Karoline Grandy

Karoline Grandy und Renate Schöfer
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Lemma 1 (Haruki)
In einem Kreis seien zwei sich nicht schneidende Sehnen AB und CD gegeben. Außerdem wähle einen beliebiger Punkt P auf dem Kreisbogen zwischen A und B,
gegenüberliegend der Sehne CD. Die Punkte E und F
seien die Schnittpunkte der Sehnen PC und AB, bzw PD
und AB. Dann ist
eine Konstante, unabhängig
von P.
Bild 1
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Kreisspiegelung
Def. Sei ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r gegeben.
Der Bildpunkt P` eines Punktes P wird bestimmt durch:
• Die Abbildung vertauscht das Innere mit dem Äußeren.
• Die Abbildung ist winkeltreu.
• Geraden durch den Mittelpunkt werden auf sich selbst
abgebildet.
• Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen,
werden auf Kreise durch den Mittelpunkt abgebildet.
• Kreise werden wieder auf Kreise abgebildet.
Bild 2: Kreisspiegelung
Bild 3
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Lemma 2
Es seien in einem Kreis zwei sich nicht schneidende
Sehnen AB und CD und ein beliebiger Punkt P auf dem
Kreisbogen zwischen A und B, gegenüberliegend von
CD, gegeben. E und F seien die Schnittpunkte der Sehnen PC und AB, bzw. PD und AB. Dann gelten folgende
zwei Gleichungen:
(1)
(2)
Bild 4: kongruente Dreiecke ACD und DBG
Bild 5 : kongruente Dreiecke BCD und ADG
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Theorem 3
In einem Kreis seien zwei verschiedene Sehnen AB und
CD gegeben. Wähle einen Punkt P auf dem Kreisbogen,
mit P verschieden von A und B. Weiterhin seinen E und F
die Schnittpunkte der Strecke AB mit der Sehne PC, bzw.
PD. Dann gelten die Gleichungen (1) und (2).
Theorem 3 behandelt den Fall, dass alle vier Punkte A,
B, C und D auf einem Kreis liegen. Aber was passiert,
wenn diese Punkte nicht auf dem selben Kreis liegen?
Kann man dann immer noch einen Punkt P finden, der
die Gleichungen (1) oder (2) erfüllt?
Problem: Es seien die Punkte A,B,C und D gegeben. Finde
den geometrischen Ort
, bzw.
aller Punkte P, die
(1) oder (2) erfüllen, wobei E und F wieder die Schnittpunkte der Sehnen PC, bzw. PD mit AB sind.
Um
und
zu untersuchen, beginnen wir erst mit
dem Fall, dass P zu beiden geometrischen Orten
und
gehört.
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Lemma 4
Falls es einen Punkt P gibt, der die Gleichungen (1) und
(2) erfüllt, dann liegen die Punkte A,B,C und D auf einem
Kreis.
Eulers Verteilungs-Theorem
Wenn die Punkte A,B,C und D in dieser Reihenfolge auf einer Geraden liegen, dann gilt:
AB×CD + AC×DB + AD×BC = 0
Ptolemäische Regel
In einem Sehnenviereck ist das Produkt der
Diagonalen gleich der Summe der Produkte der
nicht benachbarten Seiten.
AB ×CD + BC× DA = AC× BD
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Lemma 5
Sei P ein Punkt mit homogenen baryzentrischen
Koordinaten (x:y:z) und mit Referenz-Dreieck ABC. Die
Gerade AP schneidet die Gerade BC in einem Punkt X
mit den Koordinaten (0:y:z). Dieser Punkt teilt die Strecke
BC im Verhältnis BX:XC = z:y. Ähnlich schneidet die Gerade BP die Strecke CA in Y mit den Koordinaten (x:0:z),
so dass CY:YA = x:z, und die gerade CP schneidet die
Strecke AB im Punkt Z mit den Koordinaten (x:y:0), so
dass AZ:ZB = y:x.
Schnittpunkte der Geraden
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Theorem 6
Es seien die Punkte A,B,C,D und ein Punkt P gegeben. Definiere
die Punkte E und F als Schnittpunkte der Geraden PC und AB.
a)
Der geometrische Ort
der Punkte P, die Gleichung (1) erfüllen,
ist die Vereinigung zweier Kegelschnitte von ABCD, die gegeben
sind durch die Gleichung
b)
Der geometrische Ort
der Punkte P, die Gleichung (2) erfüllen,
ist die Vereinigung zweier Kegelschnitte von ABCD, die gegeben
sind durch die Gleichung
Proposition 7
a) Die vier Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der
Winkel ABD und ACD und die vier Schnittpunkte der
Winkelhalbierenden der Winkel CAB und CDB
liegen als Punkte auf
.
b) Die vier Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der
Winkel BAD und BCD und die vier Schnittpunkte der
Winkelhalbierenden der Winkel ABC und ADC
liegen als Punkte auf
.
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Bild 6: L1
Bild 7: L2
Bild 8: A,B,C,D liegen nicht mehr auf einem Kreis
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Korollar 8
a)
Falls alle Punkte A,B,C und D auf einem Kreis liegen, dann ist einer der Kegel von
und einer von
mit identisch.
b)
Falls für den Punkt P die Gleichungen (1) und (2) erfüllt sind, dann liegen die Punkte A,B,C und D auf
einem Kreis.
Theorem 3, Lemma 4 und Korollar 8 geben uns
nun die Kriterien, für die die fünf Punkte A,B,C,D
und P auf einem Kreis liegen.
Quellen :
Forum Geometricorum, Volume 8 (2008)
Wikepedia
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