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Bastian Saloga [email protected]
BERUFSBILDENDE SCHULEN DES LANDKREISES
HAMELN-PYRMONT
Eugen-Reintjes-Schule
Fachgymnasium Technik
Facharbeit
im Leistungskurs Mathematik
Differentialgleichungen in der Elektrotechnik
Bastian Saloga [email protected]
Verfasser :
Bastian Saloga
Fachlehrer:
Herr Sporbert
Abgabetermin:
23 . 05 . 2000
Bastian Saloga [email protected]
Bastian Saloga [email protected]
Inhaltsverzeichnis:
Seite
Inhaltsverzeichnis
1
1 Vorwort
2
2 Definition Differentialgleichungen
2
3 Differentialgleichung bei elektrischen Ausgleichsvorgängen
2
3.1 Allgemeines
2
3.2 Allgemeine Lösung für Schaltungen mit einem Speicherelemente
3
4 Anwendung von Differentialgleichungen in der Elektrotechnik
4
4.1 Aufladen eines Kondensators
4
4.1.1 Lösung durch umstellen der Aufgabe
5
4.1.2 Anwendung der allgemeinen Lösung
6
4.2 Entladen eines Kondensators über einem Wiederstand
7
4.3 Einschalten einer Spule
8
5 Differentialgleichung für Schaltungen mit zwei Speicherelementen 9
5.1 Allgemeine Lösung
9
5.2 Entladung eines Kondensators über einer Spule
11
6 Schlußwort
15
Anhang
16
-4-
Bastian Saloga [email protected]
1 Vorwort
Ich habe mich bei meiner Facharbeit für das Thema Differentialgleichungen in der
Elektrotechnik entschieden. Ich meine das ich so den Nutzen den ich aus dieser
Facharbeit ziehen kann verdoppele , da ich gleich in zwei für mein Abitur und mein
Studium wichtigen Fachbereichen Erfahrungen im Verfassen einer
vorwissenschaftlichen Arbeit sammeln kann.
2 Definition Differentialgleichungen
Allgemein ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, in der nicht nur mehrere
Variablen sonder auch eine Ableitung(ein Differentialquotient) einer anderen oder
der selben Gleichung auftritt . Man unterscheidet dann noch verschiedene Arten
von Differentialgleichungen .Es gibt gewöhnliche Differentialgleichungen, bei
diesen treten nur Funktionen einer Variablen auf , eine solche Funktion könnte
x$. Alle anderen Differentialgleichungen sind
dann z.B. so aussehen: y!"' #
partielle Differentialgleichungen bei ihnen treten mehrere Variable auf , diese Art
von
% "' #z $. Des Weiteren werden
Funktion könnte dann so aussehen y!"' #x$
Differentialgleichungen in Ordnungen eingeteilt , die Ordnung richtet sich dabei
% "' #z $eine
nach der höchsten auf tretenden Ableitung . Also wäre z.B. y!"#x$
% "'' #z$eine
Differentialgleichung erster Ordnung , aber y!"' #x$
Differentialgleichung zweiter Ordnung . „Läßt sich eine Differentialgleichung als
Polynom in der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung schreiben so nennt man
-5-
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die höchst auftretende Summe der Exponenten der Funktion und ihrer
Differentialquotienten den Grad der Differentialgleichung . Differentialgleichungen
ersten Grades heißen auch
linear ; in ihnen treten die Funktion und ihre Ableitung nur in erster Potenz und
nicht miteinander multipliziert auf .“(Mathematik verstehen: Seite 478) . Außerdem
unterscheidet man , ob man die Differentialgleichung nach ihrer höchsten
Ableitung umstellen kann , dann wird sie explizit genannt, oder ob dies nicht
möglich ist, in diesem Fall nennt man sie implizit .
3 Differentialgleichung bei elektrischen Ausgleichsvorgängen
3.1 Allgemeines
Ausgleichsvorgänge bei elektrischen Systemen sind Übergänge von einem zum
anderen Zustand , also z.B. Einschalt- und Ausschaltvorgänge .
Ausgleichsvorgänge entstehen vor allem bei Systemen in denen ein
Energiespeicherelement , z.B. Kondensatoren oder Spulen , vorhanden ist . Die
beiden eben genannten Bauelemente sind sich prinzipiell sehr ähnlich , denn in
beiden werden Energie gespeichert . Beim Kondensator wird die gespeicherte
1
1
W el ! C&u 2
W m ! L&i 2
2
2
Energie nach der Formel
berechnet , bei einer Spule gilt
zur Berechnung der in ihr gespeicherten Energie . Hier sieht man schon die
Ähnlichkeit der beiden Bauelemente . Für diese beiden Bauelemente gilt auch das
eine plötzliche Änderung der gespeicherten Energie nicht möglich ist . Diese ist so
, da für beide Bauelemente
p!
dW
dt gilt , und daher für eine sprunghafte Änderung
eine Leistung die tendenziell gegen unendlich gehen müßte nötig wäre . Da dies
nicht möglich ist kann man davon ausgehen das die Funktion stetig , also
kontinuierlich abläuft . Lineare elektrischen Netzwerken werden mit gewöhnlichen
Differentialgleichungen beschrieben , da sie Funktionen einer Variablen sind,hier
also z. B. die Spannung u bei W el bzw. die Stromstärke i bei W m . Die Ordnung
der sich ergebenden Differentialgleichung hängt von der Anzahl der
Speicherelemente in der jeweiligen Schaltung ab . Für die Berechnung von
Ausgleichsvorgänge geht man im Normalfall nach einem allgemeinen
Lösungsansatz vor , der dann bei den folgenden Aufgaben dieser Facharbeit auch
-6-
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angewandt werden wird. Zuerst stellt man die Differentialgleichung für die
Schaltung mit hilfe der Kirchhofsschen Gesetze1 und der Strom-SpannungsBeziehungen der einzelnen Bauteile. Danach bestimmt man die Anfangswerte ,
wobei die Stetigkeit von Strom und Spannung beachten werden muß . Danach löst
man die Differentialgleichung mit einem passenden Lösungsverfahren.
(Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch Mathematik : S.162-163)
3.2 Allgemeine Lösung für Schaltungen mit einem Speicherelemente
„Ausgleichsvorgänge dieser Art lassen sich durch eine imhomogene
Differentialgleichung 1.Ordnung in der Form
'
dy
% y!"#t $
dt
beschreiben . Wegen
der angenommenen Linearität läßt sich die Lösung als Summe eines flüchtigen
Anteils y f
, der sich aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung
'
dy f
% y f !0
dt
ergibt , und einer partikularen Lösung y s , die sich aus der stationären Teilwirkung
ermitteln läßt , zusammensetzen y! y "% y s . “(Lehr-und Übungsbuch Mathematik :
S.163). Nun löst man die Differentialgleichung
'
dy f
% y f !0
dt
in dem man sie so
umstellt das dy " und y " alleine stehen . Nun erhält man eine Formel die
dy " (dt
!
folgendermaßen aussieht y " ' ,um nun die Lösung zu erhalten löst man die
Differentiale durch integrieren auf , und erhalt die folgende Formel
ln y "!
(t
% ln k
'
(t
'
. Nun löst man die Logarithmierung auf und erhält die Lösung y "!k&e .Jetzt
muß man die Lösung für die neu entstandene Konstante k finden. Die Lösung
0$
! y #0$
( y s#
0$
!k .
wird mit hilfe der Anfangswerte gefunden , denn es gilt y "#
Jetzt setzt man die Lösung y " in die Gleichung y! y "% y s ein und ersetzt die
0$
( y s#
0$, so erhalt man die Lösung
Konstante k durch y #
(t
'
y!)y #
0$
( y s#
0$
*e % y s . Man muß noch erwähnen das der Anfangswert y #
0$aus
1
Kirchhof I: Die Summe aller vorzeichen behafteter Strome in einem Knotenpunkt ist gleich Null.
-7-
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den Vorgaben der Schaltung , also aus den Bauteilen hervorgeht . Der stationäre
Wert y s geht aus der Betrachtung des gesamten Netzwerkes hervor und muß
extra berechnet werden. (Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch Mathematik : S.163164)
4 Anwendung von Differentialgleichungen in der Elektrotechnik mit
Gleichstrom
4.1 Aufladen eines Kondensators
Ein ungeladener Kondensator wird in reihe mit einem Widerstand zum Zeitpunkt
t=0 an eine Gleichstromspannungsquelle angeschlossen1. Nun sollen alle
Spannungen und alle Strome berechnet werden .Nun wendet man zuerst den
zweiten Kirchhoffschensatz2 und erhält so die Gleichung (U q% i& R% u c!0 . Die
Stromstärke an einem Kondensator wird mit der Formel
i!
C&duc
dt
berechnet,
R&C&du c
% uc!uq
dt
. Da
diese setzt man nun in die vorherige ein und erhält so
beim Kondensator '!R&C gilt , kann man dies in der Formel ergänzen und erhält
'&duc
% u c !u q
. Nun gibt es zwei Möglichkeiten die Differnetialgleichung zu
so dt
lösen , zum einen kann man die Aufgabe umstellen oder man wendet die
Allgemeine Lösung für die Aufgabe an . (Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch
Mathematik : S.164-165)
Kirchhof II:Die Summe aller vorzeichen behafteter Spannungen in einer Netzmasch ist gleich Null.
1
Siehe Anhang Bild 1.1
2
Die Summe aller Vorzeichen behafteten Spannungen in einer Netzmasche ist gleich Null
-8-
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4.1.1 Lösung durch umstellen der Aufgabe
'&duc
% u c !u q
dt
so um ,
Zu nächst stellt man die eben oben erarbeitete Lösung
dass die Variablen duc und uc auf einer Seite der Gleichung stehen . Man erhält
duc
dt
!
so die Gleichung #u#q$(uc $ ' diese löst man nun mit einem kleinen Trick , man
wendet nämlich einen Substitution an . Die Substitution für diesen Fall
lautet w!u q( uc mit ihr erhält man durch Differenzierung außerdem dw!(du c . Nun
du c
dt
dw (dt
!
!
'
#
u
(u
$
' , wobei das
q
c
ein erhält so w
setzt man die Gleichungen in
Minus schon gleich auf die andere Seite der Gleichung gebracht wird , damit man
einfacher integrieren kann . Nun wird die gesamte Gleichung , wie schon erwähnt ,
1
integriert . So erhält man
(dt
+#w &dw$!+# ' $
dies ergibt dann nach der
(t
ln #w$
! % ln #k$
'
. Jetzt löst man bei der eben
Integrierung die Gleichung
(t
'
errechneten Formel die Logarithmen auf und so ergibt sich w!e &k . Nun muß
(t
'
man nur w wieder durch uq( u c ersetzen und erhält dann uq(u c!k&e . Jetzt
muß man nur noch die Konstante k herausfinden , dies macht man wieder mit Hilfe
0$
( ys#
0$,angewandt auf
der Anfangswerte . Die allgemeine Formel für k ist k ! y #
0$
(u c #
0$.
diese Aufgabe ergibt sich k !u q #
Zum Zeitpunkt t=0 ist uc !0 , denn wenn man noch keine Spannung an den
Kondensator angeschlossen hat , gibt es am ungeladenen Kondensator keinen
Potentialunterschied , also auch keine Spannung . Aus der konstanten
0$
!uq!k . Fügt man diesen Wert in die
Spannung uq ergibt sich uq #
(t
'
Gleichung uq(u c!k&e
ein ergibt sich uq(u c!u q&e
(t
'
stellt man die Gleichung
nun nach uc um , ergibt sich , nach dem Ausklammern , die Gleichung
(t
'
uc!uq&#
1(e $. Nun muß man nur noch den Strom ic ausrechnen , der Strom
-9-
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durch einen Kondensator wird allgemein nach der Formel
R&C&du c
Mit
dt
% uc!uq
C&du c
berechnet man nun
dt
i!
C&duc
dt
berechnet .
C&du c
. Für
dt
ergibt sich dann ,
nachdem man die Formel für uc eingesetzt
(t
(t
C&du c u q uq uq ' uq '
! ( %
e ! e
R R R
R
daraus folgt die Formel zur Berechnung des
hat, dt
(t
uq '
i c! e
R
. (Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch Mathematik : S.164-165)
Stromes
4.1.2 Anwendung der allgemeinen Lösung
Die Allgemeine Lösung für eine Ausgleichsschaltung mit einem Speicherelelment
ist , wie schon in Kapitel 3.2 beschrieben, die Gleichung
(t
'
y!)y #
0$
( y s#
0$
*e % y s um nun eine Lösung zu erhalten , muß man nur noch die
Anfangswerte und den stationären Wert bestimmen . Da wir für unsere Aufgabe
y !u c annehmen , ergibt sich für y #
0$
!U c #
0$
!0 , da die Spannung am
Kondensator zum Zeitpunkt t=0 gleich 0 ist . Der stationäre Wert ist in diesem Fall
,$
!uq , denn wenn man einen Kondensator unendlich lang lädt
gleich uc #
entspricht seine Spannung der Speisespannung uq . Da der Wert für die
0$
!u q . Setzt man nun diese
Spannungsquelle konstant ist , ergibt sich y s! y s #
(t
'
(u q *e % u q . Klammert man
Werte in die allgemeine Lösung ein , ergibt sich uc!)
(t
'
1(e $.
nun noch uq aus ergibt sich die zuvor schon errechnete Lösung uc!uq&#
Der Strom wird wieder sowie in Kapitel 4.1.1 beschrieben berechnet , da es die
gleiche Gleichung ist . (Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch Mathematik : S.166)
4.2 Entladen eines Kondensators über einem Wiederstand
-10-
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Der nun folgende Vorgang ist der erste Ausschaltvorgang in dieser Arbeit . Der
Lösungsansatz ist prinzipiell der Gleiche wie bei Einschaltvorgängen , nur dass
nun die Spannung stetig abnimmt . Bei diesem Vorgang sind wieder die Stromund Spannungsverläufe am Kondensator gesucht . Die Schaltung für diesen
Vorgang sieht folgendermaßen aus : ein geladener Kondensator wird mit einem
Wiederstand in Reihe geschaltet1 . Bei dieser Schaltung ist die Spannung über
dem Kondensator vor dem Entladen gleich der Spannung mit der er aufgeladen
wurde , also gilt zum Zeitpunkt t=0 uq!u c . Nun beginnt man die Schaltung über die
(t
'
0$
( y s#
0$
*e % y s zu lösen . Nun muß man , wie schon
allgemeine Lösung y!)y #
0$bestimmen. Für diese Schaltung gilt für y
0$und y s #
zuvor die Anfangswert y #
!uc #
0$
!u q . Der stationäre Wert dieser
zum Zeitpunkt t=0 uc !uq also ist y #0$
Gleichung ist Null , da der stationäre gleich uc zum Zeitpunkt t!, ist , und am
Kondensator nach unendlich langer Entladung keine Spannung mehr ansteht . So
,$
!0 und da wir von der Stetigkeit von uc ausgehen , auch
ergibt sich y s!uc #
ys#
0$
!0 .Setzt man nun die Anfangswerte in die allgemeine
(t
'
(t
'
0$
( y s#
0$
*e % y s ein so erhält man die Formel y!)
uq(0 *e % 0 . Löst
Formel y!)y #
man diese Gleichung erhält man die Lösung für den Spannungsverlauf an einem
sich entladenden Kondensator
uc!uq e
(t
'
. Der Strom an einem sich entladenden
Kondensator wird wieder mit der zuvor schon hergeleiteten Formel
(t
i c!
uq '
e
R
berechnet (Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch Mathematik : S.166-167).
4.3 Einschalten einer Spule
1
Siehe Bild 1.2
-11-
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Beim Anlegen einer Spannung an einer Spule1 erzeugt diese , sobald ein Strom
fließt , ein magnetisches Feld , das dem Stromfluß durch die Spule entgegen wirkt
. Dieser Vorgang laufen proportional zur zeitlichen Veränderung des Stroms ab ,
sie kann daher mit einer Differentialgleichung beschrieben werden . Für unsere
Aufgabe gilt folgende Schaltung : die Spule wird an eine verlustfreie
Spannungsquelle angeschlossen und in reihe mit dem Widerstand R spule 2
geschaltet 3 . Die für die Elektrotechnik entscheidenden Werte sind die Strom- und
Spannungsverläufe an der Spule . Für die Schaltung gilt nach den
Kirchhofschensatz (U q% U spule% U IND !0 . Jetzt ersetzt man U spule ,nach dem
Ohmschengesetz4, durch I &R spule und U IND durch die Stromspannungsbeziehung
der Indukttivität
muß man nun
U IND !L
dI
dI
U q !I &R spule% L
dt . So entsteht die Formel
dt . In diese
L!'&R spule einsetzen . Man erhält so die Formel
U q !I &R spule% '&R L
dI
dt . Diese löst man nun nach I auf und erhält so eine lineare
I!
Differentialgleichung 1.Ordnung ,die wie folgt aussieht
Uq
R spule
('
dI
dt . Da der
Stromverlauf bei dieser Schaltung durch eine lineare Differentialgleichung
1.Ordnung beschrieben wird , kann man sie mit der allgemeinen Lösung (siehe 3.2
) berechnen . Die allgemeine Lösung angewandt auf diese Aufgabe sieht wie folgt
1
Ein aus mehreren Drahtwiklungen bestehende Körper
R spule = eigen Wiederstand der Spule
2
3
4
Siehe Bild 1.3
U=R*I
-12-
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(t
'
I#
0$
(I s #
0$
*e % I s . Nun muß , man wider die Anfangswerte I #
0$und
aus I !)
IS #
0$bestimmen . Da der Strom durch die Induktivität als stetig angenommen wird
, gilt für die Schaltung, dass der Strom zum Zeitpunkt t!0 gleich Null ist , denn
wenn noch keine Spannung anliegt kann auch kein Strom fließen , das heißt
I#
0$
!0 . Der stationäre Zustand I S ist gleich dem Strom der nach unendlich langer
Zeit fließt , das heißt er ist gleich Spannung geteilt durch Wiederstand . Als
Gleichung für I S ergibt sich also
zeitunabhänig , ergibt sich
IS!
Uq
R spule . Da der stationäre Werte ist
I S !I S #
0$
!
Uq
R spule . Setzt man nun die Anfangswerte in
(t
'
I#
0$
(I s #
0$
*e % I s ein , erhält man die Gleichung für den
die Gleichung I !)
(t
Uq
(U q
Uq
'
I!
&e %
R spule
R spule . Nun kann man noch R spule heraus kürzen und
Stromverlauf
(t
I!
erhält so die Gleichung
Uq
'
&#
1(e $
R spule
. (Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch
Mathematik : S.167-169) Nun muß man nur noch die Spannung berechnen , dies
ist in diesem Fall relativ einfach , denn man muß nur die Kirchhofschengesetze
anwenden . Wendet man die Gesetze an so erhält man die Gleichung
(U q% U #R
spule
% U IND !0 . Nun ersetzt man nach dem ohmschen Gesetz U #R
$
spule
$
durch
die bekannte Größen R spule und I und stellt gleichzeitig die Gleichung nach U IND
um . Auf diese Weise erhält man die Gleichung für den Spannungsverlauf an der
(t
'
1(e $.
Spule U IND !U q(U q&#
5 Differentialgleichung für Schaltungen mit zwei Speicherelementen
5.1 Allgemeine Lösung
„Sind zwei ungleichartige Speicherelelmente oder gleichartige Speicherelemente ,
die sich nicht durch Reihen-oder Parallelschaltung zusammenfassen lassen ,
vorhanden , so wird der Ausgleichsvorgang durch eine lineare Differetialgleichung
-13-
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2
dy
d &y
% 2 - % .2 y!"#
t$
2
dt
dt
2.Ordnung beschrieben
. Die Lösung der
Differentialgleichung läßt sich wieder aus der flüchtigen Lösung y "und der
partikulären Lösung y S zusammensetzen y! y "% y S . Die flüchtige Lösung
y "erhält man aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung
2
dy " 2
d y"
% 2 - % . y "!0
2
dt
dt
.“(Lehr - und Übungsbuch Mathematik :S.171). Nun setzt
2
dy " 2
d y"
% 2 - % . y "!0
2
dt
für y "die folgende Gleichung ein
man in die Gleichung dt
y "!k e/t ein und erhält dann , nach der Integration und dem Auflösen der
2
2
Logarithmen , die Gleichungen zur Bestimmung von /: /% 2 -/% .!0 .
Jetzt wendet man die PQ-Formel an und erhält so die Lösung für /nämlich
2
2
2
2
/1!(-% -( . und /2!(-( -( . .(Inhalt vgl. Lehr –und Übungsbuch
Mathematik : S.171-172) „Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung 2.
Ordnung muß zwei unbestimmte Konstanten enthalten . Dies ist durch
Linearkombination der Teillösungen zu erreichen . Die allgemeine Lösung des
/
/t
flüchtigen Anteils lautet demnach y "!k 1 e % k 2 e2 t . In Abhängigkeit von /
1
unterscheidet man verschiedene Fälle , die durch die Wurzelausdrücke
2
2
2
2
/1!(-% -( . und /2!(-( -( . bestimmt werden und zu folgenden
Lösungen führen :
/
/t
2
2
a) -0. , d. h. /1 und /2 reell ; aperiodischer Fall y "!k 1 e % k 2 e2 t
1
2
2
b) -!. , d.h. /1 und /2 reell ; aperiodischer Grenzfall
y "!#k 1 t% k 2 t$
e(#-t $c) -21.2 , d.h. /1 und /2 konjugiert komplex ;gedämpfte
#
-t $
Schwingung y "!k e
cos #
2t% 3$, 3 ist der Nullphasenwinkel und die
.2(-2 $
Eigenfrequenz 2! #
d) -!0 ;ungedämpfte Schwingung y "!k cos#2t% 3$20!.ist die Eigenfrequenz
der ungedämpften Schwingung , 3 0 = Nullphasenwinkel der ungedämpften
Schwingung .
-14-
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Zur Bestimmung der Konstanten k 1 , k 2 bzw. k und 3 benutzt man die
dy
0$
#
0$und dt
, die aus dem Zustand der beiden
Anfangsbedingungen y #
Energiespeicher im Schaltmoment ermittelt werden können . Setzt man sie in die
flüchtige Lösungen bzw. deren Ableitungen ein , so ergibt dies für die einzelnen
Fälle :
dy
dy
#
0$
(y#
0$
/2
#
0$
( y#
0$/1
dt
dt
k 1!
k 2!
/1(/2
/2(/1
a)
und
b)
k 1!
dy
0$
% -y #
0$
#
dt
und k 2! y #0$
2
dy
dy
#
0$
#
0$
dt
1
(1
dr
k!y #
0$ 1% 2 #
-%
#
0$
$
-%
$
*
3!arctan ) #
y
2
2
y#
0$
und
c)
2
dy
dy
#
0$
#
0$
dt
dr
k!y #
0$ 1% #
3!arctan )
(#
$
$
*
20 y #
0$ und
20 y #
0$ Die partikuläre Lösung hängt
d)
von der Gestalt der Störfunktion "#t $ab . Für die wichtigen Fälle
!F sin #2t% 31 $können sie aus den
"#
t$
!konstant und "#t$
Netzwerkbetrachtungen für den stationären Fall für t 4 , ermittelt werden . “
(Lehr - und Übungsbuch Mathematik:S.172-174).
5.2 Entladung eines Kondensators über einer Spule
In der folgenden Schaltung wird ein Kondensator C auf die Spannung
U q aufgeladen , und dann über einer Spule mit Induktivität S und dem Innenwider
-15-
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R spule entladen1 . Die gesuchten Größen dieser Schaltung sind der zeitliche Verlauf
der Spannung über dem Kondensator und der Entladestrom des Kondensators .
Wendet man nun , wie schon zuvor , die Kirchhofsschengesetze auf die Schaltung
an , ergibt sich für die Masche folgende Gleichung (U c % U R % U S !0 . Die
Stromspannungsbeziehungen der Bauelemente R spule ,
Spule und Kondensator C sind U R !i&R ,
U S !L
diS
dt und
I c!C
dU C
dt
. Da in dieser
Schaltung aller Bauelemente in Reihe geschaltet sind , gilt für den Strom
I : I S !I C!I , d.h. es gibt nur einen Strom in der Schaltung . Deswegen kann man
die Ströme in U R !i&R und
U S !L
diS
dU C
I c !C
dt durch
dt ersetzen . Wenn man
nun diese in die Gleichung (U c % U R % U S !0 einsetzt erhält man die Gleichung
2
dU c
d Uc
U C!R&C
% L&c
2 !0
dt
dt
. Diese Gleichung kann man nun in die Grundform
2
dy " 2
d y"
% 2 - % . y "!0
2
dt
umwandeln . Durch umstellen
der allgemeinen Gleichung dt
2
d UC
ergibt sich dann die folgende Gleichung
dt
2
%
R dU C U C
&
%
!0
L dt
LC
. Nun bestimmt
man die Anfangswerte , in diesem Fall ist die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt
t!0 gleich der Ladespannung U q . Der andere Anfangswert ergibt sich aus der
Annahme das zum Zeitpunkt t!0 kein Strom durch die Schaltung fließt , da der
Schalter noch nicht geschlossen ist . Es gilt also
I C#
0$
!I L #
0$
!I !C
dU C
dt
#
0$ 4
dU C
dt
#
0$
!0
. Nun müssen nur noch - und
.bestimmt werden , diese geschieht in dem man die Koeffizienten der Gleichung
2
dy " 2
d y"
% 2 - % . y "!0
2
dt
und der Gleichung für die
der allgemeinen Lösung dt
2
d UC
dt
Schaltung
Werte
1
-!
2
%
R dU C 1
&
%
&U C!0
L dt
LC
vergleicht . So ergeben sich folgende
1
R
.!
2L und
LC .(Inhalt vgl. Lehr- und Übungsbuch Mathematik :S.174-
Siehe Bild 1.4
-16-
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175 „ -wird als Dämpfungsfaktor bezeichnet . .entspricht der Resonanzfrequenz
20 des entstandenen Schwingkreises . Führt man als Güte Q des Schwingkreises
L 1
1 L
Q!20 ! CR!
R 20
R C ein , so läßt sich der Zusammenhang zwischen -und
.für R50 in der Form
-!
.
2Q schreiben .“(Lehr-und Übungsbuch Mathematik :
S.175). Nun muß man zur weiteren Berechnung feststellen wie der entlade Verlauf
1
Q1
2,
abläuft , aperiodisch oder als gedämpfte Schwingung . Wenn für Q gilt ,
1
liegt der aperiodische Fall vor . Ist Q hingen gleich 2 so liegt der aperodische
Grenzfall vor , wenn aber für Q gilt
Q0
1
2 so läuft der Entladevorgang als
gedämpfte Schwingung ab .
Da der Wert von Q von den Werten einer realen Schaltung abhängig ist , kann
man nur einmal jeden Fall mit willkürlichen Wert durch rechen . Die Werte für
Q sind im weiteren a)
Q!
1
1
Q!
8 , b)
2 und c) Q!1 so werden alle drei
Möglichkeiten einmal exemplarisch berechnet .
a)
Q!
1
8 daraus folgt , das -!4 .!4 20 ist und das der aperiodische Fall vorliegt .
2
2
Nun setzt man die Werte in die Gleichungen für /1 ( /1!(-( -( . ) und
2
2
/2 ( /2!(-% -(. ) , ein . Man erhält dann folgende Werte
/1!(4 20( 16 20(20!(7.873 20 und /2!(4 20% 16 20(20!(0.127 2 . Die
0$
!U q und
Werte für /1 und /2 setzt man nun mit den Anfangsbedingungen , U C #
dy
0$
(y#
0$
/2
#
dU C
dt
k
!
#
0$
!0
1
/1(/2
dt
, in die Gleichung für k 1 (
) und
dy
0$
( y#
0$/1
#
dt
k 2!
/2(/1
k2 (
) ein . Für k 1 und k 2 ergeben sich dann folgende
Werte k 1!( 0.0164U q und k 2!1.0164U q . Nun setzt man die eben errechneten
/
/t
Konstanten in die allgemeine Lösung des flüchtigen Anteils y "!k 1 e % k 2 e2 t ein .
1
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Bastian Saloga [email protected]
So erhält man die folgende Lösung für den flüchtigen Lösungsanteil U C , nämlich
(7.873 20 t
U C!U q #
(0.0164 e
(0.127 20 t
% 1.0164 e
I C!C
Der Stromverlauf der Schaltung ist
b)
Q!
$.
dU C
!0.129U q 20 C #
e(0.1272 t% e(7.7832 t $
dt
.
0
0
1
1
-!.!20!
2 daraus folgt , das
LC gilt , es liegt der aperiodische Grenzfall
vor . Mit den allgemeinen Lösungen
k 1!
dy
0$
% -y #
0$
#
dt
und k 2! y #0$erhält man
dU C
#
0$
!0
0$
!U q ,die Lösung
und U C #
,nach einsetzen der Anfangsbedingungen dt
k 1!20 U q und k 2!U q . Setzt man nun diese Werte in die allgemeine Lösung ein
(2 t
1% 20 t$
e
und durch einsetzen
erhält man die Lösung für U C , nämlich U C!U q #
0
dieser Lösung in die Gleichung für I C erhält man den Zeitverlauf des Stromes
2C
I C!(U q 20
t
(20 t
e
.
. 2
-! ! 0
2 2 der weiter Verlauf ist eine gedämpfte Schwingung .
c) Q=1 daraus folgt
2
2
Mit der allgemeinen Formel für Omega 2! -(. erhält man für Omega die
folgende Lösung 2!0,866 20 .Setzt man nun Omega in die allgemeine Gleichung
2
dy
0$
#
1
dt
k!y #
0$ 1% 2 #
-%
0$
$
#
y
2
ein , so erhält man für k , unter Beachtung
für k
dU C
#
0$
!0
0$
!U q , den Wert k !1,1547 U q . Nun
der Anfangswerte dt
und U C #
berechnet man den Nullphasenwinkel 3 nach der Gleichung
dy
#
0$
(1
dr
-%
$
*
3!arctan ) #
2
y#
0$ , wieder unter Beachtung der Anfangswerte
dU C
#
0$
!0
0$
!U q . Für 3 ergibt sich der Wert
dt
und U C #
3!arctan #
(0.5774$
!(30.002° . Jetzt setzt man die eben gefundenen Werte in die
#
-t $
allgemeine Gleichung y "!k e
cos #
2t% 3$ein , und erhält so die Gleichung für
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Bastian Saloga [email protected]
den Spannungsverlauf am Kondensator
U C!1,1547 U q e
2
# t$
2
cos #
0,866 20 t% 30,002° $.Somit sind alle möglichen Verlaufe
beschrieben und nun kann man den jeweils passenden Verlauf für die reale
Schaltung auswählen.(Inhalt vgl. Lehr - und Übungsbuch Mathematik : S174-176)
6 Schlußwort
Ich fand mein Facharbeitsthema alles in allem sehr interessant , es vermittelte mir
viele Einblicke in die mathematischen Hintergründe der Elektrotechnik . Ich glaube
das ich das Thema im Rahmen der Facharbeit gut umriss , aber ich möchte
trotzdem noch anmerken , das Differentialgleichgen fast überall in der
Elektrotechnik angewandt werden . Alle diese Themen zu bearbeiten würde aber
deutlich den Rahmen dieser Facharbeit übersteigen , deshalb entschied ich , mich
bei meinen Ausführungen auf die Ausgleichsvorgänge zu beschränken . Ich meine
, dass diese sehr anschaulich die Anwendung der Differentialgleichgen in der
Elektrotechnik veranschaulichen .
-19-
Bastian Saloga [email protected]
Literaturverzeichnis :
Paul Latussek . „Lehr-und Übungsbuch Mathematik.“-Leipzig ; Köln :
Fachbuchverlag Leipzig. NE: Mathematik Bd.5 Einführung in die Numerische
Mathematik , Fehleranalyse , komplexe Zahlen , Gleichungen und
Gleichungssysteme , gewöhnliche Differentialgleichgen , Fourier-Reihen ,
Funktionstransformation : mit zahlreichen durchgerechneten Beispielen . -1992
ISBN 3-343-00812-5
Robert Müller-Fonfara . „Mathematik verstehen“ Niederhausen : Falken-Verlag:
1994
ISBN
-20-
Bastian Saloga [email protected]
Anhang :
-21-
Bastian Saloga [email protected]
BERUFSBILDENDE SCHULEN DES LANDKREISES HAMELN-PYRMONT
Eugen-Reintjes-Schule
Fachgymnasium Technik / Jahrgangsstufe 12
Versicherung der selbstständigen Erarbeitung und Veröffentlichungseinverständnis
Versicherung der selbstständigen Erarbeitung
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt, keine anderen als die
angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im
wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauerQuellenangabe kenntlich gemacht habe.
Verwendete Informationen aus demInternet sind dem(r) Lehrer/in vollständig im Ausdruck zur Verfügung gestellt worden.
Springe , den 22.05.2000
_________________________
(Ort, Datum)
Bastian Saloga
_____________________
(Name in Maschinenschrift)
____________________
(Unterschrift)
Veröffentlichungseinverständnis
Hiermit erkläre ich, dass ich damit einverstanden bin, wenn die von mir
verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht
wird.
Springe , den 20.05.2000
_________________________
(Ort, Datum)
Bastian Saloga
_________________________
(Name in Maschinenschrift)
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(Unterschrift)
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