FUNKTIONEN a) Symmetrie Beispiele a) b) xxxf⋅ c) d) b) Monotonie

DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
FUNKTIONEN
I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN
a) Symmetrie
Beispiele
a) f ( x) = e x + e − x b) f ( x) = x ⋅ x
c) f ( x) = x ⋅ tan( x) d) f ( x) = sin( x) + x 2
b) Monotonie
Beispiele
a) f ( x) = x + 1
c) f ( x) = x ⋅ x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
1
x3 + 1
d) f ( x) = tan( x) + x
b) f ( x) =
Folie 2/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c) Umkehrfunktion
Beispiele
a) f ( x) = x + 1
b) f ( x) =
x +1
x −1
Aufgabe 4) WS 2006/2007
Gegeben sind die beiden Funktionen
f1 ( x ) = e x − 4e − x und
f 2 ( x ) = e x + 4e − x .
a) Begründen
dass
Sie,
für
alle
x∈R
f 2 ( x) > f1 ( x) gilt
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 3/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
DIFFERENTIALRECHNUNG
I) GRENZWERTE VON ZAHLENFOLGEN
Übung 1)
2n 3 + 1
lim
=?
n − 2n 2 + n 3
Lösung
1⎞
1⎞
⎛
⎛
2
n3 ⋅ ⎜ 2 + 3 ⎟
+
⎜
⎟
n
∞
⎠ = 2+0 =2
⎝
⎠ = ⎝
= lim
1 1 ⎞ 1− 2⋅ 0 + 0
1 1 ⎞ ⎛
⎛
n 3 ⋅ ⎜1 − 2 + 2 ⎟ ⎜ 1 − 2 + ⎟
∞ ∞⎠
n n ⎠ ⎝
⎝
Bemerkung
Die folgenden Gleichungen sind als
Grenzwerte zu verstehen:
1
=0
∞
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
und
Folie 4/ von 103
1
=∞
0
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Ergänzung: Die Zahl von Euler
Definition
⎛ 1⎞
e = lim⎜1 + ⎟
n→ ∞
⎝ n⎠
Näherungswert
e = 2,71...
n
Hausaufgabe: BzM 4, Seite 10, Aufgabe 7.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 5/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
(
)
3
n +1
lim
=?
1+ n + n n
Übung 2)
Lösung:
3
⎡
1 ⎞⎤
⎛
n
1
⋅
+
⎜
⎟⎥
⎢
n ⎠⎦
⎝
= lim ⎣
= lim
1+ n + n n
( n ) ⋅ ⎛⎜1 +
3
1 ⎞
⎟
n⎠
⎝
=
1+ n + n n
3
3
1 ⎞
⎛
n n ⋅ ⎜1 +
⎟
n⎠
⎝
=
lim
1
⎞
⎛ 1
n n ⋅⎜
+
+ 1⎟
n ⎠
⎝n n
3
1⎞
⎛
+
1
⎜
⎟
(1 + 0) 3
∞
⎝
⎠
=
=
= 1.
1 1 ⎞ 1+ 0 + 0
⎛
⎜1 + + ⎟
⎝ ∞ ∞⎠
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 6/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
)
(
lim n 2 +2n − n 2 − 2n =
Übung 3)
?
Lösung:
(
= lim n +2n − n
= lim
= lim
= lim
= lim
2
2
(n
− 2n ) ⋅
(n
( n 2 + 2n) − ( n 2 − 2n)
(n
(n
2
+ 2n + n − 2n
2
4n
2
+ 2n + n 2 − 2n
)
)
− 2n )
2
+ 2n + n 2 − 2n
2
+ 2n + n 2
=
)
4n
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
n 2 ⋅ ⎜1 + ⎟ + n 2 ⋅ ⎜1 − ⎟
⎝ n⎠
⎝ n⎠
4n
⎡ ⎛
2⎞
⎛ 2 ⎞⎤
n ⋅ ⎢ ⎜ 1 + ⎟ + ⎜1 − ⎟ ⎥
⎝ ∞ ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ ∞ ⎠
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 7/ von 103
=
4
4
= =2
[1 + 1] 2
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
II) GRENZWERTE VON FUNKTIONEN
Grenzwertsätze
lim [ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x )
1)
x → x0
2)
f (x )
f ( x ) xlim
→ x0
lim
=
x → x0 g ( x )
lim g ( x )
3)
x → x0
4)
x → x0
x → x0
x → x0
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
lim ( f ( x ))
x → x0
x → x0
g (x)
= ⎡ lim f (x )⎤
⎥⎦
⎢⎣ x→ x0
x → x0
lim g ( x )
x → x0
Ausnahmefälle/ Spezialfälle:
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 8/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
5) Regel von Bernoulli und L´Hospital
(BlH):
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 , ∞ ⇒ lim
x → x0
x → x0
x → x0
Anwendbarkeit: Spezialfälle
f (x )
f ´(x )
= lim
g (x ) x→ x0 g´(x )
0 ∞
,
0 ∞
Beispiele:
1)
1⎞
2⎛
+
x
1
⎜
2 ⎟
1
x2 + 1
⎝ x ⎠
=
=
−
.
lim
lim
x → −∞ − 2 x 2 + x + 7
x → −∞
1 7⎞
2
⎛
x2 ⎜ − 2 + + 2 ⎟
x x ⎠
⎝
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 9/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Satz:
Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ..... + a1 x + a0 ,
Qm ( x ) = bm x m + bm−1 x m−1 + ..... + b1 x + b0
⎧± ∞ , n > m ⎫
⎪
⎪
Pn ( x ) ⎪ an
⎪
⇒ lim
= ⎨ , n = m⎬
x →∞ Q ( x )
m
⎪ bm
⎪
⎪⎩0, n < m⎪⎭
2)
⎛ 2
⎞
2
⎜
lim x + 1− x − 1 ⎟ = ?
x →∞⎜
⎟
⎝
⎠
( A + B ) = lim
= lim( A − B ) *
x →∞
( A + B ) x →∞
( x 2 +1) − ( x 2 + 1)
x2 + 1 + x2 −1
=
2
=0
∞+∞
3)
cos x 1
sin x 0 BlH
= = lim
= =1
lim
x →0
x
→
0
x
1
1
0
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 10/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
4)
⎛ 2
⎞
2
⎜
lim x + x − x − x ⎟ = ?
x →∞⎜
⎟
⎝
⎠
lim
x →∞
x2+x − x2 + x
x2 + x + x2 − x
= lim
x →∞
2x
2
=1
⎡⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞⎤ 1 + 1
⎢⎜⎜ x 1 + ⎟⎟ + ⎜⎜ x 1 − ⎟⎟⎥
x⎠ ⎝
x ⎠⎥⎦
⎢⎣⎝
=
Nicht vergessen:
Spezialfälle können jedes Ergebnis liefern!
5)
x2 + 1 2
=
= +∞
lim 2
x →1 x − 1
+0
x >1
x2 + 1 2
lim 2
=
= −∞
x →1 x − 1
−0
x <1
6)
x3 + x
lim
= −∞
x → −∞ x 2 − 1
da im Zähler höhere Potenz als im Nenner!
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 11/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
x 2 −1
7)
8)
lim e x
2
+1
x → −1
FOLIEN ZUR VORLESUNG
0
2
= e = e0 = 1
lim x ln x = lim
x →0
x >0
x →0
(ln x ) = − ∞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ x⎠
∞
⎛1⎞
⎜ ⎟
BlH
x 0
1 x2
x⎠
⎝
= lim
= − lim ⋅ = lim = = 0 .
x →0 ⎛
x →0 x
1 ⎞
1 x →0 1 1
⎜− 2 ⎟
⎝ x ⎠
9)
lim
x →∞
x
x +1
2
=?
x
1
= =1
x →∞
1 1
x 1+ 2
x
= lim
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 12/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
III) STETIGKEIT
Definition:
a) f ist stetig an der Stelle x0 ∈ D f
⇔ lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
b) f ist stetig, wenn f stetig ist für alle x0 ∈ D f .
Beispiel 1:
x≤0
⎧x ,
f (x ) = ⎨ 2
⎩ x + 1, x > 0
f (0 − 0 ) = 0 = Gl
, f (0 + 0 ) = 0 + 1 = 1 = Gr .
f hat keinen Grenzwert in x0 = 0 ⇒
f ist nicht stetig.
( x0 = Sprungstelle).
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 13/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiel 2:
⎧ sin x
, x≠0
⎪
f (x ) = ⎨ x
⎪⎩ 1,
x=0
sin x 0 BlH
cos x 1
= = lim
= = 1.
lim f ( x ) = lim
x→ 0
x→ 0
x
→
0
x
0
1
1
f (0 ) = 1.
lim f ( x ) = f (0)⇒ f
x→ 0
ist stetig in x 0 = 0
Bemerkung:
Zur Untersuchung der Stetigkeit ist keine
Skizze notwendig. Die Rechnung reicht.
Stetigkeitssatz:
Alle elementaren Funktionen sind stetig auf
ihren maximalen Definitionsbereichen.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 14/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Arten von Unstetigkeit:
a)Hebbare Unstetigkeiten:
1) x0 = Definitionslücke (DL)
f ( x) = G
2) xlim
→x
0
Die stetige Erweiterung von f
⎧ f ( x ), x ≠ x0
f * (x ) = ⎨
⎩ G , x = x0
Beispiel:
f (x ) =
sin x
x
sin x 0 BlH
cos x 1
= = lim
= = 1.
G = lim f (x ) = lim
x→ 0
x
→
0
x→ 0
0
1
1
x
⎧ sin x
, x≠0
⎪
(
)
⇒ f * x =⎨ x
⎪⎩ 1,
x=0
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 15/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übung:
x2 − x
f (x ) =
, f * ( x) = ?
x −1
Hausaufgabe : BzM 4, Seite 31 Aufgaben 1-3
b) Unstetigkeiten 1. Art = Sprungstellen.
c) Unstetigkeiten 2.Art
Sind Stellen
x0
für die gilt:
Gl = f (x0 − 0)
existiert nicht, oder ist ± ∞ ,
oder
Gr = f ( x0 + 0 ) existiert nicht, oder ist ± ∞ .
c1) Polstellen
Beispiel:
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Gr , Gl = ±∞
1
f ( x ) = ; x0 = 0
x
Folie 16/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c2) Oszillationsstellen
Beispiel:
f ( x ) = sin
Grenzwert
lim sin
x →0
π
x
π
x
, x 0 = 0.
existiert nicht!
sin(pi/x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-6
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
-4
-2
0
x
Folie 17/ von 103
2
4
6
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
IV) DIFFERENZIERBARKEIT
Geschichte: Leibnitz, Newton (BzM 4)
Definition:
1) f ist differenzierbar (diff) an der Stelle x0
⇔ ∃ lim
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
x → x0
2) Die Ableitung von f an der Stelle x0 ist
f '( x0 ) = lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
Beispiele
⎧ax + b, x < 0
f ( x) = ⎨
x
⎩ e , x ≥0
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 18/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiel 1) Sprungstelle. Skizze !
⎧ 2 x, x < 0
f ( x) = ⎨ x
⎩e , x ≥ 0
nicht stetig, nicht diff.
Beispiel 2) Knickstelle. Skizze !
⎧2 x + 1, x < 0
f ( x) = ⎨
x
e
, x ≥0
⎩
stetig, nicht diff.
Beispiel 3) ‚Glatter‘ Übergang. Skizze !
⎧ x + 1, x < 0
f ( x) = ⎨ x
⎩ e , x ≥0
stetig, diff.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 19/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übung 1)
Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der
Funktion f ( x ) = | x | an der Stelle x0 = 0.
Lösung
Die betragsfreie Darstellung:
⎧ x, x ≥ 0
f ( x) = ⎨
⎩ − x, x < 0
f ( x ) − f ( 0)
−x − 0
f ´( 0 − 0 ) = lim
= lim
= −1.
x →0
x →0 x − 0
x
0
−
x <0
x<0
f ( x ) − f ( 0)
+x − 0
f ´( 0 + 0 ) = lim
= lim
= +1.
x →0
x
→
0
x−0
x−0
x >0
x >0
f ´( 0 − 0 ) ≠ f ´(0 + 0)
Folglich ist f nicht differenzierbar an der
Stelle x0 = 0 . Skizze !
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 20/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übung 2)
Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der
Funktion f ( x ) = x 2 an der Stelle x0 = − 3.
Übung 3)
Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der
Funktion f ( x ) = x an der Stelle x0 = 0.
Lösung
x0 = 0 ist ein Randpunkt von D f = (0, +∞).
f ´( 0 + 0 ) = lim
x →0
x >0
= lim
x →0
x− 0
x
= lim
x →0 x
x−0
x >0
x
1
1
= lim
=
= +∞
x ⋅ x x→0 x +0
Somit ist x = 0 eine senkrechte Randtangente.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 21/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die Tangente an eine Funktionskurve
Satz 1)
Die Steigung m der Tangente an die Kurve
y = f ( x) im Punkt P( x0 / f ( x0 )) ist die
Ableitung von f ( x) an der Stelle x0 .
m = f ´( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
= lim
.
x→ x
x − x0
def .
0
Satz 2)
Die Gleichung der Tangente an die Kurve
y = f ( x) im Punkt P( x0 / f ( x0 )) ist
(T ): y − f ( x0 ) = f ´( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 22/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiel 1)
Gesucht ist die Gleichung der Tangente zu
y = x 2 in x0 = 3.
Lösung
x0 = 3; f ( x0 ) = f (3) = 9; f ´( x0 ) = f ´(3) = 6;
(T ) : y − 9 = 6 ⋅ ( x − 3) ⇒ y = 6 x − 9.
Beispiel 2)
Gegeben ist die Funktion f ( x ) = | x 2 − 4 |
.
a) Untersuchen sie die Differenzierbarkeit
von f an den Stellen x0 = ± 2.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der
rechtsseitigen und linksseitigen Tangente
zu y = f ( x ) in x0 = 2 .
c) Skizzieren sie die Kurve y = f ( x )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 23/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Satz:
Wenn f ( x) die folgenden Bedingungen erfüllt
1)
2)
3)
f ( x) ist stetig
f ( x) ist differenzierbar für alle x ≠ x0
∃ lim f ´( x )
x→ x
0
dann ist f ( x) differenzierbar in x = x0 und
f ´( x0 ) = lim f ´( x ) .
x→ x
0
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 24/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Methode
zur Untersuchung der Differenzierbarkeit
abschnittweise definierter Funktionen an der
‚Nahtstelle‘ x0 .
⎧ f1 ( x ) , x ≤ x0
f ( x) = ⎨
⎩ f 2 ( x ) , x > x0
1) Berechnungen:
Gl = f ( x0 − 0 ) = f1 ( x0 )
Gr = f ( x0 + 0 ) = f 2 ( x0 )
ml = f ´( x0 − 0 ) = f1´( x0 )
mr = f ´( x0 + 0 ) = f 2 ´( x0 )
2) Wenn Gl = Gr = G und ml = mr = m dann ist
f stetig und differenzierbar und
⎧ f1´( x ) , x < x0 ⎫
⎪
⎪
f ´( x ) = ⎨ m , x = x0 ⎬
⎪ f ´( x ) , x > x ⎪
0⎭
⎩ 2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 25/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Lösung des Beispiels 2)
f (− x) = f ( x) , somit Untersuchung für x ≥ 0 .
f ( x ) = | x 2 − 4 | in betragsfreier Darstellung:
⎧ − x 2 + 4, x ≤ 2
f ( x) = ⎨
2
− 4, x > 2
x
⎩
a) Gl = f (2 − 0) = 0 = f (2 + 0) = Gr .
ml = f ´( 2 − 0 ) = f1´( 2 ) = (−2 x) x = 2 = −4.
mr = f ´( 2 + 0 ) = f 2 ´( +2 ) = (2 x) x = 2 = +4.
f ( x) ist nicht differenzierbar in x0 = 2 , aber
linksseitig und rechtsseitig differenzierbar!
Hier liegt eine Knickstelle vor.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 26/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
b) Die Gleichungen der Knicktangenten:
(Tl ) : y = −4 ( x − 2 ) und (Tr ) : y = 4 ( x − 2 )
Die Richtungsvektoren der Knicktangenten:
r ⎛ −1⎞
r ⎛1 ⎞
l = ⎜ ⎟ und r = ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
⎝4 ⎠
Die Berechnung des Knickwinkels:
r r
l ⋅ r −1 + 16 15
cos α = r r =
= ⇒ α ≈17o
17
17
l ⋅r
Skizze !
Praxisanwedung
Die Berechnung des Drehwinkels ϕ des
Fräskopfes an Knickstellen des Profils:
ϕ =180 − α
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 27/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übungen Untersuchen Sie die Stetigkeit und
Differenzierbarkeit der folgenden Funktionen.
1) Hausaufgabe
⎧⎪ 1 − x3 , x ≤ 1
f ( x) = ⎨
2
3
1
−
x
(
), x > 1
⎪⎩
Lösung:
Stetigkeit:
f (1 − 0 ) = 1 − 13 = 0 und f (1 + 0 ) = 3 (1 − 12 ) = 0
Somit ist f ( x) stetig.
Differenzierbarkeit:
⎧−3 x 2 , x < 1
⎪
f ´( x ) = ⎨ ? , x = 1
⎪−6 x , x > 1
⎩
f ´(1 − 0 ) = −3 und f ´(1 + 0 ) = −6
Somit ist f ( x) nicht differenzierbar in x0 = 1.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 28/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
2)
FOLIEN ZUR VORLESUNG
⎧cos x, x ≤ 0
f ( x) = ⎨ 2
⎩ x + 1, x > 0
Stetigkeit:
f ( 0 − 0 ) = cos 0 = 1, f ( 0 + 0 ) = 0 + 1 = 1
Somit ist f ( x) stetig in x0 = 0 .
Differenzierbarkeit:
⎧− sin x, x ≤ 0
⎪
? , x=0
f ´( x ) = ⎨
⎪ 2x , x > 0
⎩
f ´( 0 − 0 ) = − sin 0 = 0, f ´( 0 + 0 ) = 2 ⋅ 0 = 0
⇒ f ( x) in x0 = 0 differenzierbar und
⎧− sin x, x < 0
⎧− sin x, x ≤ 0
⎪
f ´( x ) = ⎨
0, x = 0 = ⎨
⎪ 2x , x > 0 ⎩ 2x , x > 0
⎩
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 29/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c) Die Skizze der Funktionskurve:
⎧cos x, x ≤ 0
y = f ( x) = ⎨ 2
⎩ x + 1, x > 0
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 30/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
3) Gegeben ist die Funktion
⎧1 + sin 2 x, x < 0
f ( x) = ⎨
x≥0
⎩ax + b,
Für welchen Wert von a und b ist f ( x ) stetig
und differenzierbar?
Lösung:
f ( 0 − 0 ) = 1 + sin ( 2 ⋅ 0 ) = 1 + 0 = 1
f ( 0 + 0) = a ⋅ 0 + b = b
f stetig ⇒ f (0 − 0) = f (0 + 0) ⇒ b = 1.
⎧2cos ( 2 x ) , x < 0
⎪
f ´( x ) = ⎨
?
, x=0
⎪
a
, x>0
⎩
f ´( 0 − 0 ) = 2cos ( 2 ⋅ 0 ) = 2 ⋅1 = 2, f ´( 0 + 0 ) = a
f diff ⇒ f ´(0 − 0) = f ´(0 + 0) ⇒ a = 2.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 31/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
V) ABLEITUNGSREGELN
Ableitungen elementarer Funktionen
Tabelle 1 Grundformeln
* Ableitungsformeln 1-6 auswendig lernen !
Beispiel 1)
3
1) f ( x ) =
x2
x
f ´( x ) = ?
,
−2
Lösung
f ( x) =
3
x
x
2
−2
1
2 3
x )
(
=
x
8
−2
=
2
3
x
=x
−2
x
2
− ( −2 )
3
=x
2
+2
3
=x
8
3
5
8 3−1 8 3 8 3 2
f ´( x ) = x = x = x ⋅ x
3
3
3
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 32/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Höhere Ableitungen
Definition
f (n) ( n ) =
(
)
d
f ( n −1) ( x ) , n = 1, 2,3, 4,...
dx
Bezeichnung
d n f ( x)
( n)
=
f
( x),
n
dx
d 2 f ( x)
z.B.:
= f ´´( x )
2
dx
Beispiel 1)
x x
f ( x ) = 2 , f ´´´( x ) = ?
x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 33/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Lösung
1
1
2
1
−
x x x
f ( x) = 2 = 2 = x 2 ,
x
x
1
3
1 − 2 −1
1 −2
f ´( x ) = − x
=− x ,
2
2
´
3
⎛
− ⎞
1
f ´´( x ) = ⎜ − x 2 ⎟
3
= x
⎟ 4
⎠
⎜ 2
⎝
−
5
2,
´
7
⎛ −5 ⎞
−
3
15
f ´´´( x ) = ⎜ x 2 ⎟ = − x 2 .
8
⎜4
⎟
⎝
⎠
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 34/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übung 1)
f ( x ) = x n ; f ´, f ´´, f ´´´,..., f ( n ) ( x ) = ? (n ∈ N )
Lösung:
f ´( x ) = nx n −1, f ´´( x ) = n ( n − 1) x n − 2 ,
f ´´( x ) = n ( n − 1)( n − 2 ) x n −3
f ( n ) ( x ) = n ( n − 1)( n − 2 ) ...1⋅ x 0 = n !
144
42444
3
n!
n!
def
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4...⋅ n
Hausaufgabe
1) f ( x ) = e x , f ( n ) ( x ) = ?
2) f ( x ) = sin x , f ( n ) ( x ) = ?
3) f ( x ) = ln x , f ( n ) ( x ) = ?
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 35/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Eine Anwendung von höheren Ableitungen
und Fakultäten
Die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion
x x 2 x3
xn
e = 1 + + + + ... + + ...
1! 2! 3!
n!
x
Die Zahl von Euler
1
e = lim ⎛⎜1 + ⎞⎟
n →∞ ⎝
n⎠
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
n
Folie 36/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Allgemeine Ableitungsregeln
1)
[c ⋅ f ( x )]´= c ⋅ f ´( x )
[c + f ( x )]´= 0 + f ´( x )
2)
( f + g )´= f ´+ g´
3)
( f ⋅ g )´= f ´⋅g + f ⋅ g´
´
f ´⋅ g − f ⋅ g´
⎛f⎞
=
4) ⎜ ⎟
⎝g⎠
g2
Beispiele
1
1) ( x ⋅ ln x )´= 1⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1
x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 37/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
´
⎛ x − 1⎞
2) ⎜
=?
⎟
⎝ x2 ⎠
=
=
3)
1⋅ x 2 − ( x − 1) ⋅ 2 x
( )
2
2
x
− x2 + 2 x
x4
=
=
x2 − 2 x2 + 2 x
x4
x ( − x + 2)
x4
=
2− x
x3
=
.
( tan x )´= ?
´ cos x cos x − sin x − sin x
sin
x
(
)
⎛
⎞
=⎜
=
⎟ =
2
⎝ cos x ⎠
cos x
=
cos 2 x + sin 2 x
cos 2 x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
=
1
cos 2 x
.
Folie 38/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übung
⎛ x2 ⎞ ´
f ( x ) = ln ⎜
⎟ , f ( x) = ?
⎜ x⎟
⎝
⎠
Tipp
Logarithmengesetze anwenden; ableiten.
Die Kettenregel
Satz
y ( x ) = f ( u ( x ) ) verkettete Funktion
⇒ y´( x ) = f ´( u ) ⋅ u´( x )
f ´( u )
u´( x )
äußere Ableitung
innere Ableitung
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 39/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Bemerkungen
dy dy du
1)
= ⋅
dx du dx
Formalismus mit ‘Differenzialen‘ dx, dy, du.
2) y´= f ´( u ) ⋅ u´
Kurzform
Beispiel 1)
y ( x ) = sin 2 x ;
y ´( x) = ?
Lösung
f ( u ) = u 2 , u ( x ) = sin x ⇒
y´( x ) = (2u ) ⋅ cos x = 2sin x ⋅ cox = sin 2 x
Beispiel 2) Übung !
y ( x ) = sin x 2 , y ´( x) = ?
Ergebnis
f ( u ) = sin u , u ( x ) = x 2 ; y ´( x) = 2 x ⋅ cos x 2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 40/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Bemerkung
⎡⎣ f ( u ( v ( x ) ) ) ⎤⎦´= v´( x ) ⋅ u´( v ) ⋅ f ´( u )
Übungen
(
)
a) f ( x ) = ln x 2 + 1 , f ´( x) = ?
b) g ( x ) = ln x 2 + 1, g´( x) = ?
Tabelle 2 Kettenregel
⎡⎣ f ( u ( x ) ) ⎤⎦´= f ´( u ) ⋅ u´( x )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 41/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Hausaufgabe
Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung
der folgenden Funktionen:
1
a) f ( x ) = arctan
x
b) b) f ( x ) =
c) f ( x ) =
x
x2 + 1
1 − x2
1 + x2
d) BzM: A1-3
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 42/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Ansätze:
´
1
⎛
⎞
a) ⎜ arctan ⎟ =
x⎠
⎝
´
1
⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ =
2 ⎝ x⎠
1
1 + ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ x⎠
´
1
1
−
1
⋅ x
=
⋅ ( −1) x −2 = ...
2
2
1
1
1 + ⎛⎜ ⎞⎟
1 + ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ x⎠
⎝ x⎠
1
( )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 43/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die Ableitung der Umkehrfunktion
y = f −1 ( x ) ⇔ x = f ( y )
Satz
´
1
−
⎡ f ( x )⎤ =
⎣
⎦
dy
1
=
dx ⎛ dx ⎞
⎜ dy ⎟
⎝ ⎠
1
oder
f ´( y )
Beispiele
1)
f ( x ) = x 2 , f −1 ( x ) = x
f ´( x ) = 2 x ,
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
(
´
1
1
⎛
⎞
−
´
1
1
1
−
⎜
⎟
2
2
f ( x) = x
= x =
)
Folie 44/ von 103
⎜⎜
⎝
⎟⎟
⎠
2
2 x
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
2) (arcsin x)´ = ?
Lösung
y = arcsin x ⇔ x = sin y
d ( arcsin x )
1
⇒
=
dx
⎛ d ( sin y ) ⎞
⎜ dy ⎟
⎝
⎠
1
1
⇒ ( arcsin x )´=
=
=
(sin y )´ cos y
1
1
=
=
cos ( arcsin x )
1 − sin 2 ( arcsin x )
1
1 − ( sin ( arcsin x ) )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
2
=
Folie 45/ von 103
1
1 − x2
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Impliziertes Differenzieren
Beispiel
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an
den Einheitskreis im Punkt P 2 / 2 | 2 / 2 .
(
)
Lösung
Ansatz: y − y0 = m ( x − x0 )
⎛
2
2⎞
⇒ y−
= m⎜ x −
⎟
2
2
⎝
⎠
m = ? geht nicht direkt durch Ableiten!
Ausweg: Impliziertes Differenzieren (ID)
dy
m=
dx
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 46/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
x2 + y 2 = 1 d
⇒ 2 xdx + 2 ydy = 0 ⇒ ydy = − xdx |: y,: dx
dy
y
y
⇒
=− ⇒m=−
dx
x
x
Ergebnis:
y
m=−
x
Einsetzen im Punkt P
(
(
⇒m=−
(
)
2/2 | 2/2 :
) = −1
2 / 2)
2/2
⎛
2
2⎞
⇒ y−
= − 1⎜ x −
⎟
2
2 ⎠
⎝
2
2
⇒ y−
= −x +
2
2
⇒ x + y = 2⇒ y = 2 − x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 47/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übung
Gegeben ist der Kreis mit der Gleichung
4 x2 − 8 x + 4 y 2 + 4 y = 0.
a) Berechnen sie Mittelpunkt und Radius des
Kreises.
b) Welches ist die Gleichung der Tangente an
dem Kreis im Punkt O ( 0 0 ) ?
c) Skizze.
Lösung
a) durch quadratische Ergänzung.
M = (1| − 1/ 2 ) , r = 5 / 2
b) ⇒ 8 xdx − 8dx + 8 ydy + 4dy = 0
⇒ 8dx ( x − 1) + 4dy ( 2 y + 1) = 0
2 ( x − 1)
2 ( 0 − 1)
dy
⇒
=−
⇒m=−
= 2.
dx
2y +1
2 ⋅ 0 +1
y − y0 = m ( x − x0 ) ⇒ y = 2 x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 48/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Logarithmisches Differenzieren
Beispiel
f ( x ) = x x , f ´( x ) = ?
d
x
y = x ⇔ ln y = x ln x
dx
1
1
y´
⋅ y´= ln x + x ⋅ ⇒ = ln x + 1
y
x
y
( )
´
x
⇒ y´= y ( ln x + 1) ⇒ x = x x ( ln x + 1)
Grundregeln
( )
´
x
x ⋅ ln a
a
=
a
( )
´
x
x ln x + x x
x
=
x
( )
xα ´= α ⋅ xα −1
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Exponent konstant
Basis konstant
Folie 49/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
MATLAB BEFEHLE
1) clear
2) x=sym('x');
3)f=input('f(x)=
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
');
% Funktion
Folie 39
x/sqrt(x^2+1), (1-x^2)/(1+x^2),
atan(1/x)
Blatt DR 2
sqrt(log(sin(x)))
sqrt(sin(log(x)))
log(sqrt(sin(x)))
log(sin(sqrt(x)))
sin(log(sqrt(x)))
sin(sqrt(log(x)))
4)df=diff(f);
% Ableitung
5)disp('f(x)='); pretty(simple(f))
% Darstellung der Funktion
6)disp('f´(x)=');pretty(simple(df))
% Darstellung der Ableitung
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 50/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
VII) KURVENDISKUSSION (KD)
Checkliste
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
Definitionsbereich
Symmetrie
Schnittpunkte mit den Achsen
Asymptoten
f ´( x )
f ´´( x )
Variationstabelle
Schaubild (Skizze)
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 51/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
(1) KD durch elementare Transformationen
Verschiebungen,Spieglungen,Skalierungen
Beispiele
1) f ( x ) = −e x −1
2) f ( x ) = 1 + sin 2 x
1
3) f ( x ) = −
−1
x +1
(2) Polynomiale Funktionen
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 52/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
Beispiel 1)
FOLIEN ZUR VORLESUNG
f ( x ) = x 3 − 3x
1) D f = R
2) f (− x ) = − x 3 + 3 x = − x 3 + 3 x = − f ( x )
3) x = 0 ⇒ y = f ( 0 ) = 0 ⇒ S (0 / 0)
(
)
y = 0 ⇒ x3 − 3 x = 0 ⇒ x( x 2 − 3) = 0
⇒ S ( 0 / 0 ) , N1,2 ± 3 0
(
)
4) lim ( x3 − 3 x) = +∞ keine Asymptote
x →∞
(
)
5) f ´( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 x 2 − 1 ⇒ x´1,2 = ±1
( )
6) f ´´( x ) = 6 x ⇒ x´´1 = 0 ⇒ f ´´´ x´´1 = 6
7) Variationstabelle
8) Skizze
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 53/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
(3) Gebrochen rationale Funktionen
Beispiel 2)
f (x) =
2x
x2 −1
1) D f = R \{±1}
− 2x
2) f (− x ) = 2
= − f (x)
x −1
3) f ( 0 ) = 0 ⇒ S (0 / 0)
2x
4) lim
= 0 ⇒ (HA) y = 0 bei ± ∞
x →∞ x 2 − 1
2 ⋅1
2 ⋅1
= +∞
f (1 − 0 ) =
= −∞ , f (1 + 0 ) =
+0
−0
(VA) x = ±1
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 54/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
5) f ´( x ) =
=
(
(x
)
2 ⋅ x2 − 1 − 2 x ⋅ 2 x
(
2x 2 − 2 − 4x 2
2
FOLIEN ZUR VORLESUNG
)
−1
2
)
2
2
x −1
=
− 2x 2 − 2
(x
2
)
−1
2
= −2
x2 +1
(x
2
)
−1
2
keine Nullstellen
6) f ´´( x )
nicht zwingend nötig; die
Krümmung wird mit anderen Methoden
untersucht.
7) Variationstabelle
8) Skizze
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 55/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
(4) Wurzelfunktionen
Beispiel 3
f (x) = 1 − x 2
1) D f = [−1, +1]
2) f (− x ) = 1 − (− x )2 = f ( x )
3) f ( 0 ) = 1 ⇒ S ( 0 1)
f ( x ) = 1 − x 2 = 0 ⇒ x1,2 = ±1, N1,2 ( ±1 0 )
4) KeineDL, keine RP, keine Asymptoten
5)-7)
f ( x ) ist differenzierbar als Verkettung
elementarer Funktionen und y = f ( x ) muß
aufgrund der Symmetrie eine Rechtskurve
sein !
8)Skizze/ andere Lösung
f ( x ) = y = 1 − x2 ⇒ y 2 = 1 − x2
⇒ x 2 + y 2 = 1, y > 0
Halbkreis mir Radius 1.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 56/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
(5) Exponential- und Logarithmusfunktionen
Beispiel 4) f ( x ) = x ⋅ ln (1 + x )
1) Df = ( −1, ∞ )
2) keine Symmetrien
3) y = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S (0 / 0)
4) Asymptoten
f ( −1 + 0 ) = lim x ln (1 + x ) =
x →−1
( −1) ⋅ ln ( +0 ) = ( −1) ⋅ ( −∞ ) = ∞
⇒ x = −1 (VA)
f ( x ) = lim x ln (1 + x ) = ∞ ⋅ ln ( ∞ ) = ∞
x →∞
⇒ keine Asymptote
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 57/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
5)
FOLIEN ZUR VORLESUNG
x
f ´( x ) = ln (1 + x ) +
1+ x
x
f ´( x ) = ln (1 + x ) +
=0
1+ x
x
⇒ ln (1 + x ) = −
(*)
1+ x
Die Lösung tranzendente Gleichung (*)
durch die grafische Methode.
-x/(1+x)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
-2
-1
0
Folie 58/ von 103
x
1
2
3
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
1
1
x+2
+
=
6) f ´´( x ) =
2
(1 + x ) (1 + x ) (1 + x )2
⇒ x0 = −2 ist eine einfache Nullstelle aber
kein Wendepunkt, da außerhalb von D f .
8) Skizze
Matlab und WordBefehle zur KD
M1) ezplot(‘x*log(1+x)‘)
M2) print –dbitmap D:\bild1
W3) Word/Einfügen/Grafik/AusDatei ...
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 59/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
(6) Trigonometrische Funktionen
Beispiel
f ( x) = sin 2 x − 2sin x
(Siehe auch BzM 4)
MATLAB LÖSUNGEN
1) ezplot(‘f(x)‘)
2) plot(x,y)
3) help plot, ezplot
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 60/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Das Iterationsverfahren von Newton
Algebraische vs. transzendente Gleichungen:
Beispiel 1) e = x + 2
x
Beispiel 2) cos x = x
3
x
=x
Beispiel 2)
Ergebnisse:
X = Näherungswerte xk der Nullstelle von
f (x ) ; D = Differenzen = | xk +1 − xk | ;
F = Funktionswerte = f ( xk ) ;
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 61/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
1) f ( x ) = e − x − 2
x
X=
1.00000000000000
1.14642118504301
1.14619322062058
1.16395341373865
1.14619325870450
1.14619322062058
D=
0.16395341373865
-0.00022792633851
-0.00000000000000
-0.01753222869564
-0.00000003808392
F=
-0.28171817154095
0.00048933745450
0.00000000000000
0.03861594979957
0.00000008173545
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 62/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
INTEGRALRECHNUNG
I)DEFINITION UND BEISPIELE
Inhalte
Flächenberechnung, bestimmtes Integral,
Stammfunktion, unbestimmtes Integral,
Satz von Leibnitz und Newton.
Problemstellung Berechnung von Flächen
F = F ( f ,[a, b]) = Fläche zwischen
x = a, x = b, y = 0 und y = f ( x )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 63/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die geometrische Idee
1) Die Fläche wird in mehrere Abschnitte
unterteilt.
2) Die Abschnitte werden durch Rechtecke
angenähert und deren Flächen addiert.
3) Die Unterteilung wird verfeinert.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 64/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Der Formalismus
1) Die Unterteilung in n Abschnitte
gleicher Breite mit der ‚Schrittweite ‘
h = (b − a ) / n
x0 = a , x1 = a + h , ..., xn = a + n ⋅ h
2) Der Näherungswert
R1 = h ⋅ f ( x0 ) , R2 = h ⋅ f ( x1 ) ,... Rn = h ⋅ f ( xn −1 )
n
Fn = ∑ Rk = R1 + R2 + R3 + ..... + Rn
k =1
n
Fn = ∑ h ⋅ f ( xk −1 ) Riemann Summe
k =1
n
Fn = ∑ ( xk − xk −1 ) ⋅ f ( xk −1 )
k =1
3) Der Grenzwert F = lim Fn
n →∞
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 65/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
Definition
b
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Bestimmtes Integral
n
∑ ( xk − xk −1 ) ⋅ f ( xk −1 )
∫ f ( x ) dx = lim
n →∞
k =1
a
Satz
Falls f ( x ) ≥ 0
b
∀x ∈ [ a, b ]
n
⇒ F = ∫ f ( x ) dx = lim ∑ ( xk − xk −1 ) ⋅ f ( xk −1 )
a
n →∞
k =1
Frage Welche praktische Methoden gibt es
für die Berechnung des Grenzwertes ?
Antwort Satz von Leibnitz und Newton
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 66/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Definition F ( x ) ist eine Stammfunktion
von f ( x ) ⇔ F ´( x ) = f ( x ) , ∀x
Satz von Leibnitz und Newton
(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
1) Ist F ( x ) eine Stammfunktion von f ( x ) ,
b
dann gilt
∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .
a
2) Die Ableitung der Flächenfunktion
F ( x) = F ( f ,[a, x]) ist die Funktion der
Begrenzungskurve y = f ( x) d.h.
d
F ( x) = f ( x) .
dx
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 67/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die Flächenberechnung wurde damit
zurückgeführt auf das Problem der
Berechnung von Stammfunktionen.
Definition Das unbestimmte Integral ist
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
wobei F ( x ) eine Stammfunktion von f ( x )
ist und C ∈ .
Bemerkung Das unbestimmte Integral ist
die Menge aller Stammfunktionen von f .
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 68/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiele
1) f ( x ) = 2 x
F ( x ) = x 2 , F1 ( x ) = x 2 + 5, F2 ( x ) = x 2 − 100
2
2
xdx
=
x
+ C = F ( x) + C , C ∈ R .
∫
2) f ( x ) = x3 − x . Berechnen Sie
a) das unbestimmte Integral ∫ f ( x ) dx .
2
b) das bestimmte Integral
∫ f ( x ) dx .
−1
c) die Fläche F zwischen x = −1 , x = 2 .
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 69/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Lösung
1 4 1 2
a) ∫ ( x − x ) dx = x − x + C
4
2
3
b)
2
1 4 1 2⎤
⎡
∫ ( x − x )dx = ⎢⎣ 4 x − 2 x ⎥⎦ −1 =
3
1
4
2 ⎞⎤
⎡⎛ 1 4 1 2 ⎞ ⎛ 1
⎢⎣⎜⎝ 4 2 − 2 2 ⎟⎠ − ⎜⎝ 4 ( −1) − 2 ( −1) ⎟⎠ ⎥⎦ =
1⎞
1 9
⎛
( 4 − 2) − ⎜ − ⎟ = 2 + =
4 4
⎝ 4⎠
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 70/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c)
6
5
4
3
2
1
0
−3
F1 =
0
∫(
−1
−2
−1
0
1
2
3
4
0
)
1 4 1 2⎤
⎡
x − x dx = ⎢ x − x ⎥
2 ⎦ −1
⎣4
3
1
1⎞ 1
4 1
2⎞
⎛
⎛
= − ⎜ ( −1) − ( −1) ⎟ = − ⎜ − ⎟ =
2
⎝4
⎠
⎝ 4⎠ 4
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 71/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
1
(
FOLIEN ZUR VORLESUNG
1
)
(
)
F2 = ∫ x3 − x dx = ∫ x − x3 dx
0
0
1
1 2 1 4⎤
1 1 1
⎡
=⎢ x − x ⎥ = − =
4 ⎦0 2 4 4
⎣2
oder
1
(
)
F2 = ∫ x3 − x dx =
0
1
∫(
)
x3 − x dx
0
1
1 4 1 2⎤
1 1
1 1
⎡
=⎢ x − x ⎥ = − =− =
2 ⎦0 4 2
4 4
⎣4
2
F3 = ∫
1
(
2
)
1 4 1 2⎤
⎡
3
x − x dx = ⎢ x − x ⎥
2 ⎦1
⎣4
⎡⎛ 1 4 1 2 ⎞ ⎛ 1 4 1 2 ⎞ ⎤
= ⎢⎜ 2 − 2 ⎟ − ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎥
2 ⎠ ⎝4
2 ⎠⎦
⎣⎝ 4
1⎞
1
⎛
= ( 4 − 2) − ⎜ − ⎟ = 2
4
⎝ 4⎠
3 11
F = F1 + F2 + F3 = 2 = .
4 4
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 72/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die Fläche zwischen zwei Kurven
b
F = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 73/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
II) RECHENREGELN
Integrale elementarer Funktionen
1 α +1
+ c , α ≠ −1
1. ∫ x dx =
x
α +1
1
2. ∫ dx = ln x + c
x
3. ∫ sin xdx = − cos x + c
α
4. ∫ cos xdx = sin x + c
dx
5. ∫
= arcsin x + c
1 − x2
dx
= arctan x + c
6. ∫
2
1+ x
1 x
x
7. ∫ a dx =
a +c
ln a
8. ∫ e x dx = e x + c
Tipp: Gedächtnistraining !
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 74/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übungen
∫
1)
=∫
x x
x
2
1
−
x 2 dx
dx = ?
1
=2 x 2
+c = 2 x+c
2)
x −1
∫ x x dx = ?
(
)
1 ⎞
⎛ x
−1/ 2
−3 / 2
dx
x
x
dx
= ∫⎜
−
=
−
⎟
∫
⎝x x x x⎠
= ∫x
=
−
1
2x2
1
2
dx − ∫ x
+ 2x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
−
1
2
−
3
2
dx =
1
2x2
− ( −2 ) x
−
1
2
1 ⎞
⎛
+ c = 2⎜ x +
⎟+c
x⎠
⎝
Folie 75/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
3)
e x − e− x
1
x
−x
sinh
=
=
−
xdx
dx
e
dx
e
dx
∫
∫ 2
∫
∫
2
1⎡ x
−x ⎤ 1 ⎡ x
= ⎣ e − ( −1) e ⎦ = ⎣ e + e− x ⎤⎦ = cosh x + c
2
2
(
)
4)
∫ ( x + 2)
3
dx = ?
= ∫ ( x3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ x ⋅ 22 + 23 )dx
1 4
1 3
= x + 6 ⋅ x + 12 ⋅ x 2 + 8 ⋅ x + c
4
3
1 4
= x + 2 ⋅ x3 + 12 ⋅ x 2 + 8 ⋅ x + c
4
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 76/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Elementare Integrationsregeln
1)
∫ c ⋅ f ( x ) dx = c ⋅ ∫ f ( x ) dx
2)
∫ [ f ( x ) + g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
3)
4)
5)
b
a
a
b
∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
c
b
c
a
a
b
b
b
b
a
a
a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = .....
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 77/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
x
d
6)
f ( t ) dt = f ( x )
∫
dx a
7)
d
f ( x ) dx = f ( x )
∫
dx
8)
⎡ d f x ⎤ dx = f x + c
( )
∫ ⎢⎣ dx ( )⎥⎦
Bemerkung
Integration und Ableitung
sind inverse Operationen.
Übungen
(
(
)
)
(
)
3 x
3 x
d
2
2
1)
x + 1 e dx = x + 1 e
∫
dx
2
3 x
d
2
2) ∫ x + 1 e dx =0
dx 1
Jedes bestimmte Integral ist eine Zahl und
die Ableitung einer Zahl ist Null.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 78/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
III) INTEGRATIONSMETHODEN
A) Integration durch Substitution
∫ ( x + 2)
100
dx = ?
Idee
1) Substitution: u = x + 2
du
2) u´=
=1⇒
dx
du = dx
1 101
3) ∫ u du =
u +c
101
100
4) Rücksubstitution:
1
100
101
∫ ( x + 2 ) dx = 101( x + 2 ) + c
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 79/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
Beispiel 2)
FOLIEN ZUR VORLESUNG
∫ ( 2 x + 5)
100
dx = ?
1) u = 2 x + 5
1
du
2) u´=
= 2 , dx = du
dx
2
1 100
1 101
100 1
du = ∫ u du =
u +c
3) ∫ u
2
2
202
1
100
101
4) ∫ ( 2 x + 5 ) dx =
( 2 x + 5) + c
202
Beispiel 3)
2
sin
x
cos
xdx = ?
∫
1) u = cos x
1
du
2) u´=
= − sin x , dx = −
⋅ du
sin x
dx
3)
1 ⎞
1 3
2 ⎛
2
∫ sin x ⋅ u ⋅ ⎜⎝ − sin x ⎟⎠ du = − ∫ u du = − 3 u + c
1 3
4) ∫ sin x cos xdx = − cos x + c
3
2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 80/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Hausaufgabe
1.
∫ sin(2 x − π ) dx = ?
2.
− (2 x +1)
e
dx = ?
∫
3*.
ln x
∫ x dx = ?
4*. ∫ x ⋅ e
− x2
dx = ?
5. Alte Prüfungsaufgaben bis WS2005/06
*Tipp I = ∫ g ( f ( x ) ) ⋅ f ´( x ) dx
Durch die Substitution u = f ( x ) wird die
Berechnung von I zurückgeführt auf die
Berechnung von ∫ g ( u ) du .
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 81/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Übungen
ln x
(1) ∫
dx = ?
x
Der Formalismus
1) u = f ( x ) = ln x
du 1
= ⇒
2) u´=
dx x
dx = xdu
3) + 4)
ln x
1 2 1 2
u
∫ x dx = ∫ x xdu = ∫ udu = 2 u = 2 ln x
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 82/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
B) Integration gebrochen rationaler
Funktionen durch Partialbruchzerlegung
(PBZ)
Das Problem
Pn ( x )
∫ Q ( x ) dx = ?
m
Pn ( x )
Qm ( x )
Polynom vom Grad n
Polynom vom Grad m
Das Verfahren
1.
2.
n≥m
Polynomdivision
Partialbruchzerlegung (PBZ)
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 83/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiel 1
x2 + 1
∫ x + 1 dx = ?
Lösung
1. Polynomdivision
x2 + 1
2
= x −1+
x +1
x +1
D
R
=Q+
d
d
5
2
Ähnlich wie: = 1 +
3
3
2. Integration
x2 + 1
2 ⎞
⎛
∫ x + 1 dx = ∫ ⎜⎝ x − 1 + x + 1 ⎟⎠ dx
1 2
= x − x + 2ln x + 1 + c
2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 84/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Satz
Jedes Integral einer gebrochen rationalen
Funktion kann auf die folgende 3 Typen
zurückgeführt werden.
1
Typ A: ∫
dx = ln x − x0
x − x0
1
1
Typ B: ∫
dx = −
2
x − x0
( x − x0 )
Ax + B
Typ C: ∫ 2
dx = ln(...) + arctan(...)
ax + bx + c
für Δ = b 2 − 4ac < 0 (Formelsammlung)
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 85/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiel 2
x
∫ x 2 − 1 dx = ?
Lösung
1. Polynomdivision entfällt.
2. Partialbruchzerlegung
a) Faktorisierung des Nenners
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
b) Ansatz für PBZ
x
A
B
=
+
( x + 1)( x − 1) ( x − 1) ( x + 1)
mit Koeffizienten A, B ∈ R .
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 86/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c) Berechnung der Koeffizienten
x
A
B
=
+
( x + 1)( x − 1) ( x − 1) ( x + 1)
⇒ x = A ( x + 1) + B ( x − 1)
Berechnung durch die ‚Grenzwertmethode‘
x =1⇒
x = −1 ⇒
1 = 2A ⇒
−1 = − 2 B ⇒
A = 1/ 2
B = 1/ 2
x
1
1
⇒
=
+
( x + 1)( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x + 1)
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 87/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
d) Integration
x
x
∫ x 2 − 1 dx = ∫ ( x + 1)( x − 1) dx =
1 1
1 1
1
1
= ∫
dx + ∫
dx = ln x − 1 + ln x + 1
2 x −1
2 x +1
2
2
1
1
= ln x − 1 ⋅ x + 1 = ln x 2 − 1 + c
2
2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 88/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiel 3
dx
∫ x3 + x = ?
Lösung
a) Faktorisierung
x 3 + x = x ( x 2 + 1)
b) Ansatz für PBZ
A Bx + C
= + 2
2
x ( x + 1) x x + 1
1
A, B, C ∈ R .
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 89/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c) Berechnung der Koeffizienten
A Bx + C
= + 2
2
x ( x + 1) x x + 1
1
⇒ 1 = A ( x 2 + 1) + ( Bx + C ) x
Berechnung durch Koeffizientenvergleich
1 = Ax 2 + A + Bx 2 + Cx
⇒ 1 = ( A + B ) x 2 + Cx + A , ∀x ∈ R
⇒ 0 x 2 + 0 x + 1 = ( A + B ) x 2 + Cx + A
⇒ A + B = 0 , C = 0 , A = 1.
⇒ A = 1, B = −1, C = 0 .
1
1
x
⇒
= − 2
2
x ( x + 1) x x + 1
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 90/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
d) Integration
dx
1
1
x ⎞
⎛
∫ x3 + x = ∫ x ( x 2 + 1) dx = ∫ ⎝⎜ x − x 2 + 1 ⎠⎟ dx
dx
x
1
= ∫ − ∫ 2 dx = ln x − ln( x 2 + 1) + c
x
x +1
2
x
= ln
+c
2
x +1
Probe ! Ableiten; Matlab: int(‘1/(x^3+x)‘)
Detailrechnung
x
Das Integral ∫ 2 dx (Typ C) kann mit
x +1
der Substitutionsmethode berechnet oder
einer
Formelsammlung
entnommen
werden.
z.B. BzM 5 Integral 20+21
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 91/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die Anwendung der Integralformeln
Integral 21
x
∫ ax 2 + bx + c dx =
b
dx
1
2
ln ax + bx + c − ∫ 2
2a
2a ax + bx + c
Integral 20
dx
2
2ax + b
∫ ax 2 + bx + c = Δ arctan Δ
Die Anwendung der Integralformeln für
a = 1, b = 0, c = 1, d = 1; Δ = −4 < 0
x
1
2
ln
dx
=
x
+1
∫ x2 + 1
2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 92/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Ansätze für PBZ
Nennfaktor
x − x0
( x − x0 )
2
ax 2 + bx + c
( Δ = b 2 − 4ac < 0 )
(ax 2 + bx + c) 2
( Δ = b 2 − 4ac < 0 )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Ansatz
A
x − x0
Bsp
A
B
+
x − x0 ( x − x0 )2
4
Ax + B
ax 2 + bx + c
2,3
3
Ax + B
+
2
ax + bx + c
Cx + D
(ax 2 + bx + c) 2
Folie 93/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
Beispiel 4
FOLIEN ZUR VORLESUNG
x+2
∫ x3 + x 2 − x − 1dx
Lösung
a) Faktorisierung 1
x 3 + x 2 − x − 1 = x 2 ( x + 1) − ( x + 1)
= ( x + 1) ( x 2 − 1) = ( x + 1) ( x − 1)
2
Faktorisierung 2
(Nullstellen, Polynomdivision)
b) Ansatz für PBZ
x+2
A
B
C
=
+
+
2
2
x
−
1
x
+
1
( x + 1) ( x − 1)
( x + 1)
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 94/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
c) Berechnung der Koeffizienten
x + 2 = A ( x + 1) + B ( x + 1)( x − 1) + C ( x − 1)
2
x + 2 = A ( x 2 + 2 x + 1) + B ( x 2 − 1) + C ( x − 1)
x + 2 = Ax 2 + Ax + A + Bx 2 − B + Cx − C
x + 2 = ( A + B ) x2 + ( 2 A + C ) x + ( A − B − C )
⇓
⎧ A +B = 0
⎪
C =1
⎨2A +
⎪ A - B - C =2
⎩
Lösung des LGS z.B. mit
Eliminationsverfahren von Gauß.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 95/ von 103
dem
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
⎛ 1 1 0 0⎞ ⎛ 1 1 0 0⎞
⎜ 2 0 1 1 ⎟ ⎜ 0 −2 1 1 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 −1 −1 2 ⎟ ⎜ 0 −2 −1 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
A = 3/ 4
⎛ 1 1 0 0⎞ ⎧
⎜ 0 −2 1 1 ⎟ ⇒ ⎪
B = −3/ 4
⎨
⎜
⎟
⎜ 0 0 −2 1 ⎟ ⎪C = −1/ 2
⎝
⎠ ⎩
⇓
x+2
3 1
3 1
1 1
=
−
−
2
2
4
1
4
1
2
x
x
−
+
( x + 1) ( x − 1)
( x + 1)
⇓
x+2
3
3
∫ ( x + 1)2 ( x − 1) dx = 4 ln x − 1 − 4 ln x + 1
1 ⎛ 1 ⎞ 3 x −1 1 1
− ⎜−
+
+c
⎟ = ln
2 ⎝ x + 1⎠ 4 x + 1 2 x + 1
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 96/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
C) Uneigentliche Integrale (UI)
Definition - UI 1. Art
b
t
a
a
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx wenn
t →b −0
f (b − 0) = ±∞
(analog für f (a + 0) = ±∞ )
Beispiele
2
dx
0
4− x
1) ∫
2
2
dx
2) ∫ 2
1 x −1
Skizze, Berechnung, Konvergenz !
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 97/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Definition - UI 2. Art
∞
t
a
t →∞ a
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx, (b = +∞)
(und analog für a = −∞ )
Beispiele
3
dx
1) ∫
2
+9
x
− 3
∞
dx
2) ∫
2
+9
x
−∞
∞
1
dx
3) ∫
2
0 cosh x
∞
4) ∫ cosh x dx
−∞
Berechnung, Konvergenz, Skizze * !
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 98/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
D) Numerische Integration (Trapezregel)
Skizze !
1) Die Unterteilung in n Abschnitte
gleicher Breite mit der ‚Schrittweite ‘
h = (b − a ) / n
x0 = a , x1 = a + h , ..., xn = a + n ⋅ h
2) Der Näherungswert:
T = T1 + T2 + L + Tn ⇒
y0 + y1
yn −1 + yn
y1 + y2
T =h
+h
+L+ h
2
2
2
h
⇒ T = ( y0 + 2 y1 + K + 2 yn −1 + yn ) ⋅
2
wobei ⇒ yk = f ( xk )
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 99/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Die Trapezregel
b
f ( x) > 0, ∀x ∈ [a, b] ⇒ ∫ f ( x)dx = T + ET
a
wobei
h
T = ( y0 + 2 y1 + K + 2 yn −1 + yn ) ⋅
2
der Näherungswert des Integrals und ET
der Fehler des Verfahrens ist, der die
folgende Abschätzungseigenschaft besitzt:
| ET |< c ⋅ h .
2
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 100/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
Beispiele
2
1
1) ∫ dx = 0,693771
1 x
für n = 10 mit ET < 0,001.
1
2) ∫ e
−x
1
2
dx
0
sin x
dx
3) ∫
0 x
Bemerkung: für 2) , 3) und viele andere
wichtige bestimmte Integrale, ist die
Berechnung der Stammfunktion mit Hilfe
elementarer Funktionen in geschlossener
Form nicht möglich.
Diese Integrale werden ’numerisch’ mit
Hilfe der Trapezregel und anderer
Näherungsverfahren berechnet.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 101/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
III) ANWENDUNGEN
DER INTEGRALRECHNUNG
A) Flächen
Die Fläche zwischen zwei Kurven
b
F = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 102/ von 103
FHT Esslingen
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG
FOLIEN ZUR VORLESUNG
B) Volumen von Rotationskörpern
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Folie 103/ von 103
FHT Esslingen