Mathematik macht Freu(n)de Differenzieren, I KOMPETENZHEFT

Mathematik macht Freu(n)de
Differenzieren, I
KOMPETENZHEFT ZUM DIFFERENZIEREN, I
1. Aufgabenstellungen
Aufgabe 1.1. Gegeben ist die quadratische Funktion f (x) = 3 · x2 + 1.
Die beiden Punkte A = (2 | yA ) und B = (5 | yB ) liegen auf dem Funktionsgraphen.
1) Berechne yA und yB .
2) Berechne die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B.
3) Gib eine Gleichung der Sekante durch die Punkte A und B an.
Aufgabe 1.2. Gegeben ist die quadratische Funktion f (x) = 3 · x2 + 1.
Die beiden Punkte A = (2 | 13) und B = (2 + h | f (2 + h)) liegen auf dem Funktionsgraphen.
1)
2)
3)
4)
Berechne die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B.
Gib eine Gleichung der Sekante durch die Punkte A und B an.
Berechne (ohne Verwendung der Ableitungsregeln) die Steigung der Tangente im Punkt A.
Gib eine Gleichung der Tangente im Punkt A an.
Aufgabe 1.3. Gegeben ist die kubische Funktion f (x) = 0,5 · x3 .
Der Punkt A = (2 | yA ) liegt auf dem Funktionsgraphen.
1) Berechne yA .
2) Berechne ohne Verwendung der Ableitungsregeln die Steigung der Tangente im Punkt A und gib
eine Gleichung der Tangente an.
3) Berechne den Steigungswinkel der Funktion im Punkt A.
Aufgabe 1.4. Der Graph der Funktion h(x) =
1
· sin(2 · x) ist dargestellt.
5
1) Beschrifte die Achsen an den markierten Stellen.
2) Berechne unter welchem Winkel der Funktionsgraph die x-Achse bei den beiden dargestellten Nullstellen schneidet.
Datum: 2. Juni 2017.
1
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Aufgabe 1.5. Berechne die Ableitungen der folgenden Funktionen.
3
9) f (x) =
2
1) f (x) = 4 · x − 2 · x + 0,5 · x − 3
2) f (x) = 3 · x
3) f (x) = 2 ·
−1
√
x2
sin(x)
7 · x2
10) f (x) = 3
x +1
5
+ 2
x
11) f (x) = (2 · x3 + 7 · x)5
x3
4) f (x) = 3 · x2 + cos(x)
12) f (x) = sin (x3 + 1)
5) f (x) = sin(x) − ex
13) f (x) =
6) f (x) = sin(x) · ex
−3·x
14) f (x) = e(e )
7) f (x) = 5 · x2 · cos(x)
15) f (x) = e
8) f (x) = (3 · x − 1) · ln(x)
16) f (x) = tan3 (6 · x)
√
1 − x2
√
x2 +1
Aufgabe 1.6. In einem Computerspiel möchte eine Alienflotte die Erde erobern.
Als letzte Hoffnung schicken die Erdlinge ein Raumschiff los, um das
Alien-Mutterschiff im Punkt M = (1 | −8) zu zerstören. Das Raumschiff fliegt entlang des Funktionsgraphen von
f (x) = x2
von links nach rechts. An einer Stelle der Flugkurve kann das Raumschiff einen Laser in Blickrichtung (entlang der Tangente an die Flugkurve) abfeuern.
Berechne die Koordinaten des Punkts F = (a | b).
2
1.1 1) yA = 13, yB = 76
1.2 1)
f (2+h)−f (2)
h
2)
= 12 + 3 · h
3) lim (12 + 3 · h) = 12
f (5)−f (2)
5−2
= 21
3
3) y = 21 · (x − 2) + 13 = 21 · x − 29
2) y = (12 + 3 · h) · (x − 2) + 13 = (12 + 3 · h) · x − 11 − 6 · h
4) y = 12 · x − 11
h→0
1.3 1) yA = 4
2) f 0 (2) = 6, y = 6 · (x − 2) + 4
3) α ≈ 80,54◦
2) Schnittwinkel bei x = 0 und x = π/2: α = 21,80...◦
1.4 1)
1) f 0 (x) = 12 · x2 − 4 · x + 0,5
9) f 0 (x) =
2) f 0 (x) = −3 · x−2 − 10 · x−3
3) f 0 (x) = 3 ·
√
2 · x · sin(x) − x2 · cos(x)
sin2 (x)
10) f 0 (x) =
x
−7 · x4 + 14 · x
(x3 + 1)2
11) f 0 (x) = 5 · 2 · x3 + 7 · x
4) f 0 (x) = 6 · x − sin(x)
1.5
4
12) f 0 (x) = 3 · x2 · cos x3 + 1
· (6 · x2 + 7)
−x
13) f 0 (x) = √
1 − x2
5) f 0 (x) = cos(x) − ex
6) f 0 (x) = cos(x) · ex + sin(x) · ex
14) f 0 (x) = e(e
−3·x
) · e−3·x · (−3)
√
x
2
15) f 0 (x) = √
· e x +1
x2 + 1
7) f 0 (x) = 10 · x · cos(x) − 5 · x2 · sin(x)
8) f 0 (x) = 3 · ln(x) + (3x − 1)/x
16) f 0 (x) =
18 · tan2 (6 · x)
cos2 (6 · x)
1.6 F = (−2 | 4)
iv) nahe +∞ (oder besser: sehr groß).
v) nahe an 2.
2 · h + h2
nahe an
h
iii) nahe an 1.
v)
ii) nahe an 0.
1
nahe an
h2
1.7 i) nahe an 0.
iv)
.
.
iii) 1 + 2 · h + h2 nahe an
ii) h2 nahe an
.
.
i) 2 · h nahe an
.
Aufgabe 1.7. h 6= 0 ist eine reelle Zahl. Vervollständige: Wenn h nahe an 0 ist, dann ist . . .
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2. Zum Begriff der Ableitung einer Funktion
Wir erinnern uns an die drei möglichen Lagebeziehungen zwischen einem Kreis und einer Geraden:
Eine Sekante schneidet den Kreis in genau zwei Punkten.
Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt.
Zu Lateinisch secare, also schneiden.
Zu Lateinisch tangere, also berühren.
Eine Passante hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam.
Von Sekanten zur Tangente am Kreis
Wir stellen uns zwei Personen auf einem Kreis vor.
Anton steht fest.
Barbara bewegt sich auf dem Kreis auf Anton zu.
Anton behält Barbara dabei fest im Blick.
In welche Richtung blickt Anton in dem Moment, wo Barbara ihn trifft?
Wir wollen den Übergang von Sekante zur Tangente vom Kreis auf Funktionsgraphen übertragen.
Wir erinnern dich davor noch an folgende bequeme Form der Geradengleichung.
Warum stimmt sie?
Geradengleichung
Eine Gleichung jener Geraden mit Steigung k, die durch
den Punkt (x0 | y0 ) verläuft, ist
y = k · (x − x0 ) + y0 .
Erkennst du den Spezialfall x0 = 0, y0 = d wieder?
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Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen
In der Skizze siehst du den Graphen einer Funktion f .
Die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte
A = (x0 | f (x0 ))
und
B = (x1 | f (x1 ))
des Graphen lautet
y=
f (x1 ) − f (x0 )
· (x − x0 ) + f (x0 ).
x1 − x0
|
{z
Steigung
}
Eine solche Gerade nennt man Sekante an den Graphen.
Von Sekanten zur Tangente am Funktionsgraphen
Der Punkt A in der Zeichnung ist fest. Der Punkt B ist auf dem Graphen beweglich.
Mit anderen Worten, wir halten x0 fest und bewegen uns mit x1 auf x0 zu.
Alle Sekanten, die wir dabei erhalten, laufen durch den festen Punkt A wie durch ein Gelenk.
Aus der Skizze wird deutlich, dass dabei der
Punkt B entlang des Graphen auf den Punkt
A zuläuft.
Wir schreiben x1 in der Form
x1 = x0 + h.
Die Betrag von h ist also der Abstand von x0
und x1 . Wir wollen wissen, was mit den Sekanten für immer kleiner werdende Werte von
h 6= 0 passiert.
Differenzenquotient
Die Steigung der Sekante durch die Punkte A und B ist
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
=
.
(x0 + h) − x0
h
„Differenzenquotient“
Die Skizze oben legt uns nahe, dass sich die Steigung der Sekanten einem ganz bestimmten Wert
annähert, wenn der Punkt B entlang des Graphen auf den Punkt A zugeht, wenn also h gegen 0
strebt. Als geübte MathematikerInnen prüfen wir das gleich in einem konkreten Beispiel.
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Beispiel 2.1. Wir nehmen die Funktion f (x) = x2 und die Stelle x0 = 1.
Die Steigung der Sekante durch
A = (1 | 1)
und
B = (1 + h | (1 + h)2 )
auf dem Graphen ist
(1 + h)2 − 1
2 · h + h2
(2 + h) · h
=
=
= 2 + h.
(1 + h) − 1
h
h
Die Sekantensteigung geht mit h gegen 0 auf den Wert 2
zu. Die Grenzgerade hat also die Gleichung
y = 2 · (x − 1) + 1 = 2 · x − 1.
Steigung in einem Tiefpunkt
Wir nehmen wieder die Funktion f (x) = x2 , diesmal aber die Stelle x0 = 0.
Erkläre, warum die Sekante durch
A = (0 | f (0))
und
B = (h | f (h))
die Steigung h hat.
Welchem Wert nähert sich die Steigung der Sekante also an, wenn der Punkt B auf den Punkt A
entlang des Funktionsgraphen zuläuft?
Kannst du das Ergebnis auch ohne Rechnung anhand des Funktionsgraphen erklären?
Beispiel 2.2. Rechnen wir nun mit f (x) = x2 und einer allgemeinen Stelle x0 . Die Steigung der
Sekante durch
A = (x0 | f (x0 )) und B = (x0 + h | f (x0 + h))
ist
f (x0 + h) − f (x0 )
(x0 + h)2 − x20
x2 + 2 · x0 · h + h2 − x20
=
= 0
= 2 · x0 + h.
h
h
h
Wenn h klein wird, dann geht dabei die Steigung der Sekante auf den Wert 2 · x0 zu.
Vergleiche zur Probe dieses allgemeine Ergebnis mit den beiden vorherigen Beispielen x0 = 0 und
x0 = 1.
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Lineare Funktionen und Sekanten
Wir betrachten eine lineare Funktion f (x) = k · x + d. Die Steigung der Sekante durch
A = (x0 | f (x0 ))
ist
B = (x0 + h | f (x0 + h))
und
f (x0 + h) − f (x0 )
(k · (x0 + h) + d) − (k · x0 + d)
k·h
=
=
= k.
h
h
h
Erkläre anhand der Skizze, weshalb uns dieses
Ergebnis nicht sonderlich überrascht.
Differenzierbarkeit und Ableitung
Wir betrachten eine Funktion f und eine Stelle x0 aus dem Inneren der Definitionsmenge.
Wir nehmen an, dass es eine Zahl k gibt, die folgende Eigenschaft hat. Die Steigung
f (x0 + h) − f (x0 )
h
der Sekanten durch den festen Punkt (x0 | f (x0 )) und den beweglichen Punkt (x0 + h | f (x0 + h))
auf dem Graphen strebt gegen die Zahl k, wenn h 6= 0 gegen 0 strebt. Wir schreiben dafür kurz
f (x0 + h) − f (x0 )
= k.
h→0
h
lim
Wir sagen dann, f ist differenzierbar an der Stelle x0 .
Statt k schreiben wir dann f 0 (x0 ) und sprechen von der Ableitung von f an der Stelle x0 :
f 0 (x0 ) = lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h→0
7
.
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Erinnere dich, dass mit dem Grenzwert
f (x0 + h) − f (x0 )
h
gemeint ist, dass für jede beliebige Nullfolge hhn i mit hn 6= 0,
f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 + hn ) − f (x0 )
.
n→∞
hn
f 0 (x0 ) = lim
Egal, wie wir auf x0 zulaufen, die Folge der Sekantensteigungen konvergiert dabei gegen f 0 (x0 ).
Wie kann eine Funktion nicht differenzierbar sein?
Unten sind die Graphen von drei verschiedenen Funktionen dargestellt. Erkläre, weshalb keine
dieser Funktionen an der Stelle 0 differenzierbar ist. Stelle dir wieder vor, Person A wartet fest
im Punkt (0 | 0) und blickt Richtung einer Person B, die entlang des Graphen näher kommt.
1)
2)
Vorsicht, Nackenschmerzen . . .
Suche nach zwei Nullfolgen mit jeweils konstanten,
3)
aber verschiedenen Sekantensteigungen.
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Tangente
Ist die Funktion f differenzierbar an der Stelle x0 , dann nähern sich die Sekanten
y=
f (x0 + h) − f (x0 )
· (x − x0 ) + f (x0 )
h
|
{z
}
Steigung
durch die Punkte
A = (x0 | f (x0 ))
B = (x0 + h | f (x0 + h))
und
im Grenzwert h → 0 der Gerade
y = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 )
an. Diese Grenzgerade heißt die Tangente von f an der Stelle x0 .
Ableitungsfunktion
Wenn eine Funktion f an jeder Stelle differenzierbar ist, können wir die sogenannte Ableitungsfunktion f 0 berechnen.
Ihr Funktionswert an der Stelle x – also f 0 (x) – ist die Steigung der Tangente von f an der Stelle x.
Wir sagen dann auch kurz: „f 0 ist die Ableitung von f “.
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Beispiel 2.3. Sehen wir uns nochmal die quadratische Funktion f (x) = x2 an.
In Beispiel 2.2 haben wir bereits gesehen, dass die Tangente
an der Stelle x0 die Steigung 2 · x0 hat.
Die Ableitung von f (x) = x2 ist also f 0 (x) = 2 · x.
Wenn x > 0 ist, dann ist f 0 (x) > 0 und die Tangente an f
hat eine positive Steigung.
Wenn x = 0 ist, dann ist f 0 (x) = 0 und die Tangente an f
ist waagrecht.
Wenn x < 0 ist, dann ist f 0 (x) < 0 und die Tangente an f
hat eine negative Steigung.
Welche Ableitung vermutest du hat die Funktion g(x) = x2 + 1?
Ableitung von f (x) = x3
Wir berechnen die Ableitung von f (x) = x3 an der Stelle x0 .
Die Steigung der Sekante durch A = (x0 | f (x0 )) und B = (x0 + h | f (x0 + h)) beträgt
(x0 + h)3 − x30
x3 + 3 · x20 · h + 3 · x0 · h2 + h3 − x30
f (x0 + h) − f (x0 )
=
= 0
h
h
h
2
2
= 3 · x 0 + 3 · x0 · h + h .
Die Zahl h im Differenzenquotienten ist eine beliebige, kleine Zahl außer 0. Ich denke da an h = 0,001 oder an h = −0,000 05.
Erkläre, weshalb
f (x0 + h) − f (x0 )
= 3 · x20 .
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
Ableitung von f (x) = x4
Versuche selbst nachzurechnen, dass die Ableitung der Funktion f (x) = x4 an der Stelle x0
f 0 (x0 ) = 4 · x30 .
ist.
Welche Ableitung vermutest du hat f (x) = x42 ? Nimm das Pascal’sche Dreieck genauer unter die Lupe.
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Ableitung von f (x) = x−1
Jetzt berechnen wir die Ableitung der Funktion f (x) = x−1 = 1/x an einer Stelle x0 6= 0.
Warum nicht x0 = 0?
Die Steigung der Sekante durch A = (x0 | f (x0 )) und B = (x0 + h | f (x0 + h)) beträgt
1
f (x0 + h) − f (x0 )
1
1
= ·
−
h
h
x0 + h x0
1
=−
.
(x0 + h) · x0
x0 − (x0 + h)
1
= ·
h
(x0 + h) · x0
!
=
−h
h · (x0 + h) · x0
Erkläre, weshalb
f (x0 + h) − f (x0 )
1
= − 2.
h→0
h
x0
f 0 (x0 ) = lim
Die Ableitung von f (x) = x−1 ist also f 0 (x) = −1 · x−2 .
Ableitung von f (x) = x−2
Übertrage die vorherigen Berechnungen auf die Funktion f (x) = x−2 .
Erkennst du das Muster schon?
Ableitung von f (x) =
√
x
√
Zum Abschluss berechnen wir noch die Ableitung von f (x) = x an der Stelle x0 > 0 von Hand.
Die Steigung der Sekante durch A = (x0 | f (x0 )) und B = (x0 + h | f (x0 + h)) beträgt
√
√
x0 + h − x0
f (x0 + h) − f (x0 )
=
h
h
√
√
√
√
( x0 + h − x0 ) · ( x0 + h + x0 )
√
=
Rationalmachen des Zählers
√
h · ( x0 + h + x0 )
(x0 + h) − x0
√
√
h · ( x0 + h + x0 )
1
=√
√ .
x0 + h + x0
=
(a − b) · (a + b) = a2 − b2
Erkläre nun, weshalb
f (x0 + h) − f (x0 )
1
=
√ .
h→0
h
2 · x0
f 0 (x0 ) = lim
1
Die Ableitung von f (x) = x 2 ist also f 0 (x) =
1
1
· x− 2 .
2
Ableitung von f (x) =
Übertrage die vorherigen Berechnungen auf die Funktion f (x) =
√
3
√
3
x
1
x = x3 .
Kannst du das Ergebnis erraten, bevor du rechnest?
Überlege dir für die Rechnung, dass immer (a − b) · (a2 + a · b + b2 ) = a3 − b3 gilt.
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3. Die Ableitungen der elementaren Funktionen
In diesem Abschnitt fassen wir die Ableitungen der wichtigsten Funktionen zusammen.
Ableitung der linearen Funktionen
f (x) = k · x + d
f 0 (x) = k
k, d reelle Zahlen
Die Ableitung von konstanten Funktionen f (x) = d ist also f 0 (x) = 0. Kannst du das auch grafisch erklären?
Ableitung der Potenzfunktionen
f (x) = xm
f 0 (x) = m · xm−1
m ≥ 1 eine ganze Zahl
f (x) = xm
f 0 (x) = m · xm−1
m ≤ −1 eine ganze Zahl, x 6= 0
f (x) = xα
f 0 (x) = α · xα−1
α eine reelle Zahl, x > 0
Warum?
Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktionen
f (x) = ex
f 0 (x) = ex
Die Basis ist die Euler’sche Zahl e = 2,718 281...
f (x) = ln(x)
f 0 (x) = 1/x
x>0
Ableitung der trigonometrischen Funktionen
f (x) = sin(x)
f 0 (x) = cos(x)
f (x) = cos(x)
f 0 (x) = − sin(x)
1
f 0 (x) =
cos2 (x)
f (x) = tan(x)
Die Winkel sind stets in Radiant gemessen.
x ∈ ]−π/2; π/2[
Ableitung der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
f (x) = arcsin(x)
f (x) = arccos(x)
f (x) = arctan(x)
1
1 − x2
1
f 0 (x) = − √
1 − x2
1
f 0 (x) =
1 + x2
f 0 (x) = √
x ∈ ]−1; 1[
x ∈ ]−1; 1[
Die Winkel sind wieder allesamt in Radiant gemessen.
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Wir empfehlen, die Ableitungsregeln der elementaren Funktionen in folgender Form einzuprägen.
•
•
•
•
•
•
Die Ableitung von „e hoch“ ist „e hoch“: (ex )0 = ex
Die Ableitung von „ln“ ist „eins durch“: (ln x)0 = x1
√
Die Ableitung der „Quadratwurzel“ ist „eins durch zweimal die Quadratwurzel“: ( x)0 =
Die Ableitung von „Sinus“ ist „Cosinus“: (sin(x))0 = cos(x)
Die Ableitung von „Cosinus“ ist „Minus Sinus“: (cos(x))0 = − sin(x)
Die Ableitung von „Tangens“ ist „eins durch Cosinus im Quadrat“: (tan(x))0 = cos12 (x)
1
√
2· x
4. Ableitungsregeln
Ableitungsregeln
s(x) = u(x) + v(x)
s0 (x) = u0 (x) + v 0 (x)
d(x) = u(x) − v(x)
d0 (x) = u0 (x) − v 0 (x)
m(x) = k · w(x)
m0 (x) = k · w0 (x)
p(x) = u(x) · v(x)
p0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
q(x) =
u(x)
v(x)
q 0 (x) =
u0 (x) · v(x) − u(x) · v 0 (x)
v(x)2
k 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
k(x) = f (g(x))
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Beispiel 4.1. Wir starten mit der Polynomfunktion
f (x) = 2 · x3 + 4 · x2 − 5 · x − 1.
Die ersten drei Ableitungsregeln besagen, dass wir die Ableitung von f aus den Ableitungen der
Potenzfunktionen zusammensetzen können:
f 0 (x) = 2 · 3 · x2 + 4 · 2 · x1 − 5 · 1 · x0 − 0
= 6 · x2 + 8 · x − 5
Beispiel 4.2. Die Funktion
f (x) = x2 · sin(x)
ist das Produkt der beiden Funktion u(x) = x2 und v(x) = sin(x). Die Produktregel besagt, dass die
Ableitung von f nicht das Produkt der Ableitungen ist, sondern
f 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
= 2 · x · sin(x) + x2 · cos(x).
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Aufgabe 4.3. Rechne nach, dass die Ableitung von
g(x) = 5 · x3 · cos(x)
die Funktion
g 0 (x) = 15 · x2 · cos(x) − 5 · x3 · sin(x)
ist.
Beispiel 4.4. Die Funktion
5 · x2
cos(x)
2
ist der Quotient der beiden Funktion u(x) = 5 · x und v(x) = cos(x). Die Quotientenregel besagt,
dass die Ableitung von f nicht der Quotient der Ableitungen ist, sondern
f (x) =
f 0 (x) =
u0 (x) · v(x) − u(x) · v 0 (x)
10 · x · cos(x) − 5 · x2 · (− sin(x))
=
v(x)2
(cos(x))2
10 · x · cos(x) + 5 · x2 · sin(x)
=
.
cos2 (x)
Beispiel 4.5. Die Funktion
ln(x)
x2
ist der Quotient der beiden Funktion u(x) = ln(x) und v(x) = x2 . Die Ableitung ist also
f (x) =
f 0 (x) =
1
x
· x2 − ln(x) · 2 · x
.
(x2 )2
Freilich können wir die Ableitungsfunktion noch vereinfachen:
f 0 (x) =
x − 2 · x · ln(x)
x · (1 − 2 · ln(x))
1 − 2 · ln(x)
=
=
.
x4
x4
x3
Sieht doch gleich besser aus.
Beispiel 4.6. Bei der Funktion k(x) = e3·x sind eine lineare Funktion und eine Exponentialfunktion
ineinander verschachtelt:
Exponentialfunktion
Lineare Funktion
x 7−−−−−−−−−−→ 3 · x 7−−−−−−−−−−−−→ e3·x .
Die lineare Funktion ist die innere Funktion und die Exponentialfunktion ist die äußere Funktion:
Innere Funktion: g(x) = 3 · x
Äußere Funktion: f (y) = ey
=⇒
=⇒
g 0 (x) = 3
f 0 (y) = ey
Die gegebene Funktion k ist eine Verschachtelung dieser beiden Funktionen. Ihre Ableitung können
wir also mit der Kettenregel berechnen:
k(x) = e3·x = f (g(x))
=⇒
k 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x) = e3·x · 3 .
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Beispiel 4.7. Bei der Funktion k(x) = sin(x2 − 1) wird eine quadratische Funktion in die Sinusfunktion eingepackt:
Quadratische Funktion
Sinusfunktion
x 7−−−−−−−−−−−−−→ x2 − 1 7−−−−−−−−→ sin(x2 − 1)
Die quadratische Funktion ist die innere Funktion und die Sinusfunktion die äußere Funktion:
Innere Funktion: g(x) = x2 − 1
Äußere Funktion: f (y) = sin(y)
g 0 (x) = 2 · x
f 0 (y) = cos(y)
=⇒
=⇒
Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion können wir mit der Kettenregel berechnen:
k(x) = sin(x2 − 1) = f (g(x))
=⇒
k 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x) = cos(x2 − 1) · 2 · x
Von außen nach innen auspacken
Es kommt darauf an, in welcher Reihenfolge Funktionen verschachtelt werden. Die Funktionen
a(x) = sin(x2 )
b(x) = sin2 (x) = (sin(x))2
und
wurden in verschiedener Reihenfolge verschachtelt:
Quadrieren
Sinusfunktion
a:
x 7−−−−−−→ x2 7−−−−−−−−→ sin(x2 )
b:
x 7−−−−−−−−→ sin(x) 7−−−−−−→ (sin(x))2
Quadrieren
Sinusfunktion
Packen wir mit der Kettenregel die Schachteln von außen nach innen aus, erhalten wir
a0 (x) = cos(x2 ) · 2 · x = 2 · x · cos(x2 )
b0 (x) = 2 · (sin(x)) · cos(x) = 2 · sin(x) · cos(x)
Beispiel 4.8. Die Funktion
k(x) = sin
√
x2 + 1
entsteht von innen nach außen durch Verschachtelung der Funktionen
√
√
Polynomfunktion
Wurzelfunktion
Sinusfunktion
x 7−−−−−−−−−−→ x2 + 1 7−−−−−−−−−→ x2 + 1 7−−−−−−−−→ sin
x2 + 1 .
Bei dieser Aufgabe sind also 3 Funktionen ineinander verschachtelt:
h(x) = x2 + 1
√
g(y) = y
=⇒
=⇒
h0 (x) = 2 · x
1
g 0 (y) = 2·√
y
Äußerste Funktion: f (z) = sin(z)
=⇒
f 0 (z) = cos(z)
Innerste Funktion:
Mittlere Funktion:
Die gegebene Funktion k ist die Verschachtelung dieser 3 Funktion:
√
√
k(x) = sin
x2 + 1 = = f
x2 + 1 = f (g(x2 + 1)) = f (g(h(x)))
15
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Differenzieren, I
Wir verwenden die Kettenregel beim Ableiten zweimal hintereinander:
√
0
√
x2 + 1 =
k 0 (x) = cos x2 + 1 ·
√
0
1
2
√
= cos x2 + 1 ·
·
x
+
1
=
2 · x2 + 1
√
1
√
= cos x2 + 1 ·
·2·x=
2 · x2 + 1
√
x · cos x2 + 1
√
.
=
x2 + 1
Exponential- und Logarithmusfunktion
Erinnere dich, dass die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f (x) = ex die Logarithmusfunktion g(x) = ln(x) ist. Kurz:
a = eln(a)
Damit können wir die Exponentialfunktion f (x) = ax mit Basis a > 0 definieren:
f (x) = ax = ex·ln(a) .
Ableitung von f (x) = ax
Erkläre mit der Kettenregel, warum die Ableitung von f (x) = ax die Funktion
f 0 (x) = ln(a) · ax
ist. Was kommt heraus, wenn a die Euler’sche Zahl e ist? Was, wenn a = 1 ist?
Ableitung von f (x) = xx
Rechne mit der Kettenregel und Produktregel nach, dass f (x) = xx die folgende Ableitung hat:
f 0 (x) = xx · (1 + ln(x)) .
Ableitung von h(x) =
Die Funktion g ist überall differenzierbar und es gilt g(x) > 0 für alle x.
Erkläre mit der Kettenregel, warum die Ableitung von
h(x) =
die folgende Funktion ist:
h0 (x) =
q
g(x)
1 g 0 (x)
·q
.
2
g(x)
16
p
g(x)
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5. Steigungswinkel und Schnittwinkel
Steigungswinkel einer Gerade
Erkläre, warum der Steigungswinkel α der
Gerade y = k · x + d mit
α = arctan(k)
berechnet werden kann.
Winkel messen wir wie am Einheitskreis: gegen den Uhrzeigersinn
von der positiven x-Achse aus. Links siehst du einen positiven Winkel α – gemessen in mathematisch positiver Orientierung (gegen
den Uhrzeigersinn). Rechts ist ein Winkel α < 0 dargestellt.
Steigungswinkel von f an der Stelle x0
Wenn wir vom Steigungswinkel einer Funktion f an der
Stelle x0 sprechen, dann ist damit der Steigungswinkel der
Tangente im Punkt (x0 | f (x0 )) gemeint.
Erkläre folgende Formel für den Steigungswinkel:
α = arctan (f 0 (x0 )).
Beispiel 5.1. An welchen Stellen hat die Funktion f (x) = 3 · x2 − 11 · x + 2 den Steigungswinkel 45◦ ?
Lösung. Der Steigungswinkel 45◦ entspricht einer Steigung von tan(45◦ ) = 1. Wir suchen also nach
allen Stellen x0 , an denen f 0 (x0 ) = 1 gilt. Die Ableitung ist f 0 (x) = 6 · x − 11, also
6 · x0 − 11 = 1
⇐⇒
x0 = 2.
Die Funktion hat nur an der Stelle x0 = 2 den Steigungswinkel 45◦ .
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Winkel zwischen zwei Geraden
Zwei Geraden haben die (orientierten) Steigungswinkel α bzw. β, wobei α > β gilt.
Erkläre, weshalb für den von den Geraden eingeschlossenen Winkel ϕ gilt:
ϕ = α − β.
Schnittwinkel
Schneiden sich die Graphen zweier Funktionen f und g
an einer Stelle x0 , dann gilt
f (x0 ) = g(x0 ).
Unter dem Schnittwinkel an der Stelle x0 verstehen wir
dann den Schnittwinkel der beiden Tangenten.
Wenn f 0 (x0 ) > g 0 (x0 ) ist, dann ist der Schnittwinkel
ϕ = arctan (f 0 (x0 )) − arctan (g 0 (x0 )).
Beispiel 5.2. Die Graphen der Funktionen f (x) =
1 2
3
· x und g(x) = − · x2 + 4 sind dargestellt.
4
4
a) Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte
S1 und S2 .
b) Zeichne den Schnittwinkel zwischen f und g im
Schnittpunkt S2 ein und berechne dessen Betrag.
Lösung. a) Die Schnittstellen sind die Lösungen der Gleichung
f (x) = g(x)
⇐⇒
1 2
3
· x = − · x2 + 4
4
4
18
⇐⇒
x2 = 4
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Die Schnittstellen befinden sich also bei x1 = −2 und x2 = 2.
Wegen f (−2) = 1 und f (2) = 1 haben die Schnittpunkte die Koordinaten
S1 = (−2 | 1) bzw. S2 = (2 | 1).
b) Die Ableitungen der beiden Funktionen sind
1
3
· x bzw. g 0 (x) = − · x.
2
2
Die (orientierten) Steigungswinkel betragen also
f 0 (x) =
α = arctan(f 0 (2)) = 45◦
bzw.
β = arctan(g 0 (2)) = −71,56...◦ .
Der Schnittwinkel ϕ zwischen den beiden Funktionsgraphen im Schnittpunkt S2 ist
ϕ = 45◦ − (−71,56...◦ ) = 116,56...◦
6. Erläuterungen zu den Ableitungsregeln
Herleitung der Produktregel
Woher kommt die Produktregel
p0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) ?
Wenn p(x) = u(x) · v(x), dann haben wir bestimmt
p(x0 + h) − p(x0 )
u(x0 + h) · v(x0 + h) − u(x0 ) · v(x0 )
=
h
h
u(x0 + h) − u(x0 )
v(x0 + h) − v(x0 )
=
· v(x0 ) + u(x0 + h) ·
,
h
h
weil ja
u(x0 + h) · v(x0 + h) − u(x0 ) · v(x0 )
= u(x0 + h) − u(x0 ) · v(x0 ) + u(x0 + h) · v(x0 + h) − v(x0 ) .
Wenn eine Funktion f an einer Stelle x0 differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig, also
lim f (x0 + h) = f (x0 ).
h→0
Erkläre, warum daher
p0 (x0 ) = u0 (x0 ) · v(x0 ) + u(x0 ) · v 0 (x0 )
gilt.
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Herleitung der Kettenregel
Woher kommt die Kettenregel
k 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
für Zusammensetzungen k(x) = f (g(x))?
Wir haben bestimmt
k(x0 + h) − k(x0 )
f (g(x0 + h)) − f (g(x0 ))
f (g(x0 + h)) − f (g(x0 )) g(x0 + h) − g(x0 )
=
=
·
h
h
g(x0 + h) − g(x0 )
h
wenn h 6= 0 und g(x0 + h) − g(x0 ) 6= 0. Rechts steht das Produkt von zwei Sekantensteigungen:
g(x0 + h) − g(x0 )
h
ist die Steigung der Sekante durch
A = (x0 | g(x0 ))
und
und B = (x0 + h | g(x0 + h)) ,
f (g(x0 + h)) − f (g(x0 ))
g(x0 + h) − g(x0 )
ist die Steigung der Sekante durch
C = (g(x0 ) | f (g(x0 )))
und D = (g(x0 + h) | f (g(x0 + h))) .
Erkläre, warum daraus
k 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
folgt, wenn g(x0 + h) 6= g(x0 ) in einer Umgebung von x0 ist.
Sollte diese Voraussetzung nicht erfüllt sein, müssen wir noch genauer sein:
Sei hhn i eine Nullfolge mit hn 6= 0. Erinnere dich, dass lim g(x0 + hn ) = g(x0 ).
n→∞
Wir nehmen an, dass g 0 (x0 ) 6= 0. Dann gilt für alle großen n auch g(x0 + hn ) − g(x0 ) 6= 0.
Warum?
Wir setzen oben ein und erhalten
lim
n→∞
k(x0 + hn ) − k(x0 )
f (g(x0 + hn )) − f (g(x0 ))
g(x0 + hn ) − g(x0 )
· lim
= lim
hn
g(x0 + hn ) − g(x0 )
hn
n→∞
n→∞
= f 0 (g(x0 )) · g 0 (x0 )
und damit die Kettenregel.
Wir nehmen noch den Fall wo g 0 (x0 ) = 0 genauer unter die Lupe. Es kann dann vorkommen, dass immer g(x0 + hn ) − g(x0 ) = 0,
also g(x0 + hn ) = g(x0 ). Dann ist aber auch
k(x0 + hn ) − k(x0 )
=0
hn
und umso mehr
lim
n→∞
k(x0 + hn ) − k(x0 )
= 0.
hn
Im Mischfall, wenn also immer wieder g(x0 + hn ) − g(x0 ) 6= 0 und immer wieder g(x0 + hn ) − g(x0 ) = 0, kombinieren wir unsere
beiden Argumente und sehen
lim
n→∞
k(x0 + hn ) − k(x0 )
= 0 = f 0 (g(x0 )) · g 0 (x0 ).
hn
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