Mathematik-Wettbewerb Känguru 2014

Hochschule Bremen
Fachbereich E-Technik & Informatik
Mathematikwettbewerb Känguru e.V.
XXII. Mathematik-Wettstreit 2014
für Schüler und Studenten
Prof. Dr. Th. Risse
Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um
die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende
(nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich
am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere
in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß
machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen.
c 2014
Letzte Änderung: 15. Juli 2014
[email protected]
Version 0.1
2
1. Einführung
Bei Kangourou 2014 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der
11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit
meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern.
Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch
mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle
unter
http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Viel Erfolg!
3
2. Aufgaben mit Lösungen
Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren
und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb
Stunden lösen.
Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten.
Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß
beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken!
Aufgabe
1. Mathematik ist
(a) fun
(b) cool
(c) out
(d) in
(e)
voll krass
Auf die Plätze – fertig – los!
nd nicht zugelassen.
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
4
Aufgabe
1. Aus einem 5 × 5 × 5-Würfel wurden einiWürfel wurden
einigeWürfel
kleine Würfel
entfernt.
geblieben
ge kleine
entfernt.
ÜbrigÜbrig
geblieben
elschicht und
gleich hohe
Säulen (s. Abb.).
viele
sindmehrere
die unterste
Würfelschicht
und Wie
mehentfernt? rere gleich hohe Säulen (s. Abb.). Wie viele
kleine
wurden
entfernt? (E ) 80
) 64
(C)Würfel
68
(D) 72
ben
(B) 232.
(a) 60
8
7
2 −2
26 −25 =
4
(b) 64
(C) 22
(c) 68
(D) 21
3
2
(d) 72
(e) 80
(E ) 20
1
0
(b) 2 Albert addiert
(c) 2 das Alter(d)
(e) 255.
haben alle (a)
drei 2
heute Geburtstag.
der2drei und erhält
f die Feier,
wenn die
Summe
desLilia
Alters
der drei
nächste
eine Zahl aus
3. Carla,
Emilie
und
haben
alledasdrei
heuteMal
Geburtstag.
Albert
ist. Wie alt
werdendas
die drei
dann
addiert
Alter
derzusammen
drei undsein?
erhält 55. Er freut sich schon auf
die Feier,(C)
wenn
des99Alters der drei
das nächste Mal
88 die Summe(D)
(E ) 111
eine Zahl aus lauter gleichen Ziffern ist. Wie alt werden die drei
der Tabelle
sollen
die vier Zahlen
dann
zusammen
sein?5, 6, 7 und 8 so eingetragen
1 2 3 4
me in jeder der vier Spalten gerade ist. Wie viele Möglichkeiten
(a) 66
(b) 77
(c) 88
(d) 99
(e) 111
(B) 77
(B) 4
(C) 8
(D) 12
(E ) 24
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
5
4. In die vier leeren Felder der Tabelle sollen
1 2 3 4
die vier Zahlen 5, 6, 7 und 8 so eingetragen
werden, dass die Summe in jeder der vier
Spalten gerade ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 12
(e) 24
5. Volker hat vier Freunde, die wie er Brieftauben besitzen. Sie
schreiben sich häufig. Heute sind 8 Tauben von seinen Freunden in
Volkers Taubenschlag angekommen. Nur eine der folgenden Aussagen ist mit Sicherheit richtig. Welche?
(a) Jeder der vier Freunde hat 2 Tauben geschickt.
(b) Jeder der vier Freunde hat mindestens eine Taube geschickt.
(c) Keiner der vier Freunde hat 8 Tauben geschickt.
(d) Einer der vier Freunde hat mindestens 2 Tauben geschickt.
(e) Zwei der Tauben wurden von verschiedenen Freunden geschickt.
6. In einem Koordinatensystem ist ein Quadrat gezeichnet, eine Diagonale liegt auf der y-Achse. Ein Eckpunkt hat die Koordinaten
(0, −5), ein anderer Eckpunkt hat die Koordinaten (0, 1). Wie
lauten die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Quadrats?
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
(a) (4, 0)
(b) (6, −2)
(c) (5, 3)
6
(d) (−1, −3) (e) (−3, −2)
7. Für reelle Zahlen a, b und c, für die a = 18 − b und b = 10 − c gilt,
ist nur eine der folgenden Ungleichungen mit Sicherheit erfüllt.
Welche?
(a) a > c
(b) a > b
(c) b > c
(d) c > b
(e) c > a
8. Wie viele Stellen hat die Zahl (23 )4 · (54 )3 ?
(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 12
(e) 13
9. Ich habe zwei Zylinder gleicher Höhe.
Mit einem quadratischen Stück Papier
kann ich den Mantel des kleinen Zylinders vollständig und ohne Überlappungen bekleben.
Für den großen Zylinder brauche ich genau zwei solche quadratische Stücke Papier. In welchem Verhältnis steht das Volumen des
großen Zylinders zum Volumen des kleinen Zylinders?
(a) 2:1
(b) 3:1
(c) π:1
(d) 4:1
(e) 2π:1
10. In der aktuellen Jahreszahl 2014 ist die letzte Ziffer größer als die
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
7
Summe der anderen drei Ziffern und alle Ziffern sind verschieden.
Wann war dies das letzte Mal der Fall?
(a) vor 215 (b) vor 305 (c) vor 395 (d) vor 405 (e) vor 485
Jahren
Jahren
Jahren
Jahren
Jahren
11. Charles, Steven und Robert haben zusammen 48 DVDs zu Hause.
Charles und Robert besitzen zusammen doppelt so viele DVDs
wie Steven. Und Steven besitzt doppelt so viele wie Charles. Wie
viele DVDs besitzt Robert?
(a) 16
(b) 20
(c) 24
(d) 30
(e) 32
12. Vier Mannschaften bestreiten ein Floorball-Turnier. Jede tritt gegen jede andere genau einmal an. Der Sieger eines Spiels erhält
3 Punkte, der Verlierer keinen und bei einem Unentschieden erhalten beide Mannschaften je 1 Punkt. Zum Turnierende hat eine
Mannschaft 7 Punkte, und zwei Mannschaften haben je 4 Punkte.
Wie viele Punkte hat die vierte Mannschaft erreicht?
(a) 5
(b) 3
(c) 2
(d) 1
(e) 0
13. Ein Quader hat die Kantenlängen a, b und c, wobei 1 < a < b < c
gilt. Ich stelle mir einen zweiten Quader vor, bei dem eine der drei
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
8
Kantenlängen a, b oder c um 1 verkürzt ist. In welchem Fall ist
das Volumen dieses Quaders am kleinsten?
(a) wenn a verkürzt ist
(b) wenn b verkürzt ist
(c) wenn c verkürzt ist
(d) Es hängt von den Maßen von a, b, c ab.
(e) Die Volumina bei (a), (b) und (c) sind alle gleich groß.
14. Sechs 11
Wochen
— Klassenstufen
bis 13 sind genau 1 · 2 · 3 · . . . · n = n! Sekunden. n = ?3
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 10
(e) 12
mal derselbe
Würfel ist
abgebildet,
aus unterschiedlichen
15. Rechts
zweimaljedoch
derselbe
Würfel abge. Er besteht
aus 27jedoch
gleich großen
Würfeln, von denen Blickeinige
bildet,
aus unterschiedlichen
he maximale
Anzahl vonEr
Würfeln
kann
grau
richtungen.
besteht
aus
27sein?
gleich großen
Würfeln,
von denen
einige
grau(Esind.
(C) 8
(D)
9
) 10
Welche maximale Anzahl von Würfeln kann grau sein?
Luise bei Sonja
in 92/3 der geplanten
(a) 6 verabredet.
(b)Luise
7 radelt zügig
(c) 8und schafft(d)
(e) 10 Zeit
(B) 7
Strecke. Danach fährt sie gemütlicher weiter und kommt wie geplant um 15 Uhr bei
Um 15steht
Uhr Luises
ist Luise
bei Sonja verabredet. Luise
radelt
und
lchem16.
Verhältnis
Durchschnittsgeschwindigkeit
auf dem
erstenzügig
Teil der
schafft in 2/3 der auf
geplanten
ZeitTeil
bereits
3/4 der Strecke. Danach
Durchschnittsgeschwindigkeit
dem zweiten
der Strecke?
(B) 4 : 3
(C) 3 : 2
(D) 2 : 1
(E ) 3 : 1
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
9
fährt sie gemütlicher weiter und kommt wie geplant um 15 Uhr
bei Sonja an. In welchem Verhältnis steht Luises Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem ersten Teil der Strecke zu ihrer Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem zweiten Teil der Strecke?
(a) 5:4
(b) 4:3
(c) 3:2
(d) 2:1
(e) 3:1
17. Von zwei Quadraten ist bekannt, dass sich ihre Flächeninhalte
um 13 cm2 unterscheiden. Um wie viel unterscheiden sich ihre
Seitenlängen?
√
(a) um 3 cm (b) um 10
cm (c) um 13cm (d) um 13 cm
3
(e) Es gibt unendlich viele Möglichkeiten.
18. Ein Frischkäse hat laut Etikett einen Fettgehalt von 24%, während
der Fettgehalt in Trockenmasse 64% beträgt. Wie viel Prozent
Wasser sind in diesem Käse?
(a) 88%
(b) 62,5% (c) 49%
(d) 42%
(e) 37,5%
Wie viel Prozent Wasser sind in diesem Käse?
Abschnitt
mit49Lösungen
(B) 62,5 2:
% Aufgaben
(C)
%
(D) 42 %
10
(E ) 37,5 %
19. Die Kreise K und k haben denselben Mit-
C
und k2 haben
denselben
Radius
von kso
1
telpunkt.
Der Mittelpunkt.
Radius vonDer
K ist
dreimal
nicht
maßstabsgerecht).
ang wie der
Radius
von Radius
k2 (Abb.von
lang
wie der
k (Abb.
nicht maßhmesser von
k1 , die Sehne BC
ist ist
gleichzeitig
Tangente anvon
k2 .
stabsgerecht).
AC
ein Durchmesser
2. Wie lang ist der Radius von k1 ?
k1
K, die Sehne BC ist gleichzeitig Tangente B
Es 21
ist |AB|(D)
= 12
(B) 18 an K.(C)
24 LE. Wie
(E ) lang
27 ist
der Radius von k ?
k2
A
sicher, wenn
für
drei
von
0
verschiedene
reelle
Zahlen
a,
b,
c
die
beiden
(a) 15
(b) 18
(c) 21
(d) 24
(e) 27Zahlen
nd (−3)2 a3 b5 c −4 dasselbe Vorzeichen haben?
20. Was gilt ganz sicher, wenn für drei von 0 verschiedene reelle Zah3 2
−10 2
(B)len
b >a,0 b, c die beiden
(C) c >Zahlen
0
(D)
(E )2ba3<b50c−4 das(−2)
a ab<
c und (−3)
selbe Vorzeichen haben?
Aufgaben(a) a > 0
(b) b > 0
(c) c > 0
(d) a < 0
(e) b < 0
x
21. Die
acht
Ecken
Würfels
sollen so
mit dass
es Würfels
sollen
so mit
1, 2,eines
3, 4, 5,
6, 7, 8 markiert
werden,
1, 2,4 zu
3, einer
4, 5,Würfelseite
6, 7, 8 markiert
werden,
on den jeweils
gehörenden
Zahlen dass
gleich sind.
bereits markiert.
Für Summen
welche Zahlvon
steht
x ?jeweils vier zu
die sechs
den
gehörenden
gleich
(B) 3 einer Würfelseite
(C) 5
(D) 7 Zahlen(E
)8
x
6
16
4
sind. Drei Ecken sind bereits markiert. Für
1
4
welche
Zahl
steht xZahlen
?
chkeiten gibt
es, drei
natürliche
a, b, c anzugeben, für die a > b > c > 1 und
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
(a) 2
(b) 3
(c) 5
11
(d) 7
(e) 8
22. Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei natürliche Zahlen a, b, c
anzugeben, für die a > b > c > 1 und a1 + 1b + 1c > 1 gilt?
(a) keine
(b) eine
(c) zwei
(d) drei
(e) ∞ viele
23. Von 10 verschiedenen positiven ganzen Zahlen sind genau 5 durch
5 teilbar und genau 7 durch 7 teilbar. Wie groß ist die größte dieser
Zahlen mindestens? (A) 105 (B) 77 (C) 75 (D) 70 (E) 63
(a) 105
(b) 77
(c) 75
(d) 70
(e) 63
24. Prisca hat 22 Socken in ihrer Sockenschublade, nur blaue und weiße. Wenn sie 3 Socken zufällig herausnimmt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Socken weiß sind, gleich 71 . Wie viele weiße
Socken sind in Priscas Sockenschublade?
(a) 20
(b) 18
(c) 16
(d) 14
(e) 12
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
25. Die Abbildung zeigt zwei sich berührende
Kreise mit Radius 1 und ein Quadrat, das
die Kreise berührt. Eine Quadratseite liegt
auf einer gemeinsamen Tangente der Kreise. Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrats?
(d)
(a) 25
(b) 14
(c) √12
12
1
5
(e)
1
2
B 1 A2
B 2 A1
B3
27. Ein regelmäßiges 15-Eck A1 A2 . . . A15 und
ein regelmäßiges n-Eck B1 B2 . . . Bn haben
beide die Seitenlänge 1 und die gemeinsame Seite B1 B2 = A2 A1 (Abb. nicht maßstabsgerecht). Für welches n hat die Strecke A15 B3 die Länge 1?
A15
26. László möchte möglichst viele verschiedene natürliche Zahlen aufschreiben, die alle kleiner oder gleich 100 sind und deren Produkt
nicht durch 54 teilbar ist. Wie viele Zahlen kann László höchstens
aufschreiben?
(a) 54
(b) 62
(c) 67
(d) 69
(e) 81
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
13
(a) 10
(b) 12
(c) 15
(d) 16
(e) 18
28. Wie
viele Paare (m,
√ n) positiver ganzer Zahlen gibt es, für die
√
n
2014 + m und n 1024 + 1 dieselbe ganze Zahl ergeben?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
29. Auf einem Würfel ist ein Streckenzug ge- x
H
G
zeichnet, der benachbarte Kantenmittelpunkte verbindet (s. Abb.). Wenn A ein D
C
Eckpunkt des Streckenzuges ist und X und
Y dessen Nachbarn, so wird als Winkel
z
E
F
des Streckenzugs bei A der Innenwinkel
∠(XAY ) im Dreieck ∆(AXY ) bezeichnet. A
y
B
Wie groß ist die Summe aller 12 Winkel des
Streckenzugs?
(a) 720o
(b) 1080o
(c) 1200o
(d) 1440o
(e) 1800o
30. Im Wald des Wandels gibt es merkwürdige Wesen: 17 Bimsel, 55
Gnafze und 6 Ylpen. Treffen ein Bimsel und ein Gnafz aufeinander, verschmelzen sie zu einer Ylpe. Treffen ein Bimsel und eine
Ylpe aufeinander, verschmelzen sie zu einem Gnafz. Treffen ein
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
14
Gnafz und eine Ylpe aufeinander, verschmelzen sie zu einem Bimsel. Dies führt dazu, dass irgendwann nur noch eine der drei Arten
übrig ist. Wie viele Wesen dieser Art sind dann höchstens übrig?
(a) 1
(b) 6
(c) 17
(d) 23
(e) 35
15
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar
Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auch
leihweise zur Verfügung stellen:
• Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e
und viele weitere Titel
• P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985
ISBN 3-7643-1359-5
• Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list;
www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html
• John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9
• Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi
Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s.a.
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
16
Lösung zu Aufgabe:
Es wurden 3 ∗ 2 ∗ 4 + 2 ∗ 5 ∗ 4 = 16 ∗ 4 = 64 kleine Würfel entfernt,
also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
17
Lösung zu Aufgabe:
28 −27
26 −25
=
27 (2−1)
25 (2−1)
=
27
25
= 22 , also Antwort (c).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
18
Lösung zu Aufgabe:
Das Alter von Carla, Emilie und Lilia sei jeweils c, e und `. Also gilt
zur Zeit c+e+` = 55. Wenn c+x+e+x+`+x = c+e+`+3x = 55+3x
wieder eine Zahl aus lauter gleichen Ziffern ist, ist diese Zahl nicht 66,
weil 66 − 55 = 11 und 3 - 11, auch nicht 77, weil 77 − 55 = 22 und
3 - 22. Jedoch gilt 55 + 3 · 11 = 88, also Antwort (c). Test beenden
Lösungen der Aufgaben
19
Lösung zu Aufgabe: Gerade Zahlen müssen mit ungeraden Zahlen
kombiniert werden (und umgekehrt):
für
für
für
für
die
die
die
die
1
2
3
4
gibt
gibt
gibt
gibt
es
es
es
es
5 und 7, also zwei Möglichkeiten,
6 und 8, also zwei Möglichkeiten,
nur noch eine Möglichkeit,
auch nur noch eine Möglichkeit.
Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
20
Lösung zu Aufgabe: Man schließt aus:
a) ist nicht notwendig (z.B. haben zwei 2, einer 1 und einer 3 geschickt).
b) ist nicht notwendig (z.B. haben zwei 3, einer 2 und einer keine geschickt).
c) ist nicht notwendig (z.B. haben drei keine und einer 8 geschickt).
e) ist nicht notwendig (z.B. einer schickt 8 Tauben).
Also bleibt nur Antwort (d): denn wenn alle maximal eine Taube
schicken, ist die Anzahl maximal 4 und nie 8.
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
21
Lösung zu Aufgabe:
y
x
Die Diagonale auf der y-Achse verläuft von (0, −5) nach (0, 1) und
hat die Länge 6 LE. Damit verläuft die andere Diagonale parallel zur
x-Achse auf der Geraden y = −2 und symmetrisch zur y-Achse. Die
beiden Diagonalen sind gleich lang. Somit hat das Quadrat die beiden
anderen Eckpunkte (−3, −2) und (3, −2), also Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
22
Lösung zu Aufgabe: Aus a = 18 − b und b = 10 − c folgt
a = 18 − b = 18 − (10 − c) = 8 + c, also a − c = 8 > 0, d.h. a > c, also
Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
23
Lösung zu Aufgabe:
(23 )4 · (54 )3 = 212 · 512 = 1012 , also Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
24
Lösung zu Aufgabe: Sei a die Seitenlänge des Quadrates.
In beiden Fällen ist dann h = a. Mit 2πr = a gilt r =
a2
1 3
Vklein = πr2 h = π 4π
folgt.
2 a = 4π a
Mit 2πR = 2a gilt R =
a
π,
2
so daß Vgroß = πR2 h = π πa2 a =
Für das Volumenverhältnis gilt somit
(d).
Vgroß
Vklein
=
1/π
1/4/π
a
2π ,
so daß
1 3
πa
folgt.
= 4, also Antwort
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
25
Lösung zu Aufgabe:
2014 − 215 = 1799, aber die 9 kommt zweimal vor.
2014 − 305 = 1709, alle Ziffern verschieden und 9 > 1 + 0 + 7 = 8.
Da 305 kleiner als 395, 405 und 485 ist, ergibt sich also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
26
Lösung zu Aufgabe: Seien c, s und r die Anzahl der CDs von
Charles, Steven und Robert.
Dann gilt c + s + r = 48 und c + r = 2s und s = 2c. Aus c + r + s = 48
und c + r − 2s = 0 folgt s = 16 und dann c = 8 sowie aus r = 2s − c
eben r = 24, also Antwort (c).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
27
Lösung zu Aufgabe: Wenn jede Mannschaft gegen jede andere genau einmal antritt, finden insgesamt 4 · 3/2 = 6 Spiele statt.
Die Mannschaft A mit 7 Punkten hat also nicht sieben mal unentschieden gespielt (nur 6 Spiele); sie hat auch nicht nur einmal gesiegt
und viermal unentschieden gespielt (nur drei Gegener); also hat A etwa gegen B und C gewonnen und gegen D unentschieden gespielt.
Kanten sind mit den vom Endknoten gewonnenen Punkten etikettiert.
C
3 0
A
D
1
3 0
1
0
3
C
B
A
0
3
D
1
1
0
3
B
C
0
3
3 0
11
11
A
0
3
D
B
C
0
3
D
3 0
11
11
3 0
A
0
3
B
Wenn B und C gegen D gewinnen und gegeneinander unentschieden
spielen, ist eine Lösung gefunden. Lösungen sind eindeutig, also Antwort (d).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
28
Lösung zu Aufgabe:
In (a−1)bc = abc−bc und a(b−1)c = abc−ac und ab(c−1) = abc−ab
gilt ab < ac < bc, d.h. V = (a − 1)bc = abc − bc ist minimal (man
scheidet das größte Stück weg), also Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
29
Lösung zu Aufgabe: Sechs Wochen sind genau n! Sekunden.
Sechs Wochen sind 3628800 = 60 · 60 · 24 · 7 · 6 = 63 · 102 · 3 · 8 · 7 =
25 · 34 · 52 · 7 · 8 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 10!, also Antwort
(d).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
30
Lösung zu Aufgabe: Sichtbar sind jeweils Deckel, links und vorne.
Wenn die Vorderseite des rechten Würfels mit dem Deckel des linken identifiziert wird, kann der große Würfel maximal 3 + 3 + 3 = 9
(’Schichten’-weise von vorn nach hinten) graue Würfel haben.
Sind weitere Identifikationen möglich??? also Antwort (d).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
31
Lösung zu Aufgabe: Sei s die in Zeit t zurückzulegende Strecke.
3
s
Dann gilt v1 = 42 t =
3
also Antwort (c).
9s
8t
sowie v2 =
1
4s
1
3t
=
3s
4 t,
so daß
v1
v2
= 98 34 = 32 ,
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
32
Lösung zu Aufgabe: Seien die Seitenlängen a und b mit a > b.
Dann gilt a2 −b2 = (a−b)(a+b) = 13 = d(a+b). Für jede SeitenlängenDifferenz d = a − b gibt es eine Lösung des Systems zweier linearer
a − b=d
Gleichungen
in den beiden Unbekannten a und b, also
a + b = 13
d
Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
33
Lösung zu Aufgabe: W = Wasser, Fett = F, Rest = R wobei Trockenmasse = Fett + Rest = F + R
F
W +F +R
=
F
W +F +R
=
24
100
W
F
und
1
+R
+ FF
F
F +R
=
=
1
+ 100
64
W
F
64
100
impliziert
=
24
100
⇒
W
F
+
100
64
=
100
24
⇒
W
F
=
125
3·16
und somit
W
W +F +R
(b).
=
1
+R
1+ FW
=
1
+R
1+ F F
F
W
=
1
1+ 100
64
3·16
125
=
1
1+ 35
= 85 , also Antwort
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
34
Lösung zu Aufgabe: Radius des großen Kreises K sei R, der des
kleinen Kreises k sei r. Dann gilt R = 3r. Die Länge der Sehne BC sei
|BC| = 2s. Wegen des Satzes des Thales sind ∆(ACB) und ∆(M CD)
rechtwinklig und daher ähnlich.
B
D
A
M
C
Im großen der beiden ähnlichen Dreiecke ∆(ACB) und ∆(M CD) gilt
2R
2s
laut Strahlensatz 12
r = R = s = 2, was r = 6 LE und R = 18 LE
impliziert, also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
35
Lösung zu Aufgabe:
Wenn die beiden Zahlen (−2)3 a2 b−1 c2 und (−3)2 a3 b5 c−4 dasselbe
3 2 −1 2
a b c
a2 b−1 c2
Vorzeichen haben, so gilt (−2)
(−3)2 a3 b5 c−4 > 0 ⇐⇒ − a3 b5 c−4 > 0 ⇐⇒
−b
−6 6
c
a
> 0 ⇐⇒ − a1 > 0 ⇐⇒ a < 0, also Antwort (d).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
36
Lösung zu Aufgabe: Ergänze die fehlende Markierung im Boden:
um 2 also
P
= 1 + 4 + 6 + 2 = 13, so daß Deckel sum = 3 + 5 + 7 + 8 = 23
um 3 also
P
= 1 + 4 + 6 + 3 = 14, so daß Deckel sum = 2 + 5 + 7 + 8 = 22
um 5 also
P
= 1 + 4 + 6 + 5 = 16, so daß Deckel sum = 2 + 3 + 7 + 8 = 20
um 7 also
P
= 1 + 4 + 6 + 7 = 18, so daß Deckel sum = 2 + 3 + 5 + 8 = 18
um 8 also
P
= 1 + 4 + 6 + 8 = 19, so daß Deckel sum = 2 + 3 + 5 + 7 = 17
x
6
1
7
4
also Antwort (a).
3
Deckel,
Deckel,
Deckel,
Deckel,
rechts = {2, 5}
links = {3, 8}
vorn = {5, 8}
hinten = {2, 3}
8
2
5
6
1
7
4
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
37
Lösung zu Aufgabe:
Die Funktion W (x) = (a − x)(b − x)2 hat offen sichtlich eine einfache
Nullstelle in a und eine doppelte Nullstelle in b. Wegen a < b liegt
die doppelte Nullstelle rechts von der einfachen. Also scheiden (b), (c)
und (e) aus. Zudem ist -1 der Koeffizient von x3 . Also scheidet auch
(d) aus. Es bleibt also nur Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
38
Lösung zu Aufgabe: Mindestens zwei Zahlen sind sowohl durch 5
als auch durch 7 teilbar.
35 und 70 sind die kleinsten beiden Zahlen, die sowohl durch 5 als
auch durch 7 teilbar sind.
Darüberhinaus sind etwa die vier Zahlen 5, 10, 15, 20 durch 5 teilbar.
Darüberhinaus sind etwa die sechs Zahlen 7, 14, 21, 28, 42, 49 durch
7 teilbar.
also Antwort (d).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
39
Lösung zu Aufgabe: Seien w weiße und b blaue Socken mit w + b =
22 in der Schublade.
w w−1 w−2
1
Die Wahrscheinlichkeit P (3 von 3 Socken sind weiß) = 22
21
20 = 7 .
3
Der Nenner hat die Primfaktoren-Zerlegung 22·21·20 = 2 ·3·5·7·11.
Im Zähler steht das Produkt w(w − 1)(w − 2), das
für w = 20 den Primfaktor 19,
für w = 18 den Primfaktor 17,
für w = 16 den Primfaktor 25 ,
für w = 14 den Primfaktor 13 enthält.
Bleibt also Lösung nur w = 12, also Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
40
Lösung zu Aufgabe: Etwa der rechte Kreis hat die Kreisgleichung
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 (Kreis um (1, 1) mit Radius 1).
Gesucht ist a derart, daß (a/2, a) auf dem Kreis liegt, d.h. (a/2−1)2 +
(a − 1)2 = 1 ⇐⇒ 41 a2 − a + 1 + a2 − 2a + 1 = 1 ⇐⇒ 54 a2 − 3a + 1 = 0
q
4
6
4
⇐⇒ a2 − 2 56 a + 45 = 0 ⇐⇒ a1,2 = 65 ± 36
25 − 5 = 5 ± 5 . Somit gilt
a = 25 , also Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
41
Lösung zu Aufgabe: 54 = 6 · 9 = 2 · 33 .
Es gibt mehr Zweier-Potenzen kleiner 101 Q
als Potenzen von 3. Zulässig
sind alle Zahlen der Form 2i < 100, 3, 6, 3<p prim pep ≤ 100, d.h.
die Zweier-Potenzen 2, 4, 5, 8, 16, 32, 64;
die
die
die
die
die
beiden Zahlen 3 und 6 mit Primfaktor 3;
Vielfachen 5, 10, 20, 25, 35, 40, 50, 55, 65, 70, 80, 85, 95, 100 von 5,
Vielfachen 7, 14, 28, 49, 56, 77, 91, 98 von 7,
Vielfachen 22, 44, 88, 99 von 11,
Vielfachen 13, 26, 52 von 13,
die Vielfachen 17, 34, 68 von 17,
die Vielfachen 19, 38, 76 von 19,
die Vielfachen 23,
die Vielfachen 29, 58 von 29,
die Vielfachen
die Vielfachen 37, 74 von 37,
die Vielfachen
die Vielfachen 43, 86 von 43,
die Vielfachen
und die Primzahlen 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97;
insgesamt also 69 Zahlen, also Antwort (d).
46,
31,
41,
47,
92
62
82
94
von
von
von
von
23,
31,
41,
47,
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
42
Lösung zu Aufgabe: Sei MA bzw. MB der Mittelpunkt des 15-Ecks
A bzw. des n-Ecks B.
A ist 15-Eck, also mit Innenwinkel 360o /15 = 24o . Im gleichschenkligen Dreieck mit einer Ecke in MA sind die anderen beiden Winkel
jeweils 78o , so daß die Geraden durch A1 A2 und A1 A15 den Winkel
24o einschließen. Dieser muß sich zu 60o ergänzen, damit ∆(A1 A15 B3 )
gleichseitig wird. Damit schließen die Geraden durch B1 B2 und B2 B3
den Winkel 36o ein. Das gleichschenklige Dreieck ∆(B1 MB B2 ) hat
damit den Winkel ∠(B1 MB B2 ) = 36o , was n = 10 impliziert, also
Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
43
Lösung
zu Aufgabe:
√
n
1024 + 1 = 210/n + 1 ∈ N ⇐⇒ n ∈ {1, 2, 5, 10}.
n = 1 2014 + m = 1025 ⇒ m < 0. Es gibt also kein Paar (m, 1) mit
0 < m ∈ N.
√
n = 2 2014 + m = 25 + 1 = 33 ⇒ 2014 + m = 332 = 1089. Es gibt
also kein Paar (m, 2) mit 0 < m ∈ N.
√
n = 5 5 2014 + m = 22 + 1 = 5 ⇒ 2014 + m = 55 = 3125. Es gibt
also das Paar (1111, 5).
√
n = 10 10 2014 + m = 21 + 1 = 3 ⇒ 2014 + m = 310 = 58081. Es gibt
also das Paar (56067, 10).
also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
44
Lösung zu Aufgabe:
x
Der Würfel sei der
Einheitswürfel
im
ersten Oktanten.
H
G
D
Der Pfad weist zwei
Sorten von Winkeln
auf, einen spitzen
und einen stumpfen:
C
E
z
A
F
B
y
spitz mit m
~ AE = (0,
m
~ AD = ( 12 , 0, 0) und m
~ AB = (0, 12 , 0) ist
1/4
m
~ AE −m
~ AD )(m
~ AB −m
~ AD )
1
cos ∠(m
~ AE m
~ AD m
~ AB ) = (|m
~ AE −m
~ AD |·|m
~ AB −m
~ AD | = 1/2 = 2 , so
π
daß ∠(m
~ AE m
~ AD m
~ AB ) = 3 = 60o .
1
stumpf mit m
~ AD = ( 2 , 0, 0), m
~ AB = (0, 12 , 0) und m
~ BF = (0, 1, 21 ) ist
−1/4
m
~ AD −m
~ AB )(m
~ BF −m
~ AB )
1
cos ∠(m
~ AD m
~ AB m
~ BF ) = (|m
~ AD −m
~ AB |·|m
~ BF −m
~ AB | = 1/2 = − 2 ,
so daß ∠(m
~ AD m
~ AB m
~ BF ) = 23 π = 120o .
1
2 , 0),
Spitze Winkel wechseln mit stumpfen,
also Antwort (b).
P
= 6 · 60o + 6 · 120o = 1080o ,
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
45
Lösung zu Aufgabe: Initial gilt b = |B| = 17, g = |G| = 55 und
y = |Y | = 6.
Es gibt drei Transformationsregeln: Ty : (b, g, y) → (b − 1, g − 1, y + 1),
Tg : (b, g, y) → (b−1, g+1, y−1) und Tb : (b, g, y) → (b+1, g−1, y−1).
Die drei Transformationen sind paarweise kommutativ.
Sei υ, γ bzw. β die Iterierungsfaktoren von Ty , Tg bzw. Tb . Für welche
υ, γ und β gilt Tyυ ◦Tgγ ◦Tbβ (b, g, y) = (0, 0, ∗) ⇐⇒
⇐⇒
17 − υ − γ + β = 0
55 − υ + γ − β = 0
υ = 36
. Für etwa υ = 36, γ = 19 und β = 0 gilt dann
γ − β = 19
Tyυ ◦ Tgγ ◦ Tbβ (b, g, y) = (0, 0, υ − γ − β) = (0, 0, 17), also Antwort
(c).
Test beenden