(z)
p(x) = NV exp −
.
kB T
(8.19)
Die Akzeptorniveaus wurden in semiklassischer Näherung von vornherein als atomar angesetzt und auf
atomarer Skala ist auch in der Inversionsschicht das Potenzial langsam veränderlich. Die Löcher werden
aus der Inversionsschicht herausgedrängt und weisen nur in der Nähe und im Inneren des Substrats eine
nennenswerte Konzentration auf. Dort ist das Potenzial aber auch bei Inversion langsam veränderlich. Im
Unterschied zur semiklassischer Näherung wird wegen der starkem Lokalisierung der Inversionsschicht
n(z) quantenmechanisch ermittelt, d. h.
X
X
n(~r) = 2gv
f (Eλ , µ)|ψλ (~r)|2 ∼ 2gv
f (Eλ − µ)|Fλ (~r)|2 .
(8.20)
λ
λ
Hier ist der Faktor 2 durch den Spinfreiheitsgrad bedingt, gv durch die später diskutierte Valleyentartung
und f (x) = 1/[e x/(kB T ) + 1] ist die Fermi-Verteilungsfunktion. Der im Enveloppenansatz ψλ (~r) = u0 (~r)Fλ (~r)
in Gl. (8.2) enthaltene gitterperiodische Anteil u0 (x) wird durch Mittelung über eine Periode eliminiert. Wir
erhalten mit Gln. (8.13) und (8.14) aus (8.20)


X ξ j (z)2 
 X
~2 (k2x + ky2 )


(8.21)
f  j +
− µ =
n j ξ j (z)2 = n(z),
n(~r) = 2gv
L
L
2m
x
y
j
j,k ,k
x
y
mit
nj
1 X
L x Ly k k
x y
Z ∞Z
=
2gv
=
2gv
L x Ly
=
gv
2π2
−∞
Z
0
∞




~2 (k2x + ky2 )
f  j +
− µ
2m




~2 (k2x + ky2 )
− µ
dk x dky D2k f  j +
|{z}
2m
−∞
∞
L x Ly /(2π)2
!
!
Z
~2 k 2
gv ∞
~2 k2
dk2πk f j +
−µ =
−µ ,
dkk f j +
2m
π 0
2m
(8.22)
wobei k2 = k2x + ky2 . Weiterhin wurde die aus den periodischen Randbedingungen k x = n2 π/L x , ky = n2 π/L x
resultierende Zustandsdichte D2k = L x Ly /(2π)2 im zweidimensionalen k-Raum angenommen (s. Gl. (??)).
2 2
Führen wir nun die Variable E⊥ = ~2mk für die kinetische Energie in den lateralen Richtungen ein, ergibt
sich
!#
Z
Z ∞
gv mkB T "
µ − j
gv m ∞
nj =
dE⊥ f j + E⊥ − µ ≡
dE⊥ D2d (E⊥ ) f j + E⊥ − µ =
ln 1 + exp
kB T
π~2 0
π~2
0
(8.23)
(s. Übungen und Gl. (5) von Ref. [3]). Hier ist
D2d (E) =
gv m
.
π~2
die energieabhängige Zustandsdichte in zwei Dimensionen. Einsetzen in Gl. (9.57) erbringt
"
!#
µ − j
gv mkB T X
2
.
n(z) =
ξ j (z) ln 1 + exp
kB T
π~2
j
(8.24)
(8.25)
Die quantenmechanische Dichte folgt daher unmittelbar aus den Lösungen der Schrödingergleichung (8.9).
Da das in die Schrödingergleichung eingehende Potenzial wiederum durch die Dichte bestimmt wird, führt
8.3. HARTREE-NÄHERUNG
57
die quantenmechanische Hartreenäherung wie die semiklassischer Näherung auf ein Selbstkonsistenzproblem.
Die Größe n j hat die Bedeutung der Flächendichte der Inversionselektronen im j-ten Subband. Um dies
zu zeigen, zerlegen wir die Flächenladungsdichte N s des Inversionselektronengases in die Beiträge der
einzelnen Subbänder,
Z ∞
X
XZ ∞
dzn j ξ j (z)2 =
n j,
(8.26)
Ns =
dzn(z) =
0
wobei mit (8.25)
nj =
j
0
"
!#
µ − j
gv mkB T
ln
1
+
exp
.
kB T
π~2
j
(8.27)
Eine Hartreenäherung für die MOS-Struktur, d. h. eine selbstkonsistente Lösung der Gleichungen (8.9),
(8.15) und (9.57), wurde von F. Stern in Ref. [3] vorgestellt. Sie erbrachten Quantisierungsenergien ∆0 im
Bereich von
∆0 = 0 − (E L + U(0)) ∼ 200 − 400meV
(8.28)
(s. Abb. 8.2 und Abb. 1 von Ref. [3]) und mittlere Abstände zave des Inversionselektronengases von der
Oxydtrennfläche Bereich von
Z ∞
zave =
dzzn(z) ∼ 2 − 30nm
(8.29)
0
(s. Abb. 4 von Ref. [3]).
58
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.2: Ausschnitt aus Abb. 8.1 mit Illustration Quantisierungsenergien ∆0 und mittleren Abstände
zave in Ref. [3]). Rot gestrichelt die Dreieckspotenzialnäherung.
8.4
Analytische Beschreibung der Inversionselektronenschicht
Um die in (8.28) und (8.29) genannten Größenordnungen zu verstehen, werden wie in Ref. [4] eine Reihe
von Näherungen eingeführt.
8.4.1
Sub-Threshold- und Threshold Potenzial in Verarmungsnäherung
Unterhalb der Schwellspannung j (UG ) ∼ µ ist die Inversionselektronenladung vernachlässigbar, sodass
e2
d2 U
[NA− (z)] .
=
−
0 κ sc
dz2
(8.30)
Hier ist κ sc = 11.5 die Dielektrizitätskonstante im Halbleiter, den wir als Silizium annehmen. In Verarmungsnäherung gilt für die Anzahl der negativ geladenen Akzeptoren


N für 0 ≤ z ≤ zd


 A
0 für z > zd
NA− (z) = 
(8.31)


 0 für z ≤ 0
mit Verarmungslänge zd (s. Abb. 8.1(c)). Für z > zd , im Substrat, herrscht Ladungsneutralität und man kann
in( 8.15) p = 0 = NA− = n = 0 setzen. Für 0 < z < zd , in der Verarmungsschicht, verschwinden die Löcher
und man kann vollständige Ionisation der Akzeptoren annehmen, NA− (0 ≤ z ≤ zd ) = NA . Für die Lösung
von (8.30) mit den Randbedingungen (8.16) U(z = zd ) = 0 und U(−d) = −UG setzen wir an
 κ


für −d ≤ z ≤ 0
zd z κinssc − z2d

2

e
 1
2
NA 
(8.32)
U(z) =
− 2 (z − zd )
für 0 ≤ z ≤ zd ,


0 κ sc

 0
für z > zd .
8.4. ANALYTISCHE BESCHREIBUNG DER INVERSIONSELEKTRONENSCHICHT
59
wobei κins = 3.9 die Dielektrizitätskonstante des Isolators, hier S iO2 , ist. Aus der Randbedingung U(−d) =
−UG lässt sich zd berechnen
e2
e2 NA 2
20 κins UG
N A zd d −
zd = −UG ⇔ z2d + 2dzd −
=0
0 κ sc
0 κins 2
e2 N A
r
20 κins UG
⇔ z2d = −d2 + d2 +
e2 N A
−
(8.33)
Wir setzen in (8.32)
"
#1/2
e2 NA 2
2κ sc 0 φd
φd =
z ⇒ zd =
,
0 κ sc 2 d
eNA
(8.34)
wobei φd die Bandverbiegung im Halbleiter ist. Gleichung (8.34) entspricht Gl. (7) in Ref. [3]. In Ref. [4]
wird sie numerisch ausgewertet,
zd [µm] = 1.27(φd [V])1/2
1015 cm−3
NA
!1/2 κ sc 1/2
.
11.5
(8.35)
Wenn die Schwellspannung erreicht ist und das Inversionselektronengas sich bildet, ändert sich die Verarmungsschicht nicht mehr wesentlich mit wachsender Gatespannung. Sie wird durch die hinzukommenden
Inversionselektronen abgeschirmt. Bei Bildung des Inversionselektrongases gilt φd ∼ E L − µ ∼ 1eV. Typische Werte von zd liegen daher nach Bildung des Inversionselektronengases im Bereich zwischen 0.1 und
10 µm.
8.4.2
Dreieckspotenzialnäherung
In Dreiecksnährung wird gesetzt
U(z) = U s + eFz,
(8.36)
mit einem optimalen Oberflächenfeld F (s. Abb. 8.2). In Gl. (7.19) haben wir mittels des Gaussschen Satzes
hergeleitet
Q
0 κ sc 0 +
e
QA =
=−
U (0 ) ⇔ F ∼ U 0 (0+ ) =
(N s + Ndepl )
(8.37)
A
e
0 κ sc
mit der Flächenladung
−
Q
=
A
Z
∞
h
i
en(z) + ρdepl (z) , = N s + Ndepl
(8.38)
0
wobei Ndepl = zd NA . Gleichung (8.36) in (8.9) eingesetzt führt zur Dreieckspotenzialnäherung
!
~2 d2
−
+ eFz − E j ξ j (z) = 0,
2m dz2
(8.39)
E j = j − U s − EL.
(8.40)
mit
Dieses Dreieckspotenzialproblem hat eine analytische Airy-Funktions-Lösung (s. (10a) und (10b) in ??).
Die Airyfunktionen sind definiert als Lösungen der Differenzialgleichung
y00 − xy = 0.
(8.41)
Dies ist eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Die zweite linear unbhängige Lösung Bi
divergiert für x → ∞ und wird daher ausgeschlossen. Wie in Abb. 8.3 dargestellt, gilt für positive x
60
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.3: Schematische Darstellung der Airy Funktion mit unendlich vielen Nullstellen x j .
Ai(x → ∞) = 0, ohne Nullstellen. Für negative x wird Ai(x) eine oszillierende Funktion mit unendlich
vielen Nullstellen x j mit der ungefähren Lage
#2/3
3
3
x j = − π( j + )
2
4
"
für j = 0, 1, 2 . . .
(8.42)
Um (8.39) auf (8.41) zu transformieren, setzen wir zunächst z = z0 u dann ist dz = duz0 . Somit folgt nach
Division von (8.39) durch Minus Energienormierung E0


 1 1 ~2 d2
E j 
eFz0
 ξ̄ j (u) = 0
−
u+
(8.43)
 2
E0
E0
z0 E0 2m du2
mit ξ j (z) ≡ ξ̄ j (u). Ein Vergleich mit (8.41) erbringt
1=
1 1 ~2
z20 E0 2m
und
eFz0
= 1 ⇒ E0 = eFz0 .
E0
(8.44)
Einsetzen der zweiteren Gleichung in die erstere führt auf die Längenskala
!1/3
~2
1 ~2
.
→
z
=
1=
0
2meF
eFz30 2m
(8.45)
Dies bedeutet nach ?? die Größenordnung
z0 = 2.283
N s + ndepl
1012 cm − 2
!1/3
× (κ sc /11.5)1/3 ×
0.916m0
mz
!1/3
.
Typische Werte für z0 liegen zwischen 1 − 10nm oder mehr. Aus (8.43) wird mit (8.44)
" 2
#
d
−
(u
−
Ê
)
j ξ̄ j (u) = 0,
du2
(8.46)
(8.47)
wobei Ê j = E j /E0 .
(8.48)
Wir setzen nun x = (u − Ê j ) und erhalten unabhängig von j
" 2
#
d
−
x
y(x) = 0,
dx2
(8.49)
8.4. ANALYTISCHE BESCHREIBUNG DER INVERSIONSELEKTRONENSCHICHT
mit
!
z
y(x) = Ai(x) = ξ̄ j (u) = ξ j (z) ⇒ ξ̄ j (u) = Ai(u − Ê j ) = Ai
− Ê j = χ j (z).
z0
61
(8.50)
Die Subbandfunktionen χ j (z) sind also um Ê j verschobene Airyfunktionen. Die erlaubten Werte von Ê j
ergeben sich durch die Randbedingung
0
=
χ j (z = 0) = Ai(−Ê j )
⇒
−Ê j = x j E j = E0 |x j | = eFz0 |x j |.
Mit der Näherung (8.42) folgt
Ej =
~2
2m
!1/3 "
3
3
πeF j +
2
4
!#2/3
(8.51)
s.
Dieses bedingt die Größenordnungen
N s + Ndepl
3
E j [meV] = 61.15(i + )2/3
4
1012 cm − 2
!2/3
×
11.5
κ sc
!2/3
×
!
0.916m0
.
mz
(8.52)
Weiterhin lässt sich mit x0 = 2.33 für das technisch entscheidende unterste Subband abschätzen
zave ∼
x0
z0 ∼ z0 .
2
(8.53)
62
8.5
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Inversionselektronengas im Quantenlimes: Das zweidimensionale Elektronengas
Die Anzahl der Zustände im j-ten Subband mit Energien kleiner als E ist gegeben durch



 Z ∞

g m 
X 


~2 (k2x + ky2 ) 
~2 (k2x + ky2 ) 

v

 =

N j (E) = 2gv
dE 0
+
Θ E −  j +
E
−
Θ
 j

2
2m
2m
0
|π~
{z }
j,k x ,ky
D2d
=





~2 (k2x + ky2 ) 
 .
D2d (E − j )Θ E −  j +
2m
(8.54)
Hier haben wir die in (8.55) hergeleitete energieabhängige Zustandsdichte in zwei Dimensionen
D2d (E) =
gv m
= D2d
π~2
verwendet. Die Gesamtzahl der Zustände mit Energien kleiner als E ist also



X


~2 (k2x + ky2 ) 
N(E) = D2d
(E − j )Θ E −  j +
 .
2m
j
(8.55)
(8.56)
wobei N2d (E) die Anzahl der Zustände mit Energien kleiner als E ist. Es folgt für E , j
D(E) =
X
X
d
dN
Θ(E − j ) (E − j ) = D2d
Θ(E − j )
= D2d
dE
dE
j
j
(8.57)
(s. Abb. ??).
Im idealen Quantenlimes ist die Elektronendichte so klein, dass 0 ≤ µ ≤ 1 und die thermische Verbreiterung so gering, dass die Zustände aus angeregten Subbändern nur vernachlässigbar besetzt sind. Alle
relevanten Zustände führen dann den Index j = 0. Wie in Abb. 8.5 dargestellt liegen im Quantenlimes bei
T = 0 alle besetzten Zustände mit λ = (k x ky , 0) im k-Raum in einem Kreis mit dem Radius
√
kF =
2m(E F − 0 )
~
(8.58)
liegen. Bei endlicher Temperatur wird dieser Kreis aufgeweicht. Die Bewegung in z-Richtung ist dann
quantenmechanisch ausgefroren und das Elektronengas verhält sich dynamisch wie ein zweidimensionales
freies Elektronengas, welches allein mit den Quantenzahlen k x und ky beschrieben wird.
In Abbildung (??) ist demonstriert, dass die Bedingung 0 < µ < 1 für N s + Ndepl < 2 × 1012 cm−2 realisiert
ist. Der energetische Abstand zum nächsthöheren Subband beträgt 5 − 10meV, was in etwa einem sechstel
der Raumtemperatur entspricht. Die zweite Bedingung einer ausreichend kleinen thermischen Verbreiterung
lässt sich daher nur durch sehr niedrige Temperaturen erreichen. Wie wir zeigen werden, tritt der QuantenHall-Effekt nur im idealen Quantenlimes auf und erfordert i. A. Heliumtemperaturen.
8.6. THE MODULATION DOPED GAAS /ALX GA1−X AS HETEROSTRUCTURE
63
Abbildung 8.4: Zweidimensionales Elektronengas: (a) Lage der Subbandenergien, (b) Zustandsdichte eines Inversionselektronengases: Überschreitet die Energie eine Subbandenergie j macht die Zustandsdichte
einen Sprung um D2d und (c) idealer Quantenlimes: Die Elektronendichte ist so klein, dass 0 ≤ µ ≤ 1 und
die thermische Verbreiterung so gering, dass die Zustände aus angeregten Subbändern nur vernachlässigbar
besetzt sind.
8.6
The modulation doped GaAs/Al xGa1−x As heterostructure
For the practical realization of mesoscopic systems the modulation doped GaAs/Al xGa1−x As heterostructure (MDGH) is of central importance. As shown in Fig. 5 the MDGH is composed of a sequence of GaAsor Al xGa1−x As layers with a central GaAs/Al xGa1−x As heterojunction. The lay-out and the band diagram of
the MDGH are shown in Fig. 5 in detail: On one side of the heterojunction there is a layer of undoped GaAs.
On the other side there is a spacer layer of undoped Al xGa1−x As followed by a layer of n-doped Al xGa1−x As.
The bandgap of Al xGa1−x As is larger than that of GaAs. The difference between the bandgaps in the two
materials is divided in an approximately 60/40-split between the conduction- and the valence band. As a
result there is a discontinuity in both energy bands at the interface between GaAs and Al xGa1−x As. Upon
contact electrons flow from the n − Al xGa1−x As with the larger band gap to the GaAs with the smaller band
gap leaving behind positive ionized donors in the n − Al xGa1−x As. Because of the resulting positive space
charge there is a bending of the bands in the n − Al xGa1−x As and a strong electric field at the interface
between GaAs and Al xGa1−x As. This electric field causes that the electrons that have moved into the GaAs
stay in a narrow layer next to the heterostructure interface. Because of the associated strong confinement
the motion perpendicular to the interface is strongly quantized in so called electrical subband levels[4]. At
low temperatures and moderate areal electron densities only the lowest electrical subband level with energy
E0 is occupied (see Fig. 5(c)). All other subband levels are frozen out. Then, the motion of the electrons in
the layer is dynamically two-dimensional (’two-dimensional electron gas’, 2DEG).
There is a number reasons why in MDGHs very clean two-dimensional electron gases with a large coherence length together with an excellent mobility can be achieved: first, using molecular beam epitaxy the
GaAs host material can be grown with very few impurities, second, the lattice mismatch at the heterostructure interface is negligible, and, third, the scattering potential of the ionized impurities in the n−Al xGa1−x As
is separated from the 2DEG by the spacer layer. Another interesting aspect is the fact that the strength of the
geometric quantum effects is increased by the small effective mass found in GaAs which leads to an enhan-
64
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.5: Im roten Kreis liegen die Zustände mit j = 0 und Eλ ≤ E F . Für T → 0 sind dies die einfach
besetzten Zustände, wobei alle außerhalb des Kreises liegende Zustände unbesetzt sind. Bei einer kleinen
Erwärmung weicht die Besetzung dieser zweidimensionalen Fermikugel thermisch auf.
cement of the particle-in-a-box energies compared to a 2DEG in silicon. In applications Al xGa1−x As/GaAs
heterostructures are the basis for high electron mobility transistors (HEMT) [2] which are also called modulation doped field effect transistors (MODFETS).
8.7
Der ganzzahlige Quanten-Hall Effekt
Die Bildung eines zweidimensionalen Elektronengases kann sehr schön durch den Quanten-Hall Effekt
belegt werden. Dieser Effekt wurde von K. v. Klitzing bei der Untersuchung der Hall-Spannung von SiMOSFETs in hohen Magnetfeldern ( B ≤ 18T ) und bei tiefen Temperaturen (T ∼ 1.5K) gefunden. Er
erhielt hierfür 1985 den Nobelpreis für Physik. Bei den Messungen waren die MOSFETs zusätzlich mit
seitlich am Inversionskanal angebrachten Hallkontakten versehen, sodass eine Hallbar entsteht. In Abb. 8.7
ist eine solche Hallbar gezeigt, die auf einer GaAs/AlGaAs Heterostruktur realisiert wurde. Das Magnetfeld
steht senkrecht zur Ebene des 2DEG. Die Messung wird bei konstantem Strom I durchgeführt, wobei die
Hallspannung U H und die longitudinale Spannung ∆U an den gezeigten Kontakten abgegriffen wird. Wie
in der folgenden Abbildung 8.8 gezeigt, werden im Hallwiderstand RH Plateaus gefunden, die beschrieben
werden durch
1 h
UH
,
M = 1, 2, 3 . . .
(8.59)
RH =
=
I
M e2
Es tritt ein elementarer Widerstandswert h/e2 = 25.8kΩ (v. Klitzing-Konstante) auf. Da dieser Widerstandswert innerhalb eines Plateaus mit einer ungeheueren Präzision unabhängig von der speziellen Probe
angenommen wird, wird der Hall-Effekt zur Definition und technischen Realisierung des Ohms verwendet.
Wie aus den Messergebnissen ersichtlich, verschwindet der longitudinale Widerstand R xx = ∆U/I, wenn
die Hallspannung einen Plateauwert annimmt.
Zur theoretischen Behandlung des Quanten-Hall Effekts gehen wir von der Schrödingergleichung eines
freien zweidimensionalen Elektronengases aus
" 2
#
" 2
!
#
~p
~
∂2
∂2
[H − ]ψ(x, y) =
− ψ(x, y) = −
−
− ψ(x, y) = 0.
(8.60)
2m
2m ∂x2 ∂y2
Im Quanten-Hall Effekt kommt homogenes Magnetfeld in z-Richtung hinzu,
~ = (0, 0, B)
B
und in Landau-Eichung
~ = (By, 0, 0),
A
sodass
~ = ∇ × A.
~ (8.61)
B
8.7. DER GANZZAHLIGE QUANTEN-HALL EFFEKT
65
Abbildung 8.6: In a.) the decomposition and in b.) the band diagram of a modulation-doped
GaAs/Al xGa1−x As heterostructure. EC and E F represent, respectively, the conduction band edge and the
Fermi energy??. In c.) we illustrate the wave function associated with the lowest electrical subband which
leads to the two-dimensional electron gas.
~ = ~p + eA/c
~ ersetzt, wobei q = −e
Zur Berüchsichtigung des Magnetfeldes wird in Gl. (8.60) ~p → ~p − qA/c
die negative Ladung des Elektrons ist. Dann lautet der Hamilton


!2
!2

1 e ~2
1  ~
e
~2
1 ~
e
2 2
~p + A =
H=
∂ x + By .
(8.62)
 ∂ x + By − ~ ∂y  = − ∂2y +
2m
c
2m i
c
2m
2m i
c
Dieser Hamilton ist unabhängig von x, sodass wir ansetzen
eikx
ψ(x, y) = √ u(y).
Lx
(8.63)
Dann folgt
!2
~2 2
1 e 2 m eB 2 ~c
~2
m
H = − ∂y +
~k + By =
k + y = − ∂2y + ω2c (y − y0 )2 .
2m
2m
c
2 mc
eB
2m
2
(8.64)
Hier ergeben sich die Definitionen der Zyklotronfrequenz ωc , der magnetischen Länge l und der Zentralkoordinaten y0 ,
eB
~c
ωc =
,
l2 =
und
y0 = −l2 k.
(8.65)
mc
eB
√
Nach Division durch eikx / L x geht (8.60) über in
" 2
#
~
m
− ∂2y + ω2c (y − y0 )2 − u(y) = 0.
(8.66)
2m
2
66
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.7: Hallbar zur Messung des Quanten-Hall Effekts in euiner GaAs/AlGaAs Heterostruktur.
Wir substituieren ȳ = y − y0 und erhalten die Gleichung eines harmonischen Oszillators
#
" 2 2
m 2 2
~ ∂
+
ω
ȳ
−
u(ȳ) = 0.
−
2m ∂ȳ2 2 c
(8.67)
mit den Eigenenergien
1
= En = ~ωc n +
2
!
(8.68)
und den dazgehörigen Eigenfunktionen
!
h
√ i ȳ ȳ2
exp − 2 .
u(ȳ) = u0n (ȳ) = 2n n!l π Hn
l
2l
(8.69)
Die Eigenfunktionen im Ansatz (19.47) sind dann
eikx
eikx
ψ(x, y) = ψnk (x, y) = √ un (ȳ) = √ un (y − y0 ).
Lx
Lx
(8.70)
Durch die Verschiebung y − y0 = y + l2 k ist die Wellenfunktion in y-Richtung um die Zentralkoordinate y0
zentriert. Alle Zustände ψnk mit festem n und verschiedenem k sind entartet und bilden das n-te LandauNiveau. Periodische Randbedingungen in x-Richtung führen auf
k=
2π
m,
Lx
mit
m ganzzahlig.
(8.71)
Die Anzahl der Zustände pro Fläche L x Ly in einem Landau-Niveau ist gegeben durch
Z Ly /l2
Z Ly
0≤y
0 ≤Ly
X
1
1
1
dy0
1
=
dk =
=
.
Ly L x k
2πLy 0
2πLy 0 l2
2πl2
(8.72)
Hier tritt kein Faktor 2 für den Spin auf, denn bei den hohen angelegten Magnetfeldern wird von einer vollständigen Spinpolarisation des 2DEG ausgegangen. Die Anzahl der besetzten Zustände bei einer
Flächenladungsdichte N s ist
M = Int(N s 2πl2 ) + 1.
(8.73)
8.7. DER GANZZAHLIGE QUANTEN-HALL EFFEKT
67
Abbildung 8.8: Schematische Darstellung (a) der Quantisierung des Halllwiderstands nach Gl. (8.59). Typische Magnetfelder im Bereich zwischen 3 − 10T . (b) schematische Darstellung der Peaks im Longitudinalwiderstand bei Plateauwechsel.
wobei Int(x) die größte natürliche Zahl kleiner als x ist. Dadurch, dass Die konstante Zustandsdichte des
magnetfeldfreien 2DEG zerfällt also in Landauniveaus mit einer Anzahl von (2πl2 )−1 Zuständen pro Fläche
des Elektronengases. Wie in Abb. 8.9 gezeigt, ist die Zustandsdichte eines 2DEG im Magnetfeld dann
gegeben durch
1 X
DL =
δ(E − En ).
(8.74)
2πl2 n
Wie schon aus dem klassischen Bild hervorgeht, sind für den Transport die Randzustände wichtig: Im Inneren des 2DEG bilden sich geschlossene Kreisorbitale (Zyklotronorbitale), die keinen Strom führen. Durch
Reflektionen an der Begrenzung werden die randnahen Zyklotronbahnen aufgebrochen und es entstehen
sogenannte ’Skipping Orbits’. Die Skipping Orbits auf der einen Seite der Hallbar erzeugen eine Strom in
die eine Richtung, diejenigen auf der anderen Seite einen Strom in die Gegenrichtung.
Motiviert durch das klassische Modell betrachten wir die quantenmechanischen Zustände in einem unendlich langen metallischen Streifen entlang der x-Richtung. In y-Richtung habe der Streifen eine endlichen
Breite hervorgerufen durch ein Begrenzungspotenzial V(y) (s. Abb. (8.11)). Das Begrenzungspotenzial bewirkt die Aufhebung der Landauniveauentartung im Randbereich. In Gl. (19.58) wird gezeigt, dass eine
Dispersion in der Zentralkoordinate der Form
1
En → En (k) = ~ωc (n + ) + Un (y0 (k)),
2
mit
y0 (k) = −l2 k
(8.75)
entsteht, wobei Un (y0 ) eine vom Landauniveau abhängige, nach oben gebogene Dispersionsfunktion ist.
68
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.9: Zustandsdichte a) 2DEG bei B = 0, b) Aufspaltung in Landauniveaus im starken Magnetfeld, c) Stoßverbreiterung mit Verunreinigungen. Im Zentrum des Landauniveaus sind delokalisierte
Zustände, außerhalb nur lokalisierte.
Aufgrund dieser Biegung fällt die Besetzung der Zustände uny0 mit y0 außerhalb des Streifens rapide ab,
sodass die Elektronendichte außerhalb des Streifens verschwindet (s. Abb. 8.11).
In Gl. (19.59) wird abgeleitet, dass der elektrische Strom im Zustand |ψnk i gegeben ist durch
Ink (y0 ) =
e ∂Un (y0 (k))
e ∂Un (k)
=
.
Lx h
∂k
L x ~ ∂k
(8.76)
Da im Inneren Un (k) verschwindet, ist dort auch Ink gleich null, entsprechend der geschlossenen Zyklotronbahnen. Wegen der Biegung von Un (k) entsteht eine endlicher Strom für y0 in der Nähe des Randes mit
unterschiedlichem Vorzeichen. Dort verwandeln sich die Zustände ψnk zu sogenannten Randzuständen für
die Gl. (8.69) nicht mehr gilt. Für den Strombeitrag aller Zustände mit einem festen Index n ergibt sich bei
T =0
Z
Z
besetzt
X
L x besetzt
e ∂Un (k) e µL
2e
Ink =
=
(8.77)
dk
dUn = (µL − µR )
2π
L x ~ ∂k
h µR
h
k
Dieses bedeutet, dass jedes der M im Inneren des Streifens besetzte Landauniveaus den gleichen Beitrag
liefert, sodass
2e
I = M (µL − µR )
(8.78)
h
In unserem stark vereinfachten Modell gehen wir davon aus, dass die oberen Randzustände mit dem chemischen Potenzial µR im rechten Reservoir im Gleichgewicht sind (s. Abb. 8.10). Aus diesem Reservoir stammen die Elektronen der skipping orbits. Entlang des Transportvorganges bleibt dieses chemische Potenzial
konstant. Die unteren Zustände seien mit dem chemischen Potenzial µL im linken Kontakt im Gleichgewicht. Es resultiert daher für die Hallspannung
U H = µ L − µR ,
(8.79)
wobei die auf einem Strompfad longitudinale Spannung VL verschwindet. Diese Setzung ist natürlich anzweifelbar und wird in der Literatur durch die Verwendung der multiterminal Büttiker Formel verbessert.
8.7. DER GANZZAHLIGE QUANTEN-HALL EFFEKT
69
Abbildung 8.10: Zustandsdichte a) klassisches Bild für die Stromleitung durch einen endlichen Halbleiter
im starken Magnetfeld : Die inneren Orbitale ’sehen’ den Rand nicht und es bilden sich daher kreisförmige Zyklotronorbitale aus, die keinen Strom tragen. Durch Reflektionen am Rand entstehen unbegrenzte
stromführende skipping Orbits’. b) Quantenmechanische Randzustände in Landau Eichung.
Wir erhalten aus Gln. (8.78) und (8.79) dennoch richtig
RH =
UH
h 1
=
.
I
2e M
(8.80)
Der Plateauintex M in der gemessenen Quantisierung des Hallwiderstandes in Gl. (8.59) entspricht also der
Anzahl der besetzten Landauniveaus im Inneren der Hallbar. Das Plateau M = 3 in Abb. 8.8 entspricht also
drei besetzten Niveaus im Barinneren. Für wachsende Magnetfelder wird l immer kleiner und damit die
Entartung der Landauniveaus immer größer. Bei konstanter Teilchenzahl werden im Barinneren dann nur
noch zwei Niveaus besetzt sein und im Limes sehr großer Magnetfelder reicht die Entartung des untersten
Landauniveaus aus, um dort alle Elektronen unterzubringen. Umgekehrt führt eine Verkleinerung des Magnetfeldes zu einer Verkleinerung der Zustandsdichte und das M = 3-Plateau geht in das M = 4-Plateau
über.
Wie in Abb. 8.11 (9) illustriert, wandern die Randzustände beim Plateauwechsel nach Innen. Es besteht
dann die Möglichkeit, dass ein Elektron von einem rechtslaufenden Randzustand auf der unteren Seite in
einen linkslaufenden Zustand auf der oberen Seite gestreut wird. Diese Rückstreuung führt zur Zerstörung
des Hall-Plateaus und zur Entstehung der gemessenen Peaks im longitudinalen Widerstand ∆U/I.
70
KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 8.11: (a) Im Plateaubereich: Die Dispersion En (y0 ). Im Inneren des Streifens verschwindet Uny0 ,
sodass En (y0 ) = (n + 1/2)~ωc Im dargestellten Fall sind nur die beiden unteren Landauniveaus mit n = 0
und n = 1 besetzt, sodass M = 2. Die Randzustände sind streng getrennt. (b) Zwischen den Plateaus: Die
Randzustände wandern nach Innen und ermöglichen eine Rückstreuung, die den Longitudinalwiderstand
erzeugt.
8.8
Quantenmechanik von Randzuständen im starken Magnetfeld
Die Zustände |ψnk i im starken senkrechten Magnetfeld und im Randpotenzial U(y) sind Lösungen der
Schrödingergleichung
H − E|ψnk i = 0.
(8.81)
~ = (By, 0, 0) lautet der Hamilton in Ortsdarstellung
In Landaueichung A
"
#
e 2
1 2
H=
p x + A x + py + V(y),
2m
c
(8.82)
mit den Impulsoperatoren p x/y = −i∂/(∂x/y) und dem Randpotenzial V(y). Weil der Hamilton unabhängig
von x ist, lassen sich Eigenzustände der Form
eikx
eikx
eikx
ψnk (x, y) = √ unk (y) → ψk (x, y) = √ uk (y) ⇔ hx|ψk i = √ hx|ki
Lx
Lx
Lx
(8.83)
8.8. QUANTENMECHANIK VON RANDZUSTÄNDEN IM STARKEN MAGNETFELD
71
finden, mit uk (x) = hx|ki. Die Teilchenstromdichte j in x-Richtung ist
e e 1 ∗
e 1 ∗
e 1
jx =
ψk p x + A x ψk − ψk p x + A x ψ∗k = Re ψ∗k p x + A x ψk =
ψk p x + A x ψk .
2m
c
c
m
c
m
c
(8.84)
Es gilt
Z Lx Z Ly
Z Ly
1
hψk | j x |ψk i =
dx
dy j x (y) = L x
dy j x (y) ⇒ I¯k = hψk | j x |ψk i ≡ n1d vk
(8.85)
Lx
0
0
0
mit der x-unabhängigen Gesamtzahl von dN Teilchen im Intervall dx, n1d = dN/dx = 1/L x , und der
Geschwindigkeit vk . Der Teilchenstrom im Zustand |ψk i und somit ist der elektrische Strom
e
Ik = vk .
(8.86)
Lx
Wir bestimmen zunächst den Geschwindigkeitserwartungswert vk im Zustand |ψk i
1
e
1
e
hψk |p x + A x |ψk i = hk|~k + A x |ki.
(8.87)
m
c
m
c
Diese Größe wollen wir zunächst ohne explizite Kenntnis von |ki ausdrücken. Wir definieren hierzu den
effektiven Hamiltonoperator
2
~k + ce A x + p2y
+ V(y),
(8.88)
H=
2m
wobei mit (19.45)
2
~k + ec A x + p2y
H|ki = E(k)|ki und E(k) = hk|H|ki = hk|
+ V(y)|ki.
(8.89)
2m
Es folgt
!
!
!
∂
∂
∂
∂
E(k) = =
hk| H|ki + hk|H
|ki + hk|
H |~ki
∂k
∂k
∂k
∂k
!
!
~k + ce A x
∂
∂
=
|hk H|ki + hk|H
|ki + ~hk|
|ki = ~~vk .
(8.90)
∂k
∂k
m
vk = hψk | j x |ψk i =
Aus hk|ki = 1 ergibt sich nämlich ∂hk|ki/∂k = 0 und somit
!
!
∂
∂
∂
∂
∂
hk| H|ki + hk|H |ki = E(k)
hk| ki + hk| |ki = E(k) hk|ki = 0.
∂k
∂k
∂k
∂k
∂k
(8.91)
Es resultiert
1 ∂E(k)
.
(8.92)
~ ∂k
In erster Ordnung Störungstheorie gilt |ki = |k), wobei |k) das ungestörte Landauniveau ist und mit (19.53)
!
1
E(k) = (k|H|k) → En (k) = (nk|H|nk) = n +
~ωc ∗ +Un (k)
(8.93)
2
~vk =
mit mit
Un (k) = (nk|V(y)|nk) =
Z
Lx
Z
dx
0
Ly
dy
0
1 0
u (y − y0 )2 V(y) =
Lx n
Ly
Z
dyu0n [y − y0 (k)]2 V(y).
(8.94)
0
Schließlich ergibt sich mit (19.50) , (19.56) und (19.58)
Ik =
e d
Un (k)
L x ~ dk
(8.95)
Kapitel 9
Halbleiter im semiklassischen
Nichtgleichgewicht: Driftstrom,
Diffusionsstrom und
Halbleitergleichungen
9.1
Zusammenfassung
Im thermischen Gleichgewicht werden die Ladungsträger in einem Halbleitersystem durch die Fermiverteilung beschrieben. Wird ein Halbleitersystem als Bauelement betrieben, kommt eine externe Störung hinzu.
Diese Störung kann eine einfallende elektromagnetische Strahlung oder das Anlegen einer äußeren Spannung sein, die einen Strom als Reaktion hervorruft. Durch diese externe Störung wird die Fermiverteilung
aufgehoben. Bei schnellen Intrabandprozessen können die entstehenden Nichtgleichgewichtsverteilungen
durch quasi-Fermienergien beschrieben werden. In der semiklassischen Näherung für die Dynamik von
Ladungsträger-Wellenpaketen entsteht aus der Kontinuitätsgleichung im Phasenraum die Boltzmanngleichung, die in linearisierter Form gelöst werden kann. Das Resultat sind Ausdrücke für den Drift- und
den Diffusionsstrom. Unter Verwendung der quasi-Fermienergien können diese Ausdrücke zu den Halbleitergleichungen vereinheitlicht werden. Die Halbleitergleichungen werden in den folgenden Kapiteln auf
Standardbauelemente wie die pn-Diode, Solarzellen, Bipolartransistoren und Feldeffekttransistoren angewendet.
Die Darstellung der semiklassischen Theorie des Nichtgleichgewichts in diesem Kapitel geht auf die Mitschrift einer Vorlesung von Herrn Prof. Dr. H. Heyszenau an der Universität Hamburg zurück.
9.2
Teilchendichte im Phasenraum und verallgemeinerte Fermiverteilung mit quasi-Fermienergien
Im Gleichgewichtszustand folgen die Elektronen im Kristall der Fermi-Verteilung
f (E) =
1
exp( E−µ
kB T ) + 1
72
.
(9.1)
9.2. PHASENRAUMDICHTE UND QUASI-FERMIENERGIEN
73
Abbildung 9.1: (a) Zweidimensionaler Festkörper mit dem kleinen Volumen V = L x Ly = dxdy am Orte
~r. In einem inhomogenen Festkörper wird dieses kleine Volumen als Teilvolumen gedeutet, in dem der
Festkörper als homogen angenommen werden kann (s. Gl. (9.20)). (b) Gitter der nach periodischen Randbedingungen erlaubten Wellenvektoren ~k mit Einheitszellengröße (2π)2 /(L x Ly ) (rot). Betrachtetes rechteckiges Volumen im k-Raum mit Grundseitenlängen dk x und dky (cyanblau). Die Anzahl der Gitterpunkte, d. h. die Anzahl der erlaubten Zustände ist dk x dky /[(2π)2 /(L x Ly )]. Es wird also angenommen, dass
2π/L x < dk x < κ x und 2π/Ly < dky < κy . Hier sind κ x und κy typische Impulsraumlängen, auf denen ein
k-abhängiger Integrand variiert, über den wie in Gl. (9.8) integriert werden soll.
Mit Hilfe der Verteilungsfunktion f können wir Teilchenzahlen berechnen: In einem homogenen System
mit dem Ortsraumvolumen V ergibt sich mit E = E(~k) für die Teilchenzahl dN(~k) im k-Raumvolumen d3 k
V
dN(~k) = f [E(~k)]Dk d3 k = f [E(~k)] 3 d3 k.
4π
(9.2)
Hier ist Dk die bereits in Gl. (??) eingeführte Zustandsdichte im k-Raum, die inklusive Spinentartung mit
periodischen Randbedingungen gegeben ist durch 2V/(2π)3 = (L x Ly Lz )/(4π3 ) (s. Abb. 9.1 (b)). Für die
Leitungsbandelektronen gilt in Effektifmassennäherung Für ein parabolisches Leitungsband in einem homogenen Halbleiter
~2 2
E(~k) =
k + EL
(9.3)
2mL
mit der effektiven Masse mL .
Für einen in Abb. 9.1 (a) dargestellten kleinen Festkörper mit dem Volumen V = d3 r am Orte ~r lässt sich in
Abwandlung von (9.2) formal schreiben
f [E(~k)] 3 3
dN(~k) =
d rd k ≡ ρ(~k)d3 rd3 k ≡ ρ(u)d6 u.
4π3
(9.4)
Hier ist
dN(~r, ~k, t)
= ρ(u, t) = ρ(~r, ~k, t)
(9.5)
d6 u
die Teilchendichte im sechsdimensionalen Phasenraum u = (~r, ~k) mit dem Volumenelement d6 u = d3 rd3 k,
wobei zusätzlich eine Orts- und eine Zeitabhängigkeit zugelassen haben. Im homogenen System im thermischen Gleichgewicht gilt mit (??)
f [E(~k)]
ρ(u, t) = ρ(~k) =
.
4π3
(9.6)
74
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Durch externe Störungen wird die Teilchendichte im sechsdimensionalen Phasenraum i. A. orts- und zeitabhängig.
Abbildung 9.2: Quasistationärer Zustand bei der Einstrahlung von Licht, schnelle Intra-Band Relaxation
durch wiederholte Phononenemission.
Ein typisches Beispiel für die Störung des thermischen Gleichgewichts ist die Einstrahlung von Licht (s.
Abb. 9.2). Bei Einstrahlung von Licht werden Elektronen zunächst in höhere Bänder gehoben. Durch Abgabe der Energie z. B. an Gitterschwingungen können sie wieder ’herunterfallen’ (relaxieren). Bei zeitlich konstanter Lichteinwirkung gehen wir von einer konstanten Anregungsrate G (= Generationsrate) der
Elektronen-Lochpaare aus, so dass sich nach einer Einschwingphase mit zeitabhängiger Phasenraumdichte
ρ(~r, ~k, t) ein stationäres Fließgleichgewicht einstellen wird. Dieses wird durch eine zeitunabhängige Teilchendichte ρ(~r, ~k) beschrieben, die nicht der Gleichgewichtsverteilung entspricht. Bei örtlich homogener
Verteilung der Strahlung ist eine ortsunabhängige Phasenraumdichte zu erwarten, ρ(~r, ~k) = ρ(~k).
Im Allgemeinen sind die Intrabandprozesse sehr schnell und die Interbandprozesse langsam. Bei Intrabandprozessen ist nämlich die Emission von niederenergetischen Gitterschwingungsquanten (Phononen)
möglich, bei Interbandprozessen wegen der Größe der Bandlücke nicht. Wichtige Interbandprozesse sind
strahlende Rekombination (Aussendung eines Photons), Auger-Rekombination (Anregung eines Elektrons)
und Rekombination über Störstellen (Shockley-Read-Hall-Prozesse). Wegen der Schnelligkeit der Intrabandprozesse nehmen die Elektronen innerhalb eines Bandes sehr schnell eine thermische Verteilung an.
Wegen der Langsamkeit der Interbandprozesse stimmt die Gesamtzahl der Elektronen weder im LB noch
im VB mit derjenigen im thermischen Gleichgewicht überein. Im Nichtgleichgewichtsfall kann daher angenommen werden, dass analog zu (9.5) die Phasenraumdichte durch eine Fermiverteilungsfunktion bestimmt
ist, in der jedoch an Stelle von µ eine quasi-Fermi-Energie µn eingesetzt wird,
ρ(~r, ~k, t) → ρ(~r) =
fn (~k)
4π3
mit
fn [E(~k)] =
1
n
exp( E−µ
kB T )
+1
.
Bei der so angesetzten Verteilung gilt für die Ortsraumdichte n(~r) nach Gl. (9.4)
Z
Z
3
3
~
dN(~r) ≡
d kdN(~r, k) = d r d3 kρ(~r, ~k)
Z
Z
dN(~r)
1
⇒ n(~r) = 3 =
d3 kρ(~r, ~k) = 3
d3 k fn [E(~k)] = n.
d r
4π
(9.7)
(9.8)
9.2. PHASENRAUMDICHTE UND QUASI-FERMIENERGIEN
75
Abbildung 9.3: Quasi-Ferminiveaus µn und µ p im intrinsischen Halbleiter, n0 = p0 = ni bei stationärer,
ortsabhängiger Beleuchtung. Im thermischen Gleichgewicht ohne Beleuchtung gelten n0 = p0 = ni und
µn = µ p µ.
Dieser Ausdruck entspricht dem bereits behandelten Gleichgewichtsfall mit µ ↔ µn . Es wurde für ein
parabolisches Leitungsband mit der Dispersion (9.3) hergeleitet
!
Z ∞
µn − E L
1
E−µ ∼ NL exp
n=
.
(9.9)
dE D(E)
n
kB T
EL
+1
exp
kB T
Hier gilt wie in Gl. (??) gezeigt
d3 k
= D(E)dE
4π3
mit der energieabhängigen Zustandsdichte in drei Dimensionen
√ 3/2
L 2m
D(E) = Nv
(E − E L )1/2 Θ(E − E L )
π2 ~3
(9.10)
(9.11)
und die Valley-Entartung im Leitungsband NvL . Weiterhin ist nach Gl. (5.5) die effektive Zustandsdichte des
Leitungsbandes
!3
mL k B T 2
NL = 2NvL
.
(9.12)
2π~2
Das Ergebnis (9.9) ist identisch mit dem bereits abgeleiteten Resultat im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn man µn = µ setzt. Bei gegebener Nichtgleichgewichts-Elektronendichte im Leitungsband berechnet sich das quasi-Fermienergie gemäß
!
n
.
(9.13)
µn = E L + kB T ln
NL
Für Löcher setzt man eine Nichtgleichgewichtsverteilung
f (E) = 1 −
1
E−µ
exp( kB Tp )
+1
(9.14)
76
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
an und erhält analog
p = NV exp
!
!
EV − µ p
p
⇒ µ p = EV − kB T ln
.
kB T
NV
Im thermischen Gleichgewicht gelten µn = µ p = µ und n = n0 , p = p0
!
!
n0
p0
µ = E L + kB T ln
= EV − kB T ln
.
NL
NV
(9.15)
(9.16)
Somit erhalten wir mit (9.13)
µn = µ + ln
n
n0
!
und
µ p = µ − ln
p
p0
!
(9.17)
bei Beleuchtung. Das chemische Potenzial µ im thermischen Gleichgewicht spaltet dann wie in Abb. (9.3)
dargestellt, in zwei quasi-Fermienergien µn und µ p auf,
 
!
 np 
n
µn − µ p = ln  2  = 2 ln
(9.18)
n0
n0
mit n = p. In Abbildung (9.3) ist die Beleuchtung inhomogen und daher n = n(~r) und ρ = ρ(~k,~r). Die
einfachste Berücksichtigung dieses Umstands ist der Ansatz
!
!
n(~r)
p(~r)
µn → µn (~r) = µ + ln
und µ p (~r) = µ − ln
.
(9.19)
n0
p0
Bei inhomogener Beleuchtung treten jedoch weitere Phänomene wie die laterale Ladungsträgerdiffusion
und laterale elektrische Felder auf. Daher brauchen wir eine komplexere Theorie zur Bestimmung der
Nichtgleichgewichts-Phasenraumdichte, die auf der im Folgenden dargestellten Boltzmanngleichung beruht.
9.3. LADUNGSTRÄGER ALS QUANTENMECHANISCHE WELLENPAKETE MIT SEMIKLASSISCHER DYNAMIK77
9.3
Ladungsträger als quantenmechanische Wellenpakete mit semiklassischer Dynamik
Im Transportproblem wird zwischen Sourcekontakt und Drainkontakt eine Spannung VD angelegt. Es entsteht hierdurch im Festkörper ein elektrostatisches Potential U(~r), welches einen Teilchenstrom treibt, d. h.
entsteht ein offenes System. Für ein solches System soll die stationäre Phasenraumdichte ρ(~r, ~k) berechnet
werden. Hierzu wird der Phasenraum in Zellen eingeteilt:
Abbildung 9.4: (a) Ortsraum-Einteilung einer n − i − n-Struktur in Teilvolumen entlang der x-Achse. In
den n++ -dotierten Kontakten ist die Leitfähigkeit so hoch, dass φn = φ p = φS im Sourcekontakt und
φn = φ p = φD im Drainkontakt, wobei φD = φS − eVD mit der angelegten Drainspannung VD . Durch
die angelegte Spannung variiert die Lage der Bänder E L/V (~ri ). Aus dem Ansatz Gl. (9.54) zur Lösung der
Boltzmanngleichung folgen ortsabhängige quasi-elektrochemische Potenziale für Elektronen und Löcher.
(b) Phasenraumeinteilung in Zellen der Breite dx und dk. In einer Phasenraumzelle sei das Potenzial konstant. Die Teilchen werden durch im Orts- und Impulsraum mit den Breiten l x und lk um das Zentrum bei
x und k lokalisierte Wellenpakete (Kreise in Magenta) repräsentiert. Im vorliegenden Beispiel sind in der
Phasenraumzelle bei u vier Wellenpakte lokalisiert, die Phasenraumdichte beträgt daher ρ(u) = 4/(dxdk).
Wie wir sehen werden, bewegen sich alle diese Wellenpakte mit derselben Geschwindigkeit w = ( ẋ, k̇), die
nur von u abhängt.
1. Zur Erfassung der ortsabhängigen Verteilungsfunktion wird, wie in Kapitel ’6. Der pn-Übergang im
Gleichgewicht’ (s. Abb. 6.3 mit Ψ(x) ↔ U(~r)), eine Ortsraum-Zerlegung in Teilvolumen dxdydz →
78
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
d3 r bei den Orten ~r eingeführt. Diese Teilvolumen sind groß gegen die Gitterkonstante, aber klein gegen die typische Länge der Potentialveränderung des äusseren Feldes. In jedem Teilvolumen schreiben wir wie in Gl. (6.6) in Erweiterung von (9.3)
E L/V (~r) = E L/V (~r) = E L/V + U(~r)
(9.20)
für die Bandkantenenergien. Die quasi-Fermienergie geht im elektrischen Potenzial U über in zunächst
unbekannte ortsabhängige quasi-elektrochemisches Potenziale für Elektronen und Löcher
µn → φn (~r)
µ p → φ p (~r).
(9.21)
2. Zusätzlich wird der k-Raum in Zellen d3 k diskretisiert. Wie in Abb. 9.3 (b) für eine Dimension gezeigt. wird damit der Phasenraum in Zellen d6 u = dxdydzdk x dky dkz = d3 rd3 k eingeteilt. Wie in Gl.
(9.2) ist für jede Phasenraumzelle eine zu bestimmende Phasenraumdichte definierbar mit
dN(~r, ~k, t) = ρ(~r, ~k, t)d3 rd3 k = ρ(u, t)d6 u.
(9.22)
Hier ist dN die Anzahl der Elektronen, die sich in der Phasenraumzelle um den Phasenraum-Ortsvektor
u = (~r, ~k) = (x, y, z, k x , ky , kz ) = (r1 , r2 , r3 , k1 , k2 , k3 )
(9.23)
im Volumenelement d6 u befinden.
3. Die Teilchen werden durch Wellenpakete beschrieben, die innerhalb einer Phasenraumzelle bei u
lokalisiert sind, d. h. sowohl im Orts- wie auch im Impulsraum mit den Breiten l x und lk beschränkt
sind. Es muss nach der Heisenbergschen Unschärferelation für jedes Teilchen (s. Pauli-Prinzip) in
allen Raumrichtungen gelten, wie in x-Richtung
l x lk > 2π.
(9.24)
Es sollen, wie in Abb. 9.3 (b) dargestellt, in jeder Phasenraumzelle einige Teilchen enthalten sein,
was nach (9.24) bedeutet, dass dxdk 1. El wird jedoch weiterhin vorausgesetzt, dass die Phasenraumzelle dxdk klein genug ist, dass sich alle Wellenpakte in einer Phasenraumzelle mit annähernd
derselben Phasenraumgeschwindigkeit
˙
w = (~r˙, ~k) = ( ẋ, ẏ, ż, k̇ x , k̇y , k̇z ) = w(u) = u̇
(9.25)
bewegen, die dann nur von u abhängt. In Appendix 1 und 2 ist gezeigt, dass unter bestimmten Bedingungen die Dynamik eines quantenmechanischen Wellenpakets gegeben ist durch


~ r) 
 ~~k F(~


w(u) =  ,
(9.26)
m ~ 
~ r) = −∇U(~r) = −eE,
~ wobei E~ das externe elektrische Feld ist. Gleichung (9.26) beschreibt die
mit F(~
Phasenraumdynamik. In Anhang 1 und Anhang 2 zu diesem Kapitel wird gezeigt, dass für Wellenpakete wie für klassische Teilchen die semiklassischen Bewegungsgleichungen
~p
~
~r˙ = ~v =
= ~k
m m
(9.27)
und
~˙
~v˙ = ~k = F~
(9.28)
m
gelten. In der Tat hat Boltzmann in der später behandelten Boltzmanngleichung (9.50) klassische
Teilchen behandelt.
9.4. STROMDICHTE UND KONTINUITÄTSGLEICHUNG IN PHASENRAUM
9.4
9.4.1
79
Stromdichte und Kontinuitätsgleichung in Phasenraum
Stromdichte
Wir definieren im Phasenraum die Stromdichte
j = ρw.
(9.29)
Dieser Ausdruck lässt sich anhand der Bewegung in einer Dimension x illustrieren (s. Abb. 9.5 (a)): Es ist
u = (x, k) und w = ( ẋ, k̇). Für die durch die blaue Begrenzungslinie mit der Länge d f im Zeitintervall dt
Abbildung 9.5: Zur Stromdichte im Phasenraum.
laufende Teilchenzahl gilt
dN = ρ(u)wdtd f ⇒ j =
dN
= ρ(w)w
d f dt
und vektoriell
j = ρw.
(9.30)
Hier ist w der Betrag von w. Weiterhin steht das Linienelement d f senkrecht auf w.
9.4.2
Kontinuitätsgleichung
Die Herleitung der Kontinuitätsgleichung im Phasenraum erfolgt wie in Abbildung 9.6 (a) gezeigt: Es ist
j x,ein
=
j x,aus
=
jk,ein
=
jk,aus
=
dx
, k) ∼ j x (x, k) −
2
dx
j x (x + , k) ∼ j x (x, k) +
2
dx ∂
j x (x, k)
2 ∂x
dx ∂
j x (x, k)
2 ∂x
dk
) ∼ jk (x, k) −
2
dk
jk (x, k + ) ∼ jk (x, k) +
2
dk ∂
jk (x, k)
2 ∂k
dk ∂
jk (x, k).
2 ∂k
j x (x −
(9.31)
sowie
jk (x, k −
(9.32)
Sodann ergibt sich
∂
∂ jx
∂ jk
N = dk( j x,ein − j x,aus ) + dx( jk,ein − j x,aus ) = −dkdx
− dkdx
.
∂t
∂x
∂k
(9.33)
Es folgt die Kontinuitätsgleichung im Phasenraum
∂
ρ = −∇ j = −∇ ρw
∂t
(9.34)
80
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Abbildung 9.6: (a) Zur Kontinuitätsgleichung im Phasenraum und (b) zur Teilchendichte und Stromdichte
in Ortsraum.
mit dem sechskomponentigen Nablaoperator
∇=
!
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
.
,
,
∂x ∂y ∂z ∂k x ∂ky ∂kz
(9.35)
9.5. ORTSRAUMGRÖSSEN DURCH PHASENRAUMDICHTE
9.5
81
Ortsraumgrößen durch Phasenraumdichte
Durch die Boltzmanngleichung wird die Teilchendichte im Phasenraum bestimmt. Die Beschreibung von
Halbleiterbauelementen erfordert jedoch die Kenntnis von Ortraumgrößen.
Zur Herleitung der Dichte n(~r) im Ortsraum summieren wir, wie in Abbildung 9.6 (b) dargestellt, sämtliche
Rechtecke mit gleichem x und unterschiedlichem k → ki = idk auf. Mit dN → dNi wird die Gesamtteilchenzahl in allen Rechtecken
X
X
dN(x, t) ≡
dNi =
dxdkρ(x, ki , t)
(9.36)
i
i
Es folgt für die Dichte im Ortsraum
n(x, t) ≡
dN(x, t)
=
dx
Z
dkρ(x, k, t).
(9.37)
Zur Herleitung der Stromdichte im Ortsraum
Aus Gl. (9.33) ergibt sich mit (9.37)
X
X ∂ j x (x, ki , t)
∂N(x, t) X ∂Ni
∂ j x (x, ki , t)
∂n(x, t)
=
=−
dkdx
⇒
=−
dk
∂t
∂t
∂x
∂t
∂x
i
i
i
(9.38)
i+1
Der zweite Summand in (9.33) entfällt, weil für zwei übereinanderliegende Rechtecke gilt jik,aus = jk,ein
. Im
Limes dk → 0 folgt
Z
Z
X ∂ j x (x, ki , t)
∂ jx
∂
∂
dk
→
dk
=
dk j x (x, k, t) =
J.
(9.39)
∂x
∂x
∂x
∂x
i
Hier ist die Stromdichte im eindimensionalen Ortsraum
Z
Z
~k
J=
dk j x (x, k, t) =
dkρ(x, k, t) ,
m
(9.40)
wobei im zweiten Schritt (9.29) und (9.26) angewendet wurden. Aus (9.38) und (9.39) folgt die Kontinuitätsgleichung im eindimensionalen Ortsraum
∂
∂
n+
J = 0.
∂t
∂x
(9.41)
Der Ausdruck für die Stromdichte im Ortsraum Gl. (9.40) lässt sich in drei Dimensionen verallgemeinern
zu
Z
~~k
~
J(~r, t) =
d3 kρ(~r, ~k, t) .
(9.42)
m
Dieses entspricht der Projektion des sechsdimensionalen Stromdichteoperators im Phasenraum (9.29) auf
die ersten drei Ortskomponenten.
82
9.6
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Boltzmanngleichung zur Berechnung der Phasenraumdichte
Zur Berechnung der ortsabhängigen Verteilungsfunktionen ρ gehen wir zunächst auf die bereits behandelte
Enveloppen-Näherung zurück, für die wir mit der effektiven Masse m im Leitungsband schreiben
" 2
#
~
(H − E)ψ(~r) = − ∆ + E L + U(~r) − E ψ(~r) = 0.
(9.43)
2m
Hier ist U(~r) die potenzielle Energie einer negativen Ladung in einem extern angelegten elektrischen Feld,
welches wir der Einfachheit halber als zeitunabhängig annehmen. Im Teilvolumen um ~r wird das Potenzial
als konstant angenommen, sodass die Eigenfunktionen ψ(~r) durch ebene Wellen mit der Wellenzahl ~k gegeben sind. In der Eigenfunktionsdarstellung von H können daher ersetzen ∆ → −k2 = −k2x − ky2 − kz2 , sodass
der Hamiltonoperator eine einfache skalare Funktion wird,
H=
~2 2
k + E L + U(~r) = E(~r, ~k).
2m
(9.44)
mit E L (~r) = E L + U(~r). Mit den semiklassischen Bewegungsgleichungen (9.27) und (9.28) gilt für ein in
der Phasenraumzelle um (~r, ~k) lokalisiertes Wellenpaket (s. Abb. 4 (b))
und
~~k 1 ∂H
~r˙ =
=
m
~ ∂~k
(9.45)
~k˙ = 1 F~ = − 1 ∂H ,
~
~ ∂~r
(9.46)
~ wobei E~ das externe elektrische Feld ist. In diesen Grundgleichungen sind die Komit F~ = −∇U(~r) = −eE,
ordinaten des sechsdimensionalen Einteilchen-Phasenraums u = (~r, ~k) die Orts- und Impuls-Schwerpunktkoordinaten von Wellenpaketen. Mit (9.45) und (9.46) folgt für die Geschwindigkeit eines Teilchens im
6-dimensionalen Phasenraum
!
1 ∂H ∂H
˙
w = u̇ = (~r˙, ~k) =
,−
= w(u).
(9.47)
~ ∂~k
∂~r
Es gilt daher
∇w =
3
3
3
3
X
X
X
X
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
ṙ j +
k̇ j =
H−
H = 0.
∂r j
∂k j
∂r j ∂k j
∂k j ∂r j
j=1
j=1
j=1
j=1
(9.48)
Dies bedeutet die Quellen- und Senkenfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes. Weiterhin finden wir
w∇ρ =
6
X
j=1
3
wj
3
∂ρ X ∂ρ X ∂ρ
˙
=
ṙ j
+
k̇ j
= ~r˙∇~r ρ + ~k∇~k ρ.
∂u j
∂r
∂k
j
j
j=1
j=1
(9.49)
Mit ∇ j = ∇ ρw = w∇ρ(u, t) + ρ(u, t)∇w = w∇ρ(u, t) erhält man aus der Kontinuitätsgleichung (9.34)
∂ρ/∂t = −∇ j die Boltzmanngleichung
~ r)
∂
F(~
ρ(~r, ~k, t) + ~v∇~r ρ(~r, ~k, t) +
∇~ ρ(~r, ~k, t) = Q
∂t
~ k
(9.50)
zur Bestimmung der Nichtgleichgewichtsverteilungsfunktion. Hierbei gelten
~v =
~~k
m
und für die negativ geladenen Elektronen
~
F~ = −∇U(~r) = −eE.
(9.51)
9.6. DIE BOLTZMANNGLEICHUNG
83
Auf der rechten Seite von (9.50) wurde ein zusätzlicher Quellterm Q per Hand eingeführt. Er repräsentiert
im Folgenden diskutierte zusätzliche Streuprozesse, herein oder haraus aus dem betrachteten Volumenelement d6 u, deren Dynamik nicht vom Hamiltonoperator in Gl. (9.44) und daher nicht von den Gln. (9.45)
und (9.46) beschrieben wird.
84
9.7
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Linearisierte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung: Driftund Diffusionstrom
Für den Quellterm in der Boltzmanngleichung nehmen wir an, dass er sich aus einem Kollisionsterm (Phononen und Verunreinigungen) und einem Generations/Rekombinationsterm (Photonen) zusammensetzt,
Q{ρ} =
∂ρ(~r, ~k, t)
|coll + G(~r, ~k, t) − R(~r, ~k, t),
∂t
(9.52)
wobei G die Generationsrate und R die Rekombinationsrate ist. Für den Kollisionsterm machen wir weiterhin den Relaxationszeit-Ansatz, d.h. die inelastischen Stöße treiben das System mit einer konstanten
Relaxationszeit τ auf ein lokales thermische quasi-Gleichgewicht zu
ρ(~r, ~k, t) − ρ0 (~r, ~k)
∂ρ(~r, ~k, t)
|coll = −
.
∂t
τ
(9.53)
Die ’Zielphasenraumdichte’ ρ0 (~r, ~k) wird in einem zeitunabhängigen externen elektrischen Feld als ebenfalls zeitunabhängig angesetzt. Es wird weiterhin in Verallgemeinerung von Gl. (9.7) angenommen, dass die
Ladungsträger einer Sorte durch schnelle inelastische Stöße entsprechend einem kleinem τ in ein lokales
Fließgleichgewicht kommen, welches durch ortsabhängige quasi-elektrochemische Potentiale φi beschrieben wird. Für die Elektronen im Leitungsband nehmen wir daher analog zu (9.7) in Boltzmannnäherung
an


 E(~r, ~k) − φn (~r) 
1
1
1
~

,
∼
exp −
(9.54)
ρ0 (~r, k) = 3
kB T
4π exp E(~r,~k)−φn (~r) + 1 4π3
kB T
wobei E(~r, ~k) in Gl. (9.44) definiert ist. Dann folgt aus der Boltzmanngleichung
⇒
∂ρ
eE~
ρ − ρ0
+ ~v∇~r ρ −
∇~ ρ = −
+G−R
∂t
~ k
τ
~
∂ρ
~ ~r ρ + τ eE ∇
~ ~ ρ.
−τ~v∇
ρ = ρ0 +
τ(G − R) − τ
∂t}
~ k
|
{z
(9.55)
0 zeitliche Veränderung
von ρ und G − R langsam auf
τ-Skala
Es erfolgt eine Linearisierung in τ, indem rechts ρ0 eingesetzt wird,
ρ ' ρ0 − τ~v∇~r ρ0 + τ
eE~
∇~ ρ0 = ρ(~r, ~k),
~ k
(9.56)
d. h. ρ unterscheidet sich von ρ0 nur durch eine kleine Korrektur. Wegen der Vernachlässigung von ∂ρ/∂t
in (9.55) wird ρ zeitunabhängig, was im sationären Limit exakt ist.
Mit der Phasenraumdichte ρ aus Gl. (9.56) können wir im Prinzip sämtliche interessierende Erwartungswerte berechnen. Beispielsweise gilt für die Ortsabhängigkeit der Teilchendichte nach (9.8) in führender
Ordnung
!
Z
Z
E L (~r) − φn (~r)
,
(9.57)
n(~r) =
d3 kρ(~r, ~k) ∼
d3 kρ0 (~r, ~k) = n0 (~r) ∼ NL exp −
kB T
wobei im letzten Schritt wie in Gl. (9.9) vorgegangen wurde mit µn ↔ φn (~r). Es ist ersichtlich, dass die Orstraumdichte n(~r) im Fließgleichgewicht direkt diejenige ist, die aus n0 (~r) folgt. Die elektrische OrtsraumStromdichte im Leitungsband J~n kann mit (9.42) berechnet werden. Hier verschwindet der Beitrag des
9.7. DRIFT- UND DIFFUSIONSTROM
85
ρ0 -Terms in führender Ordnung τ aus Symmetriegründen,
Z
~
Jn = −e d3 k~vρ
Z
Z
Z
h
i
e2
3
3
~ ~ ρ0 ,
+eτ d k~v ~v∇~r ρ0 − τ
'
−e d k~vρ0
d3 k~v E∇
k
~
| {z }
= 0, ρ0 symmetrisch in ~k
"Z
#
Z
e2
3
3
~
= eτ d k ~v ⊗ ~v ∇~r ρ0 − τ
d k~v ⊗ ∇~k ρ0 E.
~
(9.58)
(9.59)
~B
~ C)
~ = (A
~ ⊗ B)
~ C,
~ wobei A
~⊗B
~ das dyadische
Hierbei benutzen wir die leicht zu verifizierende Identität A(
~ und B
~ ist, entsprechend der Matrix (A
~ ⊗ B)
~ i j = (A)
~ i ( B)
~ j . Es resultiert
Produkt von A
R
R
τ d3 k~v ⊗ ~vρ0
eτ d3 k~v ⊗ (∇~k ρ0 )
R
R
J~n = e
∇n − e
nE~
d3 kρ0
~ d3 kρ0
|
{z
}
|
{z
}
−µ̂n
D̂n
=
eD̂n ∇n
+
eµ̂n nE~
| {z }
| {z }
Diffusionsstrom
Driftstrom
∝ ∇n
∝ E~
,
(9.60)
mit dem Diffusionstensor
~2
(D̂n )i j = τ 2
m
R
R
d3 kki k j ρ0
d3 kvi v j ρ0
R
=τ R
≡ τ < 0|vi v j |0 >≡ τvi v j
d3 kρ0
d3 kρ0
(9.61)
und dem Beweglichkeitstensor
d3 kki ∂k∂ j ρ0
R
.
(9.62)
d3 kρ0
R
Zur Herleitung des Driftstroms erweitern wir (9.59) mit n = d3 kρ0 . Zur Herleitung des Diffusionsstroms
wurde der erste Summand auf der rechten Seite von (9.59) genähert
Z
Z
Z
(9.63)
d3 k ~v ⊗ ~v ∇~r ρ0 ∼
d3 k~v ⊗ ~v∇~r ρ0 = ~v ⊗ ~v d3 k∇~r ρ0 = ~v ⊗ ~v∇~r n(~r).
R
eτ
(µ̂n )i j = −
m
Im ersten Schritt wird die ~k-abhängige Funktion ~v ⊗~v im Integranden durch die über die Verteilungsfunktion
gemittelte (~k-unabhängige)
R
d3 k~v ⊗ ~vρ0 1
~v ⊗ ~v = R
= D̂n
(9.64)
τ
d3 kρ0
ersetzt. In den Übungen rechnen wir leicht nach, dass die im k-Raum isotrope Dispersion (9.44) und der
Normierungsnenner in (9.61) zu einem fundamentalen, ortsunabhängigen und diagonalen Tensor
R
22 R
E(~r,~k)−φn (~r)
3
~ k
3
d
kk
k
exp
−
2
i
j
k
T
B
~
~2 d kki k j exp − 2mkB T
=τ 2 R
2 2 = δi, j Dn
(D̂n )i j = τ 2 R
(9.65)
~
m
m
d3 k exp − ~ k
d3 k exp − E(~r,k)−φn (~r)
kB T
führen mit
R∞
E
5/2 −
2τ 0 dEE e kB T
τkB T
Dn =
=
.
R
3m ∞ dEE 3/2 e− kBET
m
0
2mkB T
(9.66)
86
9.8
9.8.1
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Die Halbleitergleichungen
Gleichungen für den Strom als Gradient des elektrochemischen Potenzials
Mit der Boltzmannverteilung (9.54) und (9.44) gilt
~2 k j ρ0
∂
∂ρ0 ∂E
∂ρ0 ~2 k j
ρ0 =
=
=− ∗
,
∂k j
∂E ∂k j
∂E m
m kB T
(9.67)


2 X
2 X


~
~2
2
 = ~
E L + U(~r) +
0 δ j j0 =
k
2k
kj
0
j
j


2m∗ j0
2m∗ j0
m∗
(9.68)
wobei für das Leitungsband
∂E
∂
=
∂k j ∂k j
und
"
#
~
n (~r)
n (r)
∂ρ0
1 − E−φ
1 1 − E−φ
1
∂
kB T
kB T
=
−
=−
e
e
=
ρ0 .
∂E
∂E 4π3
kB T 4π3
kB T
Einsetzen in (9.62) führt mit (9.61) auf
R
R
R
∂
3
3
d3 kki k j ρ0
eτ~2
eτ d k(~v ⊗ ~v)i j ρ0
eτ d kki ∂k j ρ0
R
R
= 2
=
(µ̂n )i j = − ∗ R
m
kB T
m kB T
d3 kρ0
d3 kρ0
d3 kρ0
e
e
=
(D̂n )i j =
Dn δi, j ≡ µn δi, j .
kB T
kB T
(9.69)
(9.70)
Es folgt die Einsteinrelation
kB T
µn .
e
Aus (9.66) erhält man temperturunabhängig und fundamental
Dn =
µn =
e τkB T
eτ
= ∗.
∗
kB T m
m
(9.71)
(9.72)
Aus Gl. (9.60) ergibt sich aus der Diagonalität und Isotropie von D̂n und µ̂n und der Einsteinrelation
J~n
=
=
eD̂n ∇n + eµ̂n nE~ = eDn ∇n + eµn nE~
µn (neE~ + kB T ∇n).
(9.73)
Es gilt weiterhin nach (9.57)
∇n(~r) =
=
!
!
E L (~r) − φn (~r)
E L (~r) − φn (~r) 1 = −NL exp −
∇E L (~r) − ∇φn (~r)
kB T
kB T
kB T
n(~r) ∇φn (~r) − ∇E L (~r) .
kB T
∇NL exp −
Wir finden somit vermöge
∇E L (~r) = ∇[E L + U(~r)] = eE~
(9.74)
(s. Gl. (9.51)) die Beziehung
J~n
=
µn n(~r)eE~ + µn kB T ∇n(~r) = µn n(~r)∇E L (~r) + µn n(~r) ∇φn (~r) − ∇E L (~r)
=
µn n(~r)∇φn (~r),
(9.75)
d. h. die treibende Kraft für den Strom ist der Gradient des elektrochemischen Potenzials. Analog gilt
J p = µ p p∇φ p .
(9.76)
9.8. DIE HALBLEITERGLEICHUNGEN
9.8.2
87
Gleichungen für die Ladungsträgerdichte
Für die Elektronen im Leitungsband wurde hergeleitet
"
!#
Z
E L + U(~r) − φn (~r)
n(~r) ∼
d3 kρ0 (~r, ~k) = NL exp −
kB T
(9.77)
Für die lokale Dichte der Löcher gilt analog
#
φ p (~r) − EV + U(~r)
.
p(~r) = NV exp −
kB T
"
9.8.3
(9.78)
Poissongleichung
Es wird die Poissongleichung für das elektrostatische Potential aufgestellt,
e2
e[p + ND+ − n − NA− ]
0 mit Randbedingungen und physikalischen Annahmen für ND+ und NA− .
∆U =
9.8.4
(9.79)
Kontinuitätsgleichungen
Die Kontinuitätsgleichung für den elektrischen Strom der Leitungsbandelektronen lautet
∂n 1 ~
− ∇ Jn = G − R,
(9.80)
∂t e
wobei G − R die Differenz der Generations- und Rekombinationsrate von Elektron-Lochpaaren ist. Der
durch Verunreinigungen und Phononenstöße verursachte Kollisionsterm (∂ρ/∂t)col spielt hier keine Rolle,
da er die Elektronendichte im Ortsraum unverändert lässt. Für Löcher gilt analog
∂p 1 ~
+ ∇ J p = G − R.
∂t
e
9.8.5
(9.81)
Zusammenfassung:
Es liegt mit den Stromgleichungen Gln. (9.75) und (9.76), den Ladungsträgergleichungen (9.77) und (9.78),
der Poissongleichung (9.79) sowie den Kontinuitätsgleichungen (9.80) und (9.81) ein vollständiges Gleichungssystem, die Halbleitergleichungen, vor:
1. Vorgegeben werden die Beweglichkeiten µn = eτn /mn und µ p = eτ p /m p mit den ladungsträgerspezifichen Relaxationszeiten und effektiven Massen. Weiterhin müssen systemabhängige Annahmen für
G, R, ND+ und NA− gemacht werden (s. folgende Beispiele).
2. Die Gln. (9.77) und (9.78) zeigen, dass n = n(U, φn ) und p = p(U, φ p ).
3. Die Gleichungen (9.75) und (9.76) können in die Kontinuitätsgleichungen eingesetzt werden, um die
Stromdichten zu eliminieren. Man erhält im statischen Limes (∂n)/∂t = 0 = ∂p/(∂t)
µp
µn
− ∇[n(U, φn )∇φn ] = G − R
bzw.
∇[p(U, φ p )∇φ p ] = G − R.
(9.82)
e
e
4. Zusammen mit der Poissongleichung
e2
(9.83)
e[p(U, φ p ) + ND+ − n(U, φn ) − NA− ]
0 erhält man mit (9.82) drei gekoppelte Gleichungen zur Bestimmung der drei unbekannten Felder
U, φn und φ p .
∆U =
88
9.9
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Anhang 1: Semiklassische Geschwindigkeit von Wellenpaketen
Wir gehen auf die Gleichung (16) im Abschnitt ’3. Elektronenzustände im periodischen Potenzial’ dieser
Vorlesung zurück:





 ~2 
~ 2
~k + ∇

 + V(~r) u~ (~r) = E(~k)u~ (~r),
(9.84)
k
 k
 2m 
i
wobei wir ein gegebenes Band n voraussetzen und dann diesen Index fortlassen. Vorsicht: In Gl. (9.84)
hat ~r die Bedeutung der mikroskopischen Ortskoordinate von der das schnell variierende Gitterpotenzial
V(~r) abhängt. Dagegen hat in Gl. (9.44), (9.45) und (9.46) das Symbol ~r die Bedeutung des Aufpunkts
eines Teilvolumens. Deswegen ist in Gl. (9.84) die Eigenenergie E(~k) unabhängig von ~r. Die in Gl. (9.44)
definierte Größe E(~k,~r) ist daher zu identifizieren mit
E(~k,~r) = E(~k) + U(~r).
(9.85)
Wir wählen als Aufpunkt ~k0 das Zentrum des Wellenpakets in Abb. 4 (b) und betrachten einen kleine
Variation ~k = ~k0 + ~q mit q << k0 . Für die Funktion E(~k) können wir eine Taylorentwicklung schreiben
~ ~ E(~k)~ .
E(~k) = E(~k0 ) + ~q∇
(9.86)
k
k
0
~ ~ E(~k) wenden wir eine Störungstheorie für ~k = ~k0 + ~q, q sehr klein (q << k0 ) an.
Zur Bestimmung von ∇
k
Wir schreiben unter Vernachlässigung von Termen mit q2 :








~ 2
~ 



∇
∇
 ~2 ~


k0 +  + 2~q ~k0 +  + V(~r)
u (~r) = E(~k)u~k (~r).
(9.87)



 2m
 ~k
i
i
In nullter Ordnung q: ~k = ~k0






~ 2


∇

 ~2 ~
u = E(~k0 )u~k0 (~r)
k0 +  + V(~r)



 ~k0
 2m
i
(9.88)
⇒ Störoperator
~
~2 ~
∇
~q(k0 + ).
m
i
Durch die Energieänderung in erster Ordnung finden wir im Vergleich mit Gl. (9.86)


Z
~ 
1
~2 ~
∇
3
∗
~
~
E(k) − E(k0 ) =
d r u ~ (~r) ~q k0 +  u~k0 (~r)
nk 0
VGZ GZ
m
i
H1 =
(9.89)
~ ~ E(~k)|~ ,
= ~q∇
k
k0
(9.90)
mit
1 ~2
∇~k E(~k)|~k0 =
VGZ m


~

∇


d3 r u~∗k (~r) ~k0 +  u~k0 (~r).
0
i
GZ
Z
(9.91)
Setze ein:
ψ~k0 (~r) =
⇒
~
∇
ψ~ (~r) =
i k0
1
√ exp(i~k0~r)u~k0 (~r)
V


~ 
1
∇
~
~
√ exp(ik0~r) k0 +  u~k0 .
i
V
(9.92)
9.9. ANHANG 1: SEMIKLASSISCHE GESCHWINDIGKEIT VON WELLENPAKETEN
⇒
2
~ ~k)|~ = ~ N
∇E(
k0
m i
Z
~ ~ = ~
d3 rψ~∗ ∇ψ
k0
k0
m
GZ
Z
V
d3 rψ~∗ ~pψ~k0 =
k0
~
h~p~ i = ~~v0 ,
m k0
89
(9.93)
wobei N die Anzahl der Gitterzellen ist. Es gilt also
~v0 =
1
1
h~p~ i = ∇~k E(~k)|k0
m k0
~
(9.94)
die mittlere Geschwindigkeit im Blochzustand |~k >, entspricht der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes
mit Zuständen im Intervall um ~k.
Anwendung die ebenen Wellenzustände im Teilvolumen bei ~r mit Gl. (9.44) erbringt
[~v]i =
.
1 ∂ ~
1 ∂
~
1 ∂ ~
E(k) =
E(k,~r) =
H = ki .
~ ∂ki
~ ∂ki
~ ∂ki
mi
(9.95)
90
9.10
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Anhang 2: Semiklassische Beschleunigung von Wellenpaketen
Legen wir z. B. eine Spannung an den Festkörper an oder setzen wir ihn einer Strahlung aus, treten zusätzlich zu dem gitterperiodischen Potential noch nichtperiodische Kräfte auf. Hier betrachten wir den einfachsten Fall eines einfachen Zusatzpotentials ϕ(~r), das z. B. durch eine externe Spannung erzeugt wird.
Für die semiklassische Theorie ist es ganz entscheidend, das ϕ(~r) auf der Skala der Gitterzelle nur schwach
veränderlich ist. Dieses ist bei vielen Bauelementen gegeben. Wir haben:
Ĥ =
p̂2
+ V(~r) −eϕ(~r).
2m {z }
|
(9.96)
Ĥ0
Wir lösen formal die zeitabhängige Schrödingergleichung:
!
∂ψ
Ĥ
i~
= Ĥψ ⇒ ψ(~r, t) = exp −i t ψ(~r, t = 0).
∂t
~
(9.97)
Betrachte die zeitliche Entwicklung einer Wellenfunktion ψ~k (~r, t) , die zum Zeitpunkt t = 0 im Blochzustand
ψ~k0 (~r), d. h. im Eigenzustand des Hamiltonoperators mit V(~r) ohne ϕ(~r) vorlag (der Bandindex wird der
Einfachheit halber fortgelassen) .
ψ~k (~r, dt) = exp −i
!
i
Ĥdt
ψ~k (~r, t = 0) ≈ (1 − Ĥdt)ψ~k0 (~r),
~
~
wobei dt ein infinitesimales Zeitinkrement darstellt.
Wir betrachten die Translationseigenschaften des Zustandes nach dt, wobei ~a : ein Gittervektor ist.
T̂~a ψ~k (~r, dt)
=
=
i
T̂~a (1 − Ĥdt)ψ~k0 (~r)
~
i
i
(1 − Ĥdt)T̂~a ψ~k0 (~r) − dt[T̂~a , Ĥ]ψ~k0 (~r)
~
~
(9.98)
Weiterhin
[T̂~a , Ĥ] =
=
[T̂ a , −eϕ(~r)] = −eT̂~a ϕ(~r) + eϕ(~r)T̂~a
−e (T̂~a ϕ(~r)T̂~a−1 ) T̂~a + eϕ(~r)T̂~a
| {z }
ϕ(~r+~a)
=
=
−e[ϕ(~r + ~a) − ϕ(~r)]T̂~a ≈ −e~a∇ϕT̂~a
+e~aE~ T̂~a = −~aF~ T̂~a .
(9.99)
Wir setzen eine schwache Veränderlichkeit von φ im Bereich der Ausdehnung des Wellenpakets voraus,
sodass F~ eine Konstante ist. Auch ist ~a durch die Bedingung limitiert, dass a kleiner als die Ausdehnung
der Wellenfunktion ist.
Man hat
(T̂~a ϕ(~r)T̂~a−1 ) f (~r) =
⇒
Insgesamt
T̂~a ϕ(~r)T̂~a−1
=
T̂~a ϕ(~r) f (~r − ~a) = ϕ(~r + ~a) f (~r)
ϕ(~r + ~a)
(9.100)
9.10. ANHANG 2: SEMIKLASSISCHE BESCHLEUNIGUNG VON WELLENPAKETEN
T̂~a ψ~k (~r, dt) =
=
i
~ a)dt]T̂~a ψ~ (~r)
[1 − (Ĥ − F~
k0
~
i~
i
exp( Ĥdt + F~adt) exp(i~k0~a)ψ~k0 (~r)
~
~
91
(9.101)
~ a als auch ~k0~a einfache Zahlen sind, die mit dem Operator Ĥ kommuJetzt wird ausgenutzt, dass sowohl F~
tieren. Dann ist
T̂~a ψ~k (~r, dt) =
=
i
exp[i~k~a] exp[− Ĥdt]ψ~k0 (~r)
~
exp[i~k~a]ψ~k (~r, dt),
(9.102)
~
mit ~k = ~k0 + F~ dt. Aus der letzteren Beziehung folgt (9.46)
˙ ~
~~k = F.
(9.103)
Kapitel 10
Der pn-Übergang im
Nichtgleichgewicht: pn-Diode,
Solarzelle und Bipolartransistor
10.1
Die pn-Diode
Im pn-Übergang fließt ohne externe Spannung kein Strom. Dies liegt daran, dass Drift- und Diffusionsstrom sich ausgleichen: Durch das Abfallen der Elektronendichte entlang des pn-Übergangs von der nzur p-Seite wird ein Diffusionsstrom der Elektronen in diese Richtung induziert. Andererseits existiert eine
Sperrschichtbarriere in der Verarmungszone, deren Potenzialgradient einen Driftstrom in die Gegenrichtung
erzeugt. Drift- und Diffusionsstrom heben sich gegenseitig auf.
In Abb. 10.1 (a) wird Beschaltung des pn-Übergangs in Flusspolung (U > 0, Spannung in Durchlassrichtung) gezeigt: Bei geerdeter p-Seite wird der Minuspol der Spannungsquelle an der n-Seite angelegt.
Dadurch wird das elektrostatische Potenzial (einer positiven Ladung) auf der n−Seite erniedrigt, d. h. die
potenzielle Energie der Elektronen auf der n-Seite erhöht. Die Sperrschichtbarriere wird somit für Elektronen und Löcher kleiner (s. Abb. 10.1 (b)). Infolgedessen sinkt der Driftstrom, aber (im Wesentlichen)
nicht der Diffusionsstrom. Die Balance zwischen Drift- und Diffusionsstrom wird also gestört und es wird,
wie in Teilbild (c) gezeigt, ein Elektronen-Teilchenstrom von der n-Seite her und ein gegenläufiger LochTeilchenstrom von der p-Seite her emittiert. Aufgrund der unterschiedlichen Ladungen von Elektronen und
Löchern ist der elektrische Strom auf beiden Seiten des pn-Übergangs gleichgerichtet vom Pluspol zum
Minuspol der Spannungsquelle.
In der Sperrschichtnäherung gehen wir davon aus, dass Raumladungen und elektrisches Feld auf die Sperrschicht beschränkt sind, welche zwischen x p und xn liege (s. Abb. 10.1 (d)). Außerhalb dieser Sperrschicht,
im p-Bahngebiet x ≤ x p auf der p-Seite und im n-Bahngebiet x ≥ xn auf der n-Seite, ist das elektrische Feld
vernachlässigbar.
Wie in Teilbild (c) gezeigt, wird bei Flusspolung ein Elektronenstrom von der n-Seite und ein Lochstrom
von der p-Seite emittiert. Da die Sperrschicht sehr dünn ist, gehen wir davon aus, dass dort keine Rekombination stattfindet. Diese vollzieht sich in den Bahngebieten innerhalb einiger Diffusionslängen (s.
Gl. (10.5)). Wegen der Abwesenheit der Rekombination in der Sperrschicht gilt für den Elektronenstrom
Jn (x p ) = Jn (xn ) und für den Lochstrom J p (x p ) = J p (xn ). Es folgt für den Gesamtstrom
J = Jn (x p ) + J p (x p ) = Jn (x p ) + J p (xn ).
(10.1)
Der Gesamtstrom kann also dargestellt werden als Summe der Minoritätenströme Jn (x < x p ) der Elektronen
im p-Bahngebiet und J p (x > xn ) der Löcher im n-Bahngebiet. Diese Minoritätenströme in den Bahngebieten
92
10.1. DIE PN-DIODE
93
Abbildung 10.1: (a) pn-Übergang in Flusspolung (Durchlasspolung, U > 0). (b) Durchgezogene braune
Linien: Leitungs- und Valenzbandkante bei U = 0, gestrichelte braune Linien bei Flusspolung mit verringerter Potenzialbarriere , (c) Verteilung des Loch- und des Elektronenstroms bei Flusspolung und (d)
Niveauschema des belasteten Übergangs mit Aufspaltung des elektrochemischen Potenzials für Elektronen
und Löcher.
94
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
lassen sich einfach behandeln, denn der Driftstromanteil ∝ nE bzw. ∝ pE kann vernachlässigt werden, weil
sowohl E als auch n bzw. p sehr klein sind. Der Minoritätenstrom der Elektronen im p-Bahngebiet ergibt
sich als reiner Diffusionsstrom gemäß
Jn (x ≤ x p ) = eDn
∂n
.
∂x
(10.2)
Die Majoritätenströme sind komplexer, denn wegen der großen Majoritätsträgerdichte kann auch bei sehr
kleinem elektrischen Feld ein nennenswerter Driftstrom entstehen. Im stationären Fall ist ∂n/∂t = ∂p/∂t =
0 und aus der Kontiunitätsgleichung folgt in Relaxationszeitnäherung im p-Bahngebiet
−
n − n p0
1 ∂Jn
·
=G−R=−
.
e ∂x
τn
(10.3)
Hier ist n p0 die Elektronendichte im geerdeten p-Halbleiter, im thermischen Gleichgewicht und τn Rekombinationslebensdauer der Elektronen. Es wird G − R = G angesetzt. Hierbei sind G die Elektronen, die von
der n-Seite aus kommend bei x p in das Leitungsband hineingestreut werden und im zweiten Schritt gegen
die Gleichgewichtsverteilung relaxieren. Einsetzen von (10.2) führt auf
Dn
Definiere die Diffusionslänge
Ln =
√
∂2 n n − n p0
.
=
τn
∂x2
(10.4)
Dn τn dann
∂2 n n − n p0
−
= 0.
∂x2
Ln2
(10.5)
n(x → −∞) = n p0
(10.6)
Mit der Randbedingung
erhält man die Lösung
n(x ≤ x p ) = A exp
!
x
+ n p0 .
Ln
(10.7)
Zur Bestimmung von A untersuchen wir n(x p ), indem wir das elektrochemische Potenzial der Elektronen und Löcher verfolgen (s. Abb. 10.1 (d)) : Da nur wenige Elektronen aus der Sperrschicht in das pBahngebiet injiziert werden ist diese Störung für die Lochdichte vernachlässigbar und es gilt dort
p(x ≤ x p ) = p p0
und
φ p (x ≤ xn ) = φ p (x ≤ x p ) = φ = µ,
(10.8)
mit der Lochdichte p p0 im p-Halbleiter im thermischen Gleichgewicht. Im ersten Schritt der rechten Gleichung haben wir das elektrochemische Potenzial der Löcher in der Sperrschicht wegen der fehlenden Rekombination konstant gesetzt. Im zweiten Schritt wurde berücksichtigt, dass im p-Bahngebiet die Anzahl
der rekombinierenden Löcher gegen die Gesamtzahl der Löcher vernachlässigbar ist, sodass das elektrochemische Potenzial bis zum Inneren des p-Halbleiters annährend konstant ist (s. Übung 21.1). Im Inneren
des des p-HLs sind sämtliche zusätzliche Elektronen rekombiniert und sowohl Elektronen- als auch Lochkonzentration entsprechend dem Gleichgewichtswert, sodass φn = φ p = φ. Der letzte Schritt in der rechten
Gleichung von (10.8) folgt aus der Erdung des p-Halbleiters, weswegen das elektrostatische Potenzial dort
verschwindet. Dann ist das elektrochemische Potenzial identisch mit dem chemischen Potenzial. Für die
Elektronen gilt analog
n(x ≥ xn ) = nn0
und
µ + eU = φn (x ≥ xn ) = φn (x ≥ x p ),
(10.9)
10.1. DIE PN-DIODE
95
wobei nn0 die Gleichgewichtsdichte im isolierten n-Halbleiter ist. Aufgrund der angelegten Spannung sind
sowohl das elektrochemische Potenzial der n-Majoritätsträger als auch alle anderen Energieniveaus im nBahngebiet um eU angehoben. Wegen der Rekombinationsfreiheit ist φn beim Übergang durch die Sperrschicht konstant, sodass φn (x p ) = µ + eU. Es gilt dann
n(x p ) = NL e
−
E L −φn (x p )
kB T
= NL e
wobei
−
n p0 = NL e
−
E L −(µ+eU)
kB T
E L −µ
kB T
eU
= n p0 e kB T ,
.
(10.10)
(10.11)
Durch die Injektion der Nichtgleichgewichtselektronen wird also die Elektronenkonzentration bei x p expoeU
nentiell mit U/kB T erhöht. Aus der Bedingung (10.10), n(x p ) = n p0 e kB T , lässt sich die Konstante A in Gl.
(10.7) bestimmen mit dem Ergebnis
"
!
#
"
#
x − xp
eU
n(x) = n p0 + n p0 exp
− 1 exp
.
(10.12)
kB T
Ln
Die Bedingung (10.10) lässt sich durch Einsetzen x = x p leicht verifizieren. Für den Elektronenstrom ergibt
sich aus Gl. (10.2)
!
#
"
#
"
x − xp
eDn
eU
− 1 exp
(Diffusionsstrom).
(10.13)
Jn (x ≤ x p ) =
n p0 exp
Ln
kB T
Ln
und somit
"
!
#
n p0
eU
exp
−1 .
Ln
kB T
(10.14)
"
!
#
eU
pn0
J p (xn ) = eD p
exp
−1 .
Lp
kB T
(10.15)
Jn (x p ) = eDn
Analog erhält man auf der n−Seite
Mit Gl. (10.1) folgt
"
⇒I
#
"
!
#
eU D p pn0 Dn n p0 eU
= eA
+
exp
− 1 = IS exp
−1 .
Lp
Ln
kT
kB T
(10.16)
Hierbei ist A die Grundfläche der Diode und
D p pn0 Dn n p0
IS = eA
+
Lp
Ln
!
(10.17)
ist der Sättigungsstrom.
Wie in Abb. 10.2 dargestellt, beschreiben Gl. (10.16) und (10.17) den gemessenen Strom eines belasteten
pn-Übergangs in einem mittleren Spannungsbereich recht gut. Für große positive Spannungen begrenzt der
ohmsche Widerstand der Bahngebiete den Strom, der dann nicht mehr exponenziell wachsen kann. Bei
großer negativre Spannung erfolgt ein Durchbruch, d. h. der Strom wächst stoßartig. Mechanismen für den
Durchbruch:
1. Tunneln: Bei starker Bandverbiegung unter hohen Sperrspannungen können Elektronen aus dem Valenzband des p-Gebietes in das freie Zustände des Leitungsbandes im n-Gebiet tunneln.
2. Lawinendurchbruch: In der Sperrschicht existiert bei großen negativen Spannungen ein im starkes
elektrischen Feld E, welches die Minoritätsladungsträger, d. h. die Elektronen auf der p-Seite und die
Löcher auf der n-Seite, in Stromrichtung treibt. Ist das elektrische Feld groß genug, können Minoritätsladungsträger zwischen zwei Stößen eine kinetische Energie größer als Eg aufnehmen und dort
Elektron-Lochpaare erzeugen. Die entstehenden Ladungsträger vermehren sich lawinenartig.
96
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.2: (a) Ideale Kennlinie einer pn-Diode nach Gl. (10.17) (b) Realistische Kennlinie mit Durchbruch bei großen negativen Spannungen (c) Ersatzschaltbild, welches die grün gestrichelte Näherung für
die kennlinie ergibt.
10.2
Die Solarzelle
10.2.1
Aufbau und prinzipielle Wirkungsweise
Das Äußere und der Aufbau einer konventionellen Solarzelle ist in Abb. 10.3 dargestellt. Die klassische
Silizium-Solarzelle besteht aus einer ca. 1µm dicken n-Schicht, welche auf das ca. 0,6 mm dicke p-leitende
Si-Substrat aufgebracht wurde. Zwischen n-Schicht und dem p-Substrat bildet sich ein pn-Übergang. Die
n-Schicht ist so dünn, damit das Sonnenlicht besonders in der Raumladungszone zur Raumladungszone
des pn-Übergangs gelangen kann. Die Raumladungszone ist der Maschinenraum der Solarzelle: Die hier
generierten Elektron-Lochpaare werden durch das elektrische Feld der Sperrschicht getrennt. Die generierten Elektronen werden in Richtung n-Schicht beschleunigt, die generierten Löcher in die p-Schicht.
Sowohl die generierten Elektronen als auch die generierten Löcher sind in den angrenzenden Bahngebieten
Majoritätsträger und haben eine extrem kleine Rekombinationswahrscheinlichkeit mit den umgebenden Minoritätsträgern. Sie können daher zu den Kontakten gelangen und von dort in den externen Lastwiderstand.
Das p-leitende Si-Substrat muss dick genug sein, um die tiefer eindringenden Sonnenstrahlen absorbieren zu
können und um der Solarzelle mechanische Stabilität zu geben. Die Elektronen der in der Tiefe generierten
Elektron-Lochpaare können besonders bei monokristallinen Solarzellen zum Teil durch Diffusionsprozesse
zur Raumladungszone gelangen und wirken dann wie dort generierte Elektronen. Wie bereits gesagt, ist die
Raumladungszone ist der eigentliche ’Motor’ der Solarzelle. Trifft ein Lichtquant in die Raumladungszone,
so ’wirft’ es ein negatives Elektron aus dem positiven Loch. Beide wandern entsprechend der durch die
Raumladungszone aufgebauten Feldkraft, das Elektron zur positiven Raumladung im n-dotierten Bereich,
das positive Loch zur negativen Raumladung im p-dotierten Bereich und es entsteht an den Metallkontakten eine Spannung von ca. U 0 = 0, 5V. Wie in Abb. 10.4 (a) dargestellt, wirkt diese Spannung wie eine
Spannung am pn-Übergang in Flusspolung: Bei geerdeter p-Seite werden die Bänder auf der n-Seite ange-
10.2. DIE SOLARZELLE
97
Abbildung 10.3: (a) Aufbau einer konventionellen Solarzelle (s. http://www.leifiphysik.de) (b) Draufsicht.
hoben, weil sich dort Elektronen ansammeln. Aufgrund dieser Elektronensammlung entsteht der Minuspol
der Solarzelle auf der n-Seite und der Pluspol an der p-Seite. Der Minuspol der Solarzelle wird über die
Frontkontaktfinger und der Pluspol über den Rückkontakt nach außen geführt. Hierdurch entsteht ein Serienwiderstand RS , der als innerer Widerstand der Solarzelle als Spannungsquelle (s. Abb 10.4 (b)). Daher
ist die außen abgreifbare Klemmspannung U kleiner als U 0 . Wie in Abb. 10.4 (c) gezeigt, wird der in der
Solarzelle erzeugte Strom in einem äußeren Stromkreis als Nutzstrom I über einen Verbraucherwiderstand
RL geführt. Je intensiver die Beleuchtung und je großflächiger die Grenzschicht ist, desto mehr ElektronenLoch-Paare entstehen und umso größer ist dann auch die Stromstärke, welche die Solarzelle liefern kann.
Pro Quadratzentimeter beleuchteter Solarzellenflc̈he kann man mit einer Stromentnahme von etwa 20mA
rechnen. In Praxis tragen nicht nur in der Raumladungszone generierte Elektron-Lochpaare bei, sondern
auch in den Bahngebiete generierte Paare, wenn der generierte Minoritätsträger die Raumladungszone erreicht. Dies bedeutet einen maximalen Abstand in der Größenordnung der Diffusionslänge.
Da nicht jedes ’Lichtteilchen’ ein Elektron-Loch-Paar bildet und ein Elektron mit einem Loch wieder rekombinieren kann und dabei nur Wärme produziert (die Rekombination steigt mit der Betriebstemperatur),
ist der Wirkungsgrad einer Solarzelle begrenzt. Er liegt heute im Bereich von 15% - 20%.
10.2.2
Kennlinie
Das Ersatzsatzschaltbild einer Solarzelle ist in Abb. 10.6 (a) dargestellt: Parallel zur Diode D des pn-Übergangs liegt zum einen Stromquelle, die dem photoinduzierten Strom entspricht. Dieses ist im Wesentlichen ein Feldstrom der in der Sperrschicht erzeugten und getrennten Elektronen-Lochpaare. Zum anderen
98
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.4: a) Generiertes Photoelektronenpaar. Trennung durch die Feldkraft: Das Elektron wandert
zum n-HL, das Loch zum p-HL es entsteht eine Primärspannung U 0 , die einer am pn-Übergang angelegten
Spannung in Flusspolung entspricht (s. Abb. 10.1 (b)). (b) Aufbau der Solarzelle: der auf der Photostrom
wird auf der von der n-Seite über die Frontkontaktfinger zum Minuspol geführt, der und von der p-Seite
auf den Pluspol. Über Pluspol und Minuspol liegt die Klemmspannung U. (c) Externer Stromkreis: Die
Klemmspannung treibt einen Nutzstrom I über den Lastwiderstand RL .
existiert ein Parallelwiderstand RP , welcher durch Kristallfehler, nichtideale Dotierungsverteilungen und
andere Materialdefekte hervorgerufen wird, durch die Verlustströme entstehen, die den p-n-Übergang überbrücken. In Serie liegt der bereits behandelte Widerstand RS , der dem Bahnwiderstand der Kontaktbereiche
entspricht. Der von der Solarzelle an den Verbraucher - hier ein ohmscher Lastwiderstand RL - abgegebene
Strom ist gleich dem Betrag des Photostrom IPh abzüglich des Diodenstroms ID und des Stroms über den
Parallelwiderstand RP ,
eU 0
U +R I
e(U+RS I)
U0
S
I = IPh − IS e kB T − 1 −
= IPh − IS e kB T − 1 −
,
(10.18)
R
R
P
P
| {z }
|{z}
Diodenstrom
Parallelwiderstand
wobei für den Diodenstrom ID (10.16) und (10.17) verwendet wurden. Die hierduch definierte Funktion
I(U) ist in Abb. 10.5 als rote Kennlinie eingetragen. Im zweiten Schritt von (10.18) wurde berücksichtigt,
dass die äußere Klemmspannung U und die Spannung U 0 sich sich um den Spannungsabfall am Serienwiderstand RS unterscheiden,
U 0 = U + RS I.
(10.19)
Im Kurzschlussfall (short cut) mit U = 0 ist bei sehr kleinem RS und somit U 0 = 0 der Kurzschlussstrom
identisch mit dem Photostrom, I sc ∼ IPh . Bei Leerlaufspannung I = 0 (offene Enden, open circuit) liegt für
große Werte von RP die Beziehung
!
I ph
(10.20)
Uoc = kB T ln 1 +
IS
vor. Wie aus Abb. 10.5 (b) hervorgeht, ergibt sich der Arbeitspunkt der Solarzelle aus dem Schnittpunkt
(I0 , U0 ) der Solarzellen-Kennlinie (10.18) und der Lastgeraden
I=
U
.
RL
(10.21)
10.2. DIE SOLARZELLE
99
Abbildung 10.5: (a) Ersatzschaltbild im Eindiodenmodell. Der Diodenstrom ID und über den Parallelwiderstand fließende Strom IP vermindern als Verluststrom den nach außen dringenden Strom I, der vom
absorbierten Photostrom I ph erzeugt wird. b) In rot die Kennlinie einer Diode I(U) nach der rechten Seite
von Gl. (10.18) und in blau die Lastgrade nach Gl. (10.21). Der Arbeitspunkt der Solarzelle ergibt sich als
Schnittpunkt der Kennlinie der Solarzelle und der Lastgeraden. Die erzeugte Leistung entspricht der Fläche
des Rechtecks in Magenta.
Die von der Solarzelle erzeugte Leistung ist dann P = U0 I0 . Der Lastwiderstand ist so zu wählen, dass P
maximal wird, d. h. die in Abb. 10.5 (b) dargestellte rechteckige Fläche muss den maximalen Flächeninhalt
einnehmen.
100
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.6: Aufbau und Schaltbild des pnp- und des npn-Transistors.
10.3
Der Bipolartransistor
10.3.1
Allgemeine Beschreibung und Grundgleichungen
Der bipolare Transistor besteht aus zwei gegeneinander gepolten Dioden, die durch eine dünne Schicht
getrennt sind. Es gibt im Prinzip zwei in Abb. 10.6 dargestellte Typen, den pnp- und den npn-Transistor.
Die beiden Typen sind an sich äquivalent, man muss nur alle Potentiale umdrehen. Wir untersuchen einen pn-p-Transistor, der aus einer Schichtfolge von p-dotierten Halbleiter, n-dotierten Halbleiter und p-dotierten
Halbleiter als Emitter, Basis und Kollektor besteht. Wie später beschrieben ist die asis sehr dünn. Als typisches Beispiel ist in Abb. 10.7 der pnp-Transistors in Basisschaltung als Spannngsverstärker abgebildet.
Der Transistor wird hier als Vierpol aufgefasst. Deshalb tritt einer der drei Anschlüsse sowohl auf der
Eingangs- wie auf der Ausgangsseite auf. In der Basisschaltung ist dies die Basis. Auf der Eingangsseite liegt die Basisspannung U E > 0 in Durchlassrichtung an. In der analogen Elektronik setzt sie sich aus
einer statischen Arbeitspunktspannung U A und einer zu verstärkenden (kleinen und zeitabhängigen) Eingangssignalspannung uein zusammen, U E = U A + ∆uein . Auf der Ausgangsseite liegt die Kollektorspannung
UC = Ubat + ∆uaus > 0 in Sperrrichtung an. Auch hier gibt es zwei Komponenten, die Arbeitspunktsspannung, welche durch eine geeignete Festlegung der Batteriespannung Ubat > 0 als große Spannung in
Sperrichtung gewählt wird und die über dem Widerstand abfallende Spannung ∆uaus .
Annahmen:
1. Rein eindimensionaler Transport (gilt eigentlich nicht für die Basis ⇒ siehe später).
2. Wie bei der Diode keine Rekombination in den Verarmungsschichten, in denen das elektrische Feld
abfällt.
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
101
Abbildung 10.7: (a) Der pnp-Transistor in Basisschaltung als Spannngsverstärker. Der Strom in Kollektor
und Emitter ist im Wesentlichen ein Lochstrom, der durch eine an die n-dotierte Basis angelegte Spannung
gesteuert wird. Der Eingang wird in Durchlasspolung betrieben, der Ausgang in Sperrpolung, weswegen
die Pfeile für U E und UC in die entgegengesetzte Richtung weisen. (b) Der Transistor als Vierpol.
102
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Abbildung 10.8: a) Basisschaltung eines p-n-p Übergangs mit einer sehr breiten Basis x2 − x1 LB . Das
System funktioniert nicht wie ein Transistor sondern wie zwei isolierte pn-Übergänge. In Teilbild b) die
auf die grau unterlegte Verarmungszone beschränkten Raumladungen in der Näherung des abrupten Übergangs. c) Banddiagramm, in gelb die Zonen mit aufgespaltenen elektrochemischen Potenzial der beiden
Übergänge. Rot das elektrochemiche Potenzial der Löcher Φ p , blau dasjenige Φn der Elektronen.
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
103
Abbildung 10.9: Zu a.): Der kollektorseitige pn-Übergang ist in Sperrichtung bespannt. Die Anzahl der
freien Ladungsträger ist daher kleiner als im thermodynamischen Gleichgewicht und somit φ p > φn . Bipolatrtransistor bei dünner Basisschicht. Im Bahngebiet der Basis ist die Rekomination vernachlässigbar und
der Lochstrom daher nahezu konstant. Die Lochdichte fällt daher in guter Näherung linear ab.
104
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Grundgleichungen:
Im stationären Fall hat man wie beim belasteten einfachen pn-Übergang in (10.5) in den Bahngebieten die
folgenden Gleichungen für die Minoritätsträger
∂2 n n − nE
−
τE
∂x2
∂2 p p − p B
DB 2 −
τB
∂x
2
∂ n n − nC
DC 2 −
τC
∂x
DE
=
0,
p-type Emitter
=
0,
n-type Basis
=
0,
p-type Kollektor
x < xE
x1 < x < x2
x > xC .
(10.22)
Die Ausdehnung der Bahngebiete ist durch die Größen xE , x1 , x2 und xC festgelegt, welche in Abb. 10.8
definiert sind. Wie schon beim belasteten Übergang sind die Gleichungen (10.22) ausreichend zur Berechnung des Kollektorstroms. Wir definieren hier: nE , pB , nC sind die Minoritätsträgerdichten im im isolierten
Emitter-, Basis- und Kollektormaterial, τE , τB , τC die Relaxationszeiten und DE , DB , DC die Diffusionskonstanten. Weiterhin sind pE , nB , pC sind die Majoritätsträgerdichten im isolierten Emitter-, Basis- und
Kollektormaterial.
10.3.2
Lösung der Grundgleichungen nach Ebers und Moll
Ansatz
Die Grundgleichungen (10.22) lassen sich mit folgendem Ansatz lösen:
Emitter:
!
x
n(x) = nE + AE exp
LE
Basis:
!
!
x
x
p(x) = pB + AB exp
+ BB exp −
LB
LB
(10.24)
!
x
.
n(x) = nC + BC exp −
LC
(10.25)
Kollektor:
mit Li =
√
(10.23)
Di τi , i = E, B, C. Dieser Ansatz liefert bereits das korrekte asymptotische Verhalten bei x → ±∞.
Randbedingungen bei xE , x1 , x2 und xC
Emitter: Für den einzelnen p-n-Übergang haben wir bereits in Gl. (10.10) gezeigt
!
eU E
p(xE ) ≈ pE
und
n(xE ) ≈ nE exp
≡ n E eu E ,
kB T
(10.26)
mit uE = eU E /(kB T )
Basis:
n(x1 ) ≈ nB
und
p(x1 ) ≈ pB euE ≡ pB euB ,
(10.27)
Analog für den zweiten pn-Übergang
n(x2 ) ≈ nB
und
p(x2 ) ≈ pB exp −
!
eUC
= pB e−uC ,
kB T
(10.28)
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
105
mit uC = eUC /(kB T ). Hier ist UC > 0, das Minuszeichen entspricht der Sperrpolung: Minoritätenträger in
der Umgebung der Verarmungszone werden verdrängt.
Kollektor:
p(xE ) ≈ pC
n(xE ) ≈ nC e−uC .
und
(10.29)
Minoritätsträgerdichte
Mit den Randbedingungen (10.26) - (10.29) können die unbekannten Koeffizienten in Gln. (10.23) - (10.25)
bestimmt werden. Somit erhält man für die Minoritätsträgerdichten
Bahngebiet Emitter x < xE : Wie in Gl. (10.12)
"
#
uE
x − xE
n(x) = nE + nE e − 1 exp
(10.30)
LE
je größer U E , desto mehr Elektronen dringen von der Basis in den Emitter ein.
Bahngebiet Basis x1 < x < x2 : Mit w = (x2 − x1 )/LB folgt
!
!
(euE − 1) ew − (e−uC − 1)
x − x2
x − x1
euE − 1 − (e−uC − 1) ew
exp
+ pB
exp −
. (10.31)
p(x) = pB − pB
2 sinh(w)
LB
2 sinh(w)
LB
Bahngebiet Kollektor: x > xC
n(x) = nC + nC e
−uC
!
x − xC
.
− 1 exp −
LC
(10.32)
Der Strom
Der Strom im Emitter kann zusammengesetzt werden durch den Elektronenstrom in xE und den Lochstrom
in x1 , da man die Zone xE − x1 als R-G-frei betrachtet.
∂p ∂n − eDB
(10.33)
JE = eDE
∂x xE
∂x x1
eDE nE uE
=
e −1
LE
eDB pB (euE − 1) − (e−uC − 1) ew −w eDB pB (euE − 1) ew − e−uC − 1
+
·
e +
·
. (10.34)
LB
2 sinh(w)
LB
2 sinh(w)
Analog finden wir für den Kollektor
∂n ∂p − eDB
JC = eDC
∂x xC
∂x x2
eDC nC −uC
= −
e −1
LC
eDB pB (euE − 1) − (e−uC − 1) ew eDB pB (euE − 1) ew − (e−uC − 1) −w
+
·
+
·
)e .
LB
2 sinh(w)
LB
2 sinh(w)
Dieses sind die Gleichungen nach Ebers und Moll.
Grenzfälle:
(10.35)
(10.36)
106
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
1. W → ∞
JE
=
JC
=
!
eDE nE eDB pB uE
(e − 1)
+
LE
LB
!
eDC nC eDB pB −uC
−
+
e −1 .
LC
LB
(10.37)
(10.38)
Ein Vergleich mit (10.16) bestätigt, dass zwei unabhängig voneinander arbeitende Dioden vorliegen.
2. W LB
⇒
ew ' 1;
JE
=
JC
=
sinh(w) ' w
eDB pB uE
eDE nE uE
e −1
+
e − e−uC
LE
W
|
{z
}
|
{z
}
Lochstrom
am
Emitter
Elektronenstrom im Emitter
eDB pB uE
eDC nC uE
e −1
+
e − e−uC
−
LC
W
|
{z
}
|
{z
}
Elektronenstrom im Kollektor Lochstrom am Kollektor
.
(10.39)
(10.40)
(10.41)
(a) Der Elektronenstrom in Kollektor und Emitter ist unabhängig von W. Aus dem Ergebnis für
W LB lässt sich leicht ablesen, dass sich der Elektronenstrom wie bei getrennten Dioden
verhält. Dieser ist in der Kollektor-Diode klein, weil sie in Sperrrichtung geschaltet ist. In der
Emitter-Diode ist er ebenfalls klein, weil die Emitter-Lochkonzentration im Gleichgewicht wegen der extrastarken p-Dotierung sehr groß und damit nE sehr klein ist. ⇒ Vernachlässigung
des Elektronenstroms
(b) Der Lochstrom verändert sich beim Übergang von W → ∞ nach W LB stark und dominiert
im Fall der schmalen Basis: Für W LB der ist der Lochstrom auf beiden Seiten gleich,
JE = JC .
(10.42)
Wegen der Dünnheit der Basis kommt es dort zu keiner nennenswerten Rekombination. Das
heißt, die vom Emitter in die n-Schicht injizierten Löcher mit der Dichte p(x1 ) = pB euE erreichen ohne Rekombination den Basis-Kollektor-Übergang. Von dort werden Sie durch das
Sperrschichtpotenzial sofort über den Übergang hinweggefegt. Wegen der fehlenden Rekombination ist der Lochstrom in der Basis konstant, sodass
J p (x1 ≤ x ≤ x2 )
=
⇒
⇒
∂
p(x) ∼ J p
∂x
x − x1
x − x2
p(x) ∼ p(x1 ) +
[p(x1 ) − p(x2 )] ∼ pB euE
x2 − x1
x1 − x2
epB DB uE
Jp =
e .
(10.43)
W
−eDB
Die Vernachlässigung der Terme mit e−uC , d. h. p(x2 ) ∼ 0, bewirkt ein UC -Unabhängigkeit,
sodass schließlich
epB DB uE
JC = JE =
e .
(10.44)
W
10.3. DER BIPOLARTRANSISTOR
10.3.3
107
Diskussion der Gleichungen nach Ebers und Moll
Die Ergebnisse (10.44) sind im Arbeitspunktdiagramm von Abb. 10.9 (a) eingetragen. Es lassen sich nun
graphisch der Arbeitspunkt und auch die Spannungsverstärkung der Basisschaltung in Abb. 10.7 bestimmen. Die Anwendung der Maschenregel führt auf (s. Abb. 10.9 (b))
Abbildung 10.10: a) Arbeitspunktdiagramm für den Fall der Basisschaltung in Abb. 10.7. Hier sind die in
Teilbild b) durch Pfeile dargestellten Polungen der Spannungen und Ströme zu beachten.
0 = UC + UR − Ubat = UC + RJR − Ubat ,
(10.45)
wobei UR die über R abfallende Spannung ist. Dann folgt die Lastgerade
JR =
Ubat − UC
= JC ,
R
(10.46)
wobei die letztere Gleichung für den unbelasteten Transistor gilt. Der bei vorgegebenem U E im Emitter
fließende Strom folgt aus der Bedingung JR = JC als Schnittpunkt der Lastgerade mit den Transistorkennlinien.
Berechnung des Spannungsverstärkungsfaktors: Zusätzlich zur Arbeitspunkt-Gleichspannung U A haben wir
noch eine kleine (zeitabhängige) Signalspannung uein auf der Eingangsseite, die sich um ∆uein verändert.
Es gilt dann in Abb. 10.7
∆uein = ∆U E .
(10.47)
108
KAPITEL 10. DER PN-ÜBERGANG IM NICHTGLEICHGEWICHT
Bei Veränderung der Kleinsignaleingangsspannung ändert sich die Ausgangsspannung mit Gl. (10.45) um
∆uaus = ∆UR = −∆UC
(10.48)
∆uaus
∆UC
dUC
dUC dJC dJE
R
=−
∼−
=
= .
∆uein
∆U E
dU E
dJC dJE dU E
r
|{z} |{z} |{z}
(10.49)
Die Signalverstärkung ist nun
−R
∼1
1/r
Hier der Eingangswiderstand r nach Gl. (10.44) berechnet. In der Praxis gilt r ∼ 1Ω. Der Ausgangswiderstand liegt im Bereich von kΩ. Der gegebenenfalls am Ausgang zugeschaltete Verbraucher sollte einen
Widerstand haben, der größer ist als R, sodass Gl. (10.46) gültig bleibt.
Kapitel 12
Der MOS-Feldeffekttransistor
(MOSFET)
12.1
Zusammenfassung MOS-Kondensator
Das Banddiagramm eines n-MOS-Kondensators bei Einsetzen der Inversion hat die in Abb. 12.1 (a) dargestellte Form:
Abbildung 12.1: (a) Banddiagramm eines n-MOS-Kondensators (VD = 0) bei Einsetzen der Inversion.
Es gilt VG = Vi (x) + 2ψB . (b) Näherung für den Fall mit Drainspannung bei Inversion: Die Biegung des
Leitungs- und des Valenzbandes bleibt ψS ∼ 2ψB . Die angelegte Drainspannung führt zu einem zusätzlich
auftretenden Potenzialsprung −V(x) > 0 an der Isolatorgrenzfläche (y = 0, s. Abb. 12.2 (b)). Da VG =
Vi (x) − V(x) + 2ψB , verkleinert sich der Potenzialsprung Vi (x) > 0 über die Isolatorbarriere und damit die
Elektronendichte im Leitungskanal zum Drainkontakt hin.
Im p-dotierten Substrat y > W herrscht Ladungsneutraltät, sodass die Bänder horizontal verlaufen. Daher
fällt das Potenzial innerhalb des Halbleiters im Intervall 0 ≤ y ≤ W ab. Die gesamte hierdurch verursachte
109
110
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Bandbiegung in diesem Intervall sei ψ s > 0. Als Bedingung für das Einsetzen der Inversion definieren wir
formal
ψ s = 2ψB ,
(12.1)
wobei ψB > 0 der Abstand des chemischen Potenzials µ von der Bandlückenmitte im p-Substrat ist. Unter
der Bedingung (12.1) ist der Abstand zwischen der Leitungsbandkante und dem elektrochemischen Potenzial an der Grenzfläche y = 0 identisch mit dem Abstand zwischen dem elektrochemischen Potenzial
und der Valenzbandkante im Substrat. Dies bedeutet bei gleich angenommener effektiver Zustandsdichte in
Leitungs- und Valenzband, dass die Elektronenkonzentration an der Grenzfläche mit der Lochkonzentration
im Substrat übereinstimmt (Inversion). Wir finden für die gesamte angelegte Gatepannung VG = eUG > 0
in der idealen MOS-Struktur
VG = Vi + ψ s .
(12.2)
Hier ist Vi ist der Betrag des über dem Isolator abfallenden Potenzials, der gegeben durch
Vi = eEi d = e
Qs
|Q s |d
=−
0 i
Ci
(12.3)
mit Ci = 0 i /ed und der Breite d der Oxydschicht. Weiterhin ist
Q s = Qd + Qn < 0
(12.4)
die Gesamtflächenladungsdichte aller Ladungen im Bereich 0 ≤ y ≤ W. Diese besteht aus der Flächenladungsdichte der als vollständig ionisiert angenommenen Akzeptoren Qd = −eNA W und der Flächenladungsdichte der Inversionselektronen Qn . Wir nähern jetzt, dass ψ s ∼ 2ψB für alle Spannungen im Inversionsbereich, VG > VT , sodass
Qd + Qn
VG = Vi + 2ψB = −
+ 2ψB .
(12.5)
Ci
Die Begründung für diese Näherung besteht darin, dass nach Einsetzen der Inversion bei wachsender Gatespannung im Wesentlichen nur zusätzliche Inversionselktronenladung im Halbleiter aufgebaut wird. Wegen
ihrer Nähe zum Oxyd führt diese Ladung nur zu Feldern, die im Oxyd abfallen. Sodann
Qn = −Ci (VG − 2ψB ) − Qd = −Ci vG ,
(12.6)
mit vG = VG −VT . Hier definieren wir die Einsatzspannung VT für die Bildung des Inversionselektronengases
durch die Bedingung Qn = 0 in (12.5), sodass
VT = 2ψB −
Qd
.
Ci
(12.7)
In den Übungen zeigen wir
p
VT = 2ψB +
4ψB 0 NA
.
Ci
(12.8)
12.2. DER MOSFET
111
Abbildung 12.2: (a) Schematischer Aufbau eines n-Kanal Feldeffekttransistors. (b) Durch die Drainspannung verursachte Absenkung der Elektronenenergie V(x) an der Oxyd-Halbleitertrennfläche bei y = 0.
12.2
Der MOSFET
Abbildung 12.2 (a) zeigt den typischen Aufbau eines MOSFETs (MOS-Feldeffekttransistor). Es handelt
sich hier um einen n-Kanal MOSFET, d. h. der leitende Kanal entsteht durch eine Inversionselektronenschicht in einem p-leitenden Substratmaterial. Typische Kennlinien finden sich in Abb. 12.3.
Im Standardzugang wird der Diffusionsstrom vernachlässigt, sodass der Strom im n-Kanal durch den Driftstrom
J~ = eµnE~
(12.9)
gegeben ist, wobei n und µ die Dichte und die Beweglichkeit der Inversionselektronen sind. In einem eindimensionalen Modell ist E~ = E(1, 0, 0) und J~ = J(1, 0, 0). Per Definition gilt
eE~ = eE(1, 0, 0) = −∇V pos (x),
(12.10)
wobei V pos die Energie eines gedachten Teilchens mit einer positiven Elementarladung ist und −∇V pos die
auf dieses Teilchen wirkende Kraft. Wir definieren V(x) als die von der angelegten Source-Drain-Spannung
hervorgerufene zusätzliche elektrostatische Energie des negativ geladenen Elektronen (dV/dx < 0, s. Abb.
12.2 (b)), sodass V(x) = −V pos (x). Aus Gl. (12.10) ergibt sich dann E = e−1 dV/dx. Für die x-Komponente
der Stromdichte resultiert dann aus (12.9)
J = µn
dV(x)
< 0.
dx
(12.11)
Am geerdeten Source-Kontakt bei x = 0 gilt V(0) = 0 und am Drainkontakt bei x = L liegt die Drainspannung an sodass V(L) = −eU D ≡ −VD . Der Betrag des Drainstroms ID ergibt sich durch Integration über die
112
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Abbildung 12.3: Links: Experimentelle Ausgangskennlinie eines MOSFETs für VG
=
2.5V, 2.75V, 3V, ...., 4V. Rechts: Linearer Teil für kleine Drainspannungen, der Transistor in der Funktion
als Steuerbarer Widerstand, nach http://www.physics.csbsju.edu/trace/nMOSFET.CC.html
aktive Bauelementregion in y- und z-Richtung
Z
Z
ID ≡
dydz|J| = D
∞
dy(−J).
(12.12)
0
Hierbei ist D die Breite des Transistors in z-Richtung, dessen Eigenschaften in dieser Richtung als homogen
angenommen werden. Bei der unteren Grenze der y-Integration von 0 nehmen wir einen idealen Isolator
mit einer unendlichen Potenzialbarriere an, sodass die Eindringwahrscheinlichkeit der Inversionselektronen
in die Barriere verschwindet. Einsetzen von Gl. (12.11) ergibt
Z
Dµ dV
dV ∞
dyn(x, y) ≡
Qn (x),
(12.13)
ID = −Dµ
dx 0
e dx
wobei
Qn (x) = −e
Z
∞
dyn(x, y)
(12.14)
0
die ortsabhängige Flächenladungsdichte der Inversionseektronen ist. Für kleine Source-Drain-Spannungen
können wir einen linearen Potenzialabfall entlang des Kanals annehmen
V(x) = −
VD
x
L
⇒
dV
VD
=−
dx
L
(12.15)
und können Qn (x) ∼ Qn nach Gl. (12.6) berechnen, sodass nach (12.13)
ID =
Dµ VD
Ci vG = βvG VD
e L
(12.16)
mit dem Übertragunswertfaktor β = Dµ/eLCi . Für kleine Drainspannungen beginnen die in Abb. 12.3
dargestellten Ausgangskennlinien also linear, wobei die Steigung proportional vG wächst.
Für größere Drainspannungen schrumpft die Elektronendichte zum Kanalende hin. Zur Erklärung dieses
Phänomens addieren wir, wie in Abb. 12.1 (b) dargestellt, einen von der Drainspannung verursachten
zusätzlichen Potenzialsprung −V(x) > 0 in Gl. 12.5. Da die Bandverbiegung im Halbleiter als konstant
2ΨB angenommen wird, führt dieser zusätzliche Potenzialsprung auf
VG = Vi (x) − V(x) + 2ΨB .
(12.17)
12.2. DER MOSFET
113
Abbildung 12.4: Ausgangskennlinienfeld eines Feldeffekttransistors, die Spannungseinheit u wurde
gewählt, um eine möglichst einfache Darstellung zu bekommen. Dunkelblaue Linien nach Gl. (12.23),
blaugrüne Linie Sättigungsstrom IDsat nach Gl. (12.25). Beide Regime getrennt durch die rot gestrichelte
Linie pinch-off-Bedingung VD = vG (s. Abb. 12.6 (a)).
Im Vergleich mit (12.5) entsteht ein verkleinerter Potenzialsprung Vi (x) < Vi über der Isolatorbarriere.
Differenzbildung von (12.5) und (12.17) führt auf
Vi (x) = Vi + V(x).
(12.18)
Es folgt mit der ortsabhängigen Flächenladungsdichte Qn (x) der Inversionselektronen
−
Qd + Qn
Qd + Qn (x)
= Vi (x) = Vi + V(x) = −
+ V(x) .
|{z}
Ci
C
| {zi }
<0
(12.19)
>0
Wir erhalten mit (12.6)
Qn (x) = Qn − Ci V(x) = −Ci [vG + V(x)].
(12.20)
Da V(x) < 0 monoton fällt, wird Qn (x) zum Kanalende hin immer kleiner. Mit Gl. (12.20) wird Gl. (12.13)
zu
DµCi
dV
[vG + V(x)]
ID = −
.
(12.21)
e
dx
0
Wir integrieren nun auf beiden Seiten über x von 0 bis x und erhalten mit konstantem ID
"
#
DµCi
V(x)2
ID x = −
vG V(x) +
.
(12.22)
e
2
114
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Durch Einsetzen von x = L und V(L) = −VD lässt sich der Strom berechnen


V 2 

ID = β vG VD − D  .
2
(12.23)
Dieser Ausdruck ist in Abb. 12.2 in blau eingetragen. Für allgemeine x resultiert aus (12.22)
2ID
V(x)2 + 2vG V(x) +
x=0
βD
s
s


V2 
2I
2x 
D
vG VD − D .
⇔ V(x) = −vG + vG2 −
x = −vG + vG2 −
βD
L
2
(12.24)
(s. Abbn. 12.2 und 12.5). Die Gleichungen (12.23) und (12.24) gelten nach Gl. (12.20) nur, Qn (x) < 0, d.
h. vG + V(x) > 0. Bei zu großen Drainspannungen wird |V(L)| = | − VD | ≥ vG , d.h. es tritt beim Punkt
x = L keine Inversion mehr statt. Bei der Sättigungsdrainspannung VD = V sat = vG verschwindet die
Inversionselektronenflächendichte Qn (x) bei x = L. Es findet der sogenannte ’pinch-off’ des Kanals statt (s.
rote Punkte in Abb. 12.2). Der Drainstrom nimmt dann seinen Maximalwert (Sättigungsstrom)
IDsat =
β 2
v
2 G
(12.25)
an, den er auch für VD > V sat beibehält (’Sättigungsbereich’, blaugrüne Linien in Abb. 3). Um das Verhalten des Transistors im Sättigungsbereich zu verstehen, formulieren unter Vernachlässigung des Diffusionsstroms
dV
dV
J = −env ∼ −eµn
⇒v=µ ,
(12.26)
dx
dx
d. h. die Geschwindigkeit und auch die dissipierte Leistung nehmen zum Kanalende hin stetig zu. Bei
Abbildung 12.5: Veränderung der wichtigen Größen entlang des Kanals: Geschwindigkeit (blau), Potenzial
(rot) und Dichte (grün). Dünn gestrichelt bei Pinch-off.
der Sättigungsspannung VD ≥ V sat ≡ vG verschwindet die Elektronendichte am Kanalende, es findet der
’pinch-off’ des Elektronenkanals statt. Der Drainstrom nimmt dann den maximalen Wert I sat an. Dieser
12.3. CMOS-INVERTER UND CMOS-TECHNIK
115
Abbildung 12.6: (a) Der Leitungskanal am ’pinch-off’-Punkt und (b) der Leitungskanal im Sättigungsregime
Sättigungsstrom verändert sich bei weiterer Erhöhung der Drainspannung nicht mehr. Der hierzu führende
Wirkmechanismus ist in der folgenden Skizze dargestellt:
Eine Erhöhung der Drainspannung führt dazu, dass der Punkt des pinch off (’hot spot’) etwas zum SourceKontakt hin wandert. Zwischen dem pinch-off Punkt und dem Drain-Kontakt entsteht ein Bereich, in
dem die Inversionselektronendichte verschwindet. Dieser Bereich entspricht der hochohmigen Verarmungsschicht eines pn-Überganges in Sperrichtung. Die über V sat hinaus angelegte Drainspannung fällt daher in
diesem Bereich ab, sodass über dem Kanal immer noch V sat abfällt und daher immer noch I sat fließt. Dieser
Strom entspricht dem Minoritätsträgerstrom Jgen über den gesperrten pn-Übergang. Er wird also verlustlos
über das Verarmungspotenzial zum Drainkontakt ’gefegt’.
12.3
CMOS-Inverter und CMOS-Technik
Die CMOS(Complementary metaloxidesemiconductor)-Technik beruht auf einer Kombination von p-Kanalund n-Kanal-Feldeffekttransistoren zur Realisierung von integrierten digitalen sowie analogen Schaltungen.
Diese sehr häufig eingesetzte Technik wurde 1963 von Frank Wanlass bei Fairchild Semiconductor entwickelt. Das Grundprinzip lässt sich gut am in Abb. (12.7) gezeigten CMOS-Inverter demonstrieren:
Die gewünschte Logikoperation wird zum Einen in p-Kanal-Technik (als Pull-Up-Pfad) und zum Anderen
in n-Kanal-Technik (als Pull-Down-Pfad) entwickelt und in einem Schaltkreis zusammengeführt. Durch
die gleiche Steuerspannung jeweils zweier komplementärer Transistoren (einmal n-Kanal, einmal p-Kanal)
sperrt immer einer der Transistoren und der andere ist leitend. Es fließt somit kein Strom. Eine niedrige
Spannung von ca. 0 V am Eingang (E) des Inverters entspricht dabei der logischen 0. Sie sorgt dafür, dass
nur die p-Kanal-Komponente Strom leitet und somit die Versorgungsspannung mit dem Ausgang (A) verbunden ist und damit auf der logischen 0 steht. Die logische 1 entspricht einer höheren positiven Spannung
(bei modernen Schaltkreisen > 1V) und bewirkt, dass nur die n-Kanal-Komponente leitet und somit die
Masse mit dem Ausgang verbunden ist, was die logische 1 bedeutet.
Unter der BiCMOS-Technik versteht man eine Schaltungstechnik, bei der Feldeffekttransistoren mit Bipolartransistoren kombiniert werden. Dabei werden sowohl der Eingang als auch die logische Verknüpfung in
CMOS-Technik realisiert. Für die Ausgangsstufe werden Bipolartransistoren eingesetzt.
Zur Konstruktion der Übertragungsfunktion eines CMOS-Inverters gehen wir von den in Abb. 12.7 (b)
und (c) schematisch gezeigten Ausgangskennlinien des n-Kanal- und des p-Kanal-FETs aus. Eine positiven
Spannung VDn am n-FET bedeutet eine positive Aufladung der Drain, es fließen also negative Elektronen
116
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Abbildung 12.7: a) Schaltplan eines Inverters in CMOS Technik. Oben der p-Kanal FET unten der n-Kanal
FET. b) und c) Die Einzelkennlinien der Transistoren wie in Abb. 3.
von Source nach Drain, der technische Strom fließt in umgekehrter Richtung und IDn ist positiv. Positive
Drain Spannung VDp führt zur negativen Aufladung der Drain und es fließen dann Löcher von Source zur
Drain, was einem positiven IDp entspricht. Beide Transistoren sind gekoppelt durch die Bedingung
IDp = IDn = ID
(12.27)
12.3. CMOS-INVERTER UND CMOS-TECHNIK
117
Die Abbildung 12.8 illustriert, wie aus dieser Kopplungsbedingung die Übertragungsfunktion des Inverters
resultiert: Die Teilbilder (a) und (b) enthalten noch einmal die Kennlinien der Einzeltransistoren, der Schar-
Abbildung 12.8: a) Ausgangskennlinie des n-FETs, b) Ausgangskennlinie des p-FETs bei VDD = 5V Betriebsspannung, c) Konstruktion der Arbeitspunkte (rosa Kreise) des Inverters und d) Konstruktion der
Übertragungsfunktion Uin vs.Uout .
parameter ist nun Vin = VGn = VDD − VG p . Teilbild (c) vereinigt beide Kennlien in einem Diagramm, wobei
auf der x-Achse das Argument Vout = VDn = VDD − VDp auftaucht. Weiterhin wird nun IDp = IDn = ID
gesetzt. Die Schnittpunkte der Kurven der beiden Transistoren mit gleichem Vin ergeben die Arbeitspunkte.
Wie in Teilbild (d) dargestellt, folgt direkt die Übertragungsfunktion aus der die Inversionseigenschaften
hervorgehen. Es ist ersichtlich, dass nur beim Umschalten zwischen 0 und 1 ein nennenswerter Strom fließt.
118
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Abbildung 12.9: a.) Drift-Diffusiver Transport durch einen leitenden Kanal zwischen zwei metallischen
Kontakten, Source und Drain. Auf Grund der vielen Streuer (Kreise mit Kreuzen) bewegt sich der Ladungsträger (durchgezogene Linie mit Richtungspfeil) wie ein durch das elektrische Feld getriebener Zufallsgeher
auf seinem Weg von Source nach Drain. b.) Einteilung des Gesamtsystems in Zellen bei ~rn . In jeder Zelle ist
die Lage des Leitungsbandes LB durch das lokale Potenzial definiert, sowie einezeitabhängige lokale Verteilungsfunktion ρ(~rn , ~k, t) der Ladungsträger im Impulsraum. Auf Grund der vielen Streuprozesse ist diese
lokale Verteilungsfunktion nahe an einer Fermifunktion mit einem lokalen elektrochemischen Potenzial.
12.4
FinFETs, SOIFETs und molekulare Transistoren für zukünftige hochintegrierte Schaltungen
12.4.1
Motivation
Technologische Fortschritte ermöglichen die Verwendung von Bauelementen mit immer kleiner werdenden
Abmessungen in hochintegrierten elektronischen Schaltkreisen. Durch die wachsende Anzahl der bei gegebener Chipgröße erzielbaren elektronischen Funktionen sinken die Produktionskosten. Da der Feldeffekttransistor (FET) in diesen Schaltungen eine zentrale Rolle spielt, ist dessen Kanallänge eine entscheidende
Größe. Der typische Aufbau eines MOSFET (MOS-Feldeffekttransistor) ist in der folgenden Abbildung
dargestellt.
12.4.2
Tunnelströme und mangelnder Durchgriff der Gateelektrode
Durch den Wandel in den Größenordnungen vom Mikrometermaßstab zum Nanometermaßstab wird eine
drastische Veränderung der Transportmechanismen hervorgerufen: Bei Kanallängen im Mikrometerbereich vollzieht sich der Ladungstransport im Drift-Diffusionsregime. Hier kann angenommen werden, dass
sich durch schnelle Stöße ein lokales Gleichgewicht einstellt, das sich durch lokale quasi-elektrochemische
Potentiale beschreiben lässt. Die im stromführenden Zustand resultierende kleine Störung dieses Gleichgewichts kann durch die Boltzmanngleichung berechnet werden. Wie bekannt, resultiert ein Strom der aus
zwei Komponenten besteht, zum einen aus dem Driftstrom, der durch ein elektrisches Feld induziert wird
und zum anderen aus dem Diffusionsstrom, der durch Konzentrationsgradienten hervorgerufen wird,
J~ =
eµnE~
|{z}
Feldstrom
+
eD∇n
.
|{z}
Diffusionsstrom
(12.28)
12.4. INFETS, SOIFETS UND MOLEKULARE TRANSISTOREN
119
Abbildung 12.10: Ballistischer Quantentransport: Die Ladungsträger werden durch im Kanal kohärente
Streuzustände beschrieben. Diese können sich ausbilden, weil im Gegensatz zum diffusiven Limit in Abb. 1
im ballistischen Fall keine Streuung im Kanal stattfindet. In den gestrichelte Übergangsbereiche ΩS und ΩD .
werden im Teilchenaustausch mit den Kontaktreservoirs Streuzustände gebildet (ein) oder auch reflektierte
(ref) und transmittierte (trans) Komponenten der Streuzustände (reflexionslos) absorbiert. Schematisch mit
gestrichpunkteter Linie gezeigt: Bildung eines Streuzustandes mit einer einlaufenden Transversalmode i =
0 und Absorption einer transmittierten Komponente mit einer Transversalmode i = 1 im Drainkontakt.
Durch die transmittierte Komponente des Streuzustandes entsteht der quantenmechanische Strom.
Die Beweglichkeit berechnet sich nach µ = eτ/m, wobei, wie bereits aus dem Drudemodell bekannt, τ die
mittlere Zeit zwischen zwei inelastischen Stößen des ’zufallsgehenden’ Elektrons ist.
Im Gegensatz dazu, werden bei typischen Längen von unterhalb von einigen zehn Nanometern Streuprozesse durch Verunreinigungen oder Gitterschwingungen immer unwichtiger und Quantentransport gewinnt
an Bedeutung [?, 5]. Im Extremfall, dem sogenannten ballistischen Limes, wird angenommen dass die Ladungsträger ungestreut das Bauelement durchqueren. Die Beweglichkeit als eine über viele Stöße gemittelte
Größe hat dann keine physikalische Bedeutung mehr. Die Dynamik der stromtragenden Ladungsträger wird
durch Wellenfunktionen beschrieben, die im gesamten Bauelement kohärent definiert sind.
Durch das Auftreten von im Bauelement durchgängig kohärenten Wellenfunktionen werden völlig neue
Wirkungsprinzipien möglich, wie der negative differenzielle Widerstand in einer resonanten Tunneldiode belegt [?] . Außerdem ist zu erwarten, dass im ballistischen Limes weit größere Ladunsgsträgergeschwindigkeiten als die Sättigungsgeschwindigkeit im Drift-Diffusionsmodell möglich sind.
Es entstehen auch Nachteile, die eine fortschreitende Miniaturisierung der Standardarchitektur der FETs
stark erschweren. Dies sind im Wesentlichen Tunneleffekte zum Einen durch die Isolatorbarriere und zum
Anderen durch die Source-Drainbarriere. Erstere führen zu Gate − leakage Strömen, die man durch alternative Gateisolatoren mit einer hohen Dielektrizitätskonstant (’high-k dielectrics’) einzudämmen versucht.
Die Auswirkung von Source-Drain Tunnelströmen ist in Abb. 12.11 demonstriert: Es ergeben sich im
leitenden Zustand des Transistors gerundete I-V-Kennlinien mit einem schwachen, fast linearen Anstieg
für größere Drainspannungen (’quasi-Sättigung’). An Stelle sperrenden Zustands im Mikrotransistor ergibt
sich im Nanotransistor nur ein quasi-sperrender Zustand. Hier führen die Tunnelströme über die SourceDrainbarriere zu signifikanten Leckströmen, die zu einer positiven Krümmung der I-V-Kennlinien führen.
Zwischen dem leitendem Regime mit negativer Kennlinienkrümmung und dem sperrendem-Regime mit
positiver Krümmung existiert eine nahezu lineare Schwellkennlinie.
120
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Abbildung 12.11: Ausgangskennlinien eines breiten Transistors von INTEL mit L = 10nm nach [6].
Abbildung 12.12: Aufbau eines FinFETs
12.4. INFETS, SOIFETS UND MOLEKULARE TRANSISTOREN
121
Abbildung 12.13: Aufbau eines SOIFETs a) (Fully Depleted Silicon on Insulator) aus einer Broschüre ’The
22FDXT M Platform’ (22nm Kanallänge) von GLOBALFOUNDRIES.
122
KAPITEL 12. DER MOS-FELDEFFEKTTRANSISTOR (MOSFET)
Abbildung 12.14: Aufbau eines molekularen Transistors mit Graphenstreifen als Leitungskanal nach Ref.
[7].
Kapitel 13
Übungen zu 2. Der Festkörperkristall
13.1
Das 2d-hexagonale Kristallgitter
Vorgegeben sei das in Abb. 13.1 dargestellte 2d-hexagonale Kristallgitter mit dem Abstand d zwischen zwei
benachbarten Punkten und dem Abstand a zwischen zwei äquivalenten Kristallebenen in y-Richtung.
Abbildung 13.1: 2d-hexagonales Kristallgitter
1. Leiten Sie eine Beziehung zwischen a und d her.
Lösung: Es gilt
√
π
√
3
a
= d sin
=d
⇒ a = 3d.
2
3
2
(13.1)
2. Geben Sie zwei mögliche primitive Gittervektoren an.
Lösung:
~a1 = d(1, 0)
und
123
~a2 =
√
d
(1, 3).
2
(13.2)
124
KAPITEL 13. ÜBUNGEN ZU 2. DER FESTKÖRPERKRISTALL
3. Konstruieren Sie die Wigner-Seitz-Zelle des 2d-hexagonalen Gitters.
Lösung:
~ 1 = w~ey (s. Abb. 13.2 (a))
Es gilt mit w
Abbildung 13.2: (a) Wigner-Seitz-Zelle und (b) reziprokes Gitter des 2d-hexagonalen Kristallgitters.
√
π
d
d
3
= w cos
=w
⇒w= √ .
2
6
2
3
(13.3)
4. Berechnen Sie das zum 2d-hexagonalen Kristallgitter reziproke Gitter.
Wir verschaffen uns die zu ~a1 und ~a2 dualen primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters ~g1 und
~g2 . Diese sind bestimmt durch die Relation
~gi~ai = 2πδi j
(13.4)
Ansatz: ~g2 ⊥ ~a1 ⇒ ~g2 = α(0, 1) und dann
2π = ~g2~a2 = α
und somit
d√
4π
3⇒α= √
2
3d
(13.5)
4π
~g2 = √ (0, 1).
3d
(13.6)
√
2π
2π = ~g1~a1 = βd 3 ⇒ β = √ .
3d
(13.7)
√
Weiterhin ~g1 ⊥ ~a2 ⇒ ~g1 = β( 3. − 1) und
Sodann
~g1 =
2π
1
(1, − √ )
d
3
(13.8)
~g1 = ~g2 .
(13.9)
Es ist leicht zu verifizieren, dass
13.2. DAS FCC- UND DAS BCC-GITTER
125
Weiterhin gilt
~g2 ⊥ ~a1
und
~g1 ⊥ ~a2 .
(13.10)
Daher ist, wie in Abbildung 13.2 (b) dargestellt, das reziropke Gitter ein um neunzig Grad gedrehtes
2d hexagonales Gitter.
~ die sich darstellen lassen als
Das reziproke Gitter ist die Menge aller G,
~ = n1~g1 + n2~g2
G
13.2
mit
n1 , n2 ∈ Z.
(13.11)
Das fcc- und das bcc-Gitter
Die Gitterkonstante von Silizium (=Kantenlänge der nichtprimitiven kubischen Einheitszelle) ist a = 5.4 ×
10−10 m
1. Wieviele Atome befinden sich im Silizium in dieser nichtprimitiven Einheitszelle?
2. Berechnen Sie den minimalen Abstand zweier Atome im Si und das Volumen der primitiven Einheitszelle.
Abbildung 13.3: fcc-Gitter (kubisch flächenzentriert).
Abb. 13.4
Die primitiven Gittervektoren des in Fig. 13.3 dargestellten fcc-Gitters sind
a
~a1 = (~e x + ~ey ),
(13.12)
2
a
~a2 = (~ey + ~ez )
(13.13)
2
und
a
~a3 = (~ez + ~e x )
(13.14)
2
Damit erghält man für das Spatprodukt
a3
~a1 (~a2 × ~a3 ) = .
(13.15)
4
Die in Fig. 13.3 dargestellte nichtprimitive Einheitszelle des fcc-Gitters umfasst also das Vierfache des
Volumens der primitiven Einheitszelle und daher vier Gitterpunkte.
126
KAPITEL 13. ÜBUNGEN ZU 2. DER FESTKÖRPERKRISTALL
Abbildung 13.4: bcc-Gitter (kubisch raumzentriert).
13.3
Reziprokes Gitter von fcc- und bcc-Gitter
1. Berechnen Sie das reziproke Gitter des fcc-Gitters mit der Kantenlänge a der kubischen Einheitszelle.
Zeigen Sie im Vergleich mit Fig. 13.4, dass es sich um ein bcc-Gitter mit der Kantenlänge A = 4π/a
der nichtprimitiven Einheitszelle handelt.
Lösung: Die primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters sind
~g1 = 2π
~a2 × ~a3
2π
=
(~e x + ~ey − ~ez )
a
~a1 (~a2 × ~a3 )
(13.16)
und analog
2π
(−~e x + ~ey + ~ez ),
a
2π
~g3 =
(~e x − ~ey + ~ez ).
a
Die primitiven Gittervektoren des in Fig. 13.4 dargestellten bcc-Gitters sind
~g2 =
(13.17)
(13.18)
~a1 =
A
(~e x + ~ey − ~ez ),
2
(13.19)
~a2 =
A
(−~e x + ~ey + ~ez )
2
(13.20)
und
A
(~e x − ~ey + ~ez ).
2
Aus dem Vergleich der letzten sechs Gleichungen ergibt sich A = 4π/a.
~a3 =
(13.21)
2. Bestimmen Sie A für Silizium
3. Berechnen Sie die Position des X, L und K-Punktes der ersten Brillouinzone im Silizium im reziproken Raum (’k-Raum’).
Lösung: Es ist ΓX = (1, 0, 0)π/a und ΓL = (1, 1, 1)π/(2a).
4. Berechnen Sie das reziproke Gitter vom kubisch raumzentrierten Gitter
13.4. TETRAEDRISCHE ORDNUNG IM DIAMANTGITTER
127
Abbildung 13.5: a) Erste Brillouinzone (BZ) im Si. Die nichtprimitive kubische Einheitszelle des reziproken
Gitters habe die Kantanlänge A. b) Symmetrieachsen der 1. BZ den speziellen Punkten Γ, X, K und L.
13.4
Tetraedrische Ordnung im Diamantgitter
Wir definieren wie in Abb. 13.6 ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Ursprung mit dem unten linken
A-Atom auf der vorderen Würfeloberfläche übereinstimmt. Die Verschiebungsvektoren zu den nächsten
gezeigten A-Atomen sind dann a~e x , a~ey und a~ez . Als Basisvektor legen wir dann den Verschiebungsvektor
zu dem B-Atom fest, das am nächsten zum Ursprung liegt,
Z~ = γ(~e x + ~ey + ~ez ).
(13.22)
Hier haben wir vorausgesetzt, dass dieses B-Atom auf der Raumdiagonalen sitzt, wobei wir die Entfernung
noch nicht festgelegt haben, γ ist in der ersten Teilaufgabe zu bestimmen. Der Verschiebungsvektor vom
A-Atom im Urspung zum A-Atom der Flächenzentrierung der vorderen Würfeloberfläche ist gegeben durch
~ = a (~e x + ~ey ).
R
2
(13.23)
Weiterhin definieren wir den Verschiebungsvektor zwichen dem herausgegriffenen B-Atom und dem AAtom der Flächenzentrierung duch
~ =R
~ − Z~
∆
(13.24)
~ und R = |R|.
~
1. Berechnen Sie γ durch die Forderung Z = R, wobei Z = |Z|
2. Zeigen Sie, dass das B-Atom im Zentrum des in Abb. 13.6 (a) gezeigten Tetraeders liegt. Hierzu muss
der Winkel zwischen den Verbindungslinie vom zentralen B-Atom hin zu zwei Eckpunkt A-Atomen
der Tetraederwinkel φ ∼ 109 mit φ = arccos (−1/3) (s. Abb. 13.6 (c)).
Lösung zu 1.:
Z=
√
3γ
r r
2
a
a
∆ = 2 − γ + γ2 =
− 2aγ + 3γ2
2
2
(13.25)
(13.26)
128
KAPITEL 13. ÜBUNGEN ZU 2. DER FESTKÖRPERKRISTALL
Abbildung 13.6: (a) Tetraedrische Anordnung der A-Nachbaratome (blau) eines gegebenen B-Atoms (rot),
~ (s. Text). (c) Definition des Tetraederwinkels φ.
~ R
~ und Delta
(b) Definition des Vektoren Z,
Es folgt dann
∆=Z⇒
Somit
a2
a
− 2aγ = 0 ⇒ γ =
2
4
a
Z~ = (~e x + ~ey + ~ez )
4
und
(13.27)
~ = a (~e x + ~ey − ~ez )
∆
4
(13.28)
3 2
a cos (φ)
16
(13.29)
Lösung zu 2.:
Aus Abb. 13.6 (c) und Gl. (13.28) folgt
~ = Z∆ cos (φ) = 3γ2 cos (φ) =
~∆
(−Z)
Es gilt
2
~ = a (~e x + ~ey + ~ez ) a (~e x + ~ey − ~ez ) = a .
Z~ ∆
4
4
16
!
16 ~
φ = arccos − 2 Z~ ∆
= arccos (−1/3) ∼ 109.
3a
Somit
13.5
(13.30)
(13.31)
Hexagonal dichteste Kugelpackung und Wurtzitstruktur
1. Bestimmen Sie für dass in Abb. 13.7 (a) dargestellte hexagonale Bravais Gitter einen möglichen Satz
von primitiven Gittervektoren.
Lösung:
Ein möglicher Satz von primitiven Vektoren ist
~a1 = d(1, 0, 0)
~a2 =
√
d
(1, 3, 0),
2
und
a~3 = c(0, 0, 1)
(13.32)
13.5. HEXAGONAL DICHTESTE KUGELPACKUNG UND WURTZITSTRUKTUR
129
Abbildung 13.7: a) Hexagonales Bravais-Gitter (vgl. mit dem 2d-hexagonalen Gitter in Abb. 13.1), b) hexagonal dichteste Kugelpackung (kein Bravais-Gitter) c) Konstruktion zur berechnung von c/a (s. Aufgabe
5).
2. Die hexagonal dichteste Struktur (hcp, hexagonal close-packed) entsteht, wenn gleichgroße starre
Kugeln mit möglichst großer Packungsdichte angeordnet werden. In einer Ebene berührt dabei jeweils eine Kugel sechs benachbarte Kugeln (Kugelverteilung A). In der Schicht darüber werden die
Kugeln in die Vertiefungen gesetzt, die sich zwischen jeweils 3 Kugeln der Schicht A ergeben (Kugelverteilung B). Fr̈ die dritte Schicht gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten:
• Die Kugeln werden so positioniert, dass sie nun oberhalb der Vertiefungen der ersten Lage
liegen, welche in der zweiten Schicht gerade nicht besetzt wurden (Kugelverteilung C). Es ergibt
sich daraus eine Stapelfolge ABCABC... Diese Stapelung führt zur fcc-Struktur.
• Die Kugeln werden genauso angeordnet wie in der ersten Ebene, so dass sich die Stapelfolge
ABABAB.. ergibt. Diese Anordnung entspricht der hcp-Struktur
Die hcp-Struktur kommt sehr häufig vor, etwa 35 darunter zum Beispiel Magnesium, Cobalt und
Zink.
(a) Die hcp-Struktur ist kein Bravaisgitter, kann aber über das einfach hexagonale Bravaisgitter mit
Basis beschrieben werden. Bestimmen Sie diese Basis.
130
KAPITEL 13. ÜBUNGEN ZU 2. DER FESTKÖRPERKRISTALL
Lösung:
Die hexagonal dichteste Kugelpackung hcp lässt sich als einfach hexagonales Gitter mit einer
Basis von Atomen bei
~r1 = (0, 0, 0)
1
1
1
~r2 = ~a1 + ~a2 + ~a3
3
3
2
und
(13.33)
auffassen (s. Abb. 13.7).
(b) Wie ist bei idealer Kugelform das Verhälthis c/a zu wählen?
Lösung: Für ideale Kugeln ist wegen |~r2 | = a
c
=
a
r
8
.
3
(13.34)
3. Wie beschreiben Sie die in Abb. 13.8 dargestellte Wurtzitstruktur kristallographisch.
Abbildung 13.8: Wurtzitstruktur.
Lösung:
Die Wurtzitstruktur ist im Kontext der Halbleitertechnologie wichtig, weil die Gruppe III-Nitride wie GaN
und InN und ihre Mischkristalle diesen Aufbau aufweisen. Diee werden für LEDs und Laserdioden alle
Farben eingestzt. Die entstehenden Tetraeder , die wie im Diamant- und im Zinkblendegitter die Grundlage
des Kristalls bilden sind jedoch nicht ganz symmetrisch. Vielmehr unterscheidet sich die Bindungslänge
zum nächsten Atom entlang der Hauptsymmetrieachse des hexagonalen Kristalls - der c-Richtung- von der
Länge zu den drei anderen Nachbaratomen. Dieses führt grundsätzlich zu einem spontanen Polarisationsfeld
des Kristalls, das Oberflächenladungen beim Volumenkristall jedoch abschirmen. Bei Temperaturn̈derungen
macht sich das Feld als Pyrroelektrizität bemerkbar.
13.6
Kristallstruktur von Graphen: 2d-hexagonales Gitter mit zweiatomiger Basis
Zu untersuchen ist das in der folgenden Abbildung dargestellte Honigwabengitter Gitter:
13.6. KRISTALLSTRUKTUR VON GRAPHEN: 2D-HEXAGONALES GITTER MIT ZWEIATOMIGER BASIS131
Abbildung 13.9: Honigwabengitter von Graphen (a) und seine Bandstruktur (b). In (b) sind die Isoenergielinien eingezeichnet und die Brillouinzone (BZ) ist mit gestrichelten Linien dargestellt. Die Dirac Punkte k
und K 0 sind mit Pfeilen markiert, die reziproken Gittervektoren ~a∗1,2 sind ebenfalls gezeigt.
Diese Darstellung ist dem Artikel ’Remarks on the tight-binding model of graphene’ von C. Bena und G.
Montabaux (BM in New Journal of Physics 11 (2008) 95003) entnommen.
~ j = Pi ni~ai mit
1 In BM werden werden die die Gittervektoren des in (a) dargestellten Ortsraumgitters R
j = (n1 , n2 durch die primitiven Gittervektoren
√
√
3
3
3
3
~e1 + d ~e2
~a2 = −d
~e1 + d ~e2
~a1 = d
und
(13.35)
2
2
2
2
dargestellt. Hier ist d der kleinste zwischen den A und den B-Atomen. Verifizieren Sie diese Wahl. Es
werden zusätzlich die Vektoren
~ Aj = R
~j
R
und
~ Bj = R
~ j + ~δ3
R
(13.36)
mit ~δ3 = −a~e2 eingeführt. Begründen Sie dieses Vorgehen.
2. Stellen Sie die primitiven Gittervektoren in Gl. (13.40) als Funktion des kleinsten Abstandes a zwischen zwei A-Atomen dar und vergleichen Sie mit den primitiven Gittervektoren des planaren hexagonalen Gitters der Wurtzitstruktur in Gl. (13.32).
3. Zeigen Sie, dass das reziproke Gitter eines hexagonalen Orts-Gitters mit dem kleinsten Abstand a
wieder ein hexagonales Gitter mit dem kleinsten Abstand A ist. Wie verhalten sich die Größen A und
a zueinander?
4. Konstruieren Sie die erste Brilloinzone des hexagonalen Gitters. Wie sind die Koordinaten der DiracPunkte?
Lösung:
1. Aus Abb. 19.35 entnehmen wir
1
y = d sin (30 ) = d
2
o
√
a
3
o
x = = d cos (30 )d =
d.
2
2
(13.37)
132
KAPITEL 13. ÜBUNGEN ZU 2. DER FESTKÖRPERKRISTALL
Abbildung 13.10: Erste Brillouinzone des hexagonalen Gitters mit den sechs Dirac-Punkten.
Dann ist die x-Komponente von ~a1
√
3
d
(~a1 ) x = x =
2
(13.38)
und die y-Komponente
(~a1 )y = y + d =
3
d.
2
(13.39)
Abbildung 13.11: Beziehung zwischen d und a im Honigwabengitter.
2. Aus (13.37) entnehmen wir a =
√
3d, sodass
√
1
3
~a1 = a ~e1 + a
~e2
2
2
und
√
1
3
~a2 = −a ~e1 + a
~e2
2
2
(13.40)
Es folgt, dass ~a1 in Gl. (13.32) identisch ist mit ~a1 − ~a2 in (13.40) und ~a2 in Gl. (13.32) mit ~a1 in
(13.40).
3. Wir schreiben die primitiven Gittervektoren ~a und ~b eines allgemeinen 2d-Gitters in der Form:
~a1 = α1~e1 + β1~e2
und
~a2 = α2~e1 + β2~e2
~g1~a1 = 2π ⇔ γ(α1 β2 − β1 α2 ) = 2π ⇔ γ =
2π
.
α1 β2 − β1 α2
(13.41)
(13.42)
13.7. EBENE GITTERWELLEN
133
Es ist dann
~g1 =
2π
β2~e1 − α2~e2
α1 β2 − β1 α2
Nach (??)
(13.43)
√
α1 β2 − β1 α2 = a
2
und damit
~a∗1 = ~g1 =
3
,
2
(13.44)
 √

!
1  2π
1
4π  3
~e1 + a ~e2  =
~e1 + √ ~e2 .
√ a
2
2
a
a2 3
3
(13.45)
~g2 ⊥ ~a1 ⇒ ~g2 = γ β1~e1 − α1~e2
(13.46)
Wir setzen analog an
und
~g2~a2 = 2π ⇔ γ(α2 β1 − β2 α1 ) = 2π ⇔ γ =
Dann
~a∗2
4π
2π
=− √ .
2
α2 β1 − β2 α1
a 3
 √

!
4π  3
1  2π
1
~e1 − a ~e2  =
= ~g2 = − √ a
−~e1 + √ ~e2 .
2
2
a
a2 3
3
(13.47)
(13.48)
4. Wir betrachten als primitive Gittervektoren des reziproken Gitters
~g1 = ~a∗2 + ~a∗1 =
2π 2
√ ~e2
a 3
(13.49)
und
~g2 =
~a21
!
2π
1
=
−~e1 + √ ~e2 .
a
3
(13.50)
Die x-Richtung wird in ~e2 -Richtung gelegt, ~e x = ~e2 . Dann ist die y-Richtung die −~e1 -Richtung,
~ey = −~e1 . Es folgt somit aus (13.49) und (13.50)
~g1 =
2π 2
√ ~e x
a 3
~g2 =
und
2π
1
~ey + √ ~e x
a
3
!
(13.51)
Wir vergleichen dies mit den primitiven Gittervektoren des hexagonalen Gitters in Gl. (13.32) mit
dem nächsten Nachbarabstand A
~a1 = A(1, 0)
~a2 =
√
A
(1, 3),
2
(13.52)
und finden Identität, wenn
4π
A= √ .
3a
13.7
Ebene Gitterwellen
Zeigen Sie die Orthonormalität und Vollständigkeit der ebenen Gitterwellen.
Lösung:
(13.53)
134
KAPITEL 13. ÜBUNGEN ZU 2. DER FESTKÖRPERKRISTALL
1. Zur Demonstration der Orthonormalitätsrelation untersuchen wir das Skalarprodukt
Z
1
~ ~0
hφG~ 0 |φG~ i =
d3 rei(G−G )~r ,
Vc Vc
(13.54)
indem wir schreiben
~r = ~r(~u) =
3
X
ui~ai
mit
~u = (u1 , u2 , u3 )
(13.55)
i=1
mit den primitiven drei Gittervektoren ~ai und den Entwicklungskoeffizienten ui . Dann ist
∂x
∂x
∂x ∂u1 ∂u2 ∂u3 (a1 ) x (a2 ) x (a3 ) x ∂y
∂y
∂y 3
3
d r = ∂u1 ∂u2 ∂u3 d u = (a1 )y (a2 )y (a3 )y d3 u = Vc d3 u.
∂z
∂z
∂z (a1 )z (a2 )z (a3 )z ∂u
∂u
∂u
1
2
(13.56)
3
Wir setzen weiterhin an
~=
G
X
m j~g j
~0 =
G
und
j
X
m0j~g j
(13.57)
j
mit den primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters ~g j . Es folgt
X
~ −G
~ 0 )~r = 2πi (m j − m0j )u j .
(G
(13.58)
j
Einsetzen von (13.56) und (13.58) in (??) erbringt
Z 1,1,1
Y
YZ 1
P
0
3 i2π j (m j −m0j )u j
hφG~ 0 |φG~ i =
δm j ,m0j = δG~ 0 ,G~ .
=
dui ei2π(m j −m j )u j =
d ue
0,0,0
0
j
(13.59)
j
2. Zur Festsetellung der Vollständigkeit schreiben wir eine vorgegebene gitterperiodische Funktion
~ in der Form
f (~r) = f (~r + R)
f (~r) = f (~r + ~u) = F(~u),
(13.60)
Die Funktion F(u1 , u2 , u3 ) ist eine in allen Variablen periodische Funktion, F(u1 , u2 , u3 ) = F(u1 +
N1 , u2 + N2 , u3 + N3 ) für alle Ni ∈ Z. Wir können daher mit einer Forurierreihe exakt schreiben
X
P
F(u1 , u2 , u3 ) =
Fm1 ,m2 ,m3 ei2π j m j u j ,
(13.61)
m1 ,m2 ,m3
mit
Fm1 ,m2 ,m3 =
Z
1,1,1
d3 uF(u1 , u2 , u3 )e−i2π
P
j
n ju j
.
(13.62)
0,0,0
~ = P j m j~g j sowie Fm1 ,m2 ,m3 = F ~ und bringen mit G~
~ r = 2πi P j m j u j die
Wir definieren nun G
G
Gleichung (13.61) in die Form
X
~
f (~r) =
FG~ eiG~r ,
(13.63)
~
G
wobei aus (13.62) mit (13.56) folgt
1
FG~ =
Vc
Z
Vc
~
d3 r f (~r)e−iG~r .
(13.64)
Kapitel 14
Übungen zu 3. Bandstruktur im
periodischen Festkörperpotenzial
14.1
Zum Kronig-Penney Potenzial
Ein weitgehend analytisch behandelbares Beispiel für ein Bandstrukturproblem stammt von Kronig und
Penney. Es handelt sich um die eindimensionale Schrödingergleichung
#
" 2 2
~ d
KP
+
V
(x)
−
E(k)
ψk (x) = 0
−
2m dx2
(14.1)
im periodischen Kronig-Penney Potential (s. Abb. 14.1)
VKP (0 ≤ x ≤ a) = U[1 − Θ(x − d)].
(14.2)
Abbildung 14.1: Periodisches Kronig-Penney Potenziel.
14.1.1
Das eindimensionale Gitter
1. Wie sieht das zu VKP in Gl. (14.2) gehörige direkte Gitter aus (primitive Gittervektoren?), wie das
reziproke Gitter und wie die erste Brillouinzone?
Direktes Gitter:
~ = u~a = ua~e x ≡ R
~u
R
u ∈ Z,
135
primitiver Gittervektor ist ~a = a~e x .
(14.3)
136KAPITEL 14. ÜBUNGEN ZUR BANDSTRUKTUR IM PERIODISCHEN FESTKÖRPERPOTENZIAL
Reziprokes Gitter
~ = j~g = j 2π ~e x ≡ G
~j
G
a
primitiver Gittervektor ist ~g =
j ∈ Z,
2π
~e x .
a
(14.4)
Es gilt ~g~a = 2π. Die erste Brillouinzone ist −π/a ≤ k ≤ π/a (s. Abb. 14.2 (a)).
14.1.2
Die Blochfunktionen
1. Formulieren Sie die Blochfunktionen im eindimensionalen Gitter.
Lösung: Für die Wellenfunktionen setzen wir gemäß dem Blochtheorem an
ψk (x) = exp (ikx)uk (x)
(14.5)
mit der gitterperiodischen Funktion
uk (x) =
X
j
!
2π
c j (k) exp i j x .
a
(14.6)
Abbildung 14.2: (a) ’Empty-lattice’: Zurückgefaltete freie Dispersion und Energiebänder für U = 0. (b)
Energiebänder für kleine U, es wechselwirken empty-Lattice Zustände mit ähnlicher Energie.
14.1.3
Die Bandmatrix
1. Berechnen Sie die Entwicklungskoeffizienten V KP
j in der Fourierreihe
V KP (x) =
X
j
V KP
j exp i j
!
2π
x.
a
(14.7)
14.1. ZUM KRONIG-PENNEY POTENZIAL
137
Lösung:
V KP
j
a
Z
=
1
a
=
iU
a
dxV KP (x) exp −i j
0
Z
0
d
2π
x
a
!
!
"
!
#
2π
iU
2π
dx exp −i j x =
exp −i j d − 1
a
2π j
a
für j , 0 und für j = 0
d
V KP
j=0 = U .
a
(14.8)
(14.9)
2. Konstruieren Sie die Bandmatrix, indem Sie Gln. (14.5), (14.7) und dann (14.6) in die Schrödingergleichung (14.1) einsetzen.
Lösung: Einsetzen führt auf das hermitesche Matrixeigenwertproblem
[H B (k) − En (k)]~cn (k) = 0,
(14.10)
mit der Bandmatrix








!
"
!
#


2


2


iU
~
2π
d
2π


B
0
δ j j0 +
[H (k)] j, j0 = 
j+k + U 
exp −i ( j − j )d − 1 (1 − δ j j0 )



2m a
a 
2π( j − j0 )
a




|{z}


|
{z
}


Wjj
W KP
(1−δ j j0 )
j j0
3. Zeigen Sie, dass H B (k) hermitesch ist und periodisch in der Variablen k mit der Periode 2π/a
14.1.4
Empty lattice
Wie sehen die Eigenwerte und Eigenfunktionen für U → 0 aus.
14.1.5
Schwache Potenzialmodulation
Für schwache Potenzialmodulationen entstehen Bandlücken an den Rändern der ersten Brillouinzone. Wir
untersuchen die Bandlücke zwischen den beiden untersten Bändern im eindimensionalen Gitter im Bereich
k ∼ π/a. Für die Wellenfunktionen machen wir den Ansatz
ψ(x) = C(k) exp (ikx) + C(k − G) exp [i(k − G)x].
(14.11)
a. Motivieren Sie den Ansatz. Wie groß ist G? Vergleichen Sie mit dem Eigenwertproblem in Gl. (??).
Wie sieht der Vektor ~c(~k) aus?
Wie in Abb. 14.2 (b) gezeigt, wechselwirken beim ’Einschalten’ einer schwachen Modulation emptylattice Zustände, die energetisch nahe beieinenderliegen. Es entstehen Bandlücken. Bei der untersten
Bandlücken wechselwirken empty-lattice Zustände mit k simπ/a und k0 sim − π/a mit einer Differenz
G = k − k0 = 2π/a.
b. Setzen Sie den Ansatz in Gl. (14.11) in Gl. (??) ein. Zeigen Sie dass Sie eine 2 × 2 Matrixgleichung
der Form
(λk − )C(k) + UC(k − G) =
0
(λk−g − )C(k − G) + UC(k) =
0
erhalten. Bestimmen Sie die auftretenden Größen λk , und U.
(14.12)
138KAPITEL 14. ÜBUNGEN ZUR BANDSTRUKTUR IM PERIODISCHEN FESTKÖRPERPOTENZIAL
c. Verifizieren Sie, dass
1
= (λk−g + λk ) ±
2
Stellen Sie die Lösung grafisch dar.
a
r
1
(λk−g + λk )2 + U 2 .
4
(14.13)
14.2. K-RAUMVOLUMEN DER PRIMITIVEN EINHEITSZELLE DES REZIPROKEN GITTERS 139
14.2
k-Raumvolumen der primitiven Einheitszelle des reziproken Gitters
In der Vorlesung wurde für die Zustandsdichte im k-Raum gezeigt
Dk =
1
N
=
,
∆Vk Vk
(14.14)
wobei ∆Vk das Volumen des von den Vektoren ~bα = ~gα /Nα aufgespannten Parallelepipeds und Vk das Volumen des von den Vektoren ~gα aufgespannten Parallelepipeds ist. Es wurde dann in der Vorlesung behauptet,
dass
V
,
(14.15)
Dk =
(2π)d
wobei V das Volumen im d-dimensionalen Raum ist.
1. Verifizieren Sie Gl. (14.15) für ein orthorombisches Gitter, wie es in der Vorlesung betrachtet wurde.
Lösung: In einem orthorombischen Gitter sind die primitiven Gittervektoren ~aα = aα~eα mit den
kartesischen Einheitsvektoren ~eα und die reziroken Gitteverktoren sind ~gα = (2π/aα )~eα . Dann gilt in
drei Dimensionen
Vk
1
(2π)3
(2π)3
(2π)3
=
=
=
(14.16)
N
N
a1 a2 a3
N1 a1 N2 a2 N3 a3
V
|{z}
1/(N1 N2 N3 )
2. Verifizieren Sie Gl. (14.15) für ein allgemeines Gitter.
Lösung: Es gilt im allgemeinen Gitter
V~k = ~g1 (~g2 × ~g3 ).
mit
2π
(~a2 × ~a3 ),
Vc
2π
~g2 =
(~a3 × ~a1 )
Vc
~g1 =
(14.17)
(14.18)
(14.19)
und
2π
(~a1 × ~a2 ),
Vc
mit dem Volumen der primitiven Einheitszelle im Ortsraum
~g3 =
(14.20)
Vc = ~a1 (~g2 × ~33 ),
(14.21)
Weiterhin gilt für Vektorkreuzprodukt die Identität
~a × (~b × ~c) = ~b(~a~c) − ~c(~a~b).
(14.22)
Dann ist wegen der Dualitätsrelation ~ai~g j = 2πδi j
~g2 × ~g3
=
=
2π
2π ~g2 × (~a1 × ~a2 ) =
~a1 (~g2~a2 ) − ~a2 (~g2~a1 )
Vc
Vc
(2π)2
~a1 .
Vc
(14.23)
140KAPITEL 14. ÜBUNGEN ZUR BANDSTRUKTUR IM PERIODISCHEN FESTKÖRPERPOTENZIAL
Weiterhin folgt mit Gl. (14.17)
V~k = ~g1
V~
(2π)2
(2π)3
(2π)3
~a1 =
⇒ k =
Vc
Vc
N
V
(14.24)
14.3. ERLAUBTE ZUSTÄNDE UND ENERGIEABHÄNGIGE ZUSTANDSDICHTE IM FREIEN 2D-ELEKTRONENGAS B
14.3
Erlaubte Zustände und energieabhängige Zustandsdichte im freien 2d-Elektronengas bei festen Randbedingungen
Es werden die Zustände eines zweidimensionalen, freien, quantenmechanischen Teilchengases in einem
Rechteck mit den Kantenlängen L1 und L2 in x = x1 - und y = x2 -Richtung und dem 2d-Volumen V = L1 L2
untersucht (s. Abb. 9.1). Sie sind Lösungen der freien zeitunabhängigen Schrödingergleichung (V(~r) = 0)
" 2
#
~
− ∆ − E(~k) ψ~k (~r).
(14.25)
2m
Die festen Randbedingungen sind
ψ~k (0, x2 ) = ψ~k (L1 , x2 ) = ψ~k (x1 , 0) = ψ~k (x1 , L2 ) = 0.
(14.26)
Die in der Vorlesung behandelten ebenen Wellenzustände
1 ~
ψ~k (~r) = √ eik~r .
V
(14.27)
mit ~r = (x1 , x2 ), ~k = (k1 , k2 ) genügen den Randbedingungen nicht mit ~r = (x1 , x2 ), ~k = (k1 , k2 ).
1. Zeigen Sie die Zustände
2
ψ~k (~r) = √ sin (~k~r).
V
mit
~k = n1 π , n2 π
L1
L2
(14.28)
!
(14.29)
genügen der Schrödingergleichung und den Randbedingungen. Wie lautet die Dispersion E(~k ? Welche bedingungen müssen n1 und n2 erfüllen?
2. Zeigen Sie, dass die Zustände (14.28 normiert sind.
3. Wie lautet die energieabhängige Zustandsdichte
Die Eigenenergien sind
~2 k2
E(~k) = E(k) =
,
2m
wobei
k = |~k|.
(14.30)
142KAPITEL 14. ÜBUNGEN ZUR BANDSTRUKTUR IM PERIODISCHEN FESTKÖRPERPOTENZIAL
14.4
Fermienergie und chemisches Potenzial in freien Elektronengas
Die Fermienergie ist der Wert des chemischen Potenziales bei T = 0. Zeigen Sie, dass für ein freies dreidimensionales Elektronengas gilt
~2 2 2/3 2/3
3π
n ,
(14.31)
EF =
2m
wobei n = Nv /V die Teilchendichte ist und m die Masse. Wie berchnet man das chemische Potenzial bei
endlicher Temperatur?
Lösung: Es gilt
Z∞
Z∞
1
E−µ .
(14.32)
N=
dE D(E) fFD (E − µ) =
dE D(E)
exp kB T + 1
−∞
0
Für T → 0 gilt fFD (x < 0) → 1 und fFD (x > 0) → 0, sodass mit Gln. (??)- (??)
N=
ZE F
0
"
# 32
V 2m
dED(E) = N(E F ) = 2 2 E F
3π ~
(14.33)
und somit
~2 2 2/3 2/3
3π
n ,
(14.34)
2m
wobei n = NL /V die gemessene Dichte der Leitungselektronen ist. Für Aluminium ergibt sich E F =∼ 12eV.
bei T = 0 ergibt sich eine Fermikugel der besetzten Zuständ im k-Raum mit dem Radius (s. Gl. (??))
r
2m
(E F − E(0))
(14.35)
kF =
~2
EF =
wie sie in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Im Inneren der Fermikugel herscht die nach dem Pauli-
Prinzip maximal mögliche Besetzung 1 und außerhalb die Besetzung 0. Das entspricht der minimalen, mit
dem Pauliprinzip verträglichen Energie. In Aluminium ist E F − E(0) = 11.63eV.
Durch Gleichung (14.32) wird bei gegebener Temperatur T das chemische Potential dadurch bestimmt, dass
das Integral auf der rechten Seite der Gleichung den vorgegebenen Wert N annimmt. Es ist im Allgemeinfall
daher µ = µ(T ).
14.5. SYMMETRIETRANSFORMATIONEN DES GITTERS UND BANDSTRUKTUR
14.5
143
Symmetrietransformationen des Gitters und Bandstruktur
1. Transponierte und Inverse von R: Zeigen Sie, dass für alle Transformationsmatrizen Ri gilt
X
Ri j Ri j0 x0j x0j0 = δ j j0 ,
(14.36)
i
und damit
T
R−1
i j = R ji = Ri j .
(14.37)
2. Symmetriebedingungen für die Fourierzerlegung des Potenzials: Gegeben seien V(~r) und die Symmetrietransformation ~r0 = R~r. Konstruiere eine andere Funktion
V(R~r) ≡ V(~r0 ),
(14.38)
indem man zunächst in V(~r) den Vektor ~r durch ~r0 ersetzt und dann substituiert ~r0 = R~r. Welche
Folgerungen ergeben sich aus der Symmetriebedingung V(~r) = V(R~r) für die Koeffizienten VG~ .
3. Symmetrie der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen im periodischen Potenzial: Gegeben sei die
Schrödingergleichung im periodischen Potenzial,
#
" 2
~
(14.39)
− ∆~r + V(~r) − E ψ~k (~r)
2m
mit der Blochlösung
ψ~k (~r) = exp (i~k~r)u~k (~r)
(14.40)
ψ~k0 (~r) = exp (i~k0~r)u~k0 (~r)
(14.41)
. Zeige, dass sich weitere Lösungen
ur Energie E finden lassen, indem man setzt
~k0 = R−1~k
Es gilt also
und
u~k0 (~r) = u~k (R~r).
E(~k) = E(R−1~k).
(14.42)
(14.43)
4. Begründen Sie, dass auf Grund von Gl. (14.43) bei voller kubischer Symmetrie nur der in der untenstehenden Abbildung dargestellte Teil der ersten Brilloinzone betrachtet werden muss.
5. Zeige aus Aufgabe 3
∆~r = ∆~r0
(14.44)
144KAPITEL 14. ÜBUNGEN ZUR BANDSTRUKTUR IM PERIODISCHEN FESTKÖRPERPOTENZIAL
Abbildung 14.3: Links: In blau zu betrachtender Teil der ersten Brillouinzone. Rechts: Symbolisiert in
blauen punkten: kubische Symmetrie von (~k).
14.5.1
Lösung Teilaufgabe 1
Es ist ~r0 = R~r, dann
| ~r0 |2 =
X
(xi0 )2 =
X
Ri j Ri j0 x j x j0
(14.45)
i j j0
i
Aus der Betragserhaltung bei allen Symmetrietransformationen folgt
X
Ri j Ri j0 = δ j j0 ,
(14.46)
i
sodass
P
0 2
i (xi )
=
P
i (xi )
2
. Setzen wir nun R−1
ji = Ri j folgt korrekterweise aus Gl. (14.46)
X
R−1
ji Ri j0 = δ j j0 .
(14.47)
i
14.5.2
Lösung Teilaufgabe 2
Es gelten V(~r) = V(R~r) sowie
V(~r) =
X
~ r).
VG~ exp (iG~
(14.48)
~
G
Dann
V(R~r) =
X
~ r) =
VG~ exp (iGR~
~
G
X
~ r].
VG~ exp (i[RT G)~
(14.49)
~
G
Es gilt
~ = R−1G
~ ≡ ~k.
RT G
~ = R~k erhalten wir aus Gl. (14.49)
Mit G
X
X
V(R~r) =
VR~k exp (i~k~r) =
VR~k exp (i~k~r),
R~k
(14.50)
(14.51)
~k
wobei wir im letzten Schritt die Summationsreihenfolge geändert haben. Ein Vergleich zwischen Gl. (14.48)
~ und die Relation
und (14.51) ergibt ~k = RG
VG~ = VRG~ .
(14.52)
14.5. SYMMETRIETRANSFORMATIONEN DES GITTERS UND BANDSTRUKTUR
14.5.3
145
Lösung Teilaufgabe 3
Wir gehen von Gl. (14.39) in gestrichenen Koordinaten aus
" 2
#
~
0
− ∆~r0 + V(~r ) − E exp (i~k~r0 )u~k (~r0 ).
2m
(14.53)
Wir transformieren
~r0 = R~r,
∆~r0 = ∆~r ,
(s. Aufgabe 4). Setze weiterhin
V(~r0 ) = V(R~r) = V(~r)
(14.54)
~kR~r = (RT ~k)~r = (R−1~k)~r ≡ ~k0~r,
(14.55)
u~k (R~r) ≡ u~k0 (~r).
(14.56)
#
~2
− ∆~r + V(~r) − E exp (i~k0~r)u~k0 (~r).
2m
(14.57)
mit ~k0 = R−1~k und
Dann folgt aus Gl. (14.53)
"
14.5.4
Lösung Teilaufgabe 5
Die Transformation ~r0 = R~r bedeutet xi0 =
und
P
j
Ri j x j . Dann ist
∂xi0
= Ri j
∂x j
(14.58)
X ∂x j ∂
X
∂
∂
Ri j 0 .
=
0 =
∂xi
∂xi ∂x j
∂x j
j
j
(14.59)
∇~r = R∇~r0 .
(14.60)
0
Es folgt
Sodann
∆~r =
X
i
∂
∂xi
!2
=
X
i j j0
Ri j Ri j0
X
∂ ∂
∂ ∂
=
δ j, j0 0 0 = ∆~r0 .
0
0
∂x j ∂x j0
∂x j ∂x j0
j j0
(14.61)
Kapitel 15
Übungen zu 4. Die effektive Masse und
die mesoskopische Beschreibung von
Halbleiterstrukturen
15.1
Valenzbandstruktur von Silizium
Die Bandstruktur von Silizium um die Bandlücke herum hat die in Abb. ?? gezeigte Struktur:
Im Valenzband gibt es drei Valleys bei k = 0 mit Löchern unterschiedlicher effektiver Masse (nach Ref.
[8]): Die schweren Löcher mit der effektiven Masse mhh = −0.275mo in [001]-Richtung (anisotrope Dispersion), die leichten Löcher mit mlh = −0.204m0 in [001]-Richtung (anisotrope Dispersion) und die
Spin-abgespaltenen Löcher mit m so = −0.234m0 (isotrope Dispersion).
15.2
Effektiver Massentensor von Germanium
1. Suchen Sie sich einen Konstant-Energie-Ellipsoid im Ge aus und geben Sie drei orthogonale Hauptachseneinheitsvektoren ~nλ an.
2. Die longitudinale Masse ist im Ge mk = 1.64m0 und die transversale Masse m⊥ = 0.082m0 . Geben
Sie die quadratische Form der Bandenergie in Koordinaten von κ1 , κ2 und κ3 an
3. Geben Sie die quadratische Form der Bandenergie in Koordinaten κ x , κy und κz an und konstruieren
Sie den (1/m)-Tensor in kartesischen Koordinaten
4. Berechnen Sie in κ x , κy und κz -Koordinaten die Eigenwerte und Eigenvektoren des Effektivmassentensors.
Lösung:
1. Wir schreiben
1
~n1 = √ (1, 1, 1)
3
1
~n2 = √ (−1, 1, 0)
2
2. Es ist
E(~κ) =
und
~2 2
~2 2
κ1 +
(κ + κ32 ).
2ml
2mt 2
146
1
~n3 = √ (−1, −1, 2).
6
(15.1)
(15.2)
15.2. EFFEKTIVER MASSENTENSOR VON GERMANIUM
147
Abbildung 15.1: Konstant-Energie-Ellipsoid im Ge in (111)-Richtung.
3. Es gilt
~κ = κ1~e1 + κ2~e2 + κ3~e3 = κ x~e x + κy~ey + κz~ez .
(15.3)
1
κ1 = κ1~e1~e x + κy~e1~ey + κz~e1~ez = √ (κ x + κy + κz )
3
(15.4)
Projektion auf ~e1 erbringt
und Projektion auf ~e2 und ~e3
sowie
Sodann
κ12 =
und
κ32 =
1
κ2 = √ (−κ x + κy )
2
(15.5)
1
κ3 = √ (−κ x − κy + 2κz ).
6
(15.6)
1 2
κ x + κy2 + κz2 + 2κ x κy + 2κ x κz + 2κy κz ,
3
1 2
κ22 =
κ x + κy2 − 2κ x κy ,
2
(15.7)
(15.8)
1 2
κ x + κy2 + 4κz2 + 2κ x κy − 4κ x κz − 4κy κz .
6
(15.9)
4 2
κ x + κy2 + κz2 − κ x κy − κ x κz − κy κz .
6
(15.10)
Weiterhin
κ22 + κ32 =
Einsetzen in Gl. (15.2) erbringt
" 2
#
#
" ~2
~
2~2 2
~2 E(~κ) =
+
κ x + κy2 + κz2 +
−
2κ x κy + 2κ x κz + 2κy κz .
3ml 3mt
3ml 3mt
(15.11)
148KAPITEL 15. ÜBUNGEN ZUR EFFEKTIVEN MASSE UND MESOSKOPISCHEN BESCHREIBUNG
Es resultiert
1
m
wobei
A=
1
2
+
3ml 3mt
!
ij

A

=  B

B
und
B
A
B

B

B ,

A
B=
(15.12)
1
1
−
.
3ml 3mt
(15.13)
4. Wir betrachten das Eigenwertproblem
"
!
#
1
+ aλ (E) ~vλ = 0.
m
(15.14)
Es folgen die Eigenwert
 


!
1
−2B
B
B 
1
1
 


−2B
B  ⇒ ~v1 = 1
+ aλ (E) =  B
⇒
a1 = 2B + A =
 


ml
m
1
B
B
−2B
(15.15)
und


 
 
!
 B
 1 
−1
B
B 
1
1


 
 
B  ⇒ ~v2 = −1 oder~v3 = −1 .
a2 = A − B =
⇒
+ aλ (E) =  B −2B


 
 
mt
m
B
B
−2B
0
2
(15.16)
15.3. STROMDICHTE UND ENVELOPPENFUNKTION
15.3
149
Stromdichte und Enveloppenfunktion
• Zeigen Sie, dass für die über Vc gemittelte Teilchensstromdichte gilt
i
~ h
~¯j(~
j r) =
F(~r)∇R~ F ∗ (~r) − F ∗ (~r)∇F(~r) .
2im
(15.17)
Hinweis: Die gitterperiodischen Funktionen un~k können reell gewählt werden.
Lösung: Die mikroskopische Stromdichte ist gegeben durch
~j(~r) = ~ ψ(~r)∇ψ∗ (~r) − ψ∗ (~r)∇ψ(~r) .
2im
Die gemittelte Stromdichte folgt mit ~r ∈ Vc aus
Z
Z
1 ~
~¯j(~r) = 1
d3 r0 ~j(~r0 ) =
d3 r0 ψ(~r0 )∇ψ∗ (~r) − ψ∗ (~r)∇ψ(~r)
Vc Vc
Vc 2im Vc
(15.18)
(15.19)
Wir formen um
Z
1
d3 r0 ψ(~r0 )∇ψ∗ (~r) − ψ∗ (~r)∇ψ(~r)
Vc Vc
Z
n
h
i
h
io
1
=
d3 r0 u0 (r~0 )F(~r0 )∇ u0 (r~0 )F(~r0 )∗ − u0 (r~0 )F(~r0 )∗ ∇ u0 (r~0 )F(~r0 )
Vc Vc
Z
Z
h
i
1
1
3 0 2 0 0
0 ∗
0 ∗
0 =
d r u0 (~r ) F(~r )∇F(~r ) − F(~r ) ∇F(~r ) +
d3 r0 |F(~r0 )|2 u0 (r~0 )∇u0 (r~0 ) − u0 (r~0 )∇u0 (r~0 )
Vc Vc
Vc Vc
Z
1 F(~r)∇F(~r)∗ − F(~r)∗ ∇F(~r)
d3 r0 u20 (~r0 ) = F(~r)∇F(~r)∗ − F(~r)∗ ∇F(~r)
(15.20)
∼
Vc
Vc | {z }
Vc
Somit
~¯j(~r) = ~ F(~r)∇F(~r)∗ − F(~r)∗ ∇F(~r)
2im
(15.21)
150KAPITEL 15. ÜBUNGEN ZUR EFFEKTIVEN MASSE UND MESOSKOPISCHEN BESCHREIBUNG
15.4
Optische Übergangsmatrixelemente
Wir betrachten zwei Blochzustände Ψ1 und Ψ2 in Enveloppenfunktionsnäherung
Ψ1 = un1 (~r)F1 (~r)
und
Ψ2 = un2 (~r)F2 (~r).
(15.22)
Wie beim Galliumarsenid stammen die Blochzustände aus demselben valley am Γ-Punkt und wir
identifizieren wegen des betrachteten optischen Übergangs n1 mit dem Leitungsbandindex und n2
mit dem Valenzbandindex.
Abbildung 15.2: Optischer Übergang zwischen einem Valenzbandzustand Ψ1 mit Wellenvektor ~k1 und dem
Blochabndindex n1 und einem Leitungsbandzustand Ψ2 mit Wellenvektor ~k2 und dem Blochabndindex n2 ,
beide Zustände im valley am Γ-Punkt.
Es liegen ebene elektromagnetische Wellen der Frequenz ω vor, die in Coulomb-Eichung durch das
Vektorpotenzial
~ r, t) = ~e A0 ei~k~r−iωt + e−i~k~r+iωt ,
(15.23)
A(~
2
beschrieben weden, wobei ~e ein Einheitsvekltor in Richtung der Polarisation ist. Das Übergangsmatrixelement ist
Z
Z
i~e
3
∗
~ 1 (~r),
H21 =
d rΨ2 (~r)HΨ1 (~r) = − ∗
d3 rΨ∗2 (~r)A∇Ψ
(15.24)
m V
V
mit
~ r) = ~e A0 ei~k~r + e−i~k~r .
A(~
(15.25)
2
• Berechnen Sie das Übergangsmatrixelement mit einer Mittelung über die primitive Gitterzelle Vc wie
in Gl. (15.19). Setzen Sie dann die Enveloppenfunktionen des bulk-Materials
1
F1 (~r) = √ exp (i~k1~r)
V
ein.
und
1
F2 (~r) = √ exp (i~k2~r)
V
(15.26)
15.4. OPTISCHE ÜBERGANGSMATRIXELEMENTE
151
Lösung: Wir schreiben zunächst
Z
XZ
3
∗
~
~ n1 (~r)F1 (~r),
d3 run2 (~r)F2∗ (~r)A∇u
d rΨ2 (~r)A∇Ψ1 (~r) =
V
n
(15.27)
Vcn
wobei Vcn das Volumen der n-ten primitiven Einheitszelle bei ~rn ist und der Index n durch alle dieser Zellen
läuft. Dann ergibt sich
XZ
XZ
~ n1 (~r)∇F1 (~r) +
~ 1 (~r)∇un1 (~r)
... =
d3 run2 (~r)F2∗ (~r)Au
d3 run2 (~r)F2∗ (~r)AF
(15.28)
n
∼
X
n
Vcn
~ rn )∇F1 (~rn )
F2∗ (~rn )A(~
n
Z
Vcn
Vcn
d3 run2 (~r)un1 (~r) +
X
~ rn )F1 (~rn ) intVcn d3 run2 (~r)∇un1 (~r).
F2∗ (~rn )A(~
n
Der erste Summand verschwindet wegen der Orthogonalität von un2 und un1 . Für den zweiten Term definieren wir die Materialkonstante
Z
~ 21 = 1
d3 run2 (~r)∇un1 (~r)
(15.29)
M
Vc Vc
die über die für die optische Aktivität eines Halbleiters entscheidend ist. Es folgt dann
Z
A0 ~
A0 ~ X
~
~
~
~
~e M21
Vc F2∗ (~rn ) eik~rn + e−ik~rn F1 (~rn ) → ~e M
d3 rF2∗ (~r) eik~r + e−ik~r F1 (~r)
... =
21
2
2
V
n
Z
A0 ~
1
1
~
~
~e M21
=
d3 r √ exp (−i~k2~r) eik~r + e−ik~r √ exp (i~k1~r)
2
V
V
V
A0 ~ ~e M21 δ~k1 −~k2 ,~k + δ~k2 −~k1 ,~k .
(15.30)
=
2
Die Kroneckersymbole repräsentieren die die Impuls-Auswahlregeln. Da der Wellenvektor ~k des Lichts
gewöhnlich sehr klein ist, vollziehen sich die optischen Übergänge im Wesentlichen senkrecht im Bandschema.Aus Fermi’s goldener Regel folgt zusätzlich die Energie-Auswahlregeln ~ω = E2 − E1 .
152KAPITEL 15. ÜBUNGEN ZUR EFFEKTIVEN MASSE UND MESOSKOPISCHEN BESCHREIBUNG
15.5
Breite der Enveloppenfunktion im Impulsraum
In der Vorlesung wurde die Bestimmungsgleichung für die Enveloppenfunktion in einem eindimensionalen
Quantentrog hergeleitet
"
#
~2 ∂2
−
+
V
(x)
−
E
F j (x) = 0,
(15.31)
c
j
2mc ∂x2
mit
( 0;cAlGaAs
E
für |x| > d
Vc (x) =
(15.32)
E 0;cGaAs für |x| < d,
(s. Abb. 15.3).
Abbildung 15.3: Eindimensionaler Quantentrog: Rot gestrichelt gebundener Zustand bei endlicher Barrierenhöhe, rot durchgezogen idealer Limes unendlich hoher Barriere.
Im Limes unendlicher Trogbarrierenhöhe gilt
r
1
π
sin ( j + 1) (x + d)
mit
j = 0, 1, 2, 3 . . .
(15.33)
F j (x) =
d
2d
und den diskreten Subbandenergien
"
#2
~2 ( j + 1)π
.
(15.34)
Ej =
2m∗
2d
Man berechne die Breite der untersten Subbandfunktion im Impulsraum und zeige, dass Sie klein gegen
(Vk )1/3 , sodass die in der Vorlesung eingeführte Näherung
u~k (~r) ∼ u0 (~r),
(15.35)
gerechtfertigt ist.
Lösung: Die Darstellung f (k) der Funktion F0 (x) wird im k-Raum ist definiert durch
Z
F0 (x) =
dk f (k)eikx .
(15.36)
Es gilt
f (k) =
=
=
r Z d
π
1
1
dxF0 (x)e
=
sin
(x + d) e−ikx
2π d −d
2d
−∞
Z 1
1
π
=
du sin (u + 1) e−iqu mit q = kd.
2π −1
2
Z 2
1 iq
π e
dv sin v e−iqv
2π
2
0
1
2π
Z
∞
−ikx
(15.37)
15.5. BREITE DER ENVELOPPENFUNKTION IM IMPULSRAUM
153
Wir untersuchen mit α = π/2
Z
=
2
h
i2
1
e−i(q±α)v
0
−i(q ± α)
0
1 −i(q±α)
1
e−i(q±α)2 − 1 = i
e
sin (q ± α)
−i(q ± α)
q±α
dve−i(q±α)v =
(15.38)
Es folgt für die Breite q0
q0 ∼ 1 ⇒ k =
mit dem atomaren Abstand a. Dies bedeutet d a.
1
2π
d
a
(15.39)
Kapitel 16
Übungen zu 5. Der Halbleiter im
thermischen Gleichgewicht
16.1
Großkanonische Zustandswahrscheinlichkeit
Gegeben sei die Wahrscheinlichkeit eines Mikrozustandes im großkanonischen Ensemble
Pr =
e−β(Er −Nr µ)
Y
(16.1)
mit der Zustandssumme
Y=
X
e−β(Er −Nr µ) .
(16.2)
r
In einem System von N Donatoren i = 1 . . . N sind die Mikrozustände die N-Tupel r = {k1 , k2 , . . . , kN } mit
ki = 1, 2, 3 (k = 1 ionisierter Donator, k = 2 neutraler Donator mit Spin up, k = 2 neutraler Donator mit
Spin down).
1. Wieviele mikrokanonische Zustände gibt es?
2. Zeigen Sie
16.2
P
r
Pr = 1
Besetzung von Störstellenniveaus
Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit eine gegebene Störstelle im Niveau k zu finden gegeben ist durch
pk =
e−βnk (E D −µ)
.
y
(16.3)
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit eine gegebene Störstelle im Niveau k zu finden ist für alle gleich, sodass wir
willkürlich i = N betrachten können. Die Wahrscheinlichkeit diese Störstelle im Zustand k anzutreffen
lässt sich ausdrücken durch
X
1X
pk =
δk,kN pr =
δk,kN e−β(Er −Nr µ)
(16.4)
Y r
r
154
16.2. BESETZUNG VON STÖRSTELLENNIVEAUS
155
Wir finden wie in Gl. (20.28)
X
δk,kN e−β(Er −Nr µ) =
=
δk,kN e−β
3
X
e
−β
PN−1
i=1
PN
i=1
nki (E D −µ)
3
X
=
δk,kN e−β
 3

  X

−βnkN (E D −µ) 
 = yN−1 e−βnki (E D −µ)
δk,kN e
 

nki (E D −µ) 
 
k1 ,k2 ,...,kN−1 =1
PN
i=1
nki (E D −µ)
k1 ,k2 ,...,kN =1
{k1 ,k2 ,...,kN }
r




X
(16.5)
kN =1
Wir finden somit
pk =
e−βnk (E D −µ) yN−1 e−βnk (E D −µ)
=
.
Y
y
(16.6)
156
KAPITEL 16. ÜBUNGEN ZU 5. DER HALBLEITER IM THERMISCHEN GLEICHGEWICHT
16.3
Berechnung des chemischen Potenzials im n-dotierten Halbleiter
Berechnen Sie aus der Bedingung n = ND+ das chemische Potenzial in einem n-dotierten Halbleiter.
Lösung: n = ND+ führt auf
ND
ND
= NL eβ(µ−E L ) ⇔
= NL e−βE L x,
−β(E
−µ)
D
1 + 2e−βE D x
1 + 2e
(16.7)
mit x = exp (βµ). Es folgt eine in x quadratische Gleichung
⇔
ND = NL e−βE L x + 2NL e−β(EL +E D ) x2
ND β(E L +E D )
x2 + NL e−βE L 1 + 2e−βE D x −
e
= 0.
2NL
(16.8)
Diese kann einfach gelöst werden.
16.4
Numerische Ladungsträgerkonzentrationen im n-Halbleiter
In der Vorlesung wurde hergeleitet, dass in einen homogenen Halbleiter wegen des Verschwindens der
Gesamtladung gilt
0=ρ
=
=
e[p + ND+ − (n + NA− )]
ND
NA
β(µ−E L )
−
N
e
−
e NV e−β(µ−EV ) +
L
1 + 2e−β(E D −µ)
1 + 2eβ(E A −µ)
(16.9)
• Wir betrachten einen mehrheitlich n-dotierten Halbleiter. Normieren Sie diese Gleichung durch Division mit ND und geben Sie die Energien in Einheiten der Bandlücke an , sodass m = µ/Eg und
u = kB T/EG . Wählen Sie den Energienullpunkt EV = 0.
Lösung: Wir finden
nV e
m−1
u
+
nA
1 + 2e
1
m
eA −m
u
− nv e− u −
1 + 2e
m−eD
u
= 0.
(16.10)
mit
nL = NL /ND ,
sowie Eg = E L und
nA = NA /ND ,
eA = E A /EG ,
nv = NV /ND ,
eD = E D /EG .
und
(16.11)
(16.12)
• Nehmen Sie n-dotiertes Silizium an mit ND = 1018 cm−3 , eD = 0.9 und NA = 0. Der Einfachheit
halber setzen wir temperaturunabhängig NV = NL = 3 × 1019 cm−3 und EG = 1eV, was den Werten
bei Zimmertemperatur entspricht. Stellen Sie die normierte Gl. (20.9) auf und Berechnen Sie die
Parameter nV und nL .
Lösung: Für NA = 0 lautet Gl. (20.9)
nL e
m−1
u
m
− nv e− u −
1
1 + 2e
m−eD
u
= 0.
(16.13)
Es gilt
nV = nL = NL /ND =
3 × 1019 cm−3
= 30.
1018 cm−3
(16.14)
16.4. NUMERISCHE LADUNGSTRÄGERKONZENTRATIONEN IM N-HALBLEITER
157
• Berechnen Sie mit Gl. (16.22) numerisch das chemische Potenzial und die Elektronendichte unter
den Bedingungen der letzen Aufgabe. Vergleichen Sie mit einer mit einer numerischen Rechnung
mit nV = 0 sowie einer analytischen Lösung für letzteren Fall (s. Gl. (16.18)). Diskutieren Sie die
Ergebnisse
Die folgenden Ergebnisse wurden mit dem Programm chemndot erzielt:
Abbildung 16.1: Oben: In schwarz nach Gl. (20.9) numerisch berechnetes chemisches Potenzial mit
nL = nV = 30. In braun unter Vernachlässigung der Ladung der ionisierten Donatoren und rot mit Donatorenladung aber nV = 0. Unten: In grün: Leitungselektronendichte n/ND . In braun unter Vernachlässigung
der Ladung der ionisierten Donatoren, und blaut mit Donatorenladung aber nV = 0, Kreise sind Auswertung
des analytischen Ausdrucks Gl. (16.18).
ie analytische Lösung finden wir mit der Setzung n = x = nL em−1/u und ed = 1 − eD durch eine quadratische
158
KAPITEL 16. ÜBUNGEN ZU 5. DER HALBLEITER IM THERMISCHEN GLEICHGEWICHT
Gleichung
x−
1+
2
nL
xe−
#
2 2 ed
=0⇔ x+ x eu −1=0
nL
"
1
eD −1
u
ed
ed
2 ed 2
nL e− u
nL e− u
e u x + x − 1 = 0 ⇔ x2 +
x−
= 0.
nL
2
2
⇔
(16.15)
ed
Wir setzen weiterhin x = e− u y, sodass
e
−
2ed
u
n L e−
y +
2
2
2ed
u
ed
ed
n L e− u
nL
nL e u
y−
= 0 ⇔ y2 + y −
= 0,
2
2
2
(16.16)
sodass wegen y > 0
s
nL
y=− +
4
Wir haben dann
e
− ud
n=e
e
n2L enL ud
+
.
16
2
s

e

n2L enL ud
 nL
−
+
+

4
16
2
(16.17)



 .
(16.18)
16.5. NUMERISCHE LADUNGSTRÄGERKONZENTRATIONEN IM P-HALBLEITER
16.5
159
Numerische Ladungsträgerkonzentrationen im p-Halbleiter
• Wir betrachten einen mehrheitlich p-dotierten Halbleiter. Normieren Sie diese Gleichung durch Division mit NA und geben Sie die Energien in Einheiten der Bandlücke an , sodass m = µ/Eg und
u = kB T/EG . Wählen Sie den Energienullpunkt EV = 0.
Lösung: Wir finden
nL e
m−1
u
+
1
1 + 2e
nD
m
eA −m
u
− nv e− u −
1 + 2e
m−eD
u
= 0.
(16.19)
mit
nL = NL /NA ,
sowie Eg = E L und
nD = ND /NA ,
eA = E A /EG ,
und
nv = NV /NA ,
eD = E D /EG .
(16.20)
(16.21)
• Nehmen Sie p-dotiertes Silizium an mit NA = 1018 cm−3 , E A = 0.1 und ND = 0. Der Einfachheit
halber setzen wir temperaturunabhängig NV = NL = 3 × 1019 cm−3 und EG = 1eV, was den Werten
bei Zimmertemperatur entspricht. Stellen Sie die normierte Gl. (20.9) auf und Berechnen Sie die
Parameter nV und nL .
Lösung: Für ND = 0 lautet Gl. (16.19)
nL e
m−1
u
+
1
1 + 2e
m
− nv e− u = 0.
(16.22)
3 × 1019 cm−3
= 30.
1018 cm−3
(16.23)
eA −m
u
Es gilt
nV = nL = NL /ND =
• Berechnen Sie mit Gl. (16.22) numerisch das chemische Potenzial und die Elektronendichte unter
den Bedingungen der letzen Aufgabe.
160
KAPITEL 16. ÜBUNGEN ZU 5. DER HALBLEITER IM THERMISCHEN GLEICHGEWICHT
Abbildung 16.2: In schwarz nach Gl. (16.19) numerisch berechnete Lochdichte p/NA und in rot das chemische Potenzial.
16.6
Literaturdaten für effektive Massen und effektive Bandzustandsdichten in Silizium
Wir analysieren die Arbeit in Ref. [9] (GR). Hier wird eine effektive Leitungsbandmasse angenommen m∗dc
und eine effektive Vaenzbandmasse m∗dv angenommen, sodass wir schreiben können (s. Gl. (2) und (3))
NC = 2(2πm∗dc kT/h2 )3/2
und
NV = 2(2πm∗dv kT/h2 )3/2 ,
(16.24)
wobei die in der Vorlesung definierte Größe NL bei GR NC genannt wird.
• Zeige die Richtigkeit der Gln (4) und (5)
19
m∗dc
m0
!3/2 NV = 2.54 × 1019
m∗dv
m0
!3/2 NC = 2.54 × 10
T 3/2 1
300K
cm3
(16.25)
T 3/2 1
300K
cm3
(16.26)
wobei m0 = 9.1 × 10−31 kg die Ruhemasse des freien Elektrons ist, ~ = 1.05 × 10−34 Js, kB T 0 = 25meV
mit T 0 = 300K und 1eV = 1.5 × 10−19 J.
• Verifiziere ausgehend von den in der Vorlesung hergeleiteten Ausdrücken
!3
1/3
m∗ k B T 2
NL = 2NvL e 2
.
mit
m∗e = (m∗t )2 m∗l
2π~
(16.27)
16.6. LITERATURDATEN FÜR EFFEKTIVE BANDZUSTANDSDICHTEN IN SILIZIUM
161
Formel (6) von GR
1/3
.
m∗dc = 62/3 (m∗t )2 m∗l
Berechne
m∗dc
mit den in der Vorlesung angegebenen Werten von
(16.28)
m∗t
= 0.19m0 und
m∗l
= 0.91m0 .
Lösung: Wir schreiben (16.27) in der Form
(NvL )2/3 m∗e kB T
NL = 2
2π~2
! 23
(16.29)
und erhalten durch Vergleich mit (16.24)
m∗dc = (NvL )2/3 m∗e = 62/3 m∗e .
(16.30)
Im Leitungsband des Siliziums gilt NvL = 6.
• Verifiziere Gl. (7) GR für die Valenzbandmasse
h
i3/2 2/3
m∗dv = (m∗lh )3/2 + (m∗hh )3/2 + m∗so e−∆/kT
.
(16.31)
Hierbei wird angenommen, dass die 3 Valenzbänder isotrop lh (light hole), hh (heavy hole) und so
(spinabgespalten) isotrop sind mit den Bandmassen m∗lh , m∗hh und m∗so .
Lösung: Für das lh und das hh-Band ist der Bandboden gegeben durch EV und es gilt
plh/hh = NVlh/hh e−(µ−EV )/kT
mit
NVlh/hh = 2
m∗lh/hh kB T
! 32
(16.32)
2π~2
Für das so-Band ist die Bandkante gegeben durch EV − ∆ und damit
p so =
NVso e−(µ−(EV −∆)/kT
=
NVso e−∆/kT e−(µ−EV )/kT
NVso
mit
m∗ k B T
= 2 so 2
2π~
! 23
(16.33)
Wir bringen die Gesamtlochdichte auf die Form
p = plh + phh + p so = Nv e−(µ−EV )/kT ,
(16.34)
mit
Nv
! 32
=
m∗ k B T
2 lh 2
2π~
m∗ k B T
+ 2 hh 2
2π~
=
2(2πm∗dv kT/h2 )3/2 ,
! 23
m∗ k B T
+ 2 so 2
2π~
! 23
(16.35)
wobei wir in der unteren Zeile (16.24) angestezt haben. Gl. (16.31) folgt nach auflösen nach m∗dv .
Die folgenden Ergebnisse wurden mit dem Programm chemndot erzielt:
Abbildung 16.3: Materialparameter nach GR, erste Spalte von rechts m∗dv /m0 und zweite Spalte von rechts
m∗dc /m0 .
Kapitel 17
Übungen zu 6. Der p-n-Übergang im
Gleichgewicht
17.1
Ladungsträgerkonzentrationen
Zeigen Sie, dass mit den ersetzungen
f (E, µ) → f (E, φ) =
exp
1
E−φ kB T
+1
.
(17.1)
und
√
D(E) =
2(m∗ )3/2
(E − E L )1/2 Θ(E − E L )
π2 ~3
√
2(m∗ )3/2
→ D(E,~r) = Nv
[E − E L (~r)]1/2 Θ[E − E L (~r].
π2 ~3
Nv
(17.2)
resultiert
n(x) =
=
!
Z ∞
φ−E
dED(E,~r) f (E, φ) ∼
dED(E,~r) exp
kB T
E L (x)
E L (x)
"
#
"
#
E L (x) − φ
E L + Ψ(x) − φ
NL exp −
= NL exp −
.
kB T
kB T
Z
∞
(17.3)
mit der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbandes
NL = 2NvL
m∗e kB T
2π~2
162
! 32
.
(17.4)
17.1. LADUNGSTRÄGERKONZENTRATIONEN
163
Wir finden
n
=
Z
∞
D(E,~r) f (E − φ)dE
E L (~r)
=
NvL 2m∗e
2π2 ~2
=
NvL
2π2
=
NvL
2π2
! 32 Z
∞
1
dE
exp( E−µ
kB T ) + 1
!3
#Z ∞
"
!#
"
2m∗e 2
1
E − E L (~r)
E L (~r) − µ
2 exp −
[E
−
E
(~
r
)]
dE
exp
−
L
kB T
kB T
~2
E L (~r)
!3
"
#
Z ∞
2m∗e 2
3
1
E L (~r) − µ
2 ·
exp
−
(k
T
)
duu 2 exp(−u) .
B
2
kB T
~
|0
{z
}
1
[E − E L (~r)] 2
E L (~r)
√
π
2
164
KAPITEL 17. ÜBUNGEN ZU 6. DER P-N-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT
17.2
Greensche Funktion der Poissongleichung mit Randbedingungen
Die potenzielle Energie eines Elektrons im Coulombpotenzial ist gegeben
d2
e
Ψ(z) =
ρ(z) = ρ(z).
2
r dz
Der Einfachheit halber setzen wir zunächst
e
=1
r und berücksichtigen diesen Faktor im Endergebnis.
(17.5)
(17.6)
• Zeigen Sie: Mitttels einer Greenschen Funktion G(z, z0 ) mit der Eigenschaft
d2
G(z, z0 ) = δ(z − z0 )
dz2
(17.7)
können wir im Gebiet z1 ≤ z ≤ 22 eine partikuläre Lösung von (17.5) der Form
Z z2
Ψ(z) =
dz0G(z, z0 )ρ(z0 )
(17.8)
z1
finden.
• Zeigen Sie, dass eine mögliche Greensfunktion gegeben ist durch
G(z, z0 ) =
1
|z − z0 |.
2
(17.9)
Lösung:
Wir schreiben
1
G(z, z ) =
2
0
(
z − z0
z’ - z
für z > z0
für z < z0
d
1
G(z, z0 ) =
dz
2
und
(
1
−1
für z > z0
für z < z0 .
(17.10)
Es ist unmittelbar einsichtig, dass
d2
G(z, z0 ) = 0
dz2
für z , z0 .
Für z = z0 wird die Ableitung unstetig, d. h. die zweite Ableitung divergiert. Wir zeigen
Z z2
d2
d
1
1
dz 2 G(z, z0 ) = [ G(z, z0 )]zz21 = − (− ) = 1.
dz
2
2
dz
z1
(17.11)
(17.12)
• Gesucht ist die Lösung von (17.5), die den Randbedingungen Ψ(z1 ) = 0 und Ψ(z2 ) = 0 genügt, mit
vorgegebenen Konstanten α und β. Suchen Sie eine Lösung der Form (17.8), indem Sie in einem
allgemeinen Ansatz für die Greensfunktion
G(z, z0 ) =
1
|z − z0 | + Azz0 + Bz + Cz0 + D
2
(17.13)
die Konstanten so bestimmen, dass
G(z1 , z0 ) = 0
und
G(z2 , z0 ) = 0.
(17.14)
17.2. GREENSCHE FUNKTION DER POISSONGLEICHUNG MIT RANDBEDINGUNGEN
165
Lösung:
Es ist
G(z1 , z0 ) =
=
1 0
(z − z1 ) + Az1 z0 + Bz1 + Cz0 + D
2
!
1
1
+ Az1 + C z0 − z1 + Bz1 + D
2
2
(17.15)
und
G(z2 , z0 )
=
=
1
(z2 − z0 ) + Az2 z0 + Bz2 + Cz0 + D
2
!
1
1
− + Az2 + C z0 + z2 + Bz2 + D.
2
2
(17.16)
Es folgen die Gleichungen
1
+ Az1 + C = 0
2
1
− + Az2 + C = 0
2
(17.17)
(17.18)
und
1
− z1 + Bz1 + D = 0
2
1
z2 + Bz2 + D = 0.
2
Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten erbringt
1 + A(z1 − z2 ) = 0 ⇒ A =
(17.19)
(17.20)
1
.
z2 − z1
(17.21)
Multiplikation der ersten mit z2 und der zweiten mit z1 und Subtraktion führt auf
1
1 z2 + z1
(z2 + z1 ) + C(z2 − z1 ) = 0 ⇒ C = −
.
2
2 z2 − z1
(17.22)
Subtraktion der dritten von der vierten Gleichung
1
1
1 z2 + z1
(z2 + z1 ) + B(z2 − z1 ) = 0 ⇒ B(z2 − z1 ) = − (z2 + z1 ) ⇒ B = −
.
2
2
2 z2 − z1
Schließlich
z1 z2 + D(z1 − z2 ) = 0 ⇒ D(z2 − z1 ) = z1 z2 ⇒ D =
z1 z2
.
z2 − z1
(17.23)
(17.24)
Es folgt
G(z, z0 )
=
=
1
zz0
1 z2 + z1
1 z2 + z1 0
z1 z2
|z − z0 | +
−
z−
z +
2
z2 − z1 2 z2 − z1
2 z2 − z1
z2 − z1
0
1
zz
1
z
+
z
z
z
2
1
1
2
|z − z0 | +
−
(z + z0 ) +
2
z2 − z1 2 z2 − z1
z2 − z1
(17.25)
• Leiten Sie her, dass die Lösung von
d2
Ψ(z) = ρ(z)
dz2
(17.26)
166
KAPITEL 17. ÜBUNGEN ZU 6. DER P-N-ÜBERGANG IM GLEICHGEWICHT
mit den Randbedingungen Ψ(z1 ) = α und Ψ(z2 ) = β gegben ist durch
Z z2
β−α
Ψ(z) =
dz0G(z, z0 )ρ(z0 ) + α +
(z − z1 ),
z2 − z1
z1
(17.27)
wobei G(z, z0 ) durch (17.25) gegeben ist.
Lösung: Es gelten
Ψ(z1 ) =
z2
Z
z1
sowie
Ψ(z2 ) =
Z
dz0 G(z1 , z0 ) ρ(z0 ) + α = α
| {z }
(17.28)
0
z2
z1
dz0 G(z2 , z0 ) ρ(z0 ) + β = β
| {z }
(17.29)
0
• Nehmen Sie wie in der Näherung des abrupten Überganges an, dass z1 = −z p und z2 = zn
Ψ(z1 ) = 0
und
Weiterhin
(
ρ(z) =
z−1
2
z−1
1
Ψ(zn ) = 0
für z > 0
für z < 0
(17.30)
(17.31)
Berechnen Sie das resultierende Potenzial für z1 = −3.0 und z2 = 5.0 mittels Stücklung wie in der
Vorlesung und vergleichen Sie es mit dem im Programm greenbo berechneten numerischen Potenzial
Abbildung 17.1: Lösung der Poissongleichung (17.5) mit Dichte in Gl. (17.31) und Randbedingung z1 =
−3.0 sowie z2 = 5.0 numerisch nach Gl. (17.27) (schwarze Linie) und analytisch nach Gl. (17.32).
17.2. GREENSCHE FUNKTION DER POISSONGLEICHUNG MIT RANDBEDINGUNGEN
167
Lösung: Durch Stücklung mit dem Ansatz
Ψ(z ≤ 0) =
1
1
(z − z1 )2 + (z − z1 )
2z1
2
und
Ψ(z ≥ 0) =
1
1
(z − z2 )2 + (z − z2 ),
2z2
2
(17.32)
erfüllt die Poissongleichung und Ψ(0− ) = Ψ(0+ ) = 0 sowie
1 1
Ψ0 (0− ) = − − = −1 = Ψ(0+ )
2 2
(17.33)
Kapitel 18
Übungen zu 7. Der MOS-Kondensator
18.1
Herleitung der Halbleiterkapazität
Verifizieren Sie,
Cs =
∂Q s
=
∂ψ s
r
NA 0 s
2kB T e
ψs
kB T
−ψs
ψs
n2
e kB T − 1 + Ni2 −e kB T + 1
A
ψs
1/2 .
2
n
−k T
ψs
ψs
i
− kB T − 1 + N 2 e B + kB T − 1
(18.1)
A
ausgehend von

!
!1/2
n2i − ψs
 ψs

ψs
ψs
k
T
k
T
Q s = ∓ 2NA 0 s kB T  e B −
−1 + 2 e B +
− 1  .
kB T
kB T
NA
p
18.2
(18.2)
Gesamtkapazität versus Gatespannung bei Verarmung
Zum Beispiel hat man in Verarmung
Q s = A|Ψ s |1/2 ⇒ C s =
mit A =
√
dQ s
A
= |Ψ s |−1/2 ,
dΨ s
2
(18.3)
2NA 0 . Um Ψ s (U) zu finden wird angesetzt
Ui =
mit
eQ s d eAd 1/2
=
Ψ ≡ BΨ1/2
s ,
0 i
0 i s
(18.4)
√
ed p
ed 2NA B=
2NA 0 = √
0 i
0 i
(18.5)
U = Ui + |Ψ s | = B|Ψ s |1/2 + |Ψ s |
(18.6)
Es folgt nun, dass
Diese Gleichung ermöglicht die Konstruktion vonΨ s (U) durch Einführung der Variablen y = |Ψ s |1/2 ,
U = y2 + By ⇔ U +
B2
B2 B 2
= y2 + By +
= y+
,
4
4
2
168
(18.7)
18.2. GESAMTKAPAZITÄT VERSUS GATESPANNUNG BEI VERARMUNG
sodass
r
y=
U+
B2 B
− > 0.
4
2
169
(18.8)
Es folgen
A
1
,
q
2
2
U + B4 − B2
r
1
1
1
2
B2 B
1
=
− .
+
=
+
U+
C C0 C s C0 A
4
2
C s (U) =
Somit ist 1/C s mit U > 0 monoton wachsend und 1/C monoton fallend.
(18.9)
(18.10)
Kapitel 19
Übungen zu 8. Quantenbeschreibung
der MOS-Struktur
19.1
Berechung der Subbandbesetzungszahl
Für Subbandbesetzungszahl
2
Nj =
(2π)2
Z
∞
−∞




~2 (k2x + ky2 )

− µ
dk x dky  j +
2m
−∞
Z
∞
(19.1)
wurde in der Vorlesung gezeigt
gv m
Nj =
π~2
Z
∞
0
"
!#
µ − j
gv mkB T
du f j + u − µ =
ln 1 + exp
.
kB T
π~2
(19.2)
1
+u−µ .
1 + exp jkB T
(19.3)
Verifizieren Sie den letzten Schritt.
Lösung: Es ist
f j + u − µ =
Dann
"
!#
!
!
µ − j − u
µ − j − u
d
1
1
µ− j −u exp
ln 1 + exp
=
−
du
kB T
kB T
kB T
1 + exp kB T
1
1
1 µ− j −u = −
= −
f j + u − µ .
kB T 1 + exp −
kB T
(19.4)
kB T
Somit
!#
"
µ − j − u ∞
du f j + u − µ = −kB T [ln 1 + exp
kB T
0
0
"
!#
µ − j
kB T [ln 1 + exp
kB T
Z
=
∞
170
(19.5)
19.2. DAS OBERFLÄCHENPOTENZIAL UND KAPAZITÄTEN IN VERARMUNGSNÄHERUNG171
19.2
Das Oberflächenpotenzial und Kapazitäten in Verarmungsnäherung
In der Vorlesung wurden abgeleitet in Gln. (8.34)
φd =
e2 NA 2
z
20 κ sc d
(19.6)
und Gl. (??)
20 κins UG
= 0.
(19.7)
e2 NA
Hier bedeutet UG die Gatespannung reativ zur Flachbandspannung. Diese Gleichung schreiben wir mit
z2d + 2dzd −
ζ=
z
,
d
u=
UG
U0
mit
U0 =
und
yd =
φd
U0
e2 NA
20 κins d2
(19.8)
(19.9)
in normierter Form:
yd = ζ 2
(19.10)
ζ 2 + 2ζ − u = 0.
(19.11)
und
Berechnen Sie hieraus Ψ s (UG ) für kleine Gatespannungen.
Aus (19.11) folgt
√
ζ = −1 + 1 + u.
Für kleine Spannungen u 1 gilt
u u
= ,
ζ = −1 + 1 +
2
2
(19.12)
(19.13)
sodass
u2
yd
φd
u
⇒
=
= 1.
4
u
UG 4
Für u 1 und UG im Verarmungsbereich gilt
r
!
√
√
√
1 √
1
1
1+u= u 1+ = u 1+
= u+ √
u
2u
2 u
yd = ζ
Die führenden Terme in (19.12) sind also
√
√
√
ζ = u − 1 ⇒ yd = ζ 2 = ( u − 1)2 = u − 2 u
Es folgt
(19.14)
(19.15)
(19.16)
yd
φd
2
=
=1− √ .1
u
UG
u
(19.17)
p p
φd = U G − 2 U 0 U G
(19.18)
Somit
Im allgemeinen Fall ergibt sich
yd = ζ = (−1 +
2
√
r

2

UG 

1 + u) ⇒ φd = U0 −1 + 1 +
U0
2
(19.19)
172
KAPITEL 19. ÜBUNGEN ZU 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Abbildung 19.1: φd vs. UG für kleine U0 , UG = 1.5 entspricht Schwellspannung. Schwarz gestrichelte
Linie: Experimentelle Gatespannung gleich null, magenta gestrichelte Linien: lineare Näherung für in der
Nähe der Schwellspannung mit Steigung dφd /dUG = −0.72
19.2. DAS OBERFLÄCHENPOTENZIAL UND KAPAZITÄTEN IN VERARMUNGSNÄHERUNG173
und somit
r

2

UG 
 .
− φd = U0 1 − 1 +
U0
(19.20)
Um Kontakt mit den Experimenten zu bekommen, wählen wir den Maßstab 1V für φd und UG . Dann
entspricht der Bereich auf der x-Achse UG -Werten von 0 bis 1.5V. Die Flat-band Spannung wird mit −1.0V
angesetzt. Aus dem Energiediagramm einer idealen MOS-Struktur in Abb. ?? geht hervor, dass bei einem
Al-Gate eine Flat-band Spannung von 1V besteht. Die experimentellen Gatespannungen von 0 bis 0.5V
entsprechen dann VG = 1V (s. vertikale gestrichelte Linie in Abb. 19.1) bis 1.5V. Eine gute Anpassung an
die experimentellen Resultate ergibt sich bei U0 = 0.1. Dann ist die Bandkrümmung bei Schwellspannung
φd = 0.9 ∼ E L − µ im p-Substrat. Wir lesen weiterhin ab φd (1.5V) − φd (1V) = 0.37V. In den Experimenten
ist v0 (0) − v0 (0.5V) = 1 entsprchend einem Barrierenhöhenunterschied von [v0 (0) − v0 (0.5V)]E F = 0.35V.
In Experiment wie in Theorie verläuf die Kurve φd (UG ) im wesentlichen linear, in den Experimenten mit
einer Steigung von ∼ 1E F /0.5V = 0.7 und in der Theorie von 0.37/0.5 = 0.74. In beiden Fällen existiert
eine kleine überlagerte negative Krümmung.
Es gilt
−φd
=
=
r
r
2
r
2



UG 
U
U0 
 = UG  1 + 0 −

U0 1 − 1 +
U0
UG
UG
2
√
√
UG 1 + α2 − α = UG 1 + α2 − 2α 1 + α2 + α2 = UG 1 − 2α + 2.5α2 (19.21)
In führender Ordung α ergibt sich
r


p

U0 
 = UG − UG U0
− φd = UG 1 − 2
UG
(19.22)
und für die Ableitung der Barrierenhöhe
dV0
φd
=
= −1 +
dUG dUG
r
U0
.
UG
(19.23)
Der zweite Summand ist bei Threshold-Gatespannung ein kleiner, schwach von UG abhängiger Korrekturterm.
19.2.1
Subthesholdspannung
In der Subthresholdspannung setzen wir d zd , d. h. die über dem Isolator abfallende Spannung ist vernachlässigbar. Dann wird
z2d =
p
20 κ sc UG
⇒ Q s ∝ UG ⇒ C ∝ (UG )−1/2
2
e NA
Weiterhin
φd = U G ⇒
dφG
=1
dUG
(19.24)
(19.25)
174
19.3
KAPITEL 19. ÜBUNGEN ZU 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Elektrisches Feld an der Grenzfläche
In der Vorlesung wurde vorausgesetzt
N s + Ndepl
dU
|z=0 = e2
.
dz
s 0
(19.26)
Zeigen Sie, dass diese Formel aus aus der Poissongleichung
∂2 U(x)
1
=
q(x) = 0
2
0 ∂x
(19.27)
q(x) = −e [NA + n(x)]
(19.28)
mit der Ladungsdichte
herleitbar ist.
Abbildung 19.2: In grün: Kubisches Integrationsvolumen für die Integration in Gl. (19.29). Die Gegenladung −Q befindet sich in einer Deltaschicht an der Grenzfläche zwischen Metallun Isolator (blaues Gebiet).
Bei x = xb wird das p-Halbleitersubstrat erreicht, sodass das elektrische Feld verschwindet.
Lösung: Man findet für die Gesamtladung im Volumen V
Z
Z
Z xp 2
0 s
0 s
d2
d
Q=
d3 q(x) =
d3 r 2 U(x) =
A
U(x).
e V
e
dx
dx2
V
0
Die Gesamtladung pro Fläche kann nun berechnet werden durch
"
#xp
Z
Q 0 s x p d2
0 s d
0 s 0
Qs =
=
U(x) =
U(x) = −
U (0).
2
A
e 0 dx
e dx
e
0
Weiterhin
Q=
Z
d q(x) = −A
Z
3
V
0
xp
(NA + n(x)) = −A(Ndepl + N s )
(19.29)
(19.30)
(19.31)
19.4. DAS POTENZIAL OHNE INVERSIONSELEKTRONEN IN VERARMUNGSNÄHERUNG
19.4
175
Das Potenzial ohne Inversionselektronen in Verarmungsnäherung
Ohne Inversionselektronen und in Depletionnäherung schreiben wir im p-dotierten Halbleitersubstrat für
die elektraostatische Energie V (Potenzial) der Elektronen
NA
d2
V(z > 0) = − , Θ(zd − z).
κs
dz2
(19.32)
Hier ist κ s = 0 s /e2 mit der Dielektrizitätskonstante des Substrats s . Weiterhin steht zd für die Breite der
Verarmungsschicht, in der es keine freien Löcher gebe und die Akzeptoren mit der Dotierungsdichte NA
seien für 0 ≤ z ≤ zd vollständig ionisiert (negativ). Im Substrat für z > zd gelte die Ladungsneutralität. Wir
schreiben die Lösung in der Form



 κ1s NA zd 1 − 2zzd z + Vb für z ≤ zd
V(z ≥ 0) = 
(19.33)
1
2


für z ≥ zd .
2κ s NA zd + Vb
Es ist QS = Q/A = NA zd . Das Potenzial im Isolator folgt aus
V(z < 0) = e2 Ei z + Vb =
N A zd
Qs
z + Vb =
z + Vb
κi
κi
(19.34)
mit κi = 0 i /e2 und der dielektrischen Konstante i im Isolator. Das Potenzial ist in Abb. 19.3 dargestellt.
Abbildung 19.3: In blauen Linien das Potenzial aus Gln. (19.33) und (19.34) in Verarmungsnäherung, grn
das Dreieckspotenzial in Gl. (19.35) und rot die Position des Bodens des untersten Subbandes. Die anliegende Gatespannung entspricht ungefähr dem Schwellwert, sodass V0 & µ.
Ist die Inversionselektronenschicht viel dünner als Verarmungschicht ergibt sich aus Gl. (??) die Dreieckspotenzialnäherung
(
eFz + Vb für z ≤ 0
Vd (z) =
(19.35)
∞ für z ≤ 0,
mit eE = 4πNA /κ s . Der niedrigste Eigenwert der Schrödingergleichung im Dreieckspotenzial
"
#
~2 d2
− ∗ 2 + Vd (z) − Ei ψ(z) = 0
2m dz
(19.36)
176
KAPITEL 19. ÜBUNGEN ZU 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
ist gegeben durch
~2
V0 = 2.338
2m∗
!1/3
2/3
(eF)
~2
+ Vb = 2.338
2m∗
!1/3
4πNA
κs
!2/3
+ Vb
(19.37)
Zur Bestimmung der Konstanten Vb wird die Kenntnis der Position des Leitungsbandbodens im Halbleitersubstrat Wd und der angelegten Gatespannung VG vorausgesetzt. Es gilt zunächst nach Abb. 19.3
VG =
NA z2d NA zd
+
zG .
2κ s
κi
(19.38)
Dieses führt auf die quadratische Gleichung in zd
z2d +
2κ s VG
2κ s zG
zd −
=0
κi
NA
(19.39)
mit der positiven Lösung
zd = −
κ s zG
+
κi
s
κ s zG
κi
!2
+
2κ s VG
NA
(19.40)
Die Bandverbiegung im Halbleiter ist dann
V1
=
=
s


!2
κ s zG
2κ s VG 
NA 2 NA  κ s zG
+
z =
+
−

2κ s d 2κ s  κi
κi
NA 
s
!2
Na zG
NA VG
Na zG
−
+
+
2κi
2κi
2κ s
(19.41)
Wir nehmen ein low-k Dielektrikum (κ s /κi 1) an und weiterhin
κ s zG
zd z0 ,
κi
wobei z0 die Ausdehnung der Wellenfunktionen ist (s. Abbildung 19.3). Es ist dann
r
2κ s VG
zd =
NA
(19.42)
(19.43)
und die Bandverbiegung V1 im Halbleiter wird zu
V1 =
1
1
2κ s VG
NA z2d =
NA
= VG
2κ s
2κ s
NA
(19.44)
19.5. STROMDICHTEERWARTUNGSWERT EINES ELEKTRONS IN EINEM SKIPPING ORBIT 177
19.5
Stromdichteerwartungswert eines Elektrons in einem Skipping
Orbit
Die Zustände |ψnk i im starken senkrechten Magnetfeld und im Randpotenzial U(y) sind Lösungen der
Schrödingergleichung
H − E|ψnk i = 0.
(19.45)
~ = (By, 0, 0) lautet der Hamilton in Ortsdarstellung
In Landaueichung A
"
#
1 e 2
2
H=
p x + A x + py + V(y),
2m
c
(19.46)
mit den Impulsoperatoren p x/y = −i∂/(∂x/y) und dem Randpotenzial V(y). Weil der Hamilton unabhängig
von x ist, lassen sich Eigenzustände der Form
eikx
eikx
eikx
ψnk (x, y) = √ unk (y) → ψk (x, y) = √ uk (y) ⇔ hx|ψk i = √ hx|ki
Lx
Lx
Lx
(19.47)
finden, mit uk (x) = hx|ki. Die Teilchenstromdichte j in x-Richtung ist
1 ∗
e e 1
e 1 ∗
e jx =
ψk p x + A x ψk − ψk p x + A x ψ∗k = Re ψ∗k p x + A x ψk =
ψk p x + A x ψk .
2m
c
c
m
c
m
c
(19.48)
Es gilt
Z L x Z Ly
Z Ly
1
hψk | j x |ψk i =
dx
dy j x (y) = L x
(19.49)
dy j x (y) ⇒ I¯k = hψk | j x |ψk i ≡ n1d vk
L
x
0
0
0
mit der x-unabhängigen Gesamtzzahl von dN Teilchen im Intervall dx, n1d = dN/dx = 1/L x , und der
Geschwindigkeit vk . Der Teilchenstrom im Zustand |ψk i und somit ist der elektrische Strom
Ik =
e
vk .
Lx
(19.50)
Wir bestimmen zunächst den Geschwindigkeitserwartungswert vk im Zustand |ψk i
vk = hψk | j x |ψk i =
1
e
1
e
hψk |p x + A x |ψk i = hk|~k + A x |ki.
m
c
m
c
(19.51)
Diese Größe wollen wir zunächst ohne explizite Kenntnis von |ki ausdrücken. Wir definieren hierzu den
effektiven Hamiltonoperator
2
~k + ce A x + p2y
H=
+ V(y),
(19.52)
2m
wobei mit (19.45)
2
~k + ec A x + p2y
H|ki = E(k)|ki und E(k) = hk|H|ki = hk|
+ V(y)|ki.
(19.53)
2m
Es folgt
∂
E(k) =
∂k
=
!
!
!
∂
∂
∂
hk| H|ki + hk|H
|ki + hk|
H |~ki
∂k
∂k
∂k
!
!
~k
+ ce A x
∂
∂
|hk H|ki + hk|H
|ki + ~hk|
|ki = ~~vk .
∂k
∂k
m
=
(19.54)
178
KAPITEL 19. ÜBUNGEN ZU 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR
Aus hk|ki = 1 ergibt sich nämlich ∂hk|ki/∂k = 0 und somit
!
!
∂
∂
∂
∂
∂
hk| H|ki + hk|H |ki = E(k)
hk| ki + hk| |ki = E(k) hk|ki = 0.
∂k
∂k
∂k
∂k
∂k
(19.55)
Es resultiert
1 ∂E(k)
.
(19.56)
~ ∂k
In erster Ordnung Störungstheorie gilt |ki = |k), wobei |k) das ungestörte Landauniveau ist und mit (19.53)
!
1
~ωc ∗ +Un (k)
(19.57)
E(k) = (k|H|k) → En (k) = (nk|H|nk) = n +
2
~vk =
mit
Un (k) = (nk|V(y)|nk) =
Z
Lx
Z
dx
0
Ly
dy
0
1 0
u (y − y0 )2 V(y) =
Lx n
Z
Ly
dyu0n [y − y0 (k)]2 V(y).
(19.58)
0
Schließlich ergibt sich mit (19.50) , (19.56) und (19.58)
Ik =
e d
Un (k)
L x ~ dk
(19.59)
Kapitel 20
Übungen zu 9. Die
Drift-Diffusionsgleichungen
20.1
Quasi-Fermienergien in einem n-dotierten Halbleiter
Vorgegeben sei ein n-dotierter Halbleiter mit den Ladungsträgerkonzentrationen n0 ni p0 . Durch
Lichteingfall werde die ladungsträgerkonzentration erhöht, sodass n = n0 + ∆ mit ∆/n0 < 1 und p = p0 + ∆
mit ∆/p0 1.
1. Unter welchen Bedingungen sind die Setzungen n = n0 + ∆ mit ∆/n0 1 und p = p0 + ∆ mit
∆/p0 1 möglich ?
2. Diskutieren Sie die entstehenden quasi-Fermienergien µn und µ p
Lösung: Es gilt
!
!
n(~r)
n0 + ∆(~r)
∆(~r)
µn (~r) = µ + ln
= µ + ln
=µ+
n0
n0
n0
(20.1)
mit ∆(~r) << n0 . Die quasi-Energie der Elektronen ändert sich innerhalb und außerhalb des Lichpunktes
also wenig. Weiterhin ist
!
!
p(~r)
∆(~r)
=∼ µ − ln
.
(20.2)
µ p (~r) = µ − ln
p0
p0
Wegen ∆(~r(~r) p0 ändert sich die quasi-Fermienergie der Löcher im laserpunkt stark. außerhalb nimmt
sie wegen p(~r) → p0 den Wet µ an.
179
180
KAPITEL 20. ÜBUNGEN ZU 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
20.2
Freies Gauss-Wellenpaket
Im freien Fall gilt in einer Dimension die zeitabhängige Schrödingergleichung
i~
∂
~2 ∂2
ψ(x, t) = −
ψ(x, t).
∂t
2m ∂x2
(20.3)
1. Verifizieren Sie, dass die ebenen Wellen
ψ0 (x, t) = Aeikx−iω(k)t
(20.4)
Lösungen sind und bestimmen Sie die Dispersionsrelation ω(k)
2. Zeigen Sie, dass das Gauss-Wellenpaket
ψ(x, t) =
Z
∞
dkΨ(k)eikx−iω(k)t
(20.5)
−∞
mit
a2
2
Ψ(k) = Ne− 2 (k−k0 )
(20.6)
als Überlagerung von ebenen Wellen Lösung der Schrödingergleichung ist. Bestimmen Sie mit Hilfe
des Gauss-Integrals
Z ∞
√
2
due−u = π
(20.7)
−∞
die Normierungskonstante N.
3. Die k-Integration in (20.5) bringt
#
"
~k2
N
(x − v0 t)2
ik0 x−i m0 t
ψ(x, t) = q
e
exp − 2
2a 1 + i(~/ma2 )t
1 + i a~2 t
mit v0 = ~k0 /m. Leiten Sie dieses Ergebnis her. Bekannt sei das Grundintegral
√
Z ∞
π − 4qp22
2 2
dke−q k cos (px) =
e
q
−∞
(20.8)
(20.9)
mit β = q2 ∈ C und p ∈ R.
Lösung: Das Integrand in (20.5) hat die Form NeF . Hier erhält man den quadratischen Ausdruck
F
=
=
a2
~k2
(k − k0 )2 + ikx − i
t
2
2m
" 2
#
a2
a2
a
~
−
+ i t k2 + (a2 k0 + ix)k − k02 ≡ −βk2 + (a2 k0 + ix)k − k02
2
2m
2
2
−
(20.10)
Um Gl. (20.9) anwendbar zu machen bringen wir F auf die Form
F = −β(k − α)2 + δ + iγ(k − α)
(20.11)
mit α, γ ∈ R und δ ∈ C. Um (20.10) und (20.11) vergleichen zu können, multiplizieren wir (20.11)
und sortieren nach Potenzen
F = −βk2 + (2βα + iγ)k − βα2 + δ − iγα.
(20.12)
20.2. FREIES GAUSS-WELLENPAKET
181
Dann
"
a2 k0 + ix = 2βα + iγ = 2
und
−
#
a2
~
+ i t α + iγ
2
2m
a2 2
k = −βα2 + δ − iγα
2 0
(20.13)
(20.14)
Aus dem Realteil von (20.28)
a2 k0 = a2 α ⇒ α = k0 ,
(20.15)
~
~
tα + γ ⇒ γ = x − tk0
m
m
(20.16)
Aus dem Imaginärteil von (20.28)
x=
und aus (20.29)
δ
!
" 2
#
!
a2 2
~
a2
a
~
~
k0 + βk02 + i x − tk0 k0 = − k02 +
+ i t k02 + i x − tk0 k0
2
m
2
2
2m
m
 2
!

 ~k
~
(20.17)
i  0 t + x − tk0  = ik0 x
2m
m
= −
=
Es ist dann mit (20.11) und q =
ψ(x, t) =
=
=
√
β und p = γ
Z ∞
Z ∞
2
F(k)
dke
=
dke−β(k−α) +δ+iγ(k−α)
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
2
δ
−βu2 iγu
e
due
e = eδ
due−βu cos γu
−∞
−∞
 
s
√
 x − ~ tk0 2 
2
π − γ4β
π
m


i exp − 2
.
= h 2
√ e
a
~
 4 a + i ~ t 
β
+
i
t
2
2m
2
2m
(20.18)
182
KAPITEL 20. ÜBUNGEN ZU 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
20.3
Vereinfachte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung
In der Vorlesung wurde die Boltzmanngleichung
~ r)
∂
F(~
ρ(~r, ~k, t) + ~v∇~r ρ(~r, ~k, t) +
∇~ ρ(~r, ~k, t) = Q{ρ}
∂t
~ k
(20.19)
hergeleitet. In einer groben Vereinfachung setzen wir eine in ~r und ~k homogene Phasenraumdichte an,
ρ(~r, ~k, t) = ρ(t). Dann folgt aus der Boltzmanngleichung die einfache Differenzialgleichung in t
ρ(t) − ρ0
d
ρ(t) = −
,
dt
τ
(20.20)
wobei wir zusätzlich in Relaxationszeitnäherung
Q{ρ} = −
ρ(t) − ρ0
+ G − R,
τ
(20.21)
mit G = R = 0 angenommen haben.
1. Welche Art Differenzialgleichung liegt bei (20.20) vor?
Lösung:
Es handelt sich um eine inhomogene linear Differenzialgleichung erster Ordnung.
2. Geben sie die Lösung von (20.20) an mit der Randbedingung ρ(0) = A.
Lösung:
Die Lösung des homogenen Problems
ρ(t)
d
ρ(t) +
=0
dt
τ
lautet
(20.22)
t
ρhom = Ce− τ
(20.23)
mit frei wählbarem Parameter C. Eine partikuläre Lösung von (20.20) lässt sich erraten als
ρ part = ρ0 .
(20.24)
Die allgemeine Lösung von (20.20) ist daher
t
ρ(t) = ρhom + ρ part = Ce− τ + ρ0 .
(20.25)
Die Konstante C folgt aus der Bedingung
A = ρ(0) = C + ρ0 .
(20.26)
Es folgt die der Randbedingung ρ(0) = A genügende Lösung vn (20.20)
t
ρ(t) = (A − ρ0 )e− τ + ρ0 .
(20.27)
Es ist ersichtlich, dass eine Abweichung A − ρ0 von der ’Sollverteilung’ ρ0 exponentiell abgebaut
wird mit einer charakteristischen Zeit τ.
20.4. BERECHNUNG DIFFUSIONSTENSOR
20.4
183
Berechnung Diffusionstensor
Wir untersuchen die in der Vorlesung vorgestellten Ausdrücke
R
22 R
E(~r,~k)−φn (~r)
3
~ k
3
d
kk
k
exp
−
2
i
j
kB T
~
~2 d kki k j exp − 2mkB T
2 2 = δi, j Dn
=τ 2 R
(D̂n )i j = τ 2 R
~
~ k
r)
m
m
n (~
d3 k exp − 2mk
d3 k exp − E(~r,k)−φ
BT
kB T
mit
R∞
E
5/2 −
2τkB T 0 dEE e kB T
τkB T
Dn =
=
,
R∞
− k ET
3m
m
3/2
dEE e B
(20.28)
(20.29)
0
wobei E = ~ k /(2m).
2 2
1. Zeigen Sie an Hand des Falls ki = ky und k j = kz , dass der Diffusionstensor diagonal ist.
Lösung:
In Kugelkoordinaten gilt
ki = ky = k sin (Θ) sin (φ)
(20.30)
k j = kz = k cos (Θ).
(20.31)
Dann resultiert
! Z ∞ Z π Z 2π
!
Z
~2 k2
~2 k2
d3 kki k j exp −
=
dkdΘdφk2 sin (Θ)k sin (Θ) sin (φ)k cos (Θ) exp −
2m
2m
0
0
0
!
Z ∞
Z 2π
2 2 Z π
~k
=
dΘ sin2 (Θ) cos (Θ)
k4 exp −
dφ sin (φ) = 0.
(20.32)
2m
0
0
|0 {z
}
=0
Analoges gilt für die Kombinationen ki = k x , k j = kz und ki = k x , k j = ky .
2. Berechnen Sie die Diagonalelemente des Diffusionstensors
Lösung: Bezüglich des Übergangs von (20.28) zu (20.29) stellen wir zunächst fest, dass aus Symmetriegründen
(D̂n ) xx = (D̂n )yy = (D̂n )zz ≡ Dn
(20.33)
gilt und somit
Dn
=
=
τ ~2
1
[(D̂n ) xx + (D̂n )yy + (D̂n )zz ] =
3
3 m2
22 R∞
~ k
4
τ ~2 0 dk k exp − 2mkB T
.
R
3 m2 ∞ dk k2 exp − ~2 k2
R
22 ~ k
d3 k(k2x + ky2 + kz2 ) exp − 2mk
T
22 B
R
~ k
3
d k exp − 2mkB T
(20.34)
2mkB T
0
Es folgt
E=
~2 2
k
2m
⇒
k=
2m
~2
!1/2
E 1/2
und
dk =
m 1/2
E −1/2 dE.
2~2
(20.35)
184
KAPITEL 20. ÜBUNGEN ZU 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Dann ist
Z
∞
dk k2 exp −
0
und
Z
∞
dk k4 exp −
0
!
!
Z
~2 k2
2m m 1/2 ∞
~2 k2
1/2
= 2
dEE
exp
−
2mkB T
2mkB T
~ 2~2
0
!2
!
!
Z
~2 k 2
~2 k2
2m m 1/2 ∞
3/2
dEE
exp
−
= 2
2mkB T
2mkB T
~
2~2
0
(20.36)
(20.37)
Es folgt
R∞
R∞
E
3/2 −
3/2 −u
2τkB T 0 duu e
2τkB T Γ(5/2) τkB T
τ 2 0 dEE e kB T
R
=
=
Dn =
=
.
R
∞
3 m ∞ dEE 1/2 e− kBET
3m
3m Γ(3/2)
m
duu1/2 e−u
0
(20.38)
0
Hier wurde die Funktionalrelation
Γ(x + 1) = xΓ(x)
für die Gammafunktionen ausgenutzt.
(20.39)
Kapitel 21
Übungen zu 10. Der p-n-Übergang im
Nichtgleichgewcht
21.1
Elektrochemisches Potenzial der Majoritäts- und der Minoritätsträger
im p-Bahngebiet
1. Im p-Bahngebiet ist p(x) ∼ p p0 . Zeigen Sie, dass daraus φ p (x) ∼ φ = µ folgt.
Es gilt im p-Bahngebiet EV (x) = EV und somit
−
p(x) = NV e
Es folgt
−
e
φ p (x)−φ
kB T
∼1⇒
φ p (x)−EV (x)
kB T
−
= NV e
φ p (x)−EV
kB T
∼ p p0 = NV e
−
φ−EV
kB T
φ − φ p (x)
∼ ln (1) = 0 ⇒ φ − φ p (x) kB T.
kB T
(21.1)
(21.2)
2. Zeigen Sie, dass die Veränderung von φn im p-Bahngebiet eU ≥ kB T beträgt.
Im p-Bahngebiet können wir schreiben
−
n(x) = NL e
E L −φn (x)
kB T
= n p0 e
n (x)
− φ−φ
k T
(21.3)
B
Es ist n(x → −∞) = n p0 und somit φn (x → −∞) = φ = µ. Weiterhin
eU
eU
−
n(x p ) = n p0 e kB T ⇒ n p0 e kB T = n p0 e
φ−φn (x p )
kB T
eU
⇔ e kB T = e
185
−
φ−φn (x p )
kB T
⇒ eU = φ − φn (x p )
(21.4)
Kapitel 22
Übungen zu 11. Der
MOS-Feldeffekttransistor (MOSFET)
22.1
Berechnung der Einsatzspannung VT
Zur Berechnung Einsatzspannung stellen wir im Bereich 0 ≤ y ≤ W die Poissongleichung
e2
d2
ψ(y)
=
−
NA
0
dy2
(22.1)
auf mit den Randbedingungen ψ(W) = 0 und ψ(0) = −2ψB . Die Lösung ist
ψ(y) = −
e2
NA (W − y)2 ,
20
(22.2)
4ψB 0
.
NA e2
(22.3)
wobei
r
W=
Es folgt dann
p
Qd = −eNA W = − 4ψB 0 NA
(22.4)
und damit aus Gl. (12.7)
VT = 2ψB +
p
4ψB 0 NA
.
Ci
186
(22.5)
Literaturverzeichnis
[1] O. Madelung. Festkörpertheorie I-III. Heidelberger Taschenbücher, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
[2] S. M. Sze. Physics of Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, New York, 1981.
[3] F. Stern. Phys. Rev. B, 5:4891, 1972.
[4] T. Ando, A. B. Fowler, and F. Stern. Rev. Mod. Phys., 54:437, 1982.
[5] M. Lundstrom and J. Guo. Nanoscale Transistors. Springer, Berlin, 2006.
[6] R. Chau, B. Doyle, M. Doczy, S. Hareland, , B. Jin, J. Kavalalieros, and M. Metz. Silicon nanotransistors and breaking the 10nm physical gate length barrier. IEEE Device Research Conference,
page 123, 2003.
[7] X. Wang, Y. Ouyang, X. Li, H. Wang, J. Guo, and H. Dai. Phys. Rev. Lett., 100:206803, 2008.
[8] T. B. Boykin. Phys. Rev. B, 69:115201, 2004.
[9] M. A. Green. J. Appl. Phys., 67:2944, 1990.
187

Zugehörige Unterlagen

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