Meine PRIMZAHLEN - Mathematik und Physik

Josef Fojcik
Meine
PRIMZAHLEN
Persönliche kompakte Darstellung
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Definitionen
Beweise
Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
P.Fermat
Story
Diese Publikation ist urheberrechtlich geschützt – das Recht der Veröffentlichung, Verbreitung und
Übersetzung, bleibt vorbehalten.
Eigenen Verlag.
Auflage: n x Exemplare
Essen, 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Warum sind Primzahlen so wichtig . . . . . . . . . .
5
5
6
2 Gibt es unendlich viele Primzahlen
7
3 Wie Primzahlen entstehen
3.1 Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mersennesche Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Lucas-Lehmer Test . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
9
10
4 Primzahltest
4.1 Probedivision . . . . . . . . .
4.2 Der kleine Fermats Satz . . .
4.3 Formel Mirabilis . . . . . . . .
4.3.1 Ausführliches Beispiel
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22
5 Fermat Faktorisierung
5.1 Bielspiele . . . . . . . . .
5.1.1 Beispiel 1. N=8633
5.1.2 Beispiel2. N=19109
5.1.3 Beispiel 3.N=937 .
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6 Fermats Quadratsumme
6.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Ein komplexes Beispiel . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Der kleine Fermat-Satz . . . . . . . .
6.2.2 Fermat Quadratmethode. N=a2 + b2
6.2.3 Fermat Faktorisierung . . . . . . . .
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7 Primzahlzwillinge
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8 Größte Primzahl und eine edle”Primzahl
”
23
3
9 Schlusssentenz
24
4
1 Einführung
Was ist eigentlich eine Primzahl?
Bevor wir eine mehr oder weniger korrekte Antwort geben können,
müssen wir zunächst andere axiomatischen“ Fragen beantworten
”
und zwar:
1. Wie wird eine Definition definiert
2. Was ist eine Zahl?
ad.1. Eine Definition stellt, eine Sammlung von präzisen Begriffen
(nicht zu viel, nicht zu wenig), die ein Objekt klar und eindeutig
identifiziert, dar und sie muss auch so kurz wie notwendig sein. Also
wenn eine Aussage nur ein Wort zu viel beinhaltet, haben wir es mit
keiner Definition zu tun.
Wenn wir der ersten Definition:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur zwei Teiler hat“ fol”
gen, werden wir sofort mit der ersten Schwierigkeit konfrontiert: ist
das Wort nur“ notwendig? Wenn nicht, dann beinhaltet die Aussa”
ge überflüssiger Begriff und ist in dem Sinne keine Definition. Oder
müssen die zwei Teiler näher bestimmt werden oder ist das eine
Selbstverständlichkeit?
ad.2. Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte, die u.a. Quantitäten (Anzahlen, Differenzen, Großverhältnisse, . . . ) darstellen und
z.B. zum Zahlen, Ordnen, Messen und Rechnen verwenden werden.
[1] Die ganz einfachen“ Zahlen, die ganzen und positiven Zahlen,
”
werden als natürliche Zahlen genannt.
Warum heißt die Zahl Primzahl - die Bezeichnung kommt aus dem
lateinischen: numerus primus und bedeutet Die erste Zahl“ wenn es
”
sich dabei um die Bedeutung aller Zahlen handelt.
1.1 Definitionen
Eine Definition haben wir schon kennengelernt, die nächsten folgen:
5
• Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 ist und
die außer durch 1 und durch sich selbst durch keine weitere
natürliche Zahl teilbar ist,
• Primzahl ist ein natürliche Zahl, die sich nicht als Produkt
zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen
lässt.
• Eine natürliche Zahl, die sich nicht teilen lässt, heißt Primzahl.
Die letzte Definition, die auch vom Autor bevorzugt wird, benötigt
einer Begründung:
1. sie ist allgemein verständlich, ganz egal, ob der Leser ein Laie
oder ein Akademiker ist,
2. der Begriff Teiler1 , der auch in der anderen Definitionen vorkommt, allein wie schon der Name besagt, er soll eine gegebene
Größe teilen also kleiner machen aber die Eins macht das nicht!
Auf weitere Primzahlen Definitionen wird zwecks kompakt Darstellung verzichtet. Meine neuste (Urpremiere) - Primzahldefinition:
"Eine Zahl ist dann Prim, wenn das Produkt ihrer aller Teiler wieder die Zahl ergibt"
1.2 Warum sind Primzahlen so wichtig
Weil, analog zur Chemie, wo jeder Stoff selbst ein Element ist oder
aus mehreren chemischen Elementen besteht, jede natürliche Zahl
entweder eine Primzahl oder ein Primzahl Produkt ist. Diese Aussage
gilt als Hauptsatz der Zahlentheorie, der da ganz korrekt lautet:
Jede natürliche Zahl, ungleich eins lässt sich auf eine und nur auf
eine einzige Weise als Produkt von Primzahlen darstellen. z.B:
18 = 2 ∗ 33
4116 = 22 ∗ 3 ∗ 73
1
Der Teiler wird akademisch“ anders definiert.
”
6
Wie kann man auf den ersten Blick entscheiden, ob es sich um eine
Primzahl handelt oder nicht?
Erstens – eine Primzahl darf keine gerade Zahl sein, außer 2, die
übrigens die kleinste Primzahl ist.
Zweitens, wenn eine Zahl nicht mit dem Ziffern: 1, 3, 7, 9 endet
kann es sich nicht um eine Primzahl handeln. Ausnahmen: die schon
erwähnte Zahl 2 und noch die Zahl 5. Aber nicht jede natürliche Zahl
mit den Endziffern 1, 3, 7, 9 ist eine Primzahl! - weitere Erkennungsverfahren werden in einem separaten Kapitel beschrieben.
Am Ende der Einführung noch eine Allgemiene Frage – ist die Menge
der Primzahlen unendlich?
2 Gibt es unendlich viele Primzahlen
Ja. Der älteste Beweis (ad absurdum) von Euklid:
Diese Methode beruht auf der Aufstellung einer Anfangsbehauptung,
die wir zum Widerspruch bringen und dadurch das Gegenteil beweisen.
Anfangsannahme: Die Menge der Primzahlen ist nicht unendlich.
In diesem Fall ist die Menge begrenzt, was die logische Folge hat: Es
muss eine größte Primzahl pm geben. Wenn uns gelänge doch eine
größere Primzahl zu finden, dann ist die Anfangsannahme falsch und
das Gegenteil wahr. Aber wie finden wir diese Zahl? Wichtig ist wir
müssen sofort überzeugt werden, dass die Zahl größer ist als die bis
jetzt größte Primzahl pm . Zu diesem Zweck bilden wir ein Produkt
P von allen exsistierenden Primzahlen:
P = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7... ∗ pi ∗ ...pm
Offensichtlich ist das Produkt größer als pm , aber leider auch durch
alle Primzahlen teilbar und dadurch eine zusammengesetzte Zahl,
keine neue Primzahl. An dieser Stelle kommt uns der geniale Zug von
Euklid zu Hilfe. Er addierte einfach eine Eins zu unserem Produkt
P. Die auf diese weise erzeugte Zahl:
N = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7... ∗ pi ∗ ...pm + 1
7
ist immer noch größer als pm und offensichtlich durch keine existierte
Primzahlen teilbar, weil beim Teilen immer noch der Rest Eins übrig
bleibt!
Die Zahl N ist eine natürliche Zahl und muss, wie auch alle anderen
natürlichen Zahlen die Vor- -aussetzungen der Zahlentheorie, - jede natürliche Zahl ist eine Primzahl oder ein Produkt von
Primzahlfaktoren, erfüllen. Wenn N eine Primzahl ist, dann haben
wir sofort eine größere Primzahl gefunden, als die bis jetzt bekannte
und damit die Anfangsannahme zum Widerspruch gebracht. Ist die
Zahl N eine zusammengesetzte Zahl, ist auch nicht schlecht, denn
mindestens ein Faktor, aus denen die Zahl besteht, ist eine Primzahl, die nicht aus der Menge der existierenden Primzahlen stammt
(wegen Teilung mit dem Rest Eins) also muss sie auch größer als alle
bisher bekannten Primzahlen inklusive pm sein. Damit haben wir eine
neue größte Primzahl N (oder ihr Primfaktor, der auch größer als
pm ist) gefunden. Nach diesem Algorithmus können wir immer neue
größte Primzahlen produzieren, was nicht anderes bedeutet das die
Menge der Primzahlen unendlich ist., Bevor wir zum Primzahltest
gehen, beschäftigen wir uns zuerst: wie man Primzahlen erzeugen
kann?, also Primzahlengenerierung.
3 Wie Primzahlen entstehen
Die suche nach einer Formel, die nur Primzahlen erzeugt, wird mit
der Suche nach dem heiligen Grall vergleichen und das ist das größte
Mysterium der Zahlentheorie wenn nicht sogar der ganzen Mathematik!
Im Klartext: es gibt keine Primzahl Formeln. Aber man kann wenigstens die Anzahl der Primzahlen bis bestimmte Zahl N approximativ
bestimmen. Das ist der Primzahlsatz:
π(N ) ∼
8
N
ln(N )
3.1 Sieb des Eratosthenes
Die älteste Methode Sieb des Eratosthenes“, ist so populär, dass ich
”
nur auf Links verweise: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eratosthenes.
oder:http://www.transzahlien.de/download/sieb.pdf
3.2 Mersennesche Primzahlen
Die sind sehr wichtig, weil die größte bekannte Primzahl M45 = 243112609 − 1
ist eine Mersenne Primzahl. Nach dem im 17 -em Jahrhundert lebenden Mönch Marin Mersenne genanten Primzahlen werden nach der
Formel
M = 2p − 1
gesucht. Deswegen gesucht, weil nur in selten Fällen als Ergebniss
bekommen wir eine Primzahl. Zur Mersenne Zeiten waren nur 11 bekannt, darunter einige falsch als Primzahlen qualifiziert. Die Methode
ist simpel: ist p eine Primzahl dann kann auch M eine Primzahl sein.
z.B
p = 3 → M3 = 23 − 1 = 7 → Primzahl
p = 7 → M7 = 27 − 1 = 128 − 1 = 127 → Prim
p = 11 → M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 ∗ 89 → Keine Primzahl
An dieser Stelle kann ich mich nicht enthalten, eine wunderschöne
Geschichte [2] zu zitieren:
Im Jahre 1876 bewies E.Lucas, dass eine von der Mersennse Primzahlen - M = 267 − 1 eine zusammengesetzte Zahl ist. Bei diesem
indirekten Beweis waren jedoch die Faktoren unbekannt(sehe unten).
Wir schreiben das Jahr 1903 und befinden uns auf einem Treffen der
American Mathematikal Society. Unter den Vortragenden ist Frank
Nelson Cole von der Columbia University. Als er an der Reihe ist,
geht Cole nach vorne, multipliziert, ohne ein Wort zu sagen, zwei
siebenundsechzig mal mit sich selbst, subtrahiert 1 und erhält das
monumentale Ergebnis von
9
147573952588676412927. Soeben Zeuge dieser gewaltigen, aber wortlosen Rechenoperation geworden, beobachtet die Zuschauerschaft perplex, wie Cole daraufhin das Produkt:
193707721x761838257287
an die Tafel schreibt und ebenso wortlos berechnet. Das Produkt ist
nichts anders als:
147573952588676412927
Cole setzt sich wieder. Sein Auftritt hätte hervorragend in ein Pantomimentreffen gepasst.
Die Zuhörer, die gerade Zeuge der expliziten Faktorisierung der Mersennezah 267 −1 in zwei gigantische Faktoren geworden waren, waren
fürs erste genauso sprachlos wie Cole selbst und niemand stellte eine
Frage. Dann brachen sie in einen Beifallssturm aus und bescherten
Cole eine standing ovation”! Das war das erste und einzigen Mal in
”
der Geschichte der AMS.
3.2.1 Lucas-Lehmer Test
Mit dieser Methode kann man feststellen, ob eine sehr große Mersennesche Zahl prim ist oder nicht, aber mit einer Beschränkung und
zwar man erkennt, im Fall einer zusammengesetzten Zahl, die Produktfaktoren nicht!
4 Primzahltest
Einige Merkmale haben wir schon kennengelernt - die Primzahl ist
keine gerade Zahl (außer 2) und muß die Endziffern 1, 3, 7, 9 haben.
Das sind nur oberflächliche Indizien, um sicher zu sein dividieren wir
die Zahl durch folgenden Primzahlen.
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4.1 Probedivision
Der einfachste Primzahltest ist die Probedivision. Dabei probiert
man nacheinander,
ob die Zahl N durch eine der Primzahlen zwi√
schen 2 und N teilbar ist. Ist sie das nicht, dann ist eine Primzahl.
Die Probedivision ist jedoch viel zu aufwendig, sodass sie in der Praxis als Primzahltest nicht zum Einsatz kommt.
4.2 Der kleine Fermats Satz
sollte eigentlich der große heißen, ist aber nicht so populär wie sein
großer Bruder”.
”
Ich bewundere die Fermatsche Formel in ihrer ursprünglichen verbale
Form, die sofort der Kern der Sache frei gibt. Die Idee ist: wenn
eine natürliche Zahl (Basis) mit einer Primzahl potenziert wird dann
erhalten wir als Ergebnis wiederum die potenzierte Zahl (und das ist
die schönste Überraschung) zwar nicht ganz explizit aber immer noch
klar.
(1)
ap ≡ a(modp)
Das Potenzierungsergebnis wird so lange durch p dividiert bis der
Rest kleiner als die Zahl p ist. Ist der Rest genau die potenzierten
Zahl gleich, dann ist die Zahl p eine Primzahl (Vorerst).
Beispiel:
a = 2 Basis, p = 7
(2)
27 = 128
128/7 = 7 ∗ 18 + 2
(3)
(4)
(5)
Rest ist 2 und gleich der Basis also muss p eine Primzahl sein und
tatsächlich 7 ist eine Primzahl!
27 ≡ 2(mod7)
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(6)
Lieber Leser
Ab hier werden nicht alle Seiten angezeigt.
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Der Rest ist exakt gleich unsere Basis a=2 und damit ist, nach dem
Fermatsche Formel 8 die untersuchte Zahl p=331 eine Primzahl.
Für größere Zahlen werden Computerprogramme eingesetzt und
auch die fermatschen Ideen werden weiterentwickelt (z.B: MillerRabin-Test). All das hilft jedoch nicht die Primzahlen zu zähmen.
Sie sind nach wie vor unberechenbar. Die Zahlen die den o.g. Test
bestehen, aber keine Primzahlen sind, nennt man Pseudoprimzahlen
(zur Basis 2. Wenn die Täuschung alle Basen betrifft, dann haben
”
”
wir es mit sog. Carmichael - Zahlen zu tun. Die Kleinste ist 561.
5 Fermat Faktorisierung
Zahlen kann man auch testen, indem man versucht die untersuchte
Zahl zu faktorisieren.
Gelänge das, dann ist die Zahl keine Primzahl.
Das Verfahren ist ein weiteres brillantes Verfahren Fermats aus seiner goldenen Zahlentruhe. Wie finden wir aber diese Faktoren? Die
Probedivision, wegen des großen Aufwands, kommt nicht in Frage.
Klar ist, die Faktoren müssen kleiner sein als die Zahl selbst und
können sogar gleichwertig sein. Im diesem Fall wird unsere Zahl N
eine Quadratzahl und die Faktoren finden wir als Wurzel von
√
√
√
√
a = N, b = N, N = a ∗ b = N ∗ N = N
Obwohl diese Vorgehensweise nur für Quadratzahlen gültig ist, haben wir einen Hinweis bekommen - das Verfahren hat etwas mit den
Quadratzahlen zu tun und das betrifft nicht nur die Zahl N, sondern auch die Faktoren! Jetzt kommt die Frage wie verknüpfte ich
die Zahl N, multiplikativ mit den Faktoren als Quadratzahlen? Der
direkte Weg a2 ∗ b2 = N bringt uns nicht voran, also versuchen wir
einen kleinen Umweg über die Addition bzw. Subtraktion machen.
Nur eine bekannte Formel (mit Quadratzahlen) verbindet die Sub-
14
Also N ist keine Primzahl, weil sie aus zwei Faktoren a = 97 und b =
89 besteht.
Es ist nicht immer ganz einfach sofort beim ersten Versuch eine Quadratzahl finden 16
Wenn das nicht der Fall ist, müssen wir mit der nächsten, um Eins
größeren Zahl probieren
a2 = a1 + 1
5.1.2 Beispiel2. N=19109
N = 19109
√
√
N = 19109 = 138, 23
a1 > 138, 23 = 139
1392 = 19321 − 19109 = 212, keine Quadratzahl,
a2 = a1 + 1 = 140
1402 = 19600 − 19109 = 491, keine Quadratzahl,
16
Weiter brauchen
wir nicht mehr zu rechnen, denn das zweite gesuchte
√
Quadrat 507 ≃ 22 ergibt mit der Kombination des ersten Quadrats
(a=38) ein Produkt, das größer ist als unsere Zahl N=937.
Das bedeutet nichts anderes als das, dass die untersuchte Zahl N=937
keine Faktoren beinhaltet und damit prim ist.
6 Fermats Quadratsumme
Eine weitere Möglichkeit, Zahlen zu testen , kommt natürlich auch
von Fermat. Diese Methode erlaubt uns eine Beurteilung zu treffen,
ohne zu Wissen müssen wie die Faktoren aussehen.
Kurze Erringung: jede ungerade Zahl, also auch jede ungerade Primzahl, kommt in der Form 4k+1 oder 4k+3 vor.
Fermat Behauptung: Die Primzahlen in Form 4k+1 lassen sich in einer Summe zweier Quadratzahlen zerlegen und dass diese Zerlegung
nur auf eine Weise möglich ist.
Das Verfahren ist also beschränkt nur für Zahlen in der 4k+1 Form
Einige Beispiele sollen das Phänomen illustrieren.
11 = 4 ∗ 2 + 3 = 8 + 3 keine Quadratzerlegung
13 = 4 ∗ 3 + 1 = 22 + 33
59 = 4 ∗ 14 + 3 keine Quadratzerlegung
73 = 4 ∗ 18 + 1 = 82 + 32
(38)
(39)
(40)
(41)
Das Test erfolgt in drei Stufen:
1. Feststellung der Zerlegungsform - die Zahl muss in der Form
4k+1 sein,
2. suche die Quadratzahlenpaar - ähnlich wie bei Faktorisierung,
nur diesmal wird die Summe gesucht,
3. suche die zweite Quadratzahlenpaar.(wenn keine gefunden dann
ist die untersuchte Zahl prim).
18
6.2.3 Fermat Faktorisierung
√
N = 23, 68, =⇒ a1 > int(23, 68) = 24
N = 561,
a1 = 24 =⇒ 242 = 576 − 561 = 15 keine Quadratzahl,
a2 = 25 =⇒ 252 = 625 − 561 = 64 eine Quadratzahl,
561 = 625 − 64 = 252 − 82 = (25 − 8)(25 + 8) = 17 ∗ 33 = 17 ∗ 11 ∗ 3 und das war‘s
Die Pseudoprimzahl N=561 hat sich entpupptet als eine Zusammengesetzte Zahl mit den Faktoren: 3, 11, 17 und damit haben wir die
Kompletten Zahluntersuchung Erfolgreich zu Ende gebracht.
22
7 Primzahlzwillinge
Werden zwei unmittelbar benachbarte ungeraden Zahlen eine paar
von Primzahlen so spricht man von Primzahlzwillingen. Die einfache
Formel lautet:
p2 = 2 + p1
Die kleinste Paar ist eigentlich 2 und 3 aber das ist die einzige Ausnahme, die die obigen Definition nicht ganz erfüllt jedoch von der anderen Seite auch als Äusnahme”die Definition bestätigt. Die nächste
Paar ist natürlich 3,5 dann 5,7 und weiter 11,13;17,19 u.s.w.
Hier drängt sich automatisch die Frage auf: gibt es unendlich viele
Primzahlzwillinge? Man kennt zwar erstaunlich große Primzahlzwillinge, wie z.B 1000000000061 und 1000000000063 [2] aber ob ihr Anzahl unendlich ist weiß keiner.
Nicht nichtsdestotrotz sind wir ganz sicher, dass die Anzahl von
Primzahltripletts beschränkt ist und zwar nur bis auf einen einziger Fall, nämlich das Triplett 3,5,7.
8 Größte Primzahl und eine edle”Primzahl
”
ist eine Mersennsche sehe [ 3.2] Primzahl, die 12.978.189 (dezimalen) Stellen beinhaltet - dafür haben die Erfinder b.z.w Schöpfer von
Electronic Frontier Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar
bekommen.
Diese Primzahl wurde gefunden im Rahmen einen Programm des
GIMPS-Projekts als Bildschirmschoner auf den Rechnern von hunderttausenden freiwilligen Helfer.
Wegen seine enorme Größe kann man die Primzahl in dezimal Form
nicht präsentieren, aber in der Mersennsche Darstellung sieht sie ganz
einfach aus:
pmax = 243112609 − 1
Am Ende erwähne ich noch, meiner Meinung nach, die interessanteste Primzahl und nämlich die elf. weil sie:
23
• die kleinste zweistellige Primzahl ist,
• die kleinste Palindromzahl 3 (überhaupt), die auch, Primzahl
ist,
• zur Basis 2 ergibt 3 die auch Primzahl ist.
9 Schlusssentenz
Zum Schluss noch eine von zahlreichen Sentenzen über Mathematik: ”Mathematik ist eine Tätigkeit, die von Tätigkeit handelt. Sie
ist nicht an ihr Ende gelangt - ja sie hat noch kaum begonnen auch
wenn ihre Werke den Glanz von Monumenten haben mögen”
Robert Kaplan
Literatur
[1] T.Kempermann.
Zahlentheoretische kostenproben.
Deutsch, Band 86:270, 1995.
Harri
[2] W.Dunham. Mathematik von a-z. page 360, 1966.
3
Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten
gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101)
24
Durch Zufall wurde 1963 eine interessante Primzahlengrafik von Stanislaw Marcin Ulam
oder auch Stanley Ulam, gezeichnet, die jetzt als " Ulamspirale" bezeichnet wird.
Das Muster dieser Primzahlenanordnung sei bisher noch ungelöst, heißt es.
End