Laplace`sche Wahrscheinlichkeit

Laplace’sche Wahrscheinlichkeit
• Besteht Ω aus endlich vielen, gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen, dann gilt
P(A) = |A|\|Ω|
wobei |Ω| bzw |A| die Anzahl der Elemente in
Ω bzw A sind.
• Jedes Elementarereignis hat also Wahrschein1 .
lichkeit P(ω) = |Ω|
• BSP: Bei einem Würfelwurf sind alle möglichen
Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Es gilt also
zB
A = {1, 3, 5} ⇒ P(A) =
| {1, 3, 5} |
= .5
| {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
oder
| {1, 4, 5, 6} |
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B = {1, 4, 5, 6} ⇒ P(B) =
=
| {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
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Kombinatorik
• BSP: Wieviele Möglichkeiten gibt es aus einer
Urne mit 5 unterscheidbaren Kugeln 3 herauszuziehen (ohne Zurücklegen) ?
◦ erste Ziehung: 5 Möglichkeiten
◦ zweite Ziehung: 4 Möglichkeiten
◦ dritte Ziehung: 3 Möglichkeiten
◦ Insgesamt: 5∗4∗3 =
5!
2!
= 60 Möglichkeiten, wobei
n! = n ∗ (n − 1) ∗ · · · ∗ 2 ∗ 1 ist.
• Allgemein gilt: wählt man aus N Objekten ohne Zurücklegen und unter Berücksichtigung der
Reihenfolge n Objekte aus, so gibt es
N!
(N − n)!
Möglichkeiten das zu tun.
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Kombinatorik
• BSP: zieht man aus 45 unterscheidbaren Kugeln, 6 ohne Zurücklegen, dann gibt es hierfür
45!
= 5, 864, 443, 200
(45 − 6)!
Möglichkeiten.
• Zieht man alle Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln, so erhält man eine Anordnung (Permutation) dieser n Kugeln. Jede Permutation lässt
sich auf diese Weise darstellen. Es gilt also,
dass es
N!
= N!
0!
Permutationen von N Elementen gibt.
• BSP: Fünf gleich große Kisten, sollen übereinander gestellt werden. Wieviele Möglichkeiten
gibt es hierfür ? Antwort: 5! = 120 Möglichkeiten.
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Kombinatorik
• Manchmal kommt es nicht auf die Reihenfolge
der Ziehung an.
• BSP: Lotto. Wir wissen bereits, dass es 5,864,443,200
Möglichkeiten gibt 6 Kugeln aus 45 auszuwählen.
Da es aber nur darauf ankommt, die 6 richtigen
Kugeln zu ziehen aber nicht in welcher Reihenfolge gibt es 6! Ziehungen die Gewinnen. Die
Chance auf einen Lotto 6er beträgt also
6!
= 0.000000123
5, 864, 443, 200
• Allgemein: wählt man n aus N Objekten ohne
Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, so gibt es hierfür
³N ´
n
=
N!
(N − n)!n!
Möglichkeiten.
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Kombinatorik
• Manchmal werden die gezogenen Objekte wieder zurückgelegt.
• BSP: Wieviele mögliche Bankomatkartencodes
gibt es ? Da es 10 Ziffern gibt und eine Ziffer
mehrmals vorkommen kann ist die Antwort
10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 10000
Wüsste man, dass alle Ziffern verschieden sind,
dann gäbe es nur 10∗9∗8∗7 = 5040 Möglichkeiten.
• Allgemein: wählt man aus N Objekten n mit Berücksichtigung der Reihenfolge und Zurücklegen, dann
gibt es hierfür
N ∗ N ∗ · · · ∗ N = Nn
Möglichkeiten.
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Kombinatorik
• BSP: Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn 10
Personen aus 3 Mittagsmenus auswählen?
◦ Wählen 3 Personen Menu 1, 5 Personen Menu 2 und
2 Personen Menu 3, dann lässt sich diese Tatsache
durch folgende Zeichenkette veranschaulichen
XXX|XXXXX|XX
◦ Das Problem lässt sich also reduzieren, auf das Problem auf wieviele Arten man 2 Striche zwischen 10
X setzen kann. Hierführ gibt es (siehe oben)
³12´ ³12´
=
= 66
2
10
Möglichkeiten.
• Allgemein: bei der Auswahl von n aus N Objekten mit der Möglichkeit zur Mehrfachwahl und
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es
³N + n − 1 ´
n
Möglichkeiten.
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Man zieht zwei Kugeln aus einer Urne mit 12
weißen und 8 schwarzen Kugeln. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit zuerst eine schwarze und
dann eine weiße Kugel zu ziehen ?
12.8 = 12 8 = P(A)P(B|A), wo• Antwort: 20.19
20 19
bei A das Ereignis ist, dass eine weiße und B
das Ereignis, dass eine schwarze Kugel gezogen wird. P(B|A) meint die Wahrscheinlichkeit
eine schwarze Kugel, zu ziehen, wenn bereits
eine weiße gezogen wurde.
• Allgemein definiert man
P(B ∩ A)
P(B|A) =
P(A)
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Bedingt Wahrscheinlichkeiten können als Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren Stichprobenraum (in diesem Fall A) betrachtet werden.
• Es gilt deshalb auch P(A|A) = P(A)
= 1.
P(A)
• Sind die Ereignisse A1, . . . , An einander ausschließende Ereignisse mit
A ⊂ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An
dann ist
P(A) = P(A|A1)P(A1)+. . .+P(A|An)P(An)
Diese Ergebnis wird Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit genannt.
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