Lineare Algebra II 7. Tutoriumsblatt

Lineare Algebra II
7. Tutoriumsblatt
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Kollross
Susanne Kürsten
Tristan Alex
SS 2011
31. Mai 2011
Aufgabe T1 (Skalarprodukte)
(a) Es sei V ein R-Vektorraum. Zeigen Sie, dass V mit der Abbildung
⟨·, ·⟩ : V × V → R
genau dann einen euklidischen Vektorraum bildet, wenn ⟨·, ·⟩ linear in der ersten Komponente, symmetrisch und
positiv definit ist.
(b) Es sei V ein C-Vektorraum. Zeigen Sie, dass V mit der Abbildung
⟨·, ·⟩ : V × V → C
genau dann einen unitären Vektorraum bildet, wenn ⟨·, ·⟩ linear in der ersten Komponente, hermitesch und positiv
definit ist.
Lösung:
(a) Angenommen ⟨·, ·⟩ ist linear in der ersten Komponente und symmetrisch, dann ist ⟨·, ·⟩ bereits eine Bilinearform,
denn es folgt in diesem Fall für alle λ, µ ∈ R und v , w, z ∈ V :
z, λv + µw = λv + µw, z = λ ⟨v , z⟩ + µ ⟨w, z⟩ = λ ⟨z, v ⟩ + µ ⟨z, w⟩ .
Zusammen mit der Definition von euklidischen Vektorräumen ergibt sich daraus die Behauptung.
(b) Angenommen ⟨·, ·⟩ ist linear in der ersten Komponente und hermitesch, dann ist ⟨·, ·⟩ bereits eine Sesquilinearform,
denn es folgt in diesem Fall für alle λ, µ ∈ C und v , w, z ∈ V :
z, λv + µw = λv + µw, z = λ ⟨v , z⟩ + µ ⟨w, z⟩ = λ ⟨v , z⟩ + µ ⟨w, z⟩ = λ ⟨z, v ⟩ + µ ⟨z, w⟩ .
Zusammen mit der Definition von unitären Vektorräumen ergibt sich daraus die Behauptung.
Aufgabe T2 (Eigenwerte symmetrischer Matrizen)
(a) Es sei A ∈ Mn (R) eine symmetrische Matrix (d.h. AT = A).
Zeigen Sie, dass zwei Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht aufeinander stehen (bzgl. des
Standardskalarprodukts in Rn ).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für alle Vektoren v , w ∈ Rn
⟨v , Aw⟩ = ⟨Av , w⟩
gilt.
T
(b) Es sei A ∈ Mn (C) eine Matrix mit A = A. Dabei bezeichne A diejenige Matrix, die aus A entsteht, indem man jeden
Eintrag konjugiert.
Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von A reell ist und dass zwei Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten
senkrecht aufeinander stehen (bzgl. des Standardskalarprodukts in Cn ).
Lösung:
1
(a) Seien v , w ∈ Rn beliebig. Die Definition des Standardskalarprodukts ist ⟨v , w⟩ = v T w . Daraus ergibt sich
⟨v , Aw⟩ = v T Aw = v T AT w = (Av ) T w = ⟨Av , w⟩ .
Seien nun v und w Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ und µ mit λ 6= µ, so folgt
λ ⟨v , w⟩ = ⟨λv , w⟩ = ⟨Av , w⟩ = ⟨v , Aw⟩ = v , µw = µ ⟨v , w⟩
(λ − µ) ⟨v , w⟩ = 0
⇒
λ−µ6=0
⇒
⟨v , w⟩ = 0 .
D.h. v und w stehen senkrecht aufeinander.
w.z.b.w.
(b) Seien v , w ∈ C beliebig. Die Definition des Standardskalarprodukts ist ⟨v , w⟩ = v w . Außerdem folgt aus der
Vorraussetzung A = AT . Daraus ergibt sich
n
T
⟨v , Aw⟩ = v T Aw = v T A w = v T AT w = (Av ) T w = ⟨Av , w⟩ .
Sei nun v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ C. Dann gilt
λ ⟨v , v ⟩ = ⟨λv , v ⟩ = ⟨Av , v ⟩ = ⟨v , Av ⟩ = ⟨v , λv ⟩ = λ ⟨v , v ⟩
⇒
⟨v ,v ⟩6=0
(λ − λ) ⟨v , v ⟩ = 0
⇒
λ−λ=0
⇒
λ=λ.
D.h. λ (und damit jeder Eigenwert von A) ist reell.
Seien nun v und w Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ und µ mit λ 6= µ, so folgt
λ ⟨v , w⟩ = ⟨λv , w⟩ = ⟨Av , w⟩ = ⟨v , Aw⟩ = v , µw = µ ⟨v , w⟩ = µ ⟨v , w⟩
⇒
λ−µ6=0
⇒
(λ − µ) ⟨v , w⟩ = 0
⟨v , w⟩ = 0 .
D.h. v und w stehen senkrecht aufeinander.
w.z.b.w.
Aufgabe T3 (Orthogonalisierungsverfahren)
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von span{b1 , b2 , b3 } mit
 
 
1
−1
1
 
1
 
 
b1 :=   , b2 :=  2  ,
−1
1
1
1
und
2
 
1
1
 
b3 :=  21  .
2
1
Lösung: Wir verwenden das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.
Es ergeben sich die folgenden Schritte:
€
ŠT
u1 = b1 = −1 1 −1 1
€
ŠT €
ŠT
1
u1
−1 1 −1 1 = − 21 12 − 12 21
v1 =
=p
ku1 k
(−1)2 + 12 + (−1)2 + 12
€
€
Š
ŠT
1
1 T
− 21 12 − 12 21
u2 = b2 − ⟨b2 , v 1 ⟩v 1 = 1 2 1 2 − − 21 + 41 − 12 + 14
€ 3 3 3 3 ŠT
= 4 4 4 4
€ 3 3 3 3 ŠT € 1 1 1 1 ŠT
u2
1
v2 =
=Æ
= 2 2 2 2
4
4
4
4
9
9
9
9
ku2 k
+ 16
+ 16
+ 16
16
u3 = b3 − ⟨b3 , v 1 ⟩v 1 − ⟨b3 , v 2 ⟩v 2
€
€
ŠT 1
1
− 12
= 1 2 2 1 − − 12 + 14 − 14 + 12
€1
Š
1
1
1 T
= 4 −4 −4 4
€1
u3
1
− 14 − 14
v3 =
=Æ
4
1
1
1
1
ku3 k
+ 16 + 16 + 16
16
1
2
1
4
− 12
ŠT
=
1
2
€1
2
ŠT
−
− 12
1
2
+
− 12
1
4
+
1
2
1
4
+
1
2
€
1
2
1
2
1
2
1
2
ŠT
ŠT
2
Folglich ist (v 1 , v 2 , v 3 ) eine Orthonormalbasis von span{b1 , b2 , b3 }.
Bemerkung: Die lineare Unabhängigkeit der drei gegebenen Vektoren folgt daraus, dass man beim Gram-Schmidtschen
Orthogonalisierungsverfahren drei von Null verschiedene Vektoren erhält. Alternativ kann man die lineare Unabhängigkeit auch vor dem Verfahren nachrechnen.
Aufgabe T4 (Cauchy-Schwarz Ungleichung)
Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩.
(a) In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass für alle Vektoren x, y ∈ V die Ungleichung von Cauchy-Schwarz
| x, y | ≤ kxk · k yk
gilt. Zeigen Sie, dass bei dieser Ungleichung genau dann Gleichheit gilt, wenn x und y linear abhängig sind.
(b) In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass für alle Vektoren v , w ∈ V die Dreiecksungleichung
kv + wk ≤ kv k + kwk
gilt. Wann gilt in dieser Ungleichung die Gleichheit? Zeigen Sie ihre Behauptung.
Lösung:
(a) Wenn y = 0 ist, sind x und y linear abhängig und es gilt
0 = | ⟨x, 0⟩ | = | x, y | = kxk · k yk = kxk · k0k = 0 ,
d.h. in diesem Fall gilt die zu zeigende Aussage.
Sei also im Folgenden y 6= 0.
Aus dem Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung aus der Vorlesung folgt sofort, dass die Gleichheit genau dann
gilt, wenn
x, y
0 = x − γ y, x − γ y mit γ =
y, y
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn
x − γy = 0
ist. Aus der letzten Gleichung folgt sofort, dass x und y linear abhängig sind.
D.h. wenn in der Cauchy-Schwarz Ungleichung die Gleichheit gilt, dann sind die Vektoren x und y linear abhängig.
Seien nun andersherum x und y linear abhängig. Dann existiert ein λ ∈ R mit x = λ y . Daraus folgt
λ y, y
y, y
y = λy − λ
y = λy − λy = 0 .
x − γy = λy − y, y
y, y
Es gilt also die Gleichheit in der Cauchy-Schwarz Ungleichung.
w.z.b.w.
(b) Aus dem Beweis der Dreiecksungleichung folgt, dass die Gleichheit genau dann gilt, wenn die Gleichheit in
x, y ≤ kxk · k yk
gilt. Wegen
x, y ≤ | x, y |
und der Cauchy-Schwarz Ungleichung ist das genau dann der Fall, wenn x, y ≥ 0 ist und die Gleichheit in
der Cauchy-Schwarz
gilt. Wegen Aufgabenteil (a) ist das genau dann der Fall, wenn x und y linear
Ungleichung
abhängig sind und x, y ≥ 0 ist.
Wenn x und y linear abhängig sind gibt es die Fälle
• y = 0 ⇒ x, y = 0
• Es existiert ein λ ≥ 0 mit x = λ y ⇒ x, y = y, λ y = λ y, y ≥ 0
• Es existiert ein λ < 0 mit x = λ y ⇒ x, y = y, λ y = λ y, y < 0
D.h. die Gleichheit in der Dreiecksungleichung gilt genau dann wenn y = 0 ist oder es ein λ ≥ 0 mit x = λ y gibt.
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