Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Mathematik 1

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Mathematik 1 (Differential- und Integralrechnung)
Dr. Caroline Löbhard
Wintersemester 2015/16, Blatt 11: Implizite Funktionen
Aufgabe 11.1. Es seien f (x, y) = 4x3 y − 3xey und x(t) = sin(t), y(t) = cos(t).
a) Bestimmen Sie die Funktion u(t) = f (x(t), y(t)).
b) Berechnen Sie die Ableitung u0 (t) indem Sie (wie gewohnt) u nach t ableiten.
c) Berechnen Sie die Ableitung u0 (t) mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel aus Satz 8.16 der
Vorlesung.
Aufgabe 11.2. Es sei g(x, y) = x3 + 3xy + y 3 und x(r, ϕ) = r sin(ϕ), y(r, ϕ) = r cos(ϕ).
a) Bestimmen Sie die Funktion v(r, ϕ) = g(x(r, ϕ), y(r, ϕ)).
b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen
partiell nach r bzw. nach ϕ ableiten.
d
dr v(r, ϕ)
und
d
dϕ v(r, ϕ)
indem Sie (wie gewohnt) v
c) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel aus Satz 8.16
der Vorlesung.
Aufgabe 11.3. Es seien
F1 (x, y) = y − sin(πx),
F2 (x, y) = x − cos(πy),
F3 (x, y) = y 2 − x4 ,
F4 (x, y) = y 2 − |x| + 1.
a) Versuchen Sie für k = 1, 2, 3, 4 jeweils, die Gleichung Fk (x, y) = 0 nach y aufzulösen und skizzieren
Sie die Niveaumengen NFk (0).
b) Für welche x, y ∈ R wird durch die Gleichungen aus a) eine implizite Funktion fk definiert?
c) Entscheiden Sie für die Punkte (0, 0), (1, 0), (0, 21 ), (1, 1) und (−2, 1) jeweils, ob dort durch Fk
implizite Funktionen fk definiert sind. Geben Sie, falls möglich, Zahlen α und β gemäß Satz 8.14
und die Funktionen fk (explizit) an.
d) Berechnen Sie, falls möglich, die Ableitungen der impliziten Funktionen fk in den Punkten
(0, 0), (1, 0), (0, 21 ), (1, 1) und (−2, 1).
Aufgabe 11.4.
a) Berechnen Sie die 1. Ableitung der Auflösung der impliziten Funktion
1
G(x, y) = ex+y − √ = 0
x y
nach y als Funktion von x.
b) Es sei die implizite Funktion
H(x, y) = cos(x2 ) + 2xy + sin(y 2 ) − 4x + y − 1 = 0
gegeben. Zeigen Sie, dass sie im Punkt (0, 0) lokal eindeutig nach y als Funktion von x auflösbar
ist! Berechnen Sie y 0 (0).
c) Leiten Sie eine Formel für die zweite Ableitung y 00 einer impliziten Funktion her und berechnen
Sie y 00 (0) für die implizite Funktion y aus b).
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 1