WVV-12 Schuljahr 2012/2013 Lösungen zu Übung 11 1 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung derjenigen Zufallsvariablen X , die beim Wurf dreier Würfel die Augensumme angibt! 1 216 3 P (X = 4) = 216 6 P (X = 5) = 216 10 P (X = 6) = 216 15 P (X = 7) = 216 21 P (X = 8) = 216 25 P (X = 9) = 216 27 P (X = 10) = 216 27 P (X = 11) = 216 25 P (X = 12) = 216 21 P (X = 13) = 216 15 P (X = 14) = 216 10 P (X = 15) = 216 6 P (X = 16) = 216 3 P (X = 17) = 216 1 P (X = 18) = 216 P (X = 3) = 111[1] (In den eckigen Klammern jewils die Anzahl der möglichen Vertauschungen) 112[3] 113[3], 122[3] 114[3], 123[6], 222[1] 115[3], 124[6], 133[3], 223[3] 116[3], 125[6], 134[6], 224[3], 233[3] 126[6], 135[6], 144[3], 225[3], 234[6], 333[1] 136[6], 145[6], 226[3], 235[6], 244[3], 334[3] Tausche jetzt 1 ↔ 6, 2 ↔ 5, 3 ↔ 4. Dann erhältst du aus allen Kombinationen für X = 3 diejenigen für X = 18, aus allen Kombinationen für X = 4 diejenigen für X = 17 usw. 2. Beim zweifachen Wurf eines Würfels kann die Ergebnismenge angegeben werden mit Ω = {(i; j) : i, j ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}}. Dann ist X (ω) = i + j , ω = (i; j) diejenige Zufallsvariable, die die Augensumme der beiden Würfe angibt. Die Wertemenge X (Ω) ist dann X (Ω) = {2; 3; . . . ; 12}. Nun soll X1 diejenige Zufallsvariable sein, die die Augenzahl des ersten Wurfs angibt, entsprechend X2 diejenige, die die Augenzahl des zweiten Wurfs angibt. (a) Welchen Wertebereich besitzen die Zufallsvariablen i. X1 − X2 Der Wertebereich ist {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ii. X1 − 2X2 Der Wertebereich ist {−11, −10, . . . , 4} iii. X1 · X2 Der Wertebereich ist {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36} (b) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten i. P (X1 < X2 ) # ({X1 = 6} ∩ {X1 < X2 }) = 0, # ({X1 = 5} ∩ {X1 < X2 }) = 1, ... , # ({X1 = 1} ∩ {X1 < X2 }) = 5. # (M ) gibt dabei die Anzahl der Elemente der Menge M an. Also ist P (X1 < X2 ) = ii. P (min (X1 , X2 ) > 2); 1+2+3+4+5 36 = 15 36 = 5 12 . X1 min (X1 , X2 ) = , falls X1 ≤ X2 X2 , falls X2 < X1 16 = 49 P (min (X1 , X2 ) > 2) = P ({(i; j) : i, j ∈ {3; 4; 5; 6}}) = 36 3. Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Arten von Fehlern aufweisen, den Fehler A und den Fehler B. Aus Erfahrung ist bekannt, dass ein zufällig herausgegrienes Werkstück mit Wahrscheinlichkeit 0,05 den Fehler A hat, mit Wahrscheinlichkeit 0,01 beide Fehler aufweist und mit Wahrscheinlichkeit 0,02 nur den Fehler B hat. WVV-12 Schuljahr 2012/2013 Lösungen zu Übung 11 2 (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weist das Werkstück den Fehler B auf? Das Ereignis, dass der Fehler A auftritt soll schlicht mit A bezeichnet werden, entsprechend das Ereignis, dass der Fehler B auftritt mit B . Der Aufgabentext liefert also: P (A) = 0, 05 P (A ∩ B) = 0, 01 P (B ∩ A) = 0, 02. Damit ist P (B) = P (B ∩ A) + P (A ∩ B) = 0, 02 + 0, 01 = 0, 03 die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers B. (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Werkstück fehlerhaft bzw. fehlerfrei? P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 05 + 0, 03 − 0, 01 = 0, 07 ist also die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Werkstück, entsprechend P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0, 07 = 0, 93 die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Werkstück. (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt das Werkstück genau einen der beiden Fehler? P A ∩ B ∪ B ∩ A = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B) = 0, 05 + 0, 03 − 2 · 0, 01 = 0, 06 4. Zwei Paare nehmen bei einem gemeinsamen Dinner rein zufällig um einen runden Tisch mit vier Stühlen Platz. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Partner jeweils nebeneinander sitzen! Man sieht am deutlichsten, was passiert, wenn eine Person sich bereits zufällig einen Platz besetzt hat. Für den zugehörigen Partner gibt es nun zwei Plätze neben, aber nur einen Platz nicht neben der zuerst platzierten Person. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Partner jeweils nebeneinandersitzen p = 23 . 5. Ein Würfel wird 8-mal hintereinander geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Augenzahl mindestens einmal auftritt! Xi ; i = 1, . . . , 6 ist diejenige Zufallsvariable, die die Anzahl, mit der die Augenzahl i auftritt, zählt. Das beschriebene Ereignis tritt genau dann ein, wenn entweder eine Augenzahl dreimal und die übrigen fünf je einmal auftreten, oder zwei Augenzahlen doppelt und die anderen vier Augenzahlen je einmal auftreten. Nun ist P (X1 ≥ 1, X2 ≥ 1, . . . , X6 ≥ 1) = = 6 · P (X1 = 3, X2 = 1, . . . , X6 = 1) + 62 · P (X1 = X2 = 2, X3 = 1, . . . , X6 = 1) 8 8 8! 1 8! 1 + 15 · ≈ 0, 114 6· 3! 6 2!2! 6 Dabei tritt der Faktor 62 auf, da zwei der sechs möglichen Augenzahlen ausgewählt werden. Der Faktor 8! 3! tritt auf, da die acht festgelegten Augenzahlen, die nun fallen müssen, in 8! verschiedenen Reihenfolgen 8! auftreten können, die drei gleichen Augenzahlen aber nicht zu unterscheiden sind. Der Faktor 2!2! tritt auf, da die acht festgelegten Augenzahlen, die nun fallen müssen, in 8! verschiedenen Reihenfolgen auftreten können, die beiden doppelt auftretenden Augenzahlen aber jeweils nicht zu unterscheiden sind. 6. Vervollständigen Sie die abgedruckte Vierfeldertafel! Erstellen Sie zwei Baumdiagramme mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten! Schüler weiblich männlich sprachlicher Zweig 359 258 617 naturwissenschaftlicher Zweig 211 238 449 570 496 1066 WVV-12 Schuljahr 2012/2013 Lösungen zu Übung 11 3