Tutorium: Vorbereitung der Bonusklausur am 20.06.2016

Tutorium:
Analysis und lineare Algebra
Vorbereitung der zweiten Bonusklausur
(Teil 2)
Steven Köhler
[email protected]
mathe.stevenkoehler.de
2
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
3
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Potenzfunktionen I
f (x) = x2
f (x) = x
4
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Potenzfunktionen II
f (x) = x3
f (x) = x4
5
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Potenzfunktionen III
³
xn
6
´0
= n ¢ xn¡1
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Exponentialfunktionen I
³ ´x
f (x) = ex
7
f (x) =
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1
2
17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Exponentialfunktionen II
8
³ ´0
ex
=
ex
³ ´0
ax
=
ax ¢ lna
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Ableitungsregeln
Logarithmusfunktionen I
f (x) = lnx
9
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Logarithmusfunktionen II
³
´0
lnx
³
1
x
=
1
lna ¢ x
=
log a e ¢
´0
log a x
³
´0
log a x
10
=
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1
x
17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Wurzelfunktionen I
f (x) =
p
x
11
f (x) =
p
5
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x
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Ableitungsregeln
Wurzelfunktionen II
³p ´ 0
x
=
³p ´ 0
x
=
³ p ´0
n
x
=
³ p ´0
n
x
=
³p
n
12
xm
´0
=
1
p
2¢ x
³ 1 ´0
1
1
x 2 = ¢ x¡ 2
2
1
p
n
n ¢ xn¡1
³ 1 ´0
1
1
x n = ¢ x n ¡1
n
³ m ´0
m
m
xn =
¢ x n ¡1
n
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Trigonometrische Funktionen I
f (x) = sin x
13
f (x) = cos x
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Ableitungsregeln
Trigonometrische Funktionen II
f (x) = tan x =
14
sin x
cos x
f (x) = cot x =
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1
cos x
=
tan x
sin x
17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Trigonometrische Funktionen III
³
³
´0
sin x
³
=
cos x
=
¡ sin x
³
=
¡ cos x
=
sin x
´0
¡ sin x
³
´0
¡ cos x
15
´0
tan x
³
´0
cot x
³
´0
cot x
=
1
cos2 x
=
1 + tan2 x
=
¡1
sin2 x
=
¡1 ¡ cot2 x
³
´0
cos x
´0
tan x
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Ableitungsregeln
Trigonometrische Funktionen IV
f (x) = arcsinx
16
f (x) = arccosx
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Trigonometrische Funktionen V
f (x) = arctanx
17
f (x) = arccotx
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Trigonometrische Funktionen VI
³
´0
arcsinx
³
p
1
1 ¡ x2
=
p
¡1
1 ¡ x2
=
1
x2 + 1
´0
arccosx
³
´0
arctanx
³
´0
arccotx
18
=
=
¡1
+1
x2
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Hyperbolische Funktionen I
f (x) = sinhx =
´
1³ x
e ¡ e¡x
2
19
f (x) = coshx =
´
1³ x
e + e¡x
2
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Ableitungsregeln
Hyperbolische Funktionen II
f (x) = tanhx =
20
sinhx
coshx
f (x) = cothx =
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coshx
sinhx
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Ableitungsregeln
Hyperbolische Funktionen III
³
´0
sinh x
³
=
cosh x
=
sinh x
=
1
cosh2 x
³
´0
tanh x
=
= 1 ¡ tanh2 x
´0
coth x
=
¡1
sinh2 x
´0
coth x
=
= 1 ¡ coth2 x
³
´0
cosh x
³
´0
tanh x
³
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Ableitungsregeln
³
´0
u§v
³
u0 § v 0
(Summenregel)
=
u0 ¢ v + u ¢ v 0
(Produktregel)
´0
u¢v
³ u ´0
v
³
´0
u v(x)
³
u(x)v(x)
22
=
=
=
u0 ¢ v ¡ u ¢ v 0
v2
³
´
u0 v(x) ¢ v 0 (x)
³
´0
=
ev(x)¢ln(u(x))
(Quotientenregel)
(Kettenregel)
´0
(Logarithmisches Di®erenzieren)
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Ableitungsregeln
Aufgabe 1
a) Zeige mithilfe der De¯nition der Di®erenzierbarkeit, dass die
Reziprokenregel
¸0
·
v 0 (x)
1
=¡ 2
v(x)
v (x)
gilt. Der Einfachheit halber sei angenommen, dass fÄ
ur die
Funktion v auf dem gesamten De¯nitionsbereich v(x) 6= 0 gilt.
b) Leite die Quotientenregel mithilfe der Produktregel und der
Reziprokenregel her.
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Aufgabe 2
Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:
a) f1 (x) = x ¢ sin(x)
p
b) f2 (x) = 1 + x2
c) f3 (x) =
24
3x
x
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Aufgabe 3
Gegeben seien die beiden Funktionen
h1 (x) =
¡1
sin2 (x)
und
h2 (x) = ¡1 ¡ cot2 (x):
BestÄ
atige mithilfe der Quotientenregel, dass es sich sowohl bei h1
als auch bei h2 um eine Ableitung der Funktion h(x) = cot (x)
handelt.
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Aufgabe 4
Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:
¡
¢
a) f1 (x) = sin 4x5 ¡ x3 + 5x2 + x ¡ 23
p
b) f2 (x) = tan (x) ¢ arctan (ln (x))
3x2 ¡x+3
c) f3 (x) = (sin x)
d) f4 (x) = xe ¢ cos (5 ¢
26
p
x) ¢ log2 x
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Aufgabe 5
Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion:
Ãr
!
³
³
´´
2
x
ln tan (3 + 1)
f (x) = sin
:
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17. Juni 2016
Ableitungsregeln
Aufgabe 6
Die Funktion f : R ! R sei gegeben durch
f (x) =
1
¢ 5¡3x :
27
a) Finde eine allgemeine Formel fÄ
ur die n-te Ableitung von f.
b) Zeige durch vollstÄandige Induktion, dass die von dir gefundene
Formel tatsÄachlich die n-te Ableitung von f ist.
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Monotonie I
Gegeben sei eine Teilmenge D μ R der reellen Zahlen sowie eine
Funktion f : D ! R. Man nennt die Funktion f
² monoton steigend, falls fÄ
ur alle x; y 2 D gilt:
x·y
)
f (x) · f(y);
² monoton fallend, falls fÄ
ur alle x; y 2 D gilt:
x·y
)
f (x) ¸ f(y);
² monoton, falls sie monoton steigend oder monoton fallend
ist.
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Monotonie II
Gegeben sei eine Teilmenge D μ R der reellen Zahlen sowie eine
Funktion f : D ! R. Man nennt die Funktion f
² streng monoton steigend, falls fÄ
ur alle x; y 2 D gilt:
x<y
)
f (x) < f(y);
² streng monoton fallend, falls fÄ
ur alle x; y 2 D gilt:
x<y
)
f (x) > f(y);
² streng monoton, falls sie streng monoton steigend oder
streng monoton fallend ist.
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Monotonie und erste Ableitung I
Gegeben sei eine Teilmenge D μ R der reellen Zahlen sowie eine
di®erenzierbare Funktion f : D ! R. Man nennt die Funktion f
² monoton steigend, falls fÄ
ur alle x 2 D gilt:
f 0 (x) ¸ 0;
² monoton fallend, falls fÄ
ur alle x 2 D gilt:
f 0 (x) · 0:
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Monotonie und erste Ableitung II
Gegeben sei eine Teilmenge D μ R der reellen Zahlen sowie eine
di®erenzierbare Funktion f : D ! R. Man nennt die Funktion f
² streng monoton steigend, falls fÄ
ur alle x 2 D gilt:
f 0 (x) > 0;
² streng monoton fallend, falls fÄ
ur alle x 2 D gilt:
f 0 (x) < 0:
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Monotonie und erste Ableitung III
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Krümmung und zweite Ableitung I
Gegeben sei eine Teilmenge D μ R der reellen Zahlen sowie eine
zweifach di®erenzierbare Funktion f : D ! R. Man nennt die
Funktion f
² linksgekrÄ
ummt oder konvex, falls fÄ
ur alle x 2 D gilt:
f 00 (x) ¸ 0;
² rechtsgekrÄ
ummt oder konkav, falls fÄ
ur alle x 2 D gilt:
f 00 (x) · 0:
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17. Juni 2016
Monotonie & Krümmung
Krümmung und zweite Ableitung II
Gegeben sei eine Teilmenge D μ R der reellen Zahlen sowie eine
zweifach di®erenzierbare Funktion f : D ! R. Man nennt die
Funktion f
² steng linksgekrÄ
ummt oder streng konvex, falls fÄ
ur alle x 2 D
gilt:
f 00 (x) > 0;
² streng rechtsgekrÄ
ummt oder streng konkav, falls fÄ
ur alle x 2
D gilt:
f 00 (x) < 0:
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17. Juni 2016
Extremwerte
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17. Juni 2016
Extremwerte
Lokales Maximum
Gegeben sei eine reelle Funktion f : R ! R. Die Funktion f besitzt an der Stelle x0 ein lokales Maximum, falls eine der folgenden
Bedingungen erfÄ
ullt ist:
² Es gilt f 0 (x0 ) = 0 sowie f 00 (x0 ) < 0.
² Es gilt f 0 (x0 ) = 0 und die Funktion f 0 besitzt an der Stelle
x0 einen Vorzeichenwechsel von + zu ¡.
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17. Juni 2016
Extremwerte
Lokales Minimum
Gegeben sei eine reelle Funktion f : R ! R. Die Funktion f besitzt an der Stelle x0 ein lokales Minimum, falls eine der folgenden
Bedingungen erfÄ
ullt ist:
² Es gilt f 0 (x0 ) = 0 sowie f 00 (x0 ) > 0.
² Es gilt f 0 (x0 ) = 0 und die Funktion f 0 besitzt an der Stelle
x0 einen Vorzeichenwechsel von ¡ zu +.
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17. Juni 2016
Extremwerte
Wendepunkt
Gegeben sei eine reelle Funktion f : R ! R. Die Funktion f
besitzt an der Stelle x0 einen Wendepunkt, falls die folgende Bedingung erfÄ
ullt ist:
² Es gilt f 00 (x0 ) = 0 sowie f 000 (x0 ) 6= 0.
{ Gilt zudem f 0 (x0 ) = 0, so handelt es sich um einen
Sattelpunkt.
Ä
{ Gilt f 000 (x0 ) < 0, so liegt ein Ubergang
von konvexer
zu konkaver KrÄ
ummung vor.
Ä
von konkaver
{ Gilt f 000 (x0 ) > 0, so liegt ein Ubergang
zu konvexer KrÄ
ummung vor.
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17. Juni 2016
Extremwerte
Extremstellen & Wendepunkt I
f(x) = x4
f (1) (x) = 4x3
f (2) (x) = 12x2
f (3) (x) = 24x
f (4) (x) = 24
f (x) = x4
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17. Juni 2016
Extremwerte
Extremstellen & Wendepunkt II
f (x)
= x5
f (1) (x)
= 5x4
f (2) (x)
= 20x3
f (3) (x)
= 60x2
f (4) (x)
= 120x
f (5) (x)
= 120
f (x) = x5
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17. Juni 2016
Extremwerte
Extremstellen & Wendepunkt III
Ist die erste von 0 verschiedene Ableitung (an der Stelle x0 ) eine
² gerade Ableitung, so liegt ein Extrempunkt vor;
² ungerade Ableitung, so liegt ein Sattelpunkt vor.
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17. Juni 2016
Extremwerte
Aufgabe 7
Die Funktion f : R ! R sei gegeben durch
f (x) = 2x ¢ x
Bestimme { falls vorhanden { die Extremstellen und die Wendepunkte der Funktion f
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17. Juni 2016
Extremwerte
Aufgabe 8
Gegeben sei ein Zylinder mit der Ober°Äache O. Bestimme den
Radius r des Zylinders derart, dass das Volumen des Zylinders
maximal wird.
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17. Juni 2016