28. April 2014

Was bisher geschah
I
Motivation, Beispiele
I
geometrische Objekte im 2 :
Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon
I
maschinelle Repräsentation geometrischer Objekte
I
konvexe Mengen im
I
konvexe Hülle conv(P) endlicher Punktmengen P ⊆
I
zwei Algorithmen zur Berechnung der konvexen Hülle im
I
Bewertungskriterien für geometrische Algorithmen:
R
Rd
Rd
R2
I
I
Laufzeit
Robustheit gegenüber
I
I
Spezialfällen
Rundungsfehlern
73
Motivation
Geoinformationssysteme enthalten Informationen über
I Straßen
I Radwege
I Orte (und Ortsnamen)
I Straßennamen
I ÖPNV-Strecken
I Regionengrenzen
I Hotels, Restaurants, Touristenziele
meist getrennt in eigenen Schichten (layers)
ermöglicht selektive Anzeige, Ein- und Ausblenden aktuell
interessanter Informationen
Darstellung der Kreuzungen, z.B.:
I Radweg - Straße
I Bahnlinie - Ländergrenze
Aufgabe:
Bestimmung aller Schnittpunkte einer gegebenen endlichen
Menge von Kurven im 2
R
74
Geographische Daten
Verkehrsnetze und Regionengrenzen meist repräsentiert als
endliche Mengen endlicher Polygonzüge im 2 ,
2
also endliche Mengen von Strecken S = {s1 , . . . , sn } ⊆ 2(R )
maschinelle Darstellung durch Endpunkte der Strecken, also
Menge von Paaren {(s1,a , s1,b ), . . . , (sn,a , sn,b )} ⊆ ( 2 )2
R
R
Aufgabe:
Bestimmung aller Schnittpunkte einer gegebenen endlichen
Menge von Strecken
AG-Aufgabe LSI (line segment intersection)
75
Streckenschnittpunkte
R
R
Strecke (im 2 ) mit den Endpunkten p, q ∈ 2 :
pq = {x ∈ 2 | ∃l ∈ [0, 1] : p + l(q − p)}
R
Zwei Strecken pq, rs schneiden einander
gdw. pq ∩ rs 6= ∅
gegeben:
S = {s1 , . . . , sn } = {(s1,x , s1,y ), . . . , (sn,x , sn,y )} ⊆ (
R2)2
76
Streckenschnittpunkte – Spezialfälle
I
Schnittpunkte an Endpunkten der Strecken
I
Schnittpunkte mehrerer Strecken
I
Strecken mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten
werden zunächst vernachlässigt
Berechnung des Schnittpunktes SP (unterhalb der Sweep-line):
2 2 , s = (s , s ) ∈
2 2
Eingabe: r = (ra , rb ) ∈
a b
R
Ausgabe: (Maybe-Typ):
I Schnittpunkt(p)
falls ra rb ∩ sa sb = {p} mit p ∈
I „kein Schnittpunkt“, sonst
R
R2
77
Streckenschnittpunkte – Algorithmus
Algorithmus : LSI-1
Eingabe : S = {s1 , . . . , sn } ⊆
Ausgabe : P = {p1 , . . . , pm } ⊆
R 2 2
R2 (Menge aller Schnittpunkte)
P=∅
für jedes i ← 1, . . . , n − 1, j ← i + 1, . . . , n :
wenn SP(si , sj ) = Schnittpunkt(q) dann
P ← P ∪ {q}
Laufzeit: O(n2 )
optimal im allgemeinen Fall,
weil n2 Schnittpukte existieren können
78
Streckenschnittpunkte
praktisch häufig vorkommender Fall:
I
viele Strecken
I
wenige Schnittpunkte
gesucht:
besserer Algorithmus für diesen Fall
Ziel:
Algorithmus mit (auch) von der Anzahl der Schnittpunkte
(Ausgabe) abhängigen Laufzeit
79
Wenige Streckenschnittpunkte
Beobachtung:
Projektion πy : 2R → 2R auf die y -Achse:
für Strecke s dargestellt durch (sa , sb ) = ((sa,x , sa,y ), (sb,x , sb,y ))
π(s) = π(sa sb ) = [min(sa,y , sb,y ), max(sa,y , sb,y )]
2
Falls π(s) ∩ π(r ) = ∅, dann SP(r , s) = kein Schnittpunkt
Idee:
Schnittpunktberechnung nur für Streckenpaare r , s mit
π(s) ∩ π(r ) 6= ∅
80
Strecken mit überlappenden y -Projektionen
statt Projektion auf y -Achse und separater Lösung dieses
1D-Problems:
Idee Sweep-line-Algorithmus:
I
sweep line (horizontale Gerade) gleitet von oben nach
unten über die Menge aller Strecken (insbesondere über
deren Endpunkte) in S
I
Beginn oberhalb aller Punkte in S
I
mit Verwaltung von
Zusatzinformation (Zustand, Status) Z ,
hier Menge der aktuell „interessanten“
Strecken
Ereignismenge E, enthält die y -Koordinaten, an denen die
Zusatzinformation aktualisiert wird,
hier (zunächst) Menge aller
Streckenendpunkte
81
Strecken mit überlappenden y -Projektionen
Verwaltung der Menge Z (Zustand) der aktuell „interessanten“
Strecken:
I
I
zu Beginn Z = ∅
Änderung von Z an y -Koordinaten, bei denen
1. eine neue Strecke s ∈ S interessant wird
(oberer Endpunkt von s),
2. eine Strecke s ∈ Z uninteressant wird
(unterer Endpunkt von s),
I
also an allen Endpunkten von Strecken in S
(Ereignismenge E)
Aktualisierung von Z und Schnittpunktberechnung:
1. für alle r ∈ Z :
I
I
Berechnung von SP(s, r ) und
Z ← Z ∪ {s},
2. Z ← Z \ {s}
82
LSI – Algorithmus 2
Algorithmus : LSI-2
Eingabe : S = {s1 , . . . , sn } ⊆ (
Ausgabe : P = {p1 , . . . , pm } ⊆
R2)2
R2 (Menge aller Schnittpunkte)
P ← ∅ (Schnittpunktmenge)
Z ← ∅ (Zustand)
E ← ∅ (Ereignismenge)
für jedes s = (sa , sb ) ∈ S :
E ← E ∪ {sa , sb }
solange E 6= ∅ :
p ← max(E)
E ← E \ {p}
(Z , P) ← LSI-2-Ereignisbehandlung(p, Z , P)
Laufzeit: O(n + 2nL(LSI-2-Ereignisbehandlung(p, Z , P)))
83
LSI-2 – Ereignisbehandung
Algorithmus : LSI-2-Ereignisbehandlung
Eingabe : Ereignis p, Zustand Z , Schnittpunktmenge P
Ausgabe : Zustand Z 0 , Schnittpunktmenge P 0
wenn p oberer Endpunkt der Strecke s ∈ S dann
für jedes r ∈ Z :
wenn SP(r , s) = Schnittpunkt(q) dann
P 0 ← P ∪ {q}
Z 0 ← Z ∪ {s}
wenn p unterer Endpunkt der Strecke s ∈ S dann
Z 0 ← Z \ {s}
Laufzeit: O(|Z |) mit |Z | ≤ n
84
LSI-2 – Problem
auch in LSI-2 werden Schnittpunkte für weit voneinander
entfernte Strecken berechnet
Laufzeit: z.B. für S = {((i, i), (i, −i)) | i ∈ {1, . . . , n}}
L(SP) ∈ O(n2 ), obwohl LSI(S) = ∅
85
Benachbarte Strecken
Beobachtung:
nur benachbarte Strecken in Z können einander schneiden
Verwaltung von Informationen über
Nachbarschaftsbeziehungen im Zustand
reduziert die Anzahl der Schnittpunktberechnungen für jede
neu in Z hinzukommende Strecke auf höchstens zwei (statt |Z |)
86
Verbesserung von LSI-2 – Reihenfolge in Z
I
Verwaltung der Strecken in Z nach (aktueller) x-Koordinate
sortiert
I
Jede in Z neue Strecke wird sortiert in Z eingefügt.
Dabei entstehen bei jedem Einfügen / Löschen ≤ 2 neue
benachbarte Streckenpaare
(nur je ≤ 2 Schnittpunktberechnungen nötig)
aber:
Berechnung aller aktuellen x-Koordinaten an jedem Ereignis zu
aufwendig
Wie ist das ohne Berechnung aller aktuellen x-Koordinaten an
jedem Ereignis möglich?
87
Verbesserung von LSI-2 – Ereignismenge
Problem:
Reihenfolge der Strecken in Z ändert sich nicht nur beim
Einfügen / Löschen von Strecken in / aus Z
(Streckenendpunkten), sondern auch an Schnittpunkten
Lösung:
Schnittpunkte auch als Ereignisse behandeln, d.h.
an allen gefundenen Schnittpunkten p:
I
p zur Ereignismenge E hinzufügen
I
die sich in p schneidenden Strecken si und si+1
in Z vertauschen
I
Schnittpunkte zwischen si und si+1 und ihren neuen
Nachbarn bestimmen
Geeignete Datenstrukturen zur effizienten Umsetzung ?
88
Datenstruktur zur Verwaltung der Zustände
Operationen:
I
beliebiges Element sortiert in Z einfügen
I
beliebiges Element aus Z entfernen
I
Zugriff auf Nachbarn
I
(Nachbarn Vertauschen)
geeignet: balancierter binärer Suchbaum
Daten:
Blätter (Information): Strecke s = (sa , sb )
innere Knoten (Wegweiser):
Maximum des linken Teilbaumes
(Information des „rechtesten“ Knotens im linken
Teilbaum)
89
Datenstruktur zur Verwaltung der Ereignisse
Operationen:
I
beliebiges Ereignis einfügen
I
beliebiges Element in E finden
(Mehrfacheinträge vermeiden)
und evtl. Information ergänzen
I
„nächstes“ Ereignis ausgeben
und aus E entfernen
geeignet: balancierter binärer Suchbaum
Daten zu jedem Ereignis:
R2 (Schlüssel, lexikographisch geordnet)
I
Punkt p ∈
I
Menge U(p) ⊆ S aller Strecken mit oberem Endpunkt p
90
Informationen zu Schnittpunkten
Ausgabe:
Menge aller Schnittpunkte, jeweils mit den Daten:
R2
I
Punkt p ∈
I
Menge U(p) ⊆ S aller Strecken mit oberem Endpunkt p
I
Menge L(p) ⊆ S aller Strecken mit unterem Endpunkt p
I
Menge C(p) ⊆ S aller Strecken mit innerem Punkt p
einzige Operation:
I
Einfügen (Anhängen)
91
LSI – Algorithmus 3
Algorithmus : LSI-3
Eingabe : S = {s1 , . . . , sn } ⊆ (
Ausgabe : P = {p1 , . . . , pm } ⊆
R2)2
R2 (Menge aller Schnittpunkte)
P ← ∅ (Schnittpunktmenge)
Z ← ∅ (Zustand)
E ← ∅ (Ereignismenge)
für jedes s = (sa , sb ) ∈ S :
E ← E ∪ {sa , sb } (beim oberen Endpunkt mit Zusatzinfo s)
solange E 6= ∅ :
p ← max(E)
E ← E \ {p}
(E, Z , P) ← LSI-3-Ereignisbehandlung(p, E, Z , P)
Laufzeit:
O(n + m + 2(n + m)L(LSI-3-Ereignisbehandlung(p, E, Z , P)))
mit Schnittpunkt-Anzahl m
92
LSI-3 – Ereignisbehandung
Algorithmus : LSI-3-Ereignisbehandlung
Eingabe : Ereignis p, Ereignismenge E, Zustand Z ,
Schnittpunktmenge P
Ausgabe : Ereignismenge E 0 , Zustand Z 0 , Schnittpunkmenge P 0
(L(p), C(p)) ← Menge aller s ∈ Z mit (unterem,inneren) Punkt p
wenn |U(p) ∪ L(p) ∪ C(p)| > 1 dann
P 0 ← P ∪ {p} (mit Zusatzinformation U(p), L(p), C(p))
Z ← Z \ (L(p) ∪ C(p))
Z 0 ← Z ∪ U(p) ∪ C(p) (sortiert knapp unterhalb p)
wenn U(p) ∪ C(p) = ∅ dann
(sl , sr ) ← (linker, rechter) Nachbar von p
wenn SP(sl , sr ) = Schnittpunkt(p) dann
E 0 ← E ∪ {p} (falls p 6∈ E)
sonst
s0 ← „linkeste“ Str. in U(p) ∪ C(p), sl ← linker N. von s0 in Z 0
wenn SP(sl , s0 ) = Schnittpunkt(p) dann E 0 ← E ∪ {p} (. . . )
s00 ← „rechteste“ Str. in U(p) ∪ C(p), sr ← rechter N. von s00 in Z 0
wenn SP(sr , s00 ) = Schnittpunkt(q) dann E 0 ← E ∪ {q} (. . . )
93
LSI-3 – Laufzeit
Für n Strecken mit k Schnittpunkten
I
alle 2n Streckenenden in balancierten Suchbaum E einfügen:
O(n log n)
I
LSI-3 – Ereignisbehandung für jedes Ereignis in E:
I
I
I
I
nächstes Ereignis finden und löschen: O(log(n + k ))
≤ 2 Ereignisse einfügen (und evtl. vorher suchen):
O(log(n + k ))
≤ O(m(p))-mal für m(p) = |U(p) ∪ L(p) ∪ C(p)|
Strecke in Z einfügen / löschen: O(log(n + k ))
insgesamt über alle Ereignisse
:
P
O(m log(n + k )) mit m = p∈E m(p)
Problem: m > n + k möglich, falls m(p) > 1
Lösung:
Abschätzung mit Euler-Formel für planare Graphen |V | − |E| + f ≥ 2
ergibt m ∈ O(n + k )
Gesamtlaufzeit: O((n + k ) log(n + k ))
94