Serie 8 - ETH Zürich

d-infk
Prof. Dr. Özlem Imamoglu
ETH Zürich
FS 2017
Analysis I
Serie 8
8.1. Berechnung von Ableitungen Berechnen Sie die Ableitungen folgender
Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln:
(a)
(c)
(e)
3x7 + x5 − 2x4 + x − 3
,
x4
x2 + 2
x 7→ −x + log(1 + cos2 (x)),
e
x 7→
(b) x 7→
(d) x 7→
x2 (x2 + 10x + 25)
,
(x + 5)(x + 7)
q
cos(sin(x2 )) + 1,
x 7→ 2sin x .
8.2. (schriftlich) Grenzwerte Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
(a)
(c)
(e)
(g)
log(1 + x)
,
x→0
x
lim
lim sin x log x,
x→0+
log(3 + sin x)
,
x→+∞
x
sin x 1/x
lim
.
x→0
x
lim
x3 − 1
,
x→1 x + 1
ex + e−x − 2
,
(d) lim
x→0
1 − cos x
xsin x − 1
(f) lim+
,
x→0
x
(b)
lim
8.3. Mittelwertsatz
(a) Finden Sie für jede der folgenden Funktionen f : [a, b] → R alle die Punkte
c ∈ [a, b], die die Bedingung des Mittelwertsatzes erfüllen:
f1 (x) = 3x2 − 5x + 1,
x+3
f2 : [1, 3] → R, f2 (x) =
,
x√
−4
f3 : [−3, 4] → R, f3 (x) = 25 − x2 .
f1 : [2, 5] → R,
Zeigen Sie folgende Ungleichungen mithilfe des Mittelwertsatzes:
√
x
(b)
1+x<1+
für x > 0,
2
1
(c) 1 − ≤ log(x) ≤ x − 1 für x > 0.
x
8.4. MC Fragen: Differenzierbare Funktionen Wählen Sie die richtige Antworten.
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(a) Sei f : [a, b] → R eine differenzierbare Funktion und seien x1 , x2 , x3 ∈ (a, b)
paarweise verschiedene Zahlen, so dass f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) = 0 gilt. Welche
Folgerung ist richtig?
f 0 hat genau zwei Nullstellen auf [a, b];
f 0 hat maximal zwei Nullstellen auf [a, b];
f 0 hat mindestens zwei Nullstellen auf [a, b];
f 0 hat mindestens drei Nullstellen auf [a, b].
(b) Sei die Funktion f : R \ {−3} → R definiert durch x 7→
1−x
.
x+3
Dann gilt:
Die Funktion f ist auf (−∞, −3) streng monoton fallend.
Die Funktion f ist auf (−3, ∞) streng monoton fallend.
Die Funktion f nimmt auf (−∞, −3) nur negative Werte an.
Die Funktion f nimmt auf (−3, ∞) nur positive Werte an.
Keine Aussage ist korrekt.
8.5. Umkehrsatz und Satz von Rolle
(a) Zeigen Sie, dass f : x 7→ x + ex bijektiv von R nach R ist, und dass ihre Inverse
f −1 : R → R differenzierbar auf ganz R ist. Berechnen Sie die Werte (f −1 )0 (1) und
(f −1 )00 (1) .
(b) Diskutieren Sie Existenz und Anzahl der Losungen folgender Gleichung:
(x − 1)ex − (x + 1)e−x = 0,
x ∈ R.
8.6. (schriftlich) Graphen Wir erinnern uns, dass um den Graph einer reellen
Funktion f : R → R zu zeichnen, braucht man gewöhnlich folgende Informationen:
• der Definitionsbereich D von f , d.h. die Stelle x wobei f (x) definiert ist;
• das Verhalten von f an der Grenze von D, d.h. falls x0 ∈
/ D, die Grenzwerte
lim f (x) und, falls relevant,
x→x0
lim f (x);
x→±∞
x∈D
• das Vorzeichen von f , d.h. die Stelle x ∈ D wobei f (x) positiv, negative oder
Null ist;
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• die Stellen x ∈ D wo f wachsend oder fallend ist;
• die Extremstellen und die Extrema von f , d.h. die Stelle x ∈ D und die
dazugehörigen Werte f (x) und wo f lokale/globale Maximum und Minimum
besitzt;
• falls gefragt, die Stelle x ∈ D wo f konvex oder konkav ist.
Finden Sie den Definitionsbereich und die lokalen und globalen Extrema der folgenden
Funktionen; und zeichnen Sie ihren Graph.
(a)
(c)
f (x) =
x2
,
(x − 1)
√
f (x) = x 1 − x,
(b) f (x) = sin x +
√
3 cos x,

x2 (log |x| − 1)
(d) f (x) = 
0
falls x 6= 0,
falls x = 0.
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