10 - Gymnasium
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M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens != 360° Fläche des Kreissektors ∙ 2# $= 360° ∙ # % Das Bogenmaß & eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( = 1): Umrechnungsformeln: != ' ∙ 2# 360° '= ! ∙ 360° 2# Besondere Werte: Gradmaß ' ()° *+° ,)° -)° ./)° 45)° (,)° Bogenmaß ! # 6 # 4 # 3 # 2 # 3 # 2 2# M 10.2 Kugel Ist der Radius einer Kugel, so gilt: 9 Ø Volumen: 8 = # : Ø Oberfläche: ; = 4# % : = 6<> 4 4 8 = # ∙ (6<>): = # ∙ 216<>: ≈ 905<>: 3 3 % ; = 4# ∙ (6<>) = 4# ∙ 36<>% ≈ 452<>% Sinus und Kosinus für beliebige Winkel M 10.3 Für beliebige Winkel 0 < < 360° gibt Ø der Sinus die E-Koordinate: E = sin ( ) Ø der Kosinus die G-Koordinate: G = cos ( ) eines Punktes H an, der unter auf dem Einheitskreis liegt. Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel sowie für die Winkel 180° − , 180° + und 360° − denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten: Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von 360° auf einen Winkel zwischen 0° und 360° zurückführen. 762° = 2 ∙ 360° + 42° à 762° = N 42° am Einheitskreis 1596° = 4 ∙ 360° + 156° à 1596° = N 156° am Einheitskreis M 10.4 Sinus- & Kosinusfunktion ' im Gradmaß R im Bogenmaß OPQ(R) STO(R) 45° # 4 √2 2 √2 2 90° # 2 1 0 180° # 0 −1 Eigenschaften: Sinusfunktion OPQ(R) Kosinusfunktion STO(R) periodisch mit der Periode 2π VWX (G) = VWX(G + Y ∙ 2#) , Y ∈ ℤ periodisch mit der Periode 2π <\V (G) = <\V (G + Y ∙ 2#), Y ∈ ℤ Definitionsmenge ] = ℝ Wertemenge W = [−1; 1] punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur E-Achse VWX(−G) = −VWX (G) <\V(−G) = <\V (G) M 10.5 Die allgemeine Sinusfunktion Durch die allgemeine Sinusfunktion e(G) = a ∙ singb(x + c)j + d lassen sich beliebige sinusförmige Graphen beschreiben: Ø l : Stauchung/Streckung in -Richtung (Amplitude) Ø b: Stauchung/Streckung in -Richtung. Ø c: Verschiebung in -Richtung Ø d: Verschiebung in -Richtung $ ' !( ) = 2 ∙ sin #% & + % *, − 1 Ø . = 2: Doppelter Ausschlag nach oben (2) $ Ø / = : Doppelte Periode (40) % ' ' Ø 3 = : Verschiebung um nach links % % Ø 5 = −1: Verschiebung um 1 nach unten M 10.6 Lineares und exponentielles Wachstum Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen (Zeit-) Schritten Nimmt die Größe um 1 zu, so wächst die Größe stets um einen festen Summanden 5. Nimmt die Größe um 1 zu, so wächst die Größe stets um einen festen Faktor .. 6=7+8∙9 6 = 7 ∙ :8 M 10.7 Exponentialfunktion Funktionen der Form ;( ) = / ∙ . > ( ?@ = ℝ , / ≠ 0 , . > 0 , . ≠ 1 ) heißen Exponentialfunktionen. Die Konstante . gibt den Wachstumsfaktor an. Die Konstante / gibt den Anfangswert der Funktion für = 0 an, also ist ;(0) = /. Für . > 1 steigt der Graph à Wachstum Ist 7 ≠ F, so wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor / gestreckt (|/| > 1) bzw. gestaucht (|b| < 1). Für . < 1 fällt der Graph à negatives Wachstum Der Graph verläuft durch den Punkt (0; /). Ist 7 < H, so wird der gestreckte/gestauchte Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt. Die -Achse ist Asymptote. Spiegelt man den Graphen von ;( ) = /. > an der -Achse, $ > so erhält man den Graphen von !( ) = / ∙ &E* und umgekehrt. M 10.8 Logarithmus Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung . > = / (für . > 0, . ≠ 1, / > 0 ) bezeichnet man als Logarithmus von / zur Basis . und schreibt = log E /: .> = / ⇇ log E / = log E 1 = 0 ⇇ .O = 1 log N (/ > ) = ⇇ /> = /> 2J = 512 ⇇ log % 512 = 9 „Logarithmus“ ist ein Name für „Exponent zu einer bestimmten Basis“: 3> = 81 Rechenregeln: ⟺ = log S 81 = 4 Ø log E (/ ∙ 3) = log E / + log E 3 N Ø log E & * = log E / − log E 3 T Ø log E (/ T ) = 3 ∙ log E / Ø log E / = UVWX N UVWX E (Produktregel) (Quotientenregel) (Potenzregel) (Wechsel der Basis) M 10.9 Exponentialgleichungen Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf. Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsstrategien gibt: Logarithmieren Substitution Grafisch Exponentialgleichungen, die in die Form . > = / gebracht [Y8 − Y ∙ [8 − e = H werden können, löst man Substitution: f = 5> (f% = 5%> ) durch Logarithmieren: à hY − Yh − e = H Lösung der quadratischen Y, [ ∙ \8 = [ ∙ Y8 /∶ Y, [ 8 8 8 Gleichung und Resubstitution \ = Y ∙ Y /: Y liefert das Ergebnis: F, [8 = Y / `ab F,[ 8 ≈ H, ej 8 = `ab F,[ Y Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar. Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem: 8 ≈ F, dF M 10.10 \8 = Y8 + \ Vierfeldertafel Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei Merkmalsausprägungen stellt man üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar. Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten enthalten. Die Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm. k m " |p ∩ | k | ∩ | $( ∩ ) || | ∩ | | ∩ | || | | | | |Ω| $( ) = | | |Ω| $% & = ' ' |Ω| 1. Merkmal ( ) $( ∩ ) $( ∩ ) $( ∩ ) 2. Merkmal () M 10.11 Bedingte Wahrscheinlichkeit $* () ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von . Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von , bei denen zusätzlich eintritt. 1. Baumdiagramm $( ) $( ∩ ) $* %& $( ∩ ) $* () $( ∩ ) $% & 2. Merkmal () $- ( ) $( ∩ ) $- % & $( ∩ ) $- ( ) $( ∩ ) $- % & $( ∩ ) $%& 1. Merkmal () Berechnung: M 10.12 $() $( ∩ ) $* %& 1. Merkmal ( ) 2. Baumdiagramm $* () +, (") = 2. Merkmal ( ) +(,∩") +(,) Ganzrationale Funktionen Potenzfunktionen Grad Koeffizienten .(/) = 01 / 1 + 0134 / 134 + ⋯ + 06 / 6 + 04 / + 07 Polynom ganzrationale Funktion Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen: höchster vorkommende Exponent (hier 8) Leitkoeffizient 9: (hier −<) gerade ungerade 9: > ? „von links oben nach rechts oben“ „von links unten nach rechts oben“ 9: < ? „von links unten nach rechts unten“ „von links oben nach rechts unten“ Nullstellen einer ganzrationalen Funktion M 10.13 Eine ganzrationale Funktion A-ten Grades hat höchstens A Nullstellen. Bestimmung der Nullstellen der Funktion B(C) = CD − DC + E Errate Nullstelle durch systematisches Probieren (NST Teiler von 07 ) C? = K Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom N4 (/) B(C) = (C − K) ∙ MK (C) Polynomdivision %CD − DC + E&: (C − K) = CE + C − E Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen CK = K CE = −E falls Grad des Restpolynoms > 2 à Faktorisierte Form: . (/) = (/ − 1)6 (/ + 2) (doppelte Nullstelle bei / = 1) Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle /H Ø ungeradzahlig oft auf, wechselt .(/) bei /H das Vorzeichen, Ø geradzahlig oft auf, wechselt J(/) bei /H das Vorzeichen nicht. M 10.14 Polynomdivision (/ − 4 − 22 + 4 + 21): ( − 1) = − ! − !" − !# ∙ −( − ) −3 − 22 ∙ −(−3 + 3 ) −25 + 4 −(−25 + 25) −21 + 21 −(−21 + 21) 0 ∙ ∙ M 10.15 v Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen Verschiebung von Funktionsgraphen Ø &: Stauchung/Streckung in '-Richtung Ø b: Stauchung/Streckung in -Richtung. v ,( ) = - ∙ . (/( − 6)) + 7 Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen Ø c: Verschiebung in -Richtung Ø d: Verschiebung in '-Richtung v *(−) *() Spiegelung an der -Achse −*() ist der an der -Achse gespiegelte Graph von *() v Spiegelung an der '-Achse *(−) ist der an der y-Achse gespiegelte Graph von *() M 10.16 Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie zur 8-Achse Punktsymmetrie zum Ursprung Gleich weit vom Nullpunkt entferte -Werte besitzen stets denselben Funktionswert. Gleich weit vom Nullpunkt entfernte Werte besitzen stets den betragmäßig gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen. *(−) = *() *(−) = −*() −*() M 10.17 Verhalten im Unendlichen Konvergenz Divergenz Kommen die Funktionswerte .() einer Funktion . für beliebig groß werdende Werte einer Zahl & ∈ ℝ beliebig nahe, so nennt man & den Grenzwert der Funktion . für gegen unendlich ( → ±∞). Die Gerade mit der Gleichung ' = & ist dann waagrechte Asymptote von ?@ . Wachsen die Funktionswerte .() für → +∞ bzw. → −∞ unbegrenzt nach ∞ oder sinken sie unbegrenzt nach −∞, so divergiert die Funktion, d.h. sie besitzt keinen Grenzwert & ∈ ℝ. BCD *() = F BCD *() = ±∞ →±E M 10.18 v →±E Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen Ganzrationale Funktionen vgl. 10.12 GHIJ→KE ,( ) = + ∞ und limJ→LE ,( ) = − ∞ v Gebrochen rationale Funktionen jedes Glied des Zählers und Nenners durch die höchste Nennerpotenz dividieren: limM→E J N KJLO L! größte Nennerpotenz = limJ→E PQN NQ R K L QN QN QN P NQN L QN QN geht gegen 0 ! = lim J→E # K L ! ! = L geht gegen 0 M 10.19 Name Grundfunktionen Term Beispiel 1 Lineare Funktionen .() = I + S 2 Quadratische Funktionen .() = & + T + U *() = V, "! − − # 3 Ganzrationale Funktionen .() = &X X + ⋯ + &O + &Z *() = ![ + [ − − ! 4 Gebrochen rationale Funktionen 5 Exponentialfunktionen .() = & J *() = !, " 6 Winkelfunktionen .() = a ∙ sin]b(x + c)^ + d *() = [_C` (#, " − e) .() = \O () \ () *() = ! − *() = ! − # − −! Graph