Höhere Mathematik III

WS 2008/2009
Blatt 1
15.10.2008
Höhere Mathematik III
Prof. Dr. J. Brüdern
Dipl.-Math. S. Baur
Dipl.-Math. M. Hanselmann
Dipl.-Math. E. Keil
Aufgabe 1. (Schwerpunkt eines Weges)
Sei ein Kreisbogen über die Parametrisierung
: [0; ] ! R3 ; t 7! (r cos(t ); r sin(t ); 0)
gegeben.
a) Berechnen Sie die Länge M des Kreisbogens in Abhängigkeit von r .
b) Berechnen Sie für 1 j 3 die Wegintegrale
Z
Z 1
1
xj ds =
j (t ) 0 (t ) dt:
sj =
M
M
0
Der Punkt s = (s1 ; s2 ; s3 ) ist der (physikalische) Schwerpunkt des Kreisbogens, wenn dessen Massenbelegung
als konstant angenommen wird.
Aufgabe 2. Für welche
> 0 besitzt der Weg
: [0; 1] ! R2 ; t 7! (t; f (t ))
mit
f (t ) =
t sin( 1t )
(
0
t>0
für t = 0
für
eine endliche Länge?
Aufgabe 3. (Zykloide)
Ein Rad mit Radius r rolle auf der x -Achse. Hierbei bewege sich der Mittelpunkt M des Rads mit der konstanten
Geschwindigkeit v . Ferner sei P ein fester Punkt auf der Radperipherie und befinde sich zur Zeit t = 0 im
Nullpunkt.
a) Parametrisieren Sie den Weg (t ) des Punktes P . Dieser heißt Zykloide.
b) Berechnen Sie die Länge des von P bei einer Radumdrehung zurückgelegten Weges.
Aufgabe 4. Berechnen Sie das Integral über f (x; y ) = x + y 2 entlang folgender Wege von (1; 0) nach ( 1; 0).
a)
b)
c)
d)
Kreisbogen in der oberen Halbebene.
Kreisbogen in der unteren Halbebene.
Gerade entlang der x -Achse.
Polygonzug über den zusätzlichen Punkt (0; 1).
Insbesondere sind zunächst Parametrisierungen dieser Wege anzugeben.
Abgabe der Lösungen: Montag, den 20. Oktober in den Übungen.