Höhere Mathematik I

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. P. Vachenauer
Dr. M. Kaplan
WS 2000/01
Blatt 3
Höhere Mathematik I
Informatik
Zentralübung
Z 8)
Z 9)
Man löse folgende Ungleichungen in IR und skizziere die Lösungsmengen:
b)
6x2 − 13x + 6 < 0 ;
a)
3 − x < 4 − 2x ;
d)
||x| − |5|| < 1 .
c)
x3 − x2 < 2x − 2 ;
Harmonisches, geometrisches und arithmetisches Mittel
Für positive, reelle Zahlen a und b beweise man die Ungleichung
√
2ab
a+b
≤ ab ≤
.
2
a+b
Man zeige außerdem, dass Gleichheit nur gelten kann, wenn a = b ist.
Z 10) Man bestimme alle Lösungen der Gleichung 2x − 3 = 5 in 7 und in
Z 11) Man berechne
a) 10010 · 10010
im Dualsystem,
b) 1 : 101
als Dualbruch,
c) D : 7
als Hexadezimalbruch.
Z
Z12 .
Tutorübungen
T 8) Man löse die folgenden Ungleichungen in IR :
1
1
a)
b)
|x − π| < 1 ;
≤
;
x−2
x+5
p
x d)
<3 ;
c)
|x − 5| < 2 ;
x − 2
x+1 x−1
+
≥0 ;
x−1 x+1
1
1
x < x+1 .
T 9) Es seien N und K endliche Mengen mit 1 ≤ |K| ≤ |N | .
Wieviele injektive Abbildungen f : M → N gibt es ?
T 10) Im Ring 24 der Restklassen modulo 24 bestimme man die bezüglich der
Multiplikation invertierbaren Elemente sowie die Quadrate dieser Elemente.
Warum ist 24 kein Körper ?
e)
f)
Z
Z
Bitte wenden !
T 11) Faktorielle spielen eine wesentliche Rolle bei der formalen Summation (etwa
in Computeralgebrasystemen). Weisen Sie für m ∈
und ` ∈ 0 die folgende
Analogie zur Integration nach:
#n=m+`+1
"
m+`
k+1
X k
1
n
k+1
k+1
n =
=
(m + ` + 1)
−m
.
k+1
k+1
N
n=m
N
n=m
1
im Oktalsystem dar.
3
b) Welche Darstellung hat der Dezimalbruch 0, 6 im Binärsystem?
T 12 a) Man stelle die Dezimalzahl 2748 und den -bruch
Hausaufgaben (Abgabe: 13. November 2000, 13 Uhr)
H 8) Welche reellen Zahlen erfüllen
a)
|x + 1| − |x − 1| = 1 ;
b)
√
√
√
x−5=5 ;
x
x+1−1<
.
2
x+5+
1
1
d)
x < x+1 ;
H 9) Beim Kartenspiel Rommé spielt man mit insgesamt 110 Karten; sechs davon
sind Joker. Zu Beginn eines jeden Spieles erhält jeder Spieler genau 12 Spielkarten in die Hand.
a) In wieviel Prozent aller möglichen Fälle sind darunter genau zwei Joker ?
b) In wieviel Prozent aller möglichen Fälle erhält ein fester Spieler mindestens
einen Joker ?
p
H 10) Man schreibe die folgenden periodischen Brüche als rationale Zahlen q mit
p, q ∈ , q 6= 0 in Dezimaldarstellung:
c)
Z
a) 101, 010
Dualsystem,
b) 1, 235
Dezimalsystem,
c) 7, A0F
Hexadezimalsystem.
Sprechstunden
Dr. P. Vachenauer Dienstag
10:30 –11:30
Dr. M. Kaplan
Freitag
12:00 –13:00
Hr. H.-W. Kirstein Donnerstag 14:15 –15:00
S 4431
1237
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