Schülerzirkel Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Johann Hartl
11. Juli 2012
Schülerzirkel Mathematik
In der Ebene sei ein Koordinatensystem eingeführt durch die Angabe eines
Koordinatenursprungs O und zweier Vektoren v1 und v2 , die beide eine Länge
größer als Null haben und vom Koordinatenursprung O aus angetragen nicht auf
einer Geraden liegen. Für jeden Punkt P der Ebene gilt dann: Der Vektor p mit
Anfangspunkt O und Endpunkt P lässt sich eindeutig darstellen in der Gestalt
p = x1 v1 + x2 v2 . Die reellen Zahlen x1 und x2 heißen die Koordinaten von P in dem
Koordinatensystem (O; v1 , v2 ).
Für ein anderes Koordinatensystem (O; v10 , v20 ) gilt:
v1 = a11 v10 + a21 v20 ,
v2 = a12 v10 + a22 v20 .
a) Wie hängen die Koordinaten x01 , x02 von P in dem Koordinatensystem
(O; v10 , v20 ) ab von den Koordinaten x1 , x2 von P im Koordinatensystem
(O; v1 , v2 )?
b) Es gilt auch
v10 = b11 v1 + b21 v2 ,
v20 = b12 v1 + b22 v2 .
Wie hängen b11 , b21 , b12 , b22 ab von a11 , a21 , a12 , a22 ?
c) Wie hängen dann die Koordinaten x1 , x2 von P in dem Koordinatensystem (O; v1 , v2 ) ab von den Koordinaten x01 , x02 von P im Koordinatensystem
(O; v10 , v20 )? Wie schreibt man das unter Verwendung der bjk auf? Wie unter
Verwendung der ajk ?
d) Welches Ergebnis erhält man, wenn man die beiden Matrizen
a11 a12
b11 b12
A :=
und B :=
a21 a22
b21 b22
miteinander multipliziert in der Reihenfolge AB und in der Reihenfolge BA?
e) Was bedeutet es, wenn gilt:
A=
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
f ) Bisher hatten wir zwei Koordinatensysteme und einen Punkt P mit verschiedenen Koordinaten bezüglich der beiden Koordinatensysteme. Kann man die
Ergebnisse aus c) auch deuten, wenn man die gestrichenen und die ungestrichenen Koordinaten auf nur ein Koordinatensystem bezieht — zumindest wenn
A die Gestalt aus e) hat?