Dienstag 10.2.2009

Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009
Dienstag 10.2
$Id: stetig.tex,v 1.5 2009/02/10 17:31:38 hk Exp $
$Id: diffb.tex,v 1.2 2009/02/10 17:50:21 hk Exp hk $
III. Analysis
§13
Stetige Funktionen
13.4
Umkehrfunktionen
Zum Abschluss dieses Paragraphen wollen wir nun noch die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, in ihrer reellen und ihrer komplexen Form, besprechen. Wir gehen
wieder von der Definition der Exponentialfunktion über ihre Potenzreihe
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+ ···
2!
3!
1. Als durch eine Potenzreihe gegebene Funktion ist die Exponentialfunktion stetig.
2. Für alle x, y ∈ R, und auch alle x, y ∈ C, gilt die Gleichung ex+y = ex ey . Dieses
hatten wir über die Berechnung des Cauchyprodukts der definierenden Potenzreihen eingesehen.
3. Als eine Folgerung ergab sich ex 6= 0 und e−x = 1/ex für jedes x ∈ R, und auch
jedes x ∈ C.
4. Es gelten limx→−∞ ex = 0 und limx→∞ ex = ∞.
Aus diesen Fakten werden wir nun einige weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion herleiten. Zunächst zeigen wir ex > 1 für alle x ∈ R mit x > 0. Ist nämlich x > 0,
so gilt xn > 0 für jedes n ∈ N, und somit ist auch
ex = 1 + x +
x2
+ · · · > 1.
2!
Insbesondere ist auch ex > 0 für alle x ∈ R, denn für x > 0 haben wir dies eben
eingesehen, für x = 0 ist ex = 1 und für x < 0 haben wir auch ex = 1/e−x > 0. Damit
ist es nun leicht zu zeigen, daß die Exponentialfunktion auch streng monoton steigend
ist. Seien nämlich x, y ∈ R mit x < y gegeben. Dann ist y − x > 0 und wir rechnen
ey = ex+y−x = ex ey−x > ex .
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Nach unserem Satz über Umkehrfunktionen ist das Bild
exp(R) ein Intervall mit den Randpunkten limx→−∞ ex =
0 und limx→∞ ex = ∞, also gleich (0, ∞), und wir haben
eine stetige Umkehrabbildung
ln : (0, ∞) → R
1
x
1
2
3
4
5
0
–1
–2
genannt der natürliche Logariathmus. Der Zusatz natürlich“ wird dabei in mathe”
matisch orientierten Texten oft weggelassen, da sowieso keine anderen Logarithmen
betrachtet werden. In der Tat schreiben Mathematiker oft auch log für den natürlichen
Logarithmus, während log in anderen Zusammenhängen oftmals den Logarithmus zur
Basis 10 bedeutet. Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion folgen nun entsprechende Eigenschaften des Logarithmus. Da die e-Funktion streng monoton steigend
ist, ist auch der Logarithmus streng monoton steigend. Wegen limx→−∞ ex = 0 und
limx→∞ ex = ∞ gelten
lim ln x = −∞ und
x→0
lim ln x = ∞.
x→∞
Weiter überführt der Logarithmus Produkte in Summen. Sind nämlich x, y ∈ R mit
x, y > 0, so haben wir
eln(x)+ln(y) = eln x eln y = x · y,
also
ln(x · y) = ln x + ln y.
Diese Eigenschaften wurde (sehr viel) früher in den sogenannten Rechenschiebern ausgenutzt. Da die Potenz xn das n-fache Produkt von x mit sich selbst ist, ergibt sich
weiter ln(xn ) = n · ln x für alle n ∈ N, x > 0. Außerdem folgt für jedes x > 0 noch
1
1
0 = ln 1 = ln x ·
= ln x + ln
,
x
x
beziehungsweise
1
ln
= − ln x.
x
Wir hatten bereits bemerkt, dass limx→∞ ln x = ∞ ist, allerdings ist diese Konvergenz
sehr langsam. Mit wachsenden x steigen die Logarithmen nur sehr gemächlich an. Um
dies zu illustrieren, wollen wir uns einmal überlegen, das die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern der Folge (ln n)n∈N immer kleiner werden, also eine Nullfolge
bilden. In der Tat gilt für jedes n ∈ N die Gleichung
1
n+1
1
ln(n + 1) − ln(n) = ln(n + 1) + ln
= ln
= ln 1 +
n
n
n
und mit der Stetigkeit des Logarithmus folgt
1
1
lim (ln(n + 1) − ln(n)) = lim ln 1 +
= ln lim 1 +
= ln(1) = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
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Formal werden beliebige reelle Potenzen durch eine Kombination von Exponentialfunktion und Logarithmus definiert
ax := ex·ln a
(a, x ∈ R, a > 0).
Für den Logarithmus zur Basis a, also der Umkehrfunktion von x 7→ ax folgt hieraus
loga y =
ln y
ln a
für alle a, y > 0, denn y = ax = ex ln(a) ist zu x · ln(a) = ln(y) gleichwertig. Wir
wollen den Logarithmus jetzt auch noch auf komplexe Argumente ausdehnen. Dies
funktioniert nicht als Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion selbst, wir
hatten ja bereits gesehen das diese periodisch mit Periode 2πi, also sicher nicht injektiv
ist. Wann gilt nun ez = ew für komplexe Zahlen z, w? Zunächst wollen wir hierzu alle
z ∈ C mit ez = 1 bestimmen. Setze dazu z = x + iy an. Wegen |ez | = ex kommt nur
x = 0 in Frage, also z = iy. Dann ist ez = cos y + i sin y, die beiden Bedingungen sind
also
cos y = 1,
sin y = 0.
Die zweite Gleichung hat genau die Lösungen y = nπ mit n ∈ Z. Eingesetzt in der
ersten Gleichung wird diese zu 1 = cos y = cos(nπ) = (−1)n , d.h. die Zahl n muss
gerade sein. Damit haben wir
ez = 1 ⇐⇒ z = 2πni für ein n ∈ Z.
Für z, w ∈ C folgt weiter
ez = ew ⇐⇒ ez−w =
ez
= 1 ⇐⇒ z = w + 2πin für ein n ∈ Z.
ew
Zwei komplexe Zahlen haben also genau dann denselben Wert unter der Exponentialfunktion, wenn sie sich um ein Vielfaches von 2πi unterscheiden. Schränken wir also
die Exponentialfunktion auf den Streifen
U := {x + iy|x ∈ R, −π < y < π}
ein, so wird exp : U → C injektiv, da in U keine zwei Elemente liegen, deren Imaginärteile sich um echte Vielfache von 2π unterscheiden.
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y = Im z
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y = 3π
y= π
U
x = Re z
y = −π
y = −3π
Die Menge U ist der angedeutete waagerechte Streifen, und die Werte der Exponentialfunktion wiederholen sich in jedem der unter diesem und über diesem liegenden
Streifen. Auf U eingeschränkte hat die e-Funktion somit eine Umkehrfunktion. Der
Definitionsbereich dieser Unkehrfunktion ist das Bild exp(U ) ⊆ C unseres Streifens,
das wir nun berechnen wollen. Zunächst wissen wir
exp(C) = C\{0}
da wir wegen exp(x + iy) = ex (cos y + i sin y) jede komplexe Zahl als Bild erreichen,
deren Länge sich als ex schreiben läßt, also nicht Null ist. Da die Exponentialfunktion
die Periode 2πi hat, werden fast alle diese Werte schon im Streifen U angenommen,
die einzigen Ausnahmen sind die Werte ez bei denen z auf einer der waagerechten
Linien Im z = ±π liegt. Erneut aufgrund der Periodizität können wir uns auf Im z = π
beschränken, also auf z = t + πi mit t ∈ R. Für jedes t ∈ R gilt nun
et+iπ = et · (cos π + i sin π) = −et ,
also
{ez |z ∈ C, Im z = π} = {−et |t ∈ R} = (−∞, 0)
und somit ist
exp(U ) = (C\{0})\(−∞, 0) = C\R≤0 =: C−
die sogenannte geschlitzte Ebene“. Damit ist exp : U → C− bijektiv, und wir erhalten
”
den komplexen Logarithmus als die Umkehrfunktion
ln := (exp |U )−1 : C− → C.
Dieser Logarithmus ist der sogenannte Hauptwert, oder auch Hauptzweig, des Logarithmus. Anstelle von U hätten wir auch irgendeinen anderen waagerechten Streifen
der Höhe 2π verwenden können, er müsste nicht einmal parallel zur x-Achse verlaufen.
Dies würde uns andere Werte des komplexen Logarithmus“ liefern. Abgesehen von
”
speziellen Situationen ist der Hauptwert die meistens verwendete Form des komplexen
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Logarithmus. Die explizite Berechnung ist einfach. Schreiben wir z = reiφ ∈ C− in
Polarkoordinaten mit r > 0, −π < φ < π, so ist
ln z = ln r + iφ.
Dass die Berechnung der Polarkoordinaten einer komplexen Zahl z leicht möglich ist,
haben wir dabei in §4 gesehen. Das analytische Gebirge sowie der komforme Plot des
Logarithmus für z = x + iy, −2 ≤ x, y ≤ 2 sind:
3
2
3
1
2
–2.5
1
0
–2
–2
–1.5
–1
–0.5
0.5
1
–1
–2
–1
–1
y
–2
0
0
1
x
1
–3
2
2
Zur Warnung wollen wir abschließend an einem Beispiel zeigen, dass der komplexe
Logarithmus sich leider nicht ganz so gut verhält, wie wir es vom reellen Logarithmus
gewöhnt sind. Wir hatten bereits bemerkt, dass ln(xy) = ln x + ln y für alle reellen
Zahlen x, y > 0 gilt. Für den komplexen Logarithmus ist dies nicht uneingeschränkt
wahr, d.h. sind z, w ∈ C− so ist im Allgemeinen ln(zw) 6= ln z + ln w. Zum einen muss
natürlich überhaupt zw ∈ C− sein, aber dies reicht nicht aus.
Wir betrachten
1√
1√
2+
2 i.
2
2
Der Logarithmus von z berechnet sich dann zu
3
z = w = e 4 πi = −
z
3
ln z = πi.
4
Auf der anderen Seite ist
2
1√
1
2
z =
2(i − 1) = (−1 + 1 − 2i) = −i.
2
2
In Polarkoordinaten ist z 2 = −i = e−iπ/4 , also
π
3
ln(z 2 ) = ln(−i) = − i 6= πi = 2 ln z.
2
2
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φ
2
z
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In diesem Beispiel ist auch klar wo das Problem liegt. Multiplikation komplexer Zahlen
bedeutet Multiplikation der Längen und Addition der Winkel, aber bei dieser Addition
kann, wie in diesem Beispiel, der Winkel aus dem Intervall (−π, π) herausrutschen, was
zu diesem Sprung des Logarithmus führt. Dies kann beispielsweise nicht passieren wenn
wir uns auf Winkel zwischen −π/2 und π/2 beschränken, also auf komplexe Zahlen in
der rechten Halbebene. Sind also z, w ∈ C mit Re z > 0 und Re w > 0, so gilt stets
ln(zw) = ln(z) + ln(w).
Genau wie der reelle Logarithmus zur Definition beliebiger reeller Potenzen benutzt
werden kann, kann der komplexe Logarithmus zur Definition komplexer Potenzen verwendet werden. Wir führen dies zunächst für Wurzeln, also für hoch 1/2 vor. Für
z ∈ C− definieren wir
√
1
z := e 2 ln z .
Dann gilt auf jeden Fall
√
2
z = e
1
2
ln z
2
1
= e2· 2 ln z = eln z = z,
√
aber im Allgemeinen leider nicht z 2 = z. Ist zum Beispiel wieder z = e3πi/4 , so haben
wir
√
√
1
π
1√
1√
z 2 = −i = e 2 ln(−i) = e− 4 i =
2−
2 i = −z.
2
2
√
√ √
Anders gesagt ist
hier
z
·
z
=
6
√
√ √ z · z. Für z, w ∈ C mit Re z > 0 und Re w > 0 gilt
dagegen immer zw = z · w. Allgemeine komplexen Potenzen werden durch
z w := ew·ln z
(w ∈ C, z ∈ C− )
definiert. Beispielsweise ist dann
π
ii = ei·ln(i) = ei·i 2 = e−π/2 .
§14
Differenzierbare Funktionen
14.1
Differenzierbarkeit und Differenzenquotienten
Jetzt sind wir in der Lage, die Differenzierbarkeit einer auf einem reellen Intervall I
definierten Funktion f : I → R einzuführen. Sei x ∈ I ein Punkt des Intervalls, und wir
wollen die Ableitung von f in x definieren. Es gibt mindestens drei verschiedene, aber
natürlich gleichwertige, Methoden f 0 (x) einzuführen. Wir beginnen mit der geometrischen Beschreibung. Hier betrachten wir Punkte y ∈ I verschieden von x, also y 6= x,
und bilden die Verbindungsgerade der beiden Punkte (x, f (x)) und (y, f (y)), dies ist
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sozusagen eine Sekante der Kurve y = f (x). Die Steigung dieser Sekante ist durch den
sogenannten Differenzenquotienten
f (y) − f (x)
y−x
gegeben. Lassen wir jetzt y gegen x konvergieren, so sollte die Steigung dieser Sekanten
gegen die Steigung der Tangente an y = f (x) im Punkte x konvergieren, und diesen
Grenzwert, sofern er existiert nennen wir dann die Ableitung von f in x
f (y) − f (x)
.
y→x
y−x
f 0 (x) := lim
In einer etwas exakteren Formulierung definieren wir dann die Tangente von y = f (x)
im Punkte x als die Gerade der Steigung f 0 (x) durch den Punkt (x, f (x)).
Die zweite Beschreibung ist die Definition der Ableitung als Änderungsrate in einem
Punkte. Hier denken wir uns x als Zeit, und die Funktion f (x) als eine sich mit der Zeit
ändernde Größe. Die relative Änderung des Wertes f (x) in einem kleinen Zeitraum h
ist dann der Quotient
f (x + h) − f (x)
.
h
Lassen wir den Zeitabschnitt h hier klein werden, bilden also den Grenzwert h → 0,
so ergibt sich im Grenzwert die relative Änderung im Punkt x selbst, also die Änderungsrate in diesem Punkt
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h
f 0 (x) := lim
Mathematisch ist dies genau dasselbe wie die geometrische Interpretation, man muss
ja nur y = x + h schreiben. Diese Interpretation ist die wohl am häufigsten verwendete Veranschaulichung der Ableitung. Die Ableitung, also die Änderungsrate, einer
Ortskurve ist die Geschwindigkeit, deren Änderungsrate ist die Beschleunigung, und
so weiter. Die dritte Interpretation ist die Auffassung der Ableitung als eine lineare
Approximation. Hier denken wir uns die Funktion f in der Nähe des Punktes x durch
eine lineare Funktion angenähert, schreiben also
f (x + h) = f (x) + mh + fehler(h)
wobei dann üblicherweise τ (h) = fehler(h) gesetzt wird. Beachte das wir all dies als
Funktionen in h auffassen, der Punkt x ist hier fest gewählt und ändert sich nicht. Der
Fehler soll dabei natürlich einigen Bedingungen genügen. Die Minimalbedingung ist,
dass der Fehler klein wird, wenn h klein wird, es sollte also limh→0 τ (h) = 0 gelten.
Für die Ableitung ist dies noch nicht genug. Der Fehler soll nicht nur klein werden,
er soll dies proportional zu h tun, es soll also eine Abschätzung |τ (h)| ≤ A|h| mit einer Proportionalitätskonstanten A > 0 gelten. Auch dies ist für die Differenzierbarkeit
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noch nicht gut genug. Differenzierbarkeit bedeutet, dass man auch die Proportionalitätskonstante A beliebig klein machen kann, wenn h nur klein genug ist. Es soll also
für jede vorgegebene Proportionalitätskonstante > 0 stets |τ (h)| ≤ |h| für kleine h
sein, beziehungsweise etwas exakter soll es ein δ > 0 mit |τ (h)| ≤ |h| für alle h ∈ R
mit |h| ≤ δ geben. Da wir dies zu |τ (h)|/|h| ≤ für 0 6= h ∈ R mit |h| ≤ δ umformen
können, sehen wir das die Bedingung an den Fehler gerade
τ (h)
=0
h→0 h
lim
ist. Auch diese Interpretation ist zu den anderen beiden Differenzierbarkeitsdefinitionen
äquivalent, wobei die Steigung m der approximierenden linearen Funktion gerade m =
f 0 (x) sein muss. Dies ist leicht zu sehen, wir können die Gleichung f (x + h) = f (x) +
mh + τ (h) ja zu
f (x + h) − f (x)
τ (h)
−m=
h
h
umschreiben. Als Definition müssen wir uns für eine dieser drei Varianten entscheiden,
und wählen hierfür die zweite Methode.
Definition 14.1: Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Abbildung. Wir nennen
f in einem Punkt x differenzierbar, wenn der Grenzwert
f (x + h) − f (x)
h→0
h
f 0 (x) := lim
existiert, welcher dann als die Ableitung von f in x bezeichnet wird.
Als ein erstes Beispiel wollen wir die Funktion f (x) = x2 behandeln. Hier rechnen wir
(x + h)2 = x2 + 2xh + h2
und haben f (x + h) = (x + h)2 geschrieben als die Summe des linearen Teils x2 + 2xh
und dem Fehler τ (h) = h2 . Dann ist limh→0 τ (h)/h = limh→0 h = 0, d.h. f ist in x
differenzierbar. Die Ableitung in x ist die Steigung des linearen Teils, also
f 0 (x) = 2x.
Etwas komplizierter ist die Funktion f (x) = x3 . Hier rechnen wir
(x + h)3 = x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 ,
wir haben also den linearen Teil x3 + 3x2 h und den Fehler τ (h) = 3xh2 + h3 . Wegen
τ (h)/h = 3xh + h2 ist wieder limh→0 τ (h)/h = 0, und f ist in x differenzierbar mit der
Ableitung
f 0 (x) = 3x2 .
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Nun kommen wir zur allgemeinen Potenz f (x) = xn . Mit der binomischen Formel
rechnen wir dann
n X
n n−1
n n−k k
n
n
(x + h) = x +
x h+
x h = xn−1 + nxn−1 h + τ (h)
1
k
k=2
mit dem Fehler
τ (h) :=
n X
n
k=2
k
xn−k hk .
Dies ist zwar etwas komplizierter als in den beiden vorigen Beispielen, aber der Fehler ist
wieder nur ein Polynom in h, in dem nur die Potenzen h2 , h3 , . . . , hn vorkommen. Damit
ist auch τ (h)/h ein Polynom in dem nur die Potenzen h, h2 , . . . , hn−1 vorkommen, und
insbesondere ist limh→0 τ (h)/h = 0. Folglich ist auch f (x) = xn in x differenzierbar mit
f 0 (x) = nxn−1 .
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