A 7e Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten

Mathematik: 7e 2012/2013 & Alfred Dominik
Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten
Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten
Wir üben die in der letzten Stunde eingeführten Denk- und Berechnungsmethoden mit
einigen Beispielen.
1. Sie sind vom Urlaub zurück und entdecken bei sich Anzeichen einer auf Ihrer
Urlaubsinsel bekannten Krankheit. Zwecks Abklärung absolvieren Sie einen medizinischen Test. Der Arzt versucht Sie zu beruhigen: Nur 1 von 1000 Touristen bekommt die
Krankheit.
Der Test erkennt 98% der Gesunden als gesund und 99% der Kranken als krank.
Ihr Testergebnis ist nun positiv.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Sie krank?
Alle Personen mit positiven(=schlechten) Testergebnis wiederholen nun den Test.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nun jemand mit 2 positiven Tests krank?
Erstellen Sie dazu 2 Viererfeldtafeln
Person ist krank Person ist gesund
a
b
Test positiv
c
d
Test negativ
Erstellen Sie für die erste Viererfeldtafel auch einen Ereignisbaum und kontrollieren Sie so
die Krankheitswahrscheinlichkeit nach dem ersten positiven Test.
Ergänzen Sie die unten angeführten Sätze
a/(a+c) ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a/(a+b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass
d/(c+d) ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(a+d)/(a+b+c+d) ist die Wahrscheinlichkeit für
1
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Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten
Sehr praktisch zum Berechnen mancher Wahrscheinlichkeiten ist der
n
n!
Binomialkoeffizient   =
,
 k  k!(n − k )!
n! ist eine Abkürzung für n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)......1
n
Man kann   sehr gut benutzen, wenn man k Objekte aus n Objekte auswählt
k 
(jedes Objekt wird nur 1 mal gewählt (= „ohne Zurücklegen“) )
und die Reihenfolge der k gewählten Objekte keine Rolle spielt
(„ungeordnete Stichprobe“)
2. In einem Zugabteil sind 9 Leute, darunter 4 Schmuggler.
Ein Zollbeamter kontrolliert genau 3 Personen und ertappt alle 3 Schmuggler.
Berechnen Sie die W für das Ereignis E „erwischt alle Schmuggler bei dieser Kontrolle“.
Berechnen Sie die W für das Ereignis E „erwischt 2 Schmuggler bei dieser Kontrolle“.
Berechnen Sie die W für das Ereignis E „erwischt 1 Schmuggler bei dieser Kontrolle“.
3. Berechnen Sie die W für das Ereignis E „6er beim Lotto (6 aus 45)“.
Berechnen Sie die W für das Ereignis E „3er beim Lotto (6 aus 45)“.
4. Aus einer Kiste mit fünf roten und vier grünen Kugeln werden mit einem Griff 3 Kugeln
gezogen.
Berechnen Sie die W für das Ereignis E „mindestens 1 grüne gezogen“:
Tipp:Rechnen Sie zuerst mit der Gegen-W, erst dann „direkt“
5. Eine Firma lässt Handys in den Fabriken A, B und C herstellen.
30% der Handys kommen von Fabrik A,
50% von Fabrik B und
20% von Fabrik C.
Handys der Fabrik A sind mit 8% W fehlerhaft,
Handys der Fabrik B sind mit 4% W fehlerhaft,
Handys der Fabrik C sind mit 5% W fehlerhaft.
Das Handy von Person X ist fehlerhaft.
Berechnen Sie die W für das Ereignis E „wurde in Fabrik A hergestellt“.
Tipp: Baumdiagramm
2
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Lösungen
1.
 4
 
3
2. W(E)=  
9
 
 3
W(E)=
 4 5
  ⋅  
 2 1
9
 
 3
3
W(E)=
 4  5
  ⋅  
 1  2
9
 
 3
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3.
1
 45 
 
6
 5
 
3
4. 1-   oder
9
 
 3
5.
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 6   39 
  ⋅  
 3  3 
 45 
 
6
 4   5   4  5  4   5 
  ⋅   +   ⋅   +   ⋅  
 1   2  2 1  3  0
9
 
 3
0,3 ⋅ 0,08
0,3 ⋅ 0,08 + 0,5 ⋅ 0,04 + 0,2 ⋅ 0,05
4