Formelsammlung Mathematik für Wirtschaft und Technik Wolfgang Gohout Dorothea Reimer 3., überarbeitete und erweiterte Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 55248 Professor Dr. rer. nat. Dr. rer. pol. Wolfgang Gohout Professor für Operations Research, Statistik und Mathematik Studiendekan Wirtschaftsingenieurwesen an der Hochschule Pforzheim Dr. Dorothea Reimer Akademische Oberrätin im Bereich Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler der Professur für Statistik und Ökonometrie an der Justus-Liebig-Universität Gießen 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2005 Druck 5 4 3 ISBN 978-3-8085-5524-8 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. c 2013 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald Druck: Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V =⇒ Symbole und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 =⇒ Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 =⇒ Analysis einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 =⇒ Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 =⇒ Analysis mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 =⇒ Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 =⇒ Vorwort zur 1. Auflage Gewiss, es gibt schon viele Formelsammlungen. Dennoch unterscheiden sie sich zum Teil erheblich in Umfang und Tiefe, Aufbau, Schwerpunkten, Stoffauswahl und Notation. Die vorliegende Sammlung ist in diesen Punkten abgestimmt auf die Veranstaltungen, welche die Autorin an den Fachbereichen Wirtschaftswissenschaften der Justus–Liebig–Universität in Gießen sowie an der Philipps–Universität in Marburg und der Autor im Hochschulbereich Technik der Fachhochschule Pforzheim durchführen. Sie wird als Ergänzung zur Vorlesung sowie zur Lektüre eines oder — besser — mehrerer Lehrbücher empfohlen und kann während der Klausur, aber hoffentlich auch während des weiteren Studiums und Berufslebens nützliche Hilfestellung leisten. Nach den Grundlagen der Mathematik — wie Aussagenlogik, Mengenlehre, Arithmetik und Kombinatorik — wird die Analysis von Funktionen einer Variablen behandelt. Vor der Analysis von Funktionen mehrerer Variablen wird jedoch — dem Aufbau der Vorlesungen und dem Bedarf an Notation und Kenntnissen entsprechend — die lineare Algebra vorgestellt, sodass die kompakte Vektor–Matrix–Schreibweise verwendet werden kann. Obwohl der Reihenfolge der Bereiche in einer Formelsammlung bei weitem nicht die Bedeutung zukommt wie in einem Lehrbuch, wurde hier dennoch der Versuch eines sukzessiven Aufbaus unternommen. Auf Gebiete, die über die einführende Mathematikvorlesung hinausgehen, haben die Autoren jedoch bewusst verzichtet. Nur wenige Themen sind spezifisch wirtschaftlich oder spezifisch technisch ausgerichtet. Insbesondere für Wirtschaftsingenieure sind diese Bereiche natürlich unverzichtbar. Für die Anregung zu der Entstehung der Formelsammlung wollen wir unserem gemeinsamen akademischen Lehrer, Professor Dr. Horst Rinne, herzlich danken. Weiterhin gebührt unser Dank auch unseren ehemaligen Studentischen Hilfskräften für die Erfassung des Textes: Frau Sandra Thomae sowie den Herren Matthias Bünding, Thorsten Lauterbach, Robert Nitschke, Andreas Oest, Heiko Opfer, Markus Spory und Karsten Volck. Für Fehler sind selbstredend die Autoren verantwortlich. Entsprechende Hinweise werden — auch im Namen nachfolgender Studentengenerationen — dankbar entgegengenommen. Vorwort zur 2. Auflage Die zweite Auflage dieser mathematischen Formelsammlung gab uns die Gelegenheit, Fehler auszumerzen und einige Erweiterungen im Bereich der Differenzen- und Differentialrechnungen einzubringen. Diese Erweiterungen sind von mehreren Lesern und Dozenten nachgefragt worden. Dafür und auch für die zahlreichen Verbesserungsvorschläge wollen wir uns bei unseren Lesern herzlich bedanken und sie weiterhin zu konstruktiver Kritik ermuntern. Unser Dank gilt aber auch dem Verlag Harri Deutsch für die gute Zusammenarbeit. Vorwort zur 3. Auflage Eine dritte Auflage unserer Formelsammlung ist dank der großen Nachfrage erforderlich geworden. Wir haben sie für einige Erweiterungen genutzt, wie etwa Formeln der ebenen Geometrie, die wir bisher als propädeutisches Wissen ausgeklammert beziehungsweise vorausgesetzt hatten. Sie sind jedoch von so elementarer Bedeutung, dass wir sie nun aufnehmen wollten. Weiterhin haben wir die Partialbruchzerlegung als grundlegendes Verfahren zur Integration gebrochen–rationaler Funktionen aufgenommen. Außerdem haben wir die Gelegenheit genutzt, auf ein moderneres, dem Verlagsprogramm angepasstes Layout umzustellen. Für die große Unterstützung seitens des Verlags möchten wir uns besonders bei Herrn Horn bedanken. Auch für Anregungen und Verbesserungsvorschläge unserer Leser möchten wir uns ganz herzlich bedanken und weiterhin zu künftigen Reaktionen und Kritiken ermuntern. Wolfgang Gohout [email protected] Dorothea Reimer [email protected] Inhaltsverzeichnis Symbole und Abkürzungen Mathematische Logik . . . . Mengenlehre . . . . . . . . Arithmetik und Algebra . . . Kombinatorik . . . . . . . . Relationen . . . . . . . . . . Funktionen einer Variablen . Folgen und Reihen . . . . . Analysis einer Variablen . . Lineare Algebra . . . . . . . Analysis mehrerer Variablen Griechisches Alphabet . . . Konstanten . . . . . . . . . Zahlwörter . . . . . . . . . . 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Logik . . . . . . . . . . Aussagen und Wahrheitswerte . . . . . Aussageformen . . . . . . . . . . . . . Aussagefunktionen, Wahrheitstafeln . . Quantoren und Prädikatenlogik . . . . . Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . Elemente und Mengen . . . . . . . . . Teilmengen und Potenzmenge . . . . . Mengenoperationen . . . . . . . . . . . Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . Grundlagen der Arithmetik und Algebra Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . Aufbau der Zahlenbereiche . . . . . . . Wichtige Konstanten . . . . . . . . . . Summen- und Produktoperator . . . . . Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren Vorzeichen und Betrag einer Zahl . . . Ganzer Teil und Reste einer Zahl . . . . Rechnen mit Null und Unendlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen 1.1 1.2 1.3 1 1 2 4 5 7 8 8 10 11 12 13 13 15 15 15 15 15 17 19 19 19 20 22 24 24 26 34 34 39 41 42 43 iv Inhaltsverzeichnis 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximative Nullstellenbestimmung . . . Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . Permutationen, Fakultäten . . . . . . . . . Beta-Funktion und Gamma-Funktion . . . . Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . Binomial- und Polynomialkoeffizienten . . Relationen, Ordnungen, Abbildungen . . . Kartesisches Produkt und Relation . . . . . Eigenschaften zweistelliger Relationen . . . Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung . Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . Transformationen . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . Transzendente Funktionen . . . . . . . . . Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . . Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . Weitere spezielle Reihen . . . . . . . . . . Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . Kurs- und Rentabilitätsrechnung . . . . . . Grundlagen der ebenen Geometrie . . . . . Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 48 50 53 53 56 62 63 65 69 69 71 72 73 76 80 80 82 84 87 90 101 101 102 102 104 106 106 107 108 108 111 111 113 113 114 115 116 117 119 120 120 v Inhaltsverzeichnis 2 Analysis einer Variablen 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokale Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Globale Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzen- und Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . Erste Ableitungen einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unbestimmte Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steigung, Krümmung, Extrema und Wendepunkte . . . . . . . . . Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regeln zur Herleitung weiterer Stammfunktionen . . . . . . . . . Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechteckformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sehnentrapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S IMPSON-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monte Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . Differentialgleichungen erster Ordnung mit getrennten Variablen . Spezielle substituierbare Differentialgleichungen erster Ordnung . Totale Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B ERNOULLI-Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . R ICCATI-Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . Spezielle substituierbare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 121 124 125 125 126 126 127 128 129 131 133 133 134 135 135 136 136 140 144 145 146 146 147 148 149 149 149 151 153 153 153 155 155 156 157 157 158 160 vi 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Algebra 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . Basis eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . Skalarprodukt und Metrik . . . . . . . . . . . . . . Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . Operationen zwischen Matrizen . . . . . . . . . . K RONECKER-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Matrizenoperationen . . . . . . . . . . Quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . Kongruente Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . Bedingte Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . Matrizenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung zwei- und dreireihiger Determinanten . Entwicklungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung der Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . Berechnung der allgemeinen Umkehrmatrix . . . . Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung mittels der Inversen . . . . . . . . . . . . . C RAMER-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G AUSS-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . J ORDAN-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeilenoperationsverfahren . . . . . . . . . . . . . Approximative Lösung . . . . . . . . . . . . . . . Das Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . Charakteristische Gleichung . . . . . . . . . . . . Eigenwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 161 162 163 164 165 167 168 168 170 170 171 174 175 177 179 180 180 180 182 182 182 183 184 185 186 187 188 188 188 189 191 191 191 194 196 198 198 198 199 199 vii Inhaltsverzeichnis 4 Analysis mehrerer Variablen 4.1 4.2 4.3 4.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearität und Homogenität . . . . . . . . . . Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . Partielles und totales Differential . . . . . . . Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . Vektorielles Differenzieren . . . . . . . . . . Anwendungen der Differentialrechnung . . . Extremwerte bei zwei Variablen . . . . . . . Extremwerte bei mehr als zwei Variablen . . Extremwerte unter Nebenbedingungen . . . . Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . Integrale von Funktionen zweier Variablen . . Integrale von Funktionen mehrerer Variablen Satz von F UBINI . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Doppel- und Dreifachintegrale . . . Stichwortverzeichnis 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 201 201 203 205 206 207 207 209 210 210 211 214 214 215 216 217 217 218 219 220 223 Symbole und Abkürzungen Mathematische Logik w f ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ ≡ V ∀, W ∃, ∃! A(x1 , . . ., xn ) :⇔ Wahrheitswert „wahr“ Wahrheitswert „falsch“ Negation „nicht“ Konjunktion „und“ Disjunktion „oder“ Implikation „wenn . . ., dann . . .“ Äquivalenz „. . . genau dann, wenn . . .“ logische Gleichwertigkeit Allquantor „Für alle . . .“ Existenzquantor „Es gibt ein . . .“ Eindeutiger Existenzquantor „Es gibt genau ein . . .“ n-stellige Aussagenform . . . definitionsgemäß äquivalent zu . . . Mengenlehre ∈ 6 ∈ = {, := Ω ∅, ⊂, 6⊂, $ ⊃, } {} ⊆ 6⊆ ⊇ Element von . . . nicht Element von . . . Gleichheit von Mengen Mengenklammern . . . ist definitionsgemäß gleich . . . Grundmenge aller betrachteten Objekte leere Menge Teilmenge von . . . nicht Teilmenge von . . . echte Teilmenge von . . . Obermenge von . . . 2 P(.) #, n(.), |.| ∪ ∩ \ △ A, Ac Symbole und Abkürzungen Potenzmenge von . . . Anzahl der Elemente von . . . Vereinigung Durchschnitt logische Differenz symmetrische Differenz Komplement von A Arithmetik und Algebra = ≈ 6 = > ≧, ≥ < ≦, ≤ + − · :, /, — N N0 n′ Z Z+ Z− Z+0 Z−0 |·| Q i−1 Q+ Q− Gleichheit ungefähr gleich Ungleichheit größer als größer oder gleich kleiner als kleiner oder gleich Addition „plus“ oder Vorzeichen „plus“ Subtraktion „minus“ oder Vorzeichen „minus“ Multiplikation „mal“ Division „geteilt durch“ Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .} Nachfolger von n (n′ = n + 1) Menge der ganzen Zahlen 0, ±1, ±2, . . . N = {1, 2, 3, . . .} {−1, −2, −3, . . .} N0 = {0, 1, 2, . . .} Z− ∪ {0} = {0, −1, −2, . . .} (absoluter) Betrag einer Zahl Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Kehrwert von i, 1/i positive Rationalzahlen, {p ∈ Q : p > 0} negative Rationalzahlen, {p ∈ Q : p < 0} Arithmetik und Algebra Q+0 Q−0 ± R R+ R− R+0 R−0 Q+ ∪ {0} Q− ∪ {0} plus bzw. minus Menge der reellen Zahlen Menge der positiven reellen Zahlen, {r ∈ R : r > 0} Menge der negativen reellen Zahlen, {r ∈ R : r < 0} R+ ∪ {0} R− ∪ {0} Potenz „m hoch n“ mn √ n x Wurzel „n-te Wurzel aus x“ sup M Supremum von M inf M Infimum von M C Menge der komplexen Zahlen i imaginäre Einheit, i2 = −1 iR Menge der imaginären Zahlen z zu z konjugiert komplexe Zahl (r, φ ) Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl arctan Arcustangens sin Sinus cos Kosinus π lim e γ Kreiszahl, L UDOLFsche Zahl, π ≈ 3,14159 ∑ Summenoperator ∏ exp(·) Produktoperator loga c Logarithmus von c zur Basis a ∈ R+ \{1} lg x Limes, Grenzwert E ULERsche Zahl, e ≈ 2,71828 E ULERsche Konstante, γ ≈ 0,5772 Exponentialfunktion dekadischer Logarithmus, Zehnerlogarithmus ln x natürlicher Logarithmus, Logarithmus zur Basis e ld x binärer Logarithmus, Zweierlogarithmus sign(x) Signum, Vorzeichen von x [x]G G AUSS -Klammer, größte ganze Zahl kleiner/gleich x fix(x) ganzer Teil von x (ohne Nachkommastelle) 3 4 a ≡ b mod m a 6≡ b mod m mod(a, m) m|a m∤a a n ∞ pn (x) p≡0 p(x1 , x2 , . . ., xk ) D [a, b] (a, b], ]a, b] [a, b), [a, b[ (a, b), ]a, b[ f ′ (x) f ′′ (x) max f (x) [a,b] min A max A Rb a Symbole und Abkürzungen a ist kongruent b modulo m, d. h. a und b lassen bei Division durch m denselben Rest a ist nicht kongruent b modulo m ganzzahliger Rest der Division von a durch m m ist Teiler von a m ist nicht Teiler von a Binomialkoeffizient „a über n“ unendlich Polynom vom Grad n p ist identisch null, p(x) = 0 für alle x ∈ R Polynom in den Variablen x1 , x2 , . . ., xk Diskriminante einer Gleichung abgeschlossenes Intervall von a bis b linksoffenes Intervall von a bis b rechtsoffenes Intervall von a bis b offenes Intervall von a bis b erste Ableitung der Funktion f (x) zweite Ableitung der Funktion f (x) Maximum der Funktion f (x) im Intervall [a, b] Minimum der Menge A Maximun der Menge A bestimmtes Integral Kombinatorik Φn (·) P(n) n! P(n; n1 , n2 , . . ., nk ) n n1 , n2 , . . ., nk B(·, ·) Γ(·) B p (·, ·) Permutation einer n-elementigen Menge Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung n-Fakultät, n! = 1 · 2 · . . . · n Anzahl der Permutationen mit Wiederholung Polynomialkoeffizient Beta-Funktion Gamma-Funktion unvollständige Beta-Funktion 5 Relationen I p (·, ·) n , cnj j a n γ (·, ·) Beta-Verteilungsfunktion Binomialkoeffizient, n, j ∈ N0 [4mm] allgemeiner Binomialkoeffizient, a ∈ R, n ∈ N0 unvollständige Gamma-Funktion Komplement der unvollständigen Gamma-Funktion Γ(·, ·) Gamma-Verteilungsfunktion P(·, ·) γ ⋆ (a, x) x−a · P(a, x) V (N, n) Anzahl der Variationen ohne Wiederholung V ⋆ (N, n) Anzahl der Variationen mit Wiederholung K(N, n) Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung K ⋆ (N, n) Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung min(·, ·) Minimum zweier Zahlen Relationen (a, b) geordnetes Paar (a1 , a2 , . . ., an ) n-Tupel M1 × M2 × . . . × Mn n bzw. × Mi i=1 Mn aRb Vb R Nb R V W kartesisches Produkt, Kreuzprodukt, Produktmenge n-faches Produkt von M, M n = M × M × · · · × M a steht in Relation R zu b, (a, b) ∈ R Vorbereich der Relation R Nachbereich der Relation R Nullrelation, leere Menge Allrelation R−1 Umkehrrelation a≃b a äquivalent b 6 Symbole und Abkürzungen K Klasseneinteilung, Zerlegung [a] Klasse des Repräsentanten a M/R Faktormenge, Quotient von M nach R (M, R) geordnete Menge, falls R Halbordnung auf M ≤, ⊑, ⊆ kleiner oder gleich (im Sinne einer reflexiven Ordnung) R|A Teilordnung von R in A max A größtes Element, Maximum von A sup A obere Grenze, Supremum von A min A kleinstes Element, Minimum von A inf A untere Grenze, Infimum von A K(A) Bild von A unter der Korrespondenz K K −1 (B) Urbild von B unter der Korrespondenz K D(K) W(K) Definitionsbereich der Korrespondenz K f :M→N Abbildung f von M in N G( f ) Graph von f , {(x, f (x)) : x ∈ D( f )} <, ❁, ⊂ kleiner (im Sinne einer irreflexiven Ordnung) Wertebereich der Korrespondenz K x 7→ f (x) Abbildungsvorschrift: x wird auf f (x) abgebildet f ≡z f ist identisch gleich z, ∀x : f (x) = z 1A (·) Indikatorfunktion der Menge A idA (·) identische Abbildung der Menge A f |A Einschränkung von f auf die Menge A (an )n∈A Zahlenfolge g◦ f Verknüpfung der Abbildungen f und g f −1 (y) Umkehrabbildung von f an der Stelle y f (A) Bild von A unter der Abbildung f f −1 (B) Urbild von B unter der Abbildung f |·| Mächtigkeit, Kardinalzahl ≦, ≤ Kleiner/Gleich-Relation für Kardinalzahlen < Kleiner-Relation für Kardinalzahlen ℵ Aleph, Symbol für transfinite Kardinalzahlen 7 Funktionen einer Variablen Funktionen einer Variablen f (x) Funktionswert an der Stelle x Uδ (x) δ -Umgebung von x; (x − δ , x + δ ) ⊂ R pn (x) Polynom in der Variablen x limx↓0 , limx→0+ rechtsseitiger Grenzwert (bei Null) limx↑0 , limx→0− linksseitiger Grenzwert (bei Null) sinh(·) hyperbolischer Sinus cosh(·) hyperbolischer Kosinus tanh(·) hyperbolischer Tangens coth(·) hyperbolischer Kotangens arsinh(·) Areasinus, sinh−1 arcosh(·) Areakosinus, cosh−1 artanh(·) Areatangens, tanh−1 arcoth(·) Areakotangens, coth−1 Sinus Kosinus Tangens Trigonometrische Funktionen Kotangens Sekans Kosekans sin(·) cos(·) tan(·) cot(·) sec(·) cosec(·) ∞ ∑ ... unendliche Reihe i=0 arcsin(·) Arcussinus, sin−1 arccos(·) Arcuskosinus, cos−1 arctan(·) Arcustangens, tan−1 arccot(·) Arcuskotangens, cot−1 arcsec(·) Arcussekans, sec−1 arccosec(·) Arcuskosekans, cosec−1 Zyklometrische Funktion 8 Symbole und Abkürzungen Folgen und Reihen an allgemeines Folgenglied (an ) Folge ∆ Vorwärtsdifferenzenoperator k-te Differenzenfolge (∆k an )n an → c bzw. lim an = c ) c ist Grenzwert der Folge (an ) an → ∞ bzw. lim an = ∞ ) (an ) wächst über alle Grenzen n→∞ n→∞ n n-te Partialsumme, ∑ ai sn i=1 ∞ Wert der Reihe (sn ), manchmal auch für die Reihe selbst verwendet ∑ an n=1 (an ) ∗ (bn ) Faltung der Folgen (an ) und (bn ) Analysis einer Variablen lim f (x) Grenzwert (Limes) von f (x) für x → x0 f (x) −−−−→ y0 y0 ist Grenzwert von f (x) für x → x0 lim, lim linksseitiger Grenzwert bei x0 lim, lim rechtsseitiger Grenzwert bei x0 lim , lim Grenzwert für x → ∞ bzw. x → −∞ o(g(x)) O(g(x)) ∆y ∆x klein o von g(x) groß O von g(x) x→x0 x→x0 x↑x0 x→x− 0 x↓x0 x→x+ 0 x→∞ x→−∞ x, x0 ) Differenzenquotient L ANDAU -Symbole f (x) − f (x0 ) mit y = f (x) x − x0 9 Analysis einer Variablen d f (x) dx x=x0 df (x0 ) dx f ′ (x0 ) dy dx x=x0 y′x=x0 d 2 f (x) dx2 d n f (x) f (n) (x), dxn f ′′ (x), Differentialquotient lim 0 ∞ 0, ∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00 ∞ x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 zweite Ableitung von f (x) n-te Ableitung von f (x) ) unbestimmte Ausdrücke Funktionenreihe ∑ fi (x) i=1 ∞ ∑ ai (x − x0 )i Potenzreihe ρ Konvergenzradius i=0 lim sup bn , lim bn n→∞ n→∞ ∑ f (i) (x0 ) i! i=0 (x − x0 )i Rb a R∞ unbestimmtes Integral von f (x) f (x) dx bestimmtes Integral von f (x) in [a, b] f (x) dx f (x) dx a Rb −∞ R∞ −∞ f (x) dx f (x) dx R( f ) TAYLOR -Reihe von f (x) um x0 Punktelastizität von y im Punkt x η (y|x) R n→∞ Restglied der TAYLOR -Entwicklung Rn (x) ∞ limes superior, lim sup{bk : k ≥ n} uneigentliche Integrale Restglied bei der Quadratur von f 10 Symbole und Abkürzungen Lineare Algebra ~a,~b, . . . ~a′ ,~b′ , . . . ~0 ~1 ~e j Ln s(~a,~b), <~a,~b >, ~a′~b d(~a,~b) Spaltenvektoren transponierte Vektoren, Zeilenvektoren Nullvektor Einservektor j-ter Einheitsvektor Vektorraum der Vektoren der Länge n Skalarprodukt von ~a und ~b Metrik, Abstand zwischen ~a und ~b Rn n-dimensionaler reeller E UKLIDischer Raum, Rn := {~x :~x ′ = (x1 , . . ., xn ), xi ∈ R} Betrag, Norm von ~a (kleinerer) Winkel zwischen ~a und ~b |~a| ∢(~a,~b) ~a ⊥ ~b ~A, ~A(m,n) ~0(m,n) ~1(m,n) ~E(n,n) ~A′ ~A + ~B ~A − ~B ~A~B ~An P(~A) ~x ′~A~x ~A−1 ~A− ~Ac ⊗ sp(~A) rg(~A) det (~A), |~A| #(i1 , . . ., in ) ~a senkrecht ~b Matrix mit m Zeilen und n Spalten m×n-Nullmatrix m×n-Einsermatrix n×n-Einheitsmatrix transponierte Matrix Summe zweier Matrizen Differenz zweier Matrizen Produkt zweier Matrizen n-te Potenz einer Matrix Matrizenpolynom in ~A quadratische Form der Matrix ~A Umkehrmatrix, Inverse von ~A allgemeine Umkehrmatrix, Pseudoinverse von ~A bedingte Umkehrmatrix, conditional inverse von ~A K RONECKER -Produkt Spur der Matrix ~A Rang der Matrix ~A Determinante der Matrix ~A Anzahl der Inversionen der Permutation (i1 , . . ., in )