Lineare Algebra in der Oberstufe - userpages

Lineare Algebra in der Oberstufe
Stefan Ruzika
Mathematisches Institut
Universität Koblenz-Landau
Campus Koblenz
16. April 2016
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
1 / 32
Übersicht
Ziel dieses Kapitels
Wiederholung des Schulstoffs zur Linearen Algebra der Oberstufe
Schaffung einer gemeinsamen inhaltlichen Basis
Inhalte:
Lage von Punkten, Geraden & Ebenen in der Ebene, im Raum
Abstände & Winkel
Das Skalarprodukt & Orthogonalität
Das Vektorprodukt
Gauß-Verfahren zum Lösen von Gleichungssysteme
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
2 / 32
Wiederholen – Vertiefen – Ausprobieren
i Textvorlage dieses Kapitels:
Lambacher Schweizer
Mathematik Qualifikationsphase
Leistungskurs/Grundkurs
Ernst Klett Verlag 2015
Þ Das alte Mathe-Buch auskramen und lesen!
b Alte Aufgaben rechnen (zusätzlich zu den Übungsaufgaben)!
Ï Geogebra: Anschauung schulen!
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Punkte in der Ebene bzw. im Raum
x2
x2
3
P1 =
= (3, 4)>
4
 
4
P1 = 3
3
x1
x1
a) in der Ebene R2
x3
b) im Raum R3
Punkte in der Ebene bzw. im Raum können wir durch Angabe der Koordinaten
spezifizieren.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Abstände von Punkten
x2
Wie berechnet man die Länge der Strecke
PQ?
P
Q
x1
Idee: zweimal Satz des Pythagoras
anwenden
x3
Die Strecke PQ.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Abstände von Punkten
x2
Wie berechnet man die Länge der Strecke
PQ?
P
Q
x1
Idee: zweimal Satz des Pythagoras
anwenden
x3
Die Strecke PQ.
Den Abstand zweier Punkte P = (p1 , p2 , p3 )> und Q = (q1 , q2 , q3 )> berechnen
wir durch
PQ :=
p
(q1 − p1 )2 + (q2 − p2 )2 + (q3 − p3 )2 =
3
X
! 21
(qi − pi )2
i=1
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Vektoren
Vektor: Tupel reeller Zahlen mit
a) Richtung und
b) Länge
In der Ebene (in R2 ):
z. B.
# »
3
OP =
Ortsvektor“
4
”
x2
hat die Länge (auch: den Betrag)
p
√
22 + 12 + 32 = 14
P
# »
OP
O
Stefan Ruzika
Der Ortsvektor (im Raum)
 
2
# »
OP = 1
3
und den Gegenvektor
# »
−OP =
x1
§1: Schulstoff
−2
−1
−3
!
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Vektoren
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem.
x2
#»
a
MitVektoren
kann man rechnen:
3
4
3+4
7
a)
+
=
=
4
1
4+1
5
3
2·3
6
b) 2 ·
=
=
4
2·4
8
x1
Vektor + Vektor
Reelle Zahl · Vektor
Vektoren
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem.
x2
#»
b
#»
a
MitVektoren
kann man rechnen:
3
4
3+4
7
a)
+
=
=
4
1
4+1
5
3
2·3
6
b) 2 ·
=
=
4
2·4
8
x1
Vektor + Vektor
Reelle Zahl · Vektor
Vektoren
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem.
x2
#»
#»
a +b
#»
b
#»
a
x1
MitVektoren
kann man rechnen:
3
4
3+4
7
a)
+
=
=
4
1
4+1
5
3
2·3
6
b) 2 ·
=
=
4
2·4
8
Stefan Ruzika
Vektor + Vektor
Reelle Zahl · Vektor
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Vektoren
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem.
x2
x2
#»
#»
a +b
#»
b
#»
a
5 · #»
a
x1
MitVektoren
kann man rechnen:
3
4
3+4
7
a)
+
=
=
4
1
4+1
5
3
2·3
6
b) 2 ·
=
=
4
2·4
8
Stefan Ruzika
#»
a
x1
Vektor + Vektor
Reelle Zahl · Vektor
§1: Schulstoff
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Linearkombination
Einen Ausdruck wie
#» + ν · #»
λ · #»
v +µ·w
u,
wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt
#», #»
Linearkombination der Vektoren #»
v,w
u,
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Linearkombination
Einen Ausdruck wie
#» + ν · #»
λ · #»
v +µ·w
u,
wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt
#», #»
Linearkombination der Vektoren #»
v,w
u,
Frage: Für welche Werte gilt
3
0
λ
+µ
= 0?
4
1
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Linearkombination
Einen Ausdruck wie
#» + ν · #»
λ · #»
v +µ·w
u,
wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt
#», #»
Linearkombination der Vektoren #»
v,w
u,
Frage: Für welche Werte gilt
3
0
λ
+µ
= 0?
4
1
Und wie sieht es mit
 
 


−32
3
12
√
4
4
 14

 


λ1 
5 + λ2 −2 + λ3  − 1  = 0?
2
2
1
11
aus?
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Linearkombination
#» heißen kollinear, wenn es eine reelle Zahl λ ∈ R gibt, so dass gilt:
2 Vektoren #»
v,w
#»
#»
v = λw
#» = #»
#» sind linear
Diese Bedingung ist äquivalent zu: #»
v − λw
0 . Wir sagen: #»
v und w
abhängig.
Kollinearität zweier Vektoren: der eine ist ein Vielfaches des anderen.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
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Geraden
Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form
#»
x = #»
p + λ #»
u,
(λ ∈ R)
beschreiben. Dabei nennen wir #»
p Stützvektor und #»
u Richtungsvektor.
x2
g
x1
Geraden
Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form
#»
x = #»
p + λ #»
u,
(λ ∈ R)
beschreiben. Dabei nennen wir #»
p Stützvektor und #»
u Richtungsvektor.
x2
#»
p
g
x1
Geraden
Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form
#»
x = #»
p + λ #»
u,
(λ ∈ R)
beschreiben. Dabei nennen wir #»
p Stützvektor und #»
u Richtungsvektor.
x2
#»
u
#»
p
g
x1
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Geraden
 
 
 
−7
3
5
b Liegt der Punkt A = −5 auf der Geraden g : #»
x = −1 + λ  2 ?
8
2
−3
 
 
1
4
b Die Punkte A = −2 und B =  6  liegen auf einer Geraden.
5
−2
Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden.
Beachte: Die Gleichung zur Beschreibung einer Geraden ist nicht eindeutig. Eine
Gerade g kann also durch mehrere Gleichungen beschrieben werden.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
11 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
Zwei Geraden g und h im Raum können
identisch sein.
sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
zueinander parallel sein.
zueinander windschief sein.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
12 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #»
p auf der Geraden h?
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #»
p auf der Geraden h?
I
Wenn ja: g und h sind identisch.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #»
p auf der Geraden h?
I
I
Wenn ja: g und h sind identisch.
Wenn nein: g und h sind parallel.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #»
p auf der Geraden h?
I
I
Wenn ja: g und h sind identisch.
Wenn nein: g und h sind parallel.
Wenn nein: Hat die Gleichung #»
p + λ #»
u = #»
q + µ #»
v eine Lösung?
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #»
p auf der Geraden h?
I
I
Wenn ja: g und h sind identisch.
Wenn nein: g und h sind parallel.
Wenn nein: Hat die Gleichung #»
p + λ #»
u = #»
q + µ #»
v eine Lösung?
I
Wenn ja: g und h schneiden sich.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Lagebeziehungen von Geraden
So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #»
x = #»
p + λ #»
u und
#»
#»
#»
h : x = q + µv :
Sind die Richtungsvektoren #»
u und #»
v parallel zueinander?
Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #»
p auf der Geraden h?
I
I
Wenn ja: g und h sind identisch.
Wenn nein: g und h sind parallel.
Wenn nein: Hat die Gleichung #»
p + λ #»
u = #»
q + µ #»
v eine Lösung?
I
I
Wenn ja: g und h schneiden sich.
Wenn nein: g und h sind windschief.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
13 / 32
Skalarprodukt & Orthogonalität
 
 
a1
b1
#»
#»
Für #»
a = a2  und b = b2  definieren wir das Skalarprodukt von #»
a und b als
a3
b3
3
X
#»
#»
a · b := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =
ai bi .
i=1
Beachte:
Beim Skalarprodukt verknüpfen wir multiplikativ zwei Vektoren und erhalten
ein Skalar (also eine reelle Zahl).
Dies ist schon die zweite Bedeutung von ·, die wir in dieser Vorlesung
kennenlernen.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
14 / 32
Skalarprodukt & Orthogonalität
 
0
#»
#»
#»
a und b seien nachfolgend beide ungleich dem Nullvektor 0 = 0.
0
#»
#»
#»
a und b heißen orthogonal, wenn #»
a · b =0
Es gilt:

  
−4
2
#»
#»
a · b =  1  ·  9  = −4 · 2 + 1 · 9 + 1 · (−1) = 0
1
−1
#»
#»
Also: #»
a und b sind orthogonal; wir schreiben dafür auch: #»
a ⊥ b.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
15 / 32
Skalarprodukt & Orthogonalität
Eigenschaften (Rechenregeln)
#»
Für das Skalarprodukt von Vektoren #»
a , b und #»
c gilt:
#» #» #»
#»
1
a ·b = b·a
#»
#»
2
r · #»
a · b = r · ( #»
a · b ) für jede reelle Zahl r ∈ R
#»
#»
3
( #»
a + b ) · #»
c = #»
a · #»
c + b · #»
c
4
#»
a · #»
a = | #»
a |2
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
(Kommutativität)
(Assoziativität)
(Distributivität)
16. April 2016
16 / 32
Skalarprodukt & Orthogonalität
Eigenschaften (Rechenregeln)
#»
Für das Skalarprodukt von Vektoren #»
a , b und #»
c gilt:
#» #» #»
#»
1
a ·b = b·a
#»
#»
2
r · #»
a · b = r · ( #»
a · b ) für jede reelle Zahl r ∈ R
#»
#»
3
( #»
a + b ) · #»
c = #»
a · #»
c + b · #»
c
4
#»
a · #»
a = | #»
a |2
(Kommutativität)
(Assoziativität)
(Distributivität)
Typische Aufgaben:
b Überprüfung der Orthogonalität zweier gegebener Geraden.
b Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren.
b Bestimmung fehlender Koordinaten von orthogonalen Vektoren.
b Orthogonalität bei geometrischen Figuren.
b Beweis der vier oben genannten Eigenschaften.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
16 / 32
Winkel zwischen Vektoren
#»
Für den Winkel α zwischen den Vektoren #»
a und b gilt:
#»
#»
#»
a · b = | #»
a | · | b | · cos(α)
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
mit 0◦ ≤ α ≤ 180◦
16. April 2016
17 / 32
Winkel zwischen Vektoren
#»
Für den Winkel α zwischen den Vektoren #»
a und b gilt:
#»
#»
#»
a · b = | #»
a | · | b | · cos(α)
mit 0◦ ≤ α ≤ 180◦
 
 
4
2
#»
Sei #»
a = 3 und b = 0. Dann gilt für den Winkel α zwischen diesen beiden
3
1
#»
#»
Vektoren a und b :
#»
#»
a ·b
8+0+3
11
√
cos(α) = #» #» =
= √
5 14
5 14
|a| · |b|
Also gilt:
α ≈ 54, 0◦
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
17 / 32
Gauß-Verfahren
Eine der häufigsten Aufgaben der Linearen
Algebra / der Mathematik
Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen.
Carl Friedrich Gauß
https://commons.wikimedia.org/
wiki/File:Carl Friedrich Gauß.jpg
Wie löst man ein LGS?
Lineare Algebra
Warum ist das so richtig?
Lineare Algebra
Wie löst man ein LGS schnell?
Wie löst man ein LGS stabil?
Numerik
Numerik
Wo muss man LGS in der Praxis lösen?
Schule ©, Analysis, Optimierung,
Finanzmathematik, Computergrafik, . . . quasi immer mal wieder und überall!
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
18 / 32
Gauß-Verfahren
Der einfache Fall: Angenommen, es ist ein LGS in Zeilenstufenform gegeben:
2x1
−
3x2
2x2
+
+
x3
5x3
−2x3
= −8
= −6
=
4
Das lässt sich leicht lösen!
Rechnung an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
19 / 32
Gauß-Verfahren
Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
1
Bringe das LGS durch Äquivalenzumformungen auf Zeilenstufenform.
2
Löse die Gleichungen der Zeilenstufenform schrittweise von unten nach oben.
LGS:
3x1
3x1
3
2 x1
+ 6x2
+ 2x2
+ 5x2
−
+
−
2x3
x3
5x3
= −4
=
0
= −9
Kurzschreibweise in Matrixform:


3 6 −2 −4
3 2
1
0
3
5 −5 −9
2
Rechnung an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
20 / 32
Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
Erinnern wir uns an die Schnittmengen von Geraden im R2 :
Die Schnittmenge entspricht der Lösungsmenge des LGS, das aus den beiden
Geradengleichungen besteht.
Lösungsmengen von LGS
kein Schnittpunkt / keine Lösung
ein Schnittpunkt / eine Lösung
unendlich viele Schnittpunkte / unendlich viele Lösungen
Beispiele an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
21 / 32
Ebenen im Raum
Parameterform einer Ebene
Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form
#»
x = #»
p + λ #»
u + µ #»
v,
#»
#»
(λ, µ ∈ R, #»
u 6= 0 , #»
v 6= 0 )
beschreiben. Dabei nennen wir
#»
p Stützvektor,
#»
u und #»
v Richtungs- oder Spannvektoren.
Dabei dürfen #»
u und #»
v nicht kollinear (also nicht parallel zueinander) sein.
Beispiele an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
22 / 32
Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden
Eine Gerade g und eine Ebene E können
einen gemeinsamen Punkt
Durchstoßpunkt
keinen gemeinsamen Punkt
g parallel zu E
unendlich viele gemeinsame Punkte
g liegt in E
haben. Dies folgt aus der Struktur der Lösungsmenge des LGS bestehend aus der
Ebenen- und der Geradengleichung.
Beispiele an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
23 / 32
Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden
Wenn g und E sich schneiden, stellt sich die Frage, ob g ⊥ E gilt.
Dies gilt, wenn der Richtungsvektor von g zu den beiden Spannvektoren der
Ebene orthogonal ist. Solch einen Vektoren nennen wir dann Normalenvektor der
Ebene E .
Beispiele an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
24 / 32
Normalengleichung einer Ebene
Ist #»
n ein Normalenvektor von E mit #»
x = #»
p + λ #»
u + µ #»
v , dann liegt ein Punkt X
# »
#»
mit Ortsvektor x = OX genau dann in E , wenn #»
x − #»
p orthogonal zu #»
n ist.
Normalengleichung der Ebene
Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form
( #»
x − #»
p ) · #»
n =0
#»
beschreiben (wobei #»
n =
6 0 gelten muss).
Illustration an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
25 / 32
Koordinatengleichung einer Ebene
Sei E durch ( #»
x − #»
p ) · #»
n = 0 gegeben.
#»
n =0
#»
⇒
n = #»
p · #»
n
 
 
x1
a
Sei #»
x = x2 , #»
n = b  und #»
p · #»
n = d. Dann folgt aus #»
x · #»
n = #»
p · #»
n:
x3
b
⇒
#»
x · #»
n − #»
p·
#»
x ·
ax1 + bx2 + cx3 = d
Koordinatengleichung der Ebene
Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form
ax1 + bx2 + cx3 = d
beschreiben (wobei mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich 0 ist).
Beachte (a, b, c)> ist Normalenvektor von E .
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
26 / 32
Lagebeziehung zwischen Ebenen und Geraden
 
 
p1
u1
Seien g : #»
x = p2  + λ u2  und E : ax1 + bx2 + cx3 = d gegeben.
p3
u3
Falls die Gleichung
a(p1 + λu1 ) + b(p2 + λu2 ) + c(p3 + λu3 ) = d
genau eine Lösung hat, so schneiden sich g und E ,
keine Lösung hat, so ist g parallel zu E
unendlich viele Lösungen hat, dann
g liegt in E
Beispiel an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
27 / 32
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Unter dem Abstand eines Punktes R von einer Ebene E verstehen wir die kleinste
Entfernung von R zu E .
# »
Sei #»
r = OR und #»
n Normalenvektor von E .
Bestimmung des Abstand d von R zu E :
Aufstellen der Gleichung einer zu E orthogonalen Geraden durch R, z. B.
g : #»
x = #»
r + λ · #»
n.
Berechnen der Koordinaten des Lotfußpunktes F der Lotgeraden g mit E .
#»
#»
Berechnen des Betrags des Vektors RF . Es gilt: d = |RF |.
Illustration und Beispiel an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
28 / 32
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Unter dem Abstand eines Punktes R von einer Geraden g verstehen wir die
kleinste Entfernung von R zu g .
b Leiten Sie sich selbst her, wie man diesen Abstand bestimmt! Das nötige
Wissen dazu haben Sie . . . .
i Die Berechnung einer Hilfsebene, die durch R geht und orthogonal zu g ist,
könnte hilfreich sein.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
29 / 32
Schnittwinkel
Schnittwinkel . . .
Gerade – Gerade: zwei Winkel der Größe α ≤ 90◦ und ein Winkel der Größe
180◦ − 90◦ .
Ebene – Ebene: Schnittwinkel α zweier Geraden, die in den Ebenen liegen
und orthogonal zur Schnittgeraden sind. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel
zwischen den Normalenvektoren n#»1 und n#»2 der beiden Ebenen.
Gerade – Ebene: Fällt man das Lot einer Geraden g auf eine Ebene E , so
erhält man eine Gerade g 0 , die in E liegt. Unter dem Winkel zwischen g und
E verstehen wir den Winkel zwischen g und g 0 .
Illustration an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
30 / 32
Schnittwinkel
Berechnung von Schnittwinkeln
Seien u#»1 und u#»2 Richtungsvektoren der Geraden g1 und g2 und seien n#»1 und n#»2
Normalenvektoren der Ebenen E1 und E2 . Dann gilt für den Schnittwinkel α
(0 ≤ α ≤ 90◦ ):
von g1 und g2 :
|u#»1 · u#»2 |
cos(α) = #» #»
|u1 | · |u2 |
von E1 und E2 :
|n#»1 · n#»2 |
cos(α) = #» #»
|n1 | · |n2 |
von g1 und E1 :
|u#»1 · n#»1 |
cos(90◦ − α) = #» #»
|u1 | · |n1 |
Beispiel an der Tafel
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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Vektorprodukt
Betrachte nun eine (multiplikative) Abbildung1 × : R3 × R3 7→ R3
Vektorprodukt
 
 
a1
b1
#»
Seien #»
a = a2  und b = b2 .
a3
b3
Dann heißt


a2 b3 − a3 b2
#»
#»
a × b := a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
#»
das Vektorprodukt von #»
a und b .
#»
#»
Beachte: #»
a × b ist orthogonal zu #»
a und zu b .
Beispiel an der Tafel
1 Achtung! Das Zeichen × hat hier zwei unterschiedliche Bedeutung. Leider wird in der
Typografie standardmäßig für beide Bedeutungen dasselbe Zeichen verwendet.
Stefan Ruzika
§1: Schulstoff
16. April 2016
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